第03讲 平行线（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（浙教版2024）

第03讲 平行线 （3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①平行线的相关概念； ②尺规作图画平行线； ③平行公理； 1.掌握平面内两直线的位置关系； 2.掌握立体图形中平行的棱； 3、掌握平行公理的相关概念和推论的应用； 知识点01：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 【即学即练1】 1、下列语句正确的有（　　）个 ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行 ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行 ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a． A．4 B．3 C．2 D．1 【即学即练2】 2、在同一平面内，直线a、b、c中，若a⊥b，b∥c，则a、c的位置关系是　 ． 知识点02：平行线的画法 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【即学即练3】 3．如图，点O，点C，点D均在格点上，且点C在的边上． (1)过点C画的垂线交于点M； (2)过点D画的平行线，交（1）中所画垂线于点N，连接； (3)点O到直线的距离是图中哪条线段的长度？ 【即学即练4】 4．如图，三角形中，，根据语句画图，并回答问题：    (1)过点C画，垂足为O； (2)过点A画； (3)三条边中哪条边最长？为什么？ 知识点03：平行公理 过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 任何两点都是平行的,任何一点与任何一平面都是平行的; 过已知直线外一点至少存在两条直线与已知直线平行; 过已知直线外一点没有一条直线与已知直线平行; 【即学即练5】 5．下列语句： ①不相交的两条直线叫平行线 ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种，相交和平行 ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行 ④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行 ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练6】 6．下列命题中，假命题是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．两条直线相交形成的四个角中有一个角是，则这两条直线互相垂直 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果，那么 题型01 平面内两直线的位置关系 1．下列叙述中，错误的是（    ） A．若同一平面内两条线段不相交，则这两条线段平行 B．两条线段平行，是指两条线段所在的直线平行 C．两条射线平行，是指两条射线所在的直线平行 D．两条直线型铁轨是平行的 2．如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平行，请判断该线段是（    ） A．a B．b C．m D．n 3．在同一平面内两条直线的位置关系可能是（    ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合 4．如果ac，a与b相交，bd，那么d与c的关系为 ． 5．（1）平面上有3条直线，画出它们可能的位置关系，并在旁边写上交点的个数； （2）平面上有4条直线，它们的交点个数可能为______； （3）平面上有6条直线，共有12个不同的交点，画出它们所有可能的位置关系． 题型02 立体图形中平行的棱6．如图，在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD平行的平面共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图所示，在长方体中，与棱异面的棱有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 8．如图，是一个长方体，用符号表示下列两棱的位置关系，A1B1 AB，AA1 AB． 9．如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段： （写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段： （写出一对即可）． 10．（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母； （2）图中与棱平行的棱有　 　； （3）图中棱和面的位置关系是 　 ． 题型03 用直尺、三角板画平行线 11．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 12．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ． 13．如图，是一个由边长为1的小正方形组成的的网格纸，三角形的三个顶点均在格点上，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作直线的垂线，垂足为，则点到直线的距离为线段______的长度． 14．如图，C是线段外一点，按要求画图： (1)画射线； (2)过点C画直线； 15．如图，在正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，请分别仅用一把无刻度的直尺画图： (1)在图1中，过点C画一条的垂线； (2)在图2中，过点C画一条的平行线． 题型04 平行公理的应用 16．按下列要求画图，只能画出一条直线的是（    ） 过点P画与已知直线l垂直的直线    过点P画与已知直线l相交的直线    过点P画与直线l平行的直线 ①                                  ②                              ③ A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 17．如图，是一个可折叠衣架，AB是地平线，当时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 18．如图：，，则点A、B、C在一条直线上．理由是： ．    19．同一平面内有三条直线a，b，c．若，，则与的位置关系是 ． 20．