第04讲 平行线的判定（3个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（浙教版2024）

第04讲 平行线的判定 （3个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①同位角相等两直线平行； ②内错角相等两直线平行； ③同旁内角互补两直线平行； ④垂直于同一直线的两直线平行； 1.掌握同位角相等两直线平行； 2.掌握内错角相等两直线平行； 3.掌握同旁内角互补两直线平行； 4、掌握垂直于同一直线的两直线平行； 知识点1：平行线判定1 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 知识点2：平行线判定1 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 知识点3：平行线判定1 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【即学即练1】 1．如图，在下列给出的条件中，能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【即学即练2】 2．如图，下列条件中，不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【即学即练3】 3．如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④.    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练4】 4．如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是( )    A． B． C． D． 题型01 同位角相等两直线平行 1．如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同位角相等 2．下列各图中，的依据是“同位角相等，两直线平行”的是（    ） A．①③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 3．结合下图，用符号语言表达定理“同位角相等，两直线平行”的推理形式：∵ ，∴． 4．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等． 简称：两直线平行，同位角 ． 如图，因为a∥b，（已知） 所以∠1＝ ．（两直线平行，同位角相等） 5．如图，直线，相交于点，平分，平分，，垂足为，试说明：． 题型02 内错角相等两直线平行 6．下列各图是由含或的直角三角板组合而成，其中利用内错角相等，画出的有（    ） A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 7．如图，用符号语言表达定理“内错角相等，两直线平行”的推理形式：∵ ，∴． 8．如图，四边形，点在的延长线上，依据“内错角相等，两直线平行”来判断，可选择的一组内错角是 ．（填一种答案即可） 9．如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 10．已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，证明：． 题型03 同旁内角互补两直线平行 11．如图，点，，在一条直线上，要根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 12．若，则下列图形一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 13．如图是一款教室的日光灯管，用两根线，吊在天花板上，为了保护眼睛，使空间内光线更匀称，不易反光，需使灯管与天花板平行，已知，请你添加一个条件： ，使灯管与天花板平行． 14．把一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，当为 度时，． 15．如图，在四边形中，，平分，且，．与平行吗？试写出推理过程． 题型04 垂直于同一直线的两直线平行 16．已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 17．a，b，c为平面内不同的三条直线，若要，条件不符合的是（   ） A．， B．， C．， D．c截a，b所得的内错角的邻补角相等 18．下列命题中的真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 19．在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a5的位置关系是 ；a1与a2021的位置关系是 ． 20．对于同一平面内三条直线、、有以下论断： ①；②；③；④；⑤. 请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个真命题. 题型05 平行线判定方法的结合问题 21．如图，下列能判定的条件的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 23．如图，点在的延长线上，给出下列条件： ①；②；③；④，⑤，⑥ 一定能判定的条件有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 24．如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判断的条件是（　　） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③ 25．如图，点E在的延长线上，给出下列条件： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），能判断出的条件有 ．（填序号） 题型06 平行线的判定（填空型大题） 26．请完善下列题目的解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 已知：如图，，且，求证：． 解：∵，， ∴（            ） ∴，， 又∵（已知） ∴______＝______（              ） ∴（              ） 27．如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法，其中王玲是通过折纸的方式完成： 第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对称点B´落在上，折痕与相交于点Q，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 王玲就说，你能用几何推理说说其中的道理吗？ （请完成下面的证明，并填上对应的推理根据） 证明：∵ ∴∠ ．理由是：（角平分线的定义）． ∵， ∴∠ ．理由是：（　 　 ）． ∴ ， ∴．理由是：（　 　 ）． 28．