6.2.4 向量的数量积（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积(第2课时) 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 考点 学习目标 重、难点 核心素养 数量积的运算律 掌握数量积的运算律 重点 数学抽象 证明数量积的运算律 逻辑推理 利用数量积的运算律化简、求值 利用数量积的运算律化简、求值 难点 数学运算 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 1 问题引入 问题1：数的乘法有交换律，结合律，分配律，那么向量的数量积是否也满足类似的运算律呢？ 问题2：能否类比数的乘法的运算律，写出向量的数量积的运算律？ 对向量 和实数λ，有： 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 2 问题3：这三种运算律在数的乘法中都是成立的，那么对于向量的数量积来说都是成立的吗？我们可以利用数量积的定义进行证明吗？ 4 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 3 问题4：现在我们研究一下（3）该怎么证明，我们可以通过作图的方法结合我们上一节课学习的投影向量来证明（3）。 5 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 4 一、向量数乘运算的定义 问题5：根据向量的数量积的定义我们发现（2）在数量积中是不成立的，那么如果我们怎么改变（2）结合律会成立呢？我们可以进行证明吗？ 6 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 5 例1 我们知道，对任意 ，恒有 对任意向量 ，是否也有下面类似的结论？ 证明： 7 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 6 例2 已知 , 与 的夹角60° （1）求 ； 解: （2）求 . 解: 8 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 7 与 互相垂直的充要条件是 解: 例3 已知 ,且 与 不共线.当k为何值时，向量 与 互相垂直？ 9 题型一 向量数量积的运算律 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 8 向量数量积的运算律的应用 (1)先分别求出向量a与向量b的模及向量a与向量b的夹角的余弦值,再根据数量积的定义求解. (2)若待求式是较复杂的数量积的运算,需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 易错提醒:在运算时注意确定两个向量的夹角,特别是平行向量要注意两个向量是同向还是反向. 题型二 与模有关的问题 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 9   B 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模的问题一般转化为求模的平方,常与向量的数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方. (2)a·a=a2=|a|2或|a|=,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 题型三 向量的夹角和垂直 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 10 .   题型三 向量的夹角和垂直 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 11   学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 课堂小结 12 一、知识点概括 (1)向量数量积的运算律. (2)利用数量积求向量的模和夹角. (3)向量垂直的应用. 二、数学方法 类比法. 课后作业 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 13 1.完成本节练习 2.完成习题6.2第12题 感谢观看 1.已知|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°,求: (1)a·b; (2)a2-b2; (3)(2a-b)·(a+3b). 解:(1)a·b=|a||b|cos 120°=3×4×(-)=-6. (2)a2-b2=|a|2-|b|2=32-42=-7. (3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a|·|b|·cos 120°-3|b|2=2×32+5×3×4×（-）-3×42=-60. 1.已知平面向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= (　　) A.　　　B.2　　　C.4　　　D.12 解析:|a+2b|=== ==2. 1.已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为 解析:设a与b的夹角为θ,依题意有 (a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=-7+2cos θ=-6,所以cos θ=. 因为0≤θ≤π,所以θ=. 解:因为a-b与a垂直,所以(a-b)·a=0, 所以a2-a·b=0,所以a·b=|a|2=1. 要使得(ka-b)⊥(a+2b),只要(ka-b)·(a+2b)=0, 即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0, 所以k+(2k-1)-2×22=0, 所以k=3. (2)已知|a|=1,|b|=2,a-b与a垂直,则当k为何值时,(ka-b)⊥(a+2b)? 求向量a,b的夹角θ的思路 (1)求向量a,b的夹角的关键是计算a·b及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ=,最后借助θ∈[0,π]求出θ的值. (2)在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用整体思想计算cos θ的值. $$