如图，P，Q分别是直线外两点． (1)过点P画直线，过点Q画直线； (2)与有怎样的位置关系？为什么？ 题型05 平行公理推论的应用 21．在同一平面内，已知直线a及直线外一点M，过点M作3条直线，则这3条直线中与a平行的直线最多有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 22．下列说法中，正确的是（    ）． ①若，，则；②若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．① B．② C．③ D．④ 23．在同一平面内，三条直线a、b、c，若a∥b，a∥c，则 ． 24．下列说法正确的是 （填序号）． ①同位角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，不相交也不重合的两条射线一定平行；④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤如果直线，那么；⑥垂线段最短；⑦过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 25．如图，由相同的小正方形组成的网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹）． (1)过点P画的垂线m，交于点C；过点B画的平行线，交直线m于点D；过点P画的平行线． (2)线段______的长度是点O到的距离； (3) 的理由是______． (4)______（位置关系），理由是______． 题型06 平行线综合 26．如图，按要求画图并回答问题： (1)过点画点到直线的垂线段，垂足为； (2)过点画直线，交的延长线于点； (3)在线段，，中，最短的是______，理由为______． 27．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点画直线的平行线； ②过点画直线的垂线，垂足为点； (2)点C到直线的距离是线段______的长度； (3)比较大小：______（填、或），理由：____________． 28．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 29．如图，在由相同小正方形组成的网格中，点A，B，C，O都在网格的格点上，，射线在的内部，请用无刻度的直尺作图： (1)过点A作； (2)在的外部，作与有什么关系，并说明理由． 30．如图所示的正方形网格，点、、都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点，垂足为点； (2)线段_________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：（填＞、＜或＝），理由是：__________________． 1．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 2．下列命题中，①互补的角是邻补角②同位角相等③对顶角相等④过一点有且只有一条直线与已知直线平行⑤在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直⑥互相垂直的两条线段一定相交．假命题有（      ）个 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 3．如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 5．“对于有理数a，b，c，若，，则”，我们称这命题的关系具有“传递性”，下列命题中，具有“传递性”的是（    ） A．m，n，l是直线，若，，则 B．m，n，l是直线，若，，则 C．若与互余，与互余，则与互余 D．若与互补，与互补，则与互补 6．生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 7．如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ． 8．观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是 ； （2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 9．如图，，与互余，，则等于 10．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 11．如图，用三角尺或量角器画图： (1)经过点A画直线的平行线； (2)经过点C画直线的垂线； (3)画点C到直线的垂线段． 12．如图，C是线段外一点，按要求画图： (1)画射线； (2)过点C画直线； 13．【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． (2)过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为___________． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：____________． 【发现】线段的长度是点A到直线_____的距离；线段的大小关系为_______（用“<”连接）． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：_______________． 14．如图，P是的边上一点， (1)过点P画的平行线； (2)过点P画的垂线，垂足为点N； (3)点P到边的距离是线段________的长度； (4)用“”比较线段，的大小为：________；理由是________________． 15．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)过点C画的垂线，垂足是D； (2)过点A画的平行线n； (3)线段 的长度是点C到直线的距离； (4)的面积 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平行线 （3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①平行线的相关概念； ②尺规作图画平行线； ③平行公理； 1.掌握平面内两直线的位置关系； 2.掌握立体图形中平行的棱； 3、掌握平行公理的相关概念和推论的应用； 知识点01：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 【即学即练1】 1、下列语句正确的有（　　）个 ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行 ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行 ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误； ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确； 故选：D． 