完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ） ∵平分（已知）， ∴_________（    ） ∴（    ） ∵（已知）， ∴_________（    ） ∴（    ） 29．完成下面推理及填空： 已知：如图，在中，于点是上一点，且，求证：． 证明：（已知）． _______（    ） ______． ．（    ）． ______（______）． ∴______（    ）． 30．完成下面的证明： 已知：如图，，，．求证：． 证明：（________） ________（________） ，（已知） ________ 即________ （________） 题型07 平行线的判定综合 31．如图，已知平分，平分，且． (1)与平行吗？ 为什么？ (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 32．如图，，，． (1)与有怎样的位置关系？为什么？ (2)与平行吗？若平行，请说明理由；若不平行，那么再加上什么条件就平行了呢？ 33．光线从空气中射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象．如图是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图．已知，．请你用所学知识来判断c与d是否平行？并说明理由．    34．如图，台球运动中母球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点，其中，．    (1)若，求的度数； (2)已知，求证：． 35．如图，直线与直线，分别相交于点M，O，，分别平分和，与交于点P，Q，已知． (1)若，求的度数； (2)对说明理由． 1．如图，已知，则图中所有平行的直线是（   ）    A． B． C． D．， 2．如图，点在延长线上，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 4．如图，有以下四个条件：①；②；③；④．其中能判定的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 5．学习情境·推理论证如图所示，下列推理中正确的有（   ） ①，； ②，； ③，； ④，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，要证，只需满足 ，根据是 ． 7．小泽在课桌上摆放了一副三角板，如图所示，得到，依据是 ． 8．如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 9．如图，一条公路的两个拐角和若，要使公路和在同一方向上，需要使 度，依据是 ． ‍ 10．如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有 （填写序号） 11．如图，已知，问：与平行吗？与呢？为什么？ 12．如图，直线过点C，若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 13．如图，已知点、、都是方格纸中的格点（图中每1个小方格都是边长为1的正方形），请用直尺画图． (1)在网格中找一个格点，连结，使； (2)在网格中找一个格点，作直线，使； (3)连接，，则的面积为________． 14．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．如图，点O在直线上，平分平分是上一点，连接． (1)判断与是否垂直，并说明理由； (2)若与互余，判断与是否平行，并说明理由． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 平行线的判定 （3个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①同位角相等两直线平行； ②内错角相等两直线平行； ③同旁内角互补两直线平行； ④垂直于同一直线的两直线平行； 1.掌握同位角相等两直线平行； 2.掌握内错角相等两直线平行； 3.掌握同旁内角互补两直线平行； 4、掌握垂直于同一直线的两直线平行； 知识点1：平行线判定1 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 知识点2：平行线判定1 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 知识点3：平行线判定1 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【即学即练1】 1．如图，在下列给出的条件中，能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可以从直线的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断． 【详解】解：A、∵， ∴，不能证明，不符合题意； B、∵， ∴，符合题意； C、∵， ∴，不能证明，不符合题意； D、∵， ∴，不能证明，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 【即学即练2】 2．如图，下列条件中，不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；进而判断即可． 【详解】根据，可得； 根据，可得； 根据，可得； 根据，可得； 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【即学即练3】 3．如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④.    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题目中的条件，可以写出各个小题中的条件可以得到哪两条线平行，从而可以解答本题． 【详解】解：①∵， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴，故②不符合题意； ③∵， ∴，故③符合题意； ④∵， ∴，故④符合题意； 综上，①③④符合题意，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 【即学即练4】 4．如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是( )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理，逐项分析判断即可求解． 【详解】解： A. ，，故该选项不符合题意；     B. ，∴，故该选项符合题意；     C. ，，故该选项不符合题意；     D. ， ，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定是解题的关键． 题型01 同位角相等两直线平行 1．如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据平行线的判定进行解答即可． 