精品解析：山东省青岛市2025届高三上学期部分学生调研检测（1月）数学试题

青岛市2025年高三年级部分学生调研检测 数学试题 2025.01 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知样本数据1，3，5，7，9，11，13，15，则该组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 若，其中，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 已知圆与圆恰有条公切线，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，，，则可以是（ ） A. B. C. D. 6. “超椭圆”是一种优美的封闭曲线．如图是当，时的图象，点是与轴正半轴的交点，过原点的直线交于点、，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 已知，若不等式对任意恒成立，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 实系数一元三次方程在复数集内有3个根，则，，．设是方程的3个根，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知点是圆上一动点，点，线段的中垂线交直线于点，若点的轨迹为曲线，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 线段中点的轨迹方程为 C. 的最小值为5 D. 直线与曲线只有一个公共点 11. 曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则（    ） A. B. 数列等差数列 C. D. 数列的前项和小于2 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式展开式中含项的系数为80，则__________． 13. 函数（且）的图象关于点对称，则__________． 14. 称集合为“集合”，如果满足如下三个条件： ①中有20个元素； ②中的每个元素是包含于的闭区间； ③对任意实数，中包含的元素个数不超过10． 对于“集合”，满足的区间对的个数的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某种产品每吨成本7万元，其销售价格（万元/吨）和销售量（吨）的变化情况如下表： 8 9 10 9 （1）若与线性相关，求关于的经验回归方程； （2）根据（1）的结论，预测要使该产品销售利润最大，销售价格是多少？（结果精确到） 附：（参考公式） 16. 已知内角的对边分别为，． （1）证明：； （2）求的最小值． 17. 已知为坐标原点，抛物线，点、在上．当为等边三角形时，其重心为． （1）求方程； （2）已知点，直线、是圆的两条切线．求的面积． 18. 如图，在四棱柱中，四边形为正方形，． （1）证明：平面平面； （2）若四棱柱所有棱长为2，．记四边形外接圆圆心分别为，点分别在平面上，且． ①求二面角的最大值； ②根据①的结论，求外接圆直径的最大值． 19. 记为各项均为整数且最后一项不为0的项数列，其对应的多项式函数记为．若存在整数使得，则记．若存在和，使得，则称是可约的．对于，若存在质数，使得均是的倍数，不是的倍数，不是的倍数，则称是不可分的． （1）设，证明：是3不可分的； （2）已知：若是不可分，则不是可约的．证明：不是可约的； （3）若（其他未写出的各项都是0），证明：不是不可分的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛市2025年高三年级部分学生调研检测 数学试题 2025.01 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知样本数据1，3，5，7，9，11，13，15，则该组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用中位数的定义直接求得结果. 【详解】样本数据1，3，5，7，9，11，13，15的中位数是. 故选：C 2. 若，其中，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数乘法，结合复数相等求出，再求出复数的模. 【详解】由，得，而，解得， 所以. 故选：B 3. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项及前项和性质求解即可判断. 【详解】， 故选：D. 4. 已知圆与圆恰有条公切线，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，两圆外切，可得出，再利用重要不等式可求得的最大值. 【详解】由题意可知，圆心，圆的半径为， 圆心，圆的半径为， 因为两圆恰有条公切线，则两圆外切，则， 可得， 由重要不等式可得，可得， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 故的最大值为. 故选：A. 5. 设函数，，，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设函数的最小正周期为，由题意可得，可得出关于的表达式，即可得出合适的选项. 【详解】因为，则该函数的最大值为，最小值为， 且， 所以，、中一个为函数的最大值，一个为函数的最小值， 设函数的最小正周期为，则， 即，可得，所以，的可能取值为. 故选：C. 6. “超椭圆”是一种优美的封闭曲线．如图是当，时的图象，点是与轴正半轴的交点，过原点的直线交于点、，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出曲线的方程，分析可知，曲线关于原点和坐标轴对称，设点，其中，，则，计算得出，令，可得出，利用导数法求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】当，时，曲线的方程为， 在曲线上任取一点，则点关于原点的对称点为点， 则，即点在曲线上， 所以，曲线关于原点对称，同理可知，曲线关于、轴对称， 因为原点的直线交于点、，则点、关于原点对称， 在曲线的方程中，令，可得，即点， ， 由对称性，不妨设点，其中，，则， ， 令，令，其中， 则， 因为，令可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，又因为，则， 所以，，故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于换元，将转化为关于的函数，再利用导数求其值域. 