【即学即练2】 2、在同一平面内，直线a、b、c中，若a⊥b，b∥c，则a、c的位置关系是　 ． 【答案】c⊥a　 【解答】解：∵c∥b，a⊥b， ∴c⊥a． 故答案为c⊥a 知识点02：平行线的画法 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【即学即练3】 3．如图，点O，点C，点D均在格点上，且点C在的边上． (1)过点C画的垂线交于点M； (2)过点D画的平行线，交（1）中所画垂线于点N，连接； (3)点O到直线的距离是图中哪条线段的长度？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点O到直线的距离是图中线段的长度 【分析】（1）利用网格特点取格点N，作直线交于点M； （2）作直线即为所求，再连接即可； （3）根据点到直线的距离的概念即可作出判断． 【详解】（1）如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； （3）点O到直线的距离是图中线段的长度． 【点睛】本题考查了利用网格作图和点到直线的距离，熟知网格的特点和点到直线的距离的定义是解题关键． 【即学即练4】 4．如图，三角形中，，根据语句画图，并回答问题：    (1)过点C画，垂足为O； (2)过点A画； (3)三条边中哪条边最长？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)AB，垂线段最短 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解；如图所示，   ； （2）解；如图所示； （3）解：由垂线段最短可知：，， ∴三条边，，中最长的边为． 【点睛】本题考查了垂线段最短等知识点，属于基本概念题，熟练掌握垂线段最短的概念是解题的关键． 知识点03：平行公理 过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 任何两点都是平行的,任何一点与任何一平面都是平行的; 过已知直线外一点至少存在两条直线与已知直线平行; 过已知直线外一点没有一条直线与已知直线平行; 【即学即练5】 5．下列语句： ①不相交的两条直线叫平行线 ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种，相交和平行 ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行 ④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行 ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】直接利用平行公理以及其推论分析得出答案． 【详解】解：①不相交的两条直线叫做平行线必须是在同一个平面内才能成立，故错误； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行；故正确； ③线段和线段不相交，不意味着直线和直线不相交，因为直线是无限延伸的；故错误； ④平行于同一条直线的两条直线互相平行，故正确； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误． 综上分析可知，正确的个数为2个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行公理及推论，正确把握定义是解题关键． 【即学即练6】 6．下列命题中，假命题是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．两条直线相交形成的四个角中有一个角是，则这两条直线互相垂直 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理，垂线的判定定理依次分析判断即可． 【详解】解：A.平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意； B. 两条直线相交形成的四个角中有一个角是，则这两条直线互相垂直，是真命题，不符合题意； C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题，不符合题意； D. 如果，那么，是假命题，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解平行线的判定，垂线的判定，难度不大． 题型01 平面内两直线的位置关系 1．下列叙述中，错误的是（    ） A．若同一平面内两条线段不相交，则这两条线段平行 B．两条线段平行，是指两条线段所在的直线平行 C．两条射线平行，是指两条射线所在的直线平行 D．两条直线型铁轨是平行的 【答案】A 【分析】本题考查了平面内两直线的关系，熟悉掌握平行线的概念是解题的关键． 根据平行线的概念逐一判断即可． 【详解】解：如图，线段，不相交，但也不平行，故A错误，其余均正确， 故选：A． 2．如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平行，请判断该线段是（    ） A．a B．b C．m D．n 【答案】B 【分析】根据同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线，即可判断， 本题考查了平行的定义，解题的关键是：熟练掌握平行线的定义． 【详解】解：用直尺分别作a，b，l，m，n的延长线， 其中只有b的延长线不与l相交， ∴． 故选：B． 3．在同一平面内两条直线的位置关系可能是（    ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合 【答案】C 【分析】本题考查了平行线，根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案． 【详解】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确； 故选：C． 4．如果ac，a与b相交，bd，那么d与c的关系为 ． 【答案】相交 【分析】根据题意画出草图，即可求解． 【详解】如图，ac，a与b相交，bd， d与c的关系为相交 故答案为：相交 【点睛】本题考查了两直线的位置关系，数形结合是解题的关键． 5．（1）平面上有3条直线，画出它们可能的位置关系，并在旁边写上交点的个数； （2）平面上有4条直线，它们的交点个数可能为______； （3）平面上有6条直线，共有12个不同的交点，画出它们所有可能的位置关系． 