【详解】解：由题意知，木工用图中的角尺画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：A． 2．下列各图中，的依据是“同位角相等，两直线平行”的是（    ） A．①③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查平行直线的判断、同位角和内错角的识别，依次对四个图形中的角进行识别即可得到答案． 【详解】解：①的依据是“同位角相等，两直线平行”； ②的依据是“内错角相等，两直线平行”； ③的依据是“同位角相等，两直线平行”； ④的依据是“内错角相等，两直线平行”； 故选：A． 3．结合下图，用符号语言表达定理“同位角相等，两直线平行”的推理形式：∵ ，∴． 【答案】/∠3=∠1 【分析】根据题意找到同位角,，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握“同位角相等，两直线平行”是解题的关键． 4．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等． 简称：两直线平行，同位角 ． 如图，因为a∥b，（已知） 所以∠1＝ ．（两直线平行，同位角相等） 【答案】 相等 ∠2 【解析】略 5．如图，直线，相交于点，平分，平分，，垂足为，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，垂直的定义，熟悉掌握平行线的判定方法是解题的关键． 利用角平分线的定义证出的度数，再通过同位角的关系去判定即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型02 内错角相等两直线平行 6．下列各图是由含或的直角三角板组合而成，其中利用内错角相等，画出的有（    ） A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定条件：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是解题关键．结合三角板的特点，根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：图（1），根据同位角相等，两直线平行得出，不符合题意； 图（2），，，符合题意； 图（3），，根据同旁内角互补两直线平行得到，不符合题意； 图（4），，，符合题意； 即能得出的是（2）（4）， 故选：B． 7．如图，用符号语言表达定理“内错角相等，两直线平行”的推理形式：∵ ，∴． 【答案】/ 【分析】本题考查了三线八角，以及平行线的判定，根据“内错角相等，两直线平行”解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 8．如图，四边形，点在的延长线上，依据“内错角相等，两直线平行”来判断，可选择的一组内错角是 ．（填一种答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先确定被哪条直线所截，再确定内错角即可． 【详解】解： 或 故答案为：或（任写一组即可） 【点睛】本题考查的是平行线的判定，内错角的识别，掌握“内错角相等，两直线平行”是解本题的关键． 9．如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，也考查了角平分线定义．先由角平分线定义得出，那么，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】解：可以判断，理由如下： ∵，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 10．已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定．根据题意可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 题型03 同旁内角互补两直线平行 11．如图，点，，在一条直线上，要根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．，根据内错角相等，两直线平行可得，故不符合题意； B．，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故符合题意； C．，根据两同位角相等，两直线平行可得，故不符合题意； D．，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故不符合题意； 故选B． 12．若，则下列图形一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】A．∵和是同位角， ∴无法推出，不符合题意； B．∵和是内错角， ∴无法推出，不符合题意； C．如图所示， ∵， ∵ ∴ ∴，符合题意； D．如图所示， ∵， ∴ ∵和是同位角， ∴无法推出，故不符合题意； 故选：C． 13．如图是一款教室的日光灯管，用两根线，吊在天花板上，为了保护眼睛，使空间内光线更匀称，不易反光，需使灯管与天花板平行，已知，请你添加一个条件： ，使灯管与天花板平行． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】解：添加：， ，， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 14．把一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，当为 度时，． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算，平行线的判定，根据，利用同旁内角互补，两直线平行直接求出结论． 【详解】解：， 当时，， 即当时，， 故答案为： 15．如图，在四边形中，，平分，且，．与平行吗？试写出推理过程． 【答案】平行，见详解 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行是解题的关键；根据角平分线的定义，可得，再由同旁内角互补，即可证明平行． 【详解】解：与平行，理由如下： 平分，， ， ， ， ． 题型04 垂直于同一直线的两直线平行 16．已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】C 【分析】根据平行公理的推论进行分析判断即可． 【详解】解：A．如果，，那么，故A正确，不符合题意； B．如果，，那么，故B正确，不符合题意； CD．如果，，那么，而不是，故C错误，符合题意，D正确不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行公理及推理，解题关键在于掌握“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”和“垂直于同一条直线的两直线平行”． 17．a，b，c为平面内不同的三条直线，若要，条件不符合的是（   ） A．， B．， C．， D．