【答案】（1）见解析；交点的个数为0或1或2或3；（2）0或1或3或4或5或6个；（3）见解析 【分析】本题考查了相交线，根据相交线定义，正确画出图形，得出交点个数是解题的关键．（1）根据题意，画出图形，再写出交点的个数；（2）根据题意，画出图形，再写出交点的个数；（3）根据题意画出图形即可． 【详解】解：（1）如图， 交点的个数为0或1或2或3； （2）如图， 所以平面上有4条直线，它们的交点个数可能为0或1或3或4或5或6个； 故答案为：0或1或3或4或5或6个 （3）如图， 题型02 立体图形中平行的棱 6．如图，在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD平行的平面共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先找出不过棱AD的平面，确定平面内有与AD平行的直线即可． 【详解】解：∵在长方体ABCD-EFGH中，AD//EH∥BC， ∴AD∥平面EFGH，AD∥平面BCGF， ∴与棱AD平行的平面共有2个． 故选择：B． 【点睛】本题主要考查立体图形与平行线，利用平行线的定义找出与棱AD平行的平面并准确观察图形是解题的关键． 7．如图所示，在长方体中，与棱异面的棱有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】根据判断异面直线的方法判断即可. 【详解】由题意得： 与棱AD异面的棱有：BB1,CC1,A1B1,C1D1 故选C. 【点睛】本题考查异面直线的概念：过平面外一点和平面内一点与平面内不经过该点的直线是异面直线，熟记概念是本题关键. 8．如图，是一个长方体，用符号表示下列两棱的位置关系，A1B1 AB，AA1 AB． 【答案】 // ⊥ 【分析】根据在长方体中，棱与面，面与面之间的关系有平行和垂直两种，填空即可. 【详解】A1B1和AB可以看作是一个长方形的两条对边,所以平行; AA1，AB可看做是一个长方形的两条邻边，所以垂直. 故答案为∥，⊥. 【点睛】本题借助于几何体的特征考查了矩形的性质．注意，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交(重合除外，其中垂直是相交的特例)． 9．如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段： （写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段： （写出一对即可）． 【答案】 ； AD与BG． 【分析】(1)根据平行线的定义直接回答即可； (2)根据平面内线段的位置关系回答即可. 【详解】解：(1)AB∥FG(答案不唯一)； (2)AD与BG不在同一平面内(答案不唯一). 故答案为(1)AB∥FG；(2)AD与BG. 【点睛】本题考查了平面内两直线的位置关系. 10．（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母； （2）图中与棱平行的棱有　 　； （3）图中棱和面的位置关系是 　 ． 【答案】（1）见解析；（2）、、；（3）平行 【分析】（1）根据长方体的立体结构画出即可． （2）根据平行线的定义，找出符合条件的线即可． （3）因为线与面没有交点，所以平行． 【详解】解：（1）如图即为补全的图形； （2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH； 故答案为：CD、EF、GH； （3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行． 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了平行线的判断，理解平行线的定义是解题关键． 题型03 用直尺、三角板画平行线 11．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 12．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ． 【答案】③②④① 【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①， 故答案我③②④①． 【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 13．如图，是一个由边长为1的小正方形组成的的网格纸，三角形的三个顶点均在格点上，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)过点作直线的垂线，垂足为，则点到直线的距离为线段______的长度． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查画垂线和平行线： （1）根据平行线的定义，过点画即可； （2）根据垂线的定义，画出垂线，根据点到直线的距离为垂线段的长，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）如图，直线即为所求． 点到直线的距离为线段的长． 14．如图，C是线段外一点，按要求画图： (1)画射线； (2)过点C画直线； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作射线和平行线，根据相关作图步骤进行作图是解题的关键． （1）根据射线的定义作图即可； （2）根据平行线的做法和直线的定义，即可作图． 【详解】（1）解：如图所示：射线即为所求； （2）解：如图所示：直线即为所求； 15．如图，在正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，请分别仅用一把无刻度的直尺画图： (1)在图1中，过点C画一条的垂线； (2)在图2中，过点C画一条的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图−应用与设计作图，垂线的定义，平行线的定义，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据格点的性质，取格点，连接，交于点D，的垂线即为所求； （2）根据格点的性质，取格点，作直线，的平行线即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，的垂线为所求； （2）解：如图所示，的平行线为所求． 题型04 平行公理的应用 16．按下列要求画图，只能画出一条直线的是（    ） 过点P画与已知直线l垂直的直线    过点P画与已知直线l相交的直线    过点P画与直线l平行的直线 ①                                  ②                              ③ A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答． 【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线； 在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线； 在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线； 故选：D． 17．如图，是一个可折叠衣架，AB是地平线，当时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可．本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：依题意，当时，； 当时，，就可以确定点，，在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）． 故选：D． 18．如图：，，则点A、B、C在一条直线上．理由是： ．    【答案】经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行 【分析】本题考查的是平行公理，根据平行公理可得． 【详解】解：∵，，且、经过点A， ∴过外一点B的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点A、B、C在一条直线上， 故答案为：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行． 19．同一平面内有三条直线a，b，c．若，，则与的位置关系是 ． 【答案】平行 【解析】略 20．如图，P，Q分别是直线外两点． (1)过点P画直线，过点Q画直线； (2)与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1)作图见解析； (2)．理由见解析． 【分析】（1）根据作平行线的方法，利用直尺和三角板作出与已知直线平行的直线； （2）根据平行的公理可证． 此题考查了作平行线以及平行线公理． 【详解】（1）解：如图， （2），理由∶ 因为，， 所以． 题型05 平行公理推论的应用 21．在同一平面内，已知直线a及直线外一点M，过点M作3条直线，则这3条直线中与a平行的直线最多有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可知：过直线外一点可以画一条已知直线的平行线；据此解答． 【详解】解：在同一平面内，过直线外一点，能作一条直线与已知直线平行， 所以这3条直线中与a平行的直线最多有1条， 故答案为：一． 【点睛】此题考查了平行线的含义和性质，应注意基础知识的识记和理解． 22．下列说法中，正确的是（    ）． ①若，，则；②若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】根据平行公理的推论可判断①；根据两直线的位置关系可判断②；根据对顶角的性质可判断③；根据平行公理可判断④． 【详解】解：①根据平行线公理的推论可知，故①正确； ②若a与c相交，b与c相交，则a与b可能相交或平行，故②错误； ③对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故③错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④错误． 故正确的有①共1个， 故选：A． 【点睛】本题考查平行公理及推论、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 23．在同一平面内，三条直线a、b、c，若a∥b，a∥c，则 ． 【答案】b∥c． 【分析】根据平行线的判定得出即可． 【详解】∵同一平面内三条直线a、b、c，a∥b，a∥c， ∴b∥c， 故答案为：b∥c． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推理的应用，能熟记知识点（平行于同一直线的两直线平行）是解此题的关键． 24．下列说法正确的是 （填序号）． ①同位角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，不相交也不重合的两条射线一定平行；④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤如果直线，那么；⑥垂线段最短；⑦过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【答案】②④⑥ 【分析】根据同位角、对顶角、平行线的性质、垂线的性质即可依次判断． 【详解】①两直线平行，同位角相等，故错误； ②对顶角相等，正确； ③在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确； ⑤如果直线，那么a,c的位置关系不确定，故错误； ⑥垂线段最短，正确； ⑦在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误． 故答案为：②④⑥． 【点睛】此题主要考查同位角、对顶角、平行线的性质、垂线的性质，解题的关键是熟知各自的性质及特点． 25．如图，由相同的小正方形组成的网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹）． (1)过点P画的垂线m，交于点C；过点B画的平行线，交直线m于点D；过点P画的平行线． (2)线段______的长度是点O到的距离； (3) 的理由是______． (4)______（位置关系），理由是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)垂线段最短 (4)，平行于同一直线的两直线平行 【分析】（1）取格点M，过点P、M作直线m；利用格线互相平行，作直线、即可； （2）根据点到直线的距离定义解答； （3）根据垂线段最短解答； （4）根据平行公理的推论解答． 【详解】（1）解：如图所示，直线m、、，点C即为所求， （2）解：∵于P， ∴线段的长度是点O到的距离； （3）解：根据垂线段最短得， ∴的理由是垂线段最短； （4）解：∵，， ∴． 根据平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行． 【点睛】本题考查利用网格作图，点到直线的距离，平行公理的推论，垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离定义：从直线外一点作直线的垂线，这点与垂足间的线段长度叫到点直线的距离，垂线段最短，平行公理的推论． 题型06 平行线综合 26．