c截a，b所得的内错角的邻补角相等 【答案】C 【分析】根据平行公理，平行线的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A据平行于同一条直线的两直线互相平行，可得，不符合题意； B据同一平面内，垂直于同一条直线两直线平行，可得，不符合题意； C中据垂直于两平行线中一条的直线必与另一条垂直，可得，符合题意； D中内错角的邻补角相等即内错角相等，可得，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了平面内多条直线的位置关系，注意平行和垂直关系的判定，熟记平行线的判定方法是解本题的关键． 18．下列命题中的真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据平行公理，平行线的判定定理及性质定理与垂直的性质，逐项进行分析，即可找到答案． 【详解】解：A、由，，不能得到，原命题是假命题，不符合题意； B、同一平面内，，，则，原命题是假命题，不符合题意； C、同一平面内，，，则，原命题是假命题，不符合题意； D、若，，则，原命题是真命题，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，平行线的判定定理及性质，关键在于熟练掌握相关的性质定理并做到熟练应用是解题关键． 19．在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a5的位置关系是 ；a1与a2021的位置关系是 ． 【答案】 平行 平行 【分析】根据平行线的性质和规律得到：4条直线的位置关系为一个循环． 【详解】如图，a1⊥a2，a2∥a3， ∴a1⊥a3， ∵a3⊥a4， ∴a1∥a4， ∵a4∥a5， ∴a1∥a5， …， 依此类推，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a1∥a9，连续4条直线的位置关系为一个循环． ∴2021＝505×4+1， ∴a1∥a2021． 故答案是：平行；平行． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是找到直线位置关系的规律． 20．对于同一平面内三条直线、、有以下论断： ①；②；③；④；⑤. 请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个真命题. 【答案】，（或，或，等） 【分析】同一平面内，根据平行于同一条直线的两条直线平行即可由①②得到⑤. 【详解】解：、、为同一平面内三条直线, 根据平行于同一条直线的两条直线平行即可由①②得到⑤. (或者是根据垂直于同一直线的两直线平行也能得出正确答案.) 故答案为: ，（或，或，等）. 【点睛】本题考查了真命题的判定，需要利用平行线的性质和判定进行求解. 题型05 平行线判定方法的结合问题 21．如图，下列能判定的条件的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理分别进行判断即可． 【详解】解：①当，可以根据同旁内角互补两直线平行得到，故①正确； ②当时，不可以推出，故②错误； ③当时，不可以推出，故③错误； ④当时，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故④正确． ∴正确的有2个． 故选：B． 22．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据内错角相等，同旁内角互补逐一判断平行即可． 【详解】解：A、，由“内错角相等，两直线平行”可判断，不符合题意； B、，由“内错角相等，两直线平行”可判断，不能判断，符合题意； C、，由“内错角相等，两直线平行”可判断，不符合题意； D、，由“同旁内角互补，两直线平行”可判断，不符合题意； 故选：B． 23．如图，点在的延长线上，给出下列条件： ①；②；③；④，⑤，⑥ 一定能判定的条件有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故①符合题意； 由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故②符合题意； 由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不可以得到，故③不符合题意； 由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故④符合题意； 由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不可以得到，故⑤不符合题意； 由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不可以得到，故⑥不符合题意； 故选：A． 24．如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判断的条件是（　　） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角相等．根据同位角相等两直线平行，即可判断①；根据内错角相等两直线平行，即可判断②；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断③；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴不能推出，故④不正确， 综上可得：能判断的条件是①②③． 故选：D． 25．如图，点E在的延长线上，给出下列条件： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），能判断出的条件有 ．（填序号） 【答案】（2）（4）（5） 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：（1），则； （2），则； （3），则； （4），则； （5），则； （6），则， 所以能判断出的条件有（2）（4）（5）． 故答案为：（2）（4）（5） 题型06 平行线的判定（填空型大题） 26．请完善下列题目的解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 已知：如图，，且，求证：． 解：∵，， ∴（            ） ∴，， 又∵（已知） ∴______＝______（              ） ∴（              ） 【答案】垂直的定义；；；；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了垂线的定义、等角的余角相等、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据垂线的定义可得，得出，，结合已知，根据“等角的余角相等”，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴（垂直的定义）， ∴，， 又∵（已知）， ∴（等角的余角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；；；；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 27．