如图，按要求画图并回答问题： (1)过点画点到直线的垂线段，垂足为； (2)过点画直线，交的延长线于点； (3)在线段，，中，最短的是______，理由为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了画垂线，画平行线，垂线段最短： （1）根据垂线的画法画图即可； （2）根据平行线的画法画图即可； （3）根据垂线段最短即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，直线即为所求； （3）解：由垂线段最短可知，在线段，，中，最短的是， 故答案为：，垂线段最短． 27．如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点画直线的平行线； ②过点画直线的垂线，垂足为点； (2)点C到直线的距离是线段______的长度； (3)比较大小：______（填、或），理由：____________． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题考查了作图的应用与设计 （1）①根据网格线的特点及平行线的性质作图； ②根据网格线的特点及垂线的性质作图； （2）根据点到直线的距离的定义求解； （3）根据“垂线段最短”求解． 【详解】（1）解：①即为所求； ②即为所求； （2）点到直线的距离是线段的长度； 故答案为：； （3），理由为：垂线段最短； 故答案为：，垂线段最短． 28．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． （1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）取格点E，作直线交于F，直线即为所求作； （3）取格点G，作直线即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线为所求； （2）解：如图，直线为所求； （3）解：如图，直线为所求； （4）解：如图，连接， 观察图象，由垂线段最短可知： ，， ， 故答案为：． 29．如图，在由相同小正方形组成的网格中，点A，B，C，O都在网格的格点上，，射线在的内部，请用无刻度的直尺作图： (1)过点A作； (2)在的外部，作与有什么关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，或，理由见解析 【分析】此题考查了网格作图、余角的性质、垂直的定义、平行线的判定等知识，根据网格特点作图是解题的关键． （1）根据网格的特点作出图形即可； （2）根据网格特点作图，分点在上方和下方，两种情况进行讨论求解即可； 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作； （2）解：如图，点即为所求； 当点在上方时： 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在下方时： 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ． 30．如图所示的正方形网格，点、、都在格点上． (1)利用网格作图： ①过点画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点，垂足为点； (2)线段_________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：（填＞、＜或＝），理由是：__________________． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)，垂线段最短 【分析】（1）根据平行线的定义及垂线定义，按要求作图即可． （2）根据点到直线的距离的定义可得线段的长度是点到直线的距离． （3）根据垂线段最短可以作出判断． 【详解】（1）解：①的平行线如图所示； ②的垂线如图所示； （2）解：线段的长度是点到直线的距离， 故答案是：CF； （3）解：．理由是：垂线段最短． 故答案是：＜，垂线段最短． 【点睛】本题考查了平行线的定义，垂线定义及垂线段的定义与性质，充分理解以上概念是解题的关键． 1．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交． 根据关键语句“若与不平行， 与不平行，”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案． 【详解】根据题意可得图形： 根据图形可知：若与不平行，与不平行，则与可能相交或平行， 故选：D． 2．下列命题中，①互补的角是邻补角②同位角相等③对顶角相等④过一点有且只有一条直线与已知直线平行⑤在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直⑥互相垂直的两条线段一定相交．假命题有（      ）个 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据邻补角，同位角的概念，对顶角和平行线的性质，垂线公理逐一判断真假命题即可． 本题考查了邻补角，同位角的概念，对顶角和平行线的性质，真假命题． 【详解】解：①互补的角不一定是邻补角，假命题； ②同位角不一定相等，假命题； ③对顶角相等，正确，真命题； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，假命题； ⑤在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，假命题 ⑥互相垂直的两条线段不一定相交，假命题． 故选：C． 4．在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选A． 3．如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作平行线，角平分线，根据题意作出图形，再利用量角器即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下： 再利用量角器量一量的度数，约为， 故选：B． 5．“对于有理数a，b，c，若，，则”，我们称这命题的关系具有“传递性”，下列命题中，具有“传递性”的是（    ） A．m，n，l是直线，若，，则 B．m，n，l是直线，若，，则 C．若与互余，与互余，则与互余 D．若与互补，与互补，则与互补 【答案】A 【分析】根据平行线的判定、垂直和互余、互补进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：A、m，n，l是直线，若，，则，具有“传递性” B、m，n，l是直线，若，，则与不一定垂直也可能是平行；不具有“传递性” C、若与互余，与互余，则与相等，不具有“传递性” D、若与互补，与互补，则与相等，不具有“传递性” 故选：A． 6．生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【答案】 相交 同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据与相交，来判定与的关系． 