如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法，其中王玲是通过折纸的方式完成： 第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对称点B´落在上，折痕与相交于点Q，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 王玲就说，你能用几何推理说说其中的道理吗？ （请完成下面的证明，并填上对应的推理根据） 证明：∵ ∴∠ ．理由是：（角平分线的定义）． ∵， ∴∠ ．理由是：（　 　 ）． ∴ ， ∴．理由是：（　 　 ）． 【答案】；90；；垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，角平分线的有关计算，根据题意利用平行线的判定等相关知识完成解答即可． 【详解】证明：∵ ∴．理由是：（角平分线的定义）． ∵， ∴．理由是：（垂直定义）． ∴， ∴．理由是：（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；90；；垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行． 28．完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ） ∵平分（已知）， ∴_________（    ） ∴（    ） ∵（已知）， ∴_________（    ） ∴（    ） 【答案】角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义） ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义） ∴（等量代换） ∵（已知）， ∴（等量代换） ∴（同旁内角互补，两直线平行） 29．完成下面推理及填空： 已知：如图，在中，于点是上一点，且，求证：． 证明：（已知）． _______（    ） ______． ．（    ）． ______（______）． ∴______（    ）． 【答案】，垂直的定义，，已知，，同角的余角相等， ，内错角相等，两直线平行； 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定，根据题干信息逐步完善推理过程与推理依据即可． 【详解】证明：（已知）． （垂直的定义） ． ．（已知）． （同角的余角相等）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 30．完成下面的证明： 已知：如图，，，．求证：． 证明：（________） ________（________） ，（已知） ________ 即________ （________） 【答案】已知，，垂直的定义，，，同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，先由垂直的定义，得出，再结合，，得出，即可证明． 【详解】证明：（已知）， ∴（垂直的定义）， ，（已知）， ， 即， （同旁内角互补，两直线平行）． 题型07 平行线的判定综合 31．如图，已知平分，平分，且． (1)与平行吗？ 为什么？ (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据角平分线的性质结合，推出，即可得出结论； （2）根据平行线的性质结合角平分线，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：平行，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 32．如图，，，． (1)与有怎样的位置关系？为什么？ (2)与平行吗？若平行，请说明理由；若不平行，那么再加上什么条件就平行了呢？ 【答案】(1)与的位置关系是：，理由见解析 (2)与不平行，添加条件①或②；③时，，理由见解析 【分析】（1）先由得，进而得，由此得，然后根据平行线的判定可得出与的位置关系； （2）与不平行，加上条件或时，． 此题主要考查了平行线的判定和性质，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】（1）解：与的位置关系是：，理由如下： ， ， ， ， 又， ， ； （2）与不平行，添加条件或时，，理由如下： 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ， ， ， ． 33．光线从空气中射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象．如图是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图．已知，．请你用所学知识来判断c与d是否平行？并说明理由．    【答案】平行，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行，想要证明，结合图形只要先证明，再利用内错角相等，两直线平行即可． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 34．如图，台球运动中母球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点，其中，．    (1)若，求的度数； (2)已知，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，平角的定义： （1）根据题意先得到，再由平角的定义求解即可； （2）根据题意得到，再由平角的定义得到，，由此可得，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 35．如图，直线与直线，分别相交于点M，O，，分别平分和，与交于点P，Q，已知． (1)若，求的度数； (2)对说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，设，则，根据题意得出，求出x的值，即可得出答案； （2）根据，分别平分和，得出，根据，得出，根据平行线的判断即可得出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得：， ∴； （2）证明：∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，余角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判断方法． 1．如图，已知，则图中所有平行的直线是（   ）    A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据内错角相等两直线平行直接证明结论即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ， ． 故选：D． 2．如图，点在延长线上，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，利用平行线的判定方法逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 【详解】解：、∵， ∴，故此选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，故此选项不符合题意； 、∵， ∴，故此选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故此选项正确，不符合题意； 故选：． 3．如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定及角平分线的定义，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．根据平行线的判定及角平分线的定义进行判断即可． 【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； B．∵平分交于点． ， ∵， ， 根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴， 根据同位角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； D．不能得出，故本选项符合题意． 故选：D． 4．如图，有以下四个条件：①；②；③；④．其中能判定的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，弄清截线与被截线．根据平行线的判定定理求解，即可求得答案． 【详解】解：①∵， ∴（同旁内角互补两直线平行）； ②∵， ∴（内错角相等两直线平行）； ③∵， ∴（内错角相等两直线平行）； ④∵， ∴（同位角相等两直线平行）； ∴能得到的条件是①③④． 故选：D． 5．学习情境·推理论证如图所示，下列推理中正确的有（   ） ①，； ②，； ③，； ④，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定可进行求解． 【详解】解：①∵， ∴，故错误； ②∵， ∴，故错误； ③∵， ∴，故错误； ④∵， ，故正确． 故选：A． 6．如图，要证，只需满足 ，根据是 ． 【答案】 内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理结合图形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等两直线平行） 故答案为：；内错角相等两直线平行（答案不唯一）． 7．小泽在课桌上摆放了一副三角板，如图所示，得到，依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据平行线的判定作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 8．如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论． 【详解】解：添加利用同位角相等，两直线平行判定； 添加利用内错角相等，两直线平行判定； 添加利用同旁内角互补，两直线平行判定． 故答案为：(答案不唯一)· 9．如图，一条公路的两个拐角和若，要使公路和在同一方向上，需要使 度，依据是 ． ‍ 【答案】 内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，解题的关键是将实际问题转化为数学问题求解，要使公路和在同一方向上，即和平行，根据内错角相等，两直线平行，可得． 【详解】解：要使公路和在同一方向上，即， 当时， 依据是内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行 10．如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有 （填写序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 故答案为：③④． 11．如图，已知，问：与平行吗？与呢？为什么？ 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查的是邻补角的性质，平行线的判定，证明，即可得到结论． 【详解】解：． 理由：， ． ， ， ∴． 12．如图，直线过点C，若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】平行，见解析 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，根据，，可得，从而得到，由内错角相等，两直线平行即可得到答案． 【详解】解：， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图，已知点、、都是方格纸中的格点（图中每1个小方格都是边长为1的正方形），请用直尺画图． (1)在网格中找一个格点，连结，使； (2)在网格中找一个格点，作直线，使； (3)连接，，则的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)4 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，画图即可； （2）根据垂直的定义，三角形的内角和定理，解答即可； （3）根据面积公式解答即可． 本题考查了利用网格线画平行线，画垂线，三角形的面积的计算，掌握作图的基本方法是解本题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接， 交水平直线于点Q，B、G，Q，F四点共线， 根据题意，得，， ∴， ∴． 则即为所求． （2）解：如图，连接， 设交于点M，E，N共线，N，C，H三点共线， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∴， 由， ∴， 故． 则点即为所求． （3）解：连接，， 则的面积为：． 故答案为：4． 14．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）利用（1）的结论可得，然后利用平角定义可得，然后利用对顶角相等可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义即可解答． 【详解】（1）证明：分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 15．如图，点O在直线上，平分平分是上一点，连接． (1)判断与是否垂直，并说明理由； (2)若与互余，判断与是否平行，并说明理由． 【答案】(1)，见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是： （1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）解：， 证明：平分，平分， ，， ， ； （2）证明：， ， 与互余， ， ， ． 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$