【详解】解：∵与相交，， ∴不平行于，即与相交（同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． 故答案为：相交；同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 7．如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查的是平行公理，根据平行公理可得． 【详解】解：∵，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点P，C，Q在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 8．观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是 ； （2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 【答案】 ，， 不是 同一平面 【分析】本题考查了平行线的定义，熟练掌握平行线的定义是解此题的关键． （1）根据平行线的定义即可得解； （2）根据平行线的定义即可得解． 【详解】解：（1）由平行线的定义可知，与线段平行的线段有，，， 故答案为：，，； （2）由平行线的定义可得：与所在直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线 故答案为：不是，同一平面． 9．如图，，与互余，，则等于 【答案】/155度 【分析】设的对顶角为，根据得到，求得，再根据已知，平行线的性质解答即可． 本题考查了对顶角性质，平行线的性质，互余，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：设的对顶角为， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵与互余， ∴； ∵， ∴； ∴； 故答案为：． 10．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点N，P，M在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 11．如图，用三角尺或量角器画图： (1)经过点A画直线的平行线； (2)经过点C画直线的垂线； (3)画点C到直线的垂线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了用三角板和直尺作平行线的和垂线，解题的关键是熟练掌握过一点作平行线和垂线的方法． （1）用直尺和三角板作直线的平行线即可； （2）用三角板的直角作直线的垂线即可； （3）用三角板的直角作直线的垂线段即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的平行线； （2）解：如图，直线即为所求作的垂线； （3）解：如图，线段即为所求作的垂线段． 12．如图，C是线段外一点，按要求画图： (1)画射线； (2)过点C画直线； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作射线和平行线，根据相关作图步骤进行作图是解题的关键． （1）根据射线的定义作图即可； （2）根据平行线的做法和直线的定义，即可作图． 【详解】（1）解：如图所示：射线即为所求； （2）解：如图所示：直线即为所求； 13．【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． (2)过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为___________． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：____________． 【发现】线段的长度是点A到直线_____的距离；线段的大小关系为_______（用“<”连接）． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：_______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；平行；平行于同一条直线的两条直线平行；；；垂线段最短 【分析】本题考查了网格作图，涉及了平行线的 （1）作出的矩形的对角线即可； （2）根据平移特点即可完成作图； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： ，故平行于同一条直线的两条直线平行； 线段的长度是点A到直线的距离； ，故垂线段最短 故答案为：平行；平行于同一条直线的两条直线平行；；；垂线段最短 14．如图，P是的边上一点， (1)过点P画的平行线； (2)过点P画的垂线，垂足为点N； (3)点P到边的距离是线段________的长度； (4)用“”比较线段，的大小为：________；理由是________________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了画垂线，点到直线的距离，熟练掌握点到直线，垂线段最短是解题的关键． （1）根据平行线的画法，画出图形，即可求解； （2）根据垂线的画法，画出图形，即可求解； （3）根据线段的长是点P到的距离，即可求解； （4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，即可求解． 【详解】（1）解∶如图， 即为所求， ； （2）解∶如图，即为所求； （3）解∶ 点P到边的距离是线段的长度， 故答案为∶ ； （4）解∶ ， 理由如下， ∵点到直线，垂线段最短， ∴， 故答案为∶ ，垂线段最短． 15．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)过点C画的垂线，垂足是D； (2)过点A画的平行线n； (3)线段 的长度是点C到直线的距离； (4)的面积 ． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) (4)4 【分析】本题主要考查作图，以及垂线的定义，三角形的面积，熟练掌握作图的方法是解题的关键． （1）根据垂线的定义画图即可； （2）根据平行线的定义画图即可； （3）根据垂线的定义即可得到答案； （4）利用网格求出三角形的面积． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，直线n即为所求； （3）线段的长度是点C到直线的距离； （4）的面积． 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$