7. 已知，若不等式对任意恒成立，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明若原不等式恒成立，则必有，再证明当时，原不等式恒成立，即可得到的最大值是. 【详解】①若，则当时，有，从而原不等式对不成立，不满足条件； 这表明若原不等式恒成立，则必有； ②当时，原不等式等价于，下面证明该不等式恒成立： 设，则对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. 这就意味着，即. 从而此时原不等式恒成立，满足条件. 综合①②两个方面可知，的最大值是. 故选：B. 8. 实系数一元三次方程在复数集内有3个根，则，，．设是方程的3个根，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，列式代入计算即得. 【详解】由是方程的3个根，得， 所以 . 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可判定A；由得，，可判断B、D；然后由根据公式求解即可判断C. 【详解】由知正态分布曲线的对称轴为，，， 因为，所以，， 故A、D不正确，B、C正确. 故选：BC 10. 已知点是圆上一动点，点，线段的中垂线交直线于点，若点的轨迹为曲线，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 线段中点的轨迹方程为 C. 的最小值为5 D. 直线与曲线只有一个公共点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据题意得，进而根据双曲线的定义即可判断；对于B，设是线段的中点，则，由点在圆上，代入化简即可判断B；对于C，设，则，，将表示成的二次函数，求函数的最小值即可；对于D，分直线与圆相切与不相切两类讨论，当与圆不相切时，通过三角设元法，设出的中点为，得到直线的方程，再将直线的方程与曲线方程联立，通过方程组的解的情况即可判断. 【详解】对于A，∵是的中垂线上的点，则， ∴， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，其中，， ∴曲线的方程为，故A正确； 对于B，设，线段中点，则， 所以，即化简为，故B正确； 对于C，设，则，则， ， 当时，，故C不正确； 对于D，曲线的方程为. 设是圆的两条切线，切点分别为， 当与(或)重合时，的中垂线经过点，且∥， 直线的方程为：，直线为曲线的渐近线； 当不与重合时， 由选项B知，线段中点的轨迹方程为， 故可设中点， 若，则， 当，即时， 此时中垂线，与相切，即直线与曲线只有一个公共点； 当，即时， 此时中垂线，与相切，即直线与曲线只有一个公共点； 若，则， ∴， 即， 若，即，此时直线过原点，则与（或）重合， 故. 联立，即， 得， 化简得， 则，即此时，解得. 所以只有一组实数解， 即直线与曲线相切，只有一个公共点，故D项正确. 故选：ABD. 11. 曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则（    ） A. B. 数列为等差数列 C. D. 数列的前项和小于2 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程，结合对数运算、等差数列及放缩法推理判断BCD. 【详解】函数，求导得，则，而， 因此曲线在点处的切线方程为：， 对于A，在切线方程中，令，得， 则，A正确； 对于B，，， 两边取自然对数，得， 因此数列是以为首项，以2为公比的等比数列，B错误； 对于C，由B知：，则，，C正确； 对于D，，又， ，则，， 设，则，，，， ，…，， 因此， 即数列的前项和小于2，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式展开式中含项的系数为80，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理列式计算得解. 【详解】二项式展开式中含项为，依题意，， 即，解得. 故答案为：5 13. 函数（且）的图象关于点对称，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数，探讨其对称中心，进而求出. 【详解】函数的定义域为，且， 函数在上有相同的单调性， ， 即，函数的图象关于点对称， 又函数的图象关于点对称，则，所以. 故答案为：. 14. 称集合为“集合”，如果满足如下三个条件： ①中有20个元素； ②中的每个元素是包含于的闭区间； ③对任意实数，中包含的元素个数不超过10． 对于“集合”，满足的区间对的个数的最大值为__________． 【答案】300 【解析】 【分析】先构造一个特例，再根据逐步调整法和数学归纳法可证得取值范围，从而可求其最大值. 【详解】先构造一个例子：设，， ，， 构造区间，，集合， 设，， ，， 构造区间，，集合，显然A，B都是“集合”， 以下交集不为空集称为“相交”，交集为空集称为“不相交”， 易发现：A中每个元素与B中前10个元素相交，A中后10个元素只与B中后10个元素相交，而与前10个元素不相交，所以满足的区间对的个数为，这就是最大值, 下面给予一般性的证明： 断言一：对于A中区间，如果，则将中的区间替换为不改变原结果，称之为“切换”. 这是因为: ①如果中的一个区间与相交，那么它与替换前后的两个区间都相交，成立； ②如果中一个区间与不相交，则它要么与都不相交，要么恰与中一个相交.因此，如果它与其中之一相交，则在替换区间后仍会与其中之一相交，也成立. 断言二：总能在有限次“切换”后，使得对于中任意两个区间，它们要么不交，要么一个包含另一个，对于亦然. 为此，考虑一个以区间为顶点的图，两顶点之间连边当且仅当它们对应的两区间相交，将每个连通分支的顶点对应的区间划分为一组，记为，使得如果，则，显然此分组方式唯一且不改变图的连通性. 下面，我们固定并对进行归纳.归纳基础为，显然成立. 对每个，考虑中左端点位于最左边的区间（注意稍后可能会变化）. 则对于其它任何区间，我们有，另外，若，则称包含． 对其它区间执行操作，那么总是包含操作后的区间. 因此，与中的每个区间最多相交一次.只要存在区间且，操作过程就不会结束. 当操作终止时，中必然不存在满足的区间，并且对于，不与中的任何区间相交.因此，且包含中的所有区间.此时，我们去掉，对应用归纳假设即可. 第二步，加强归纳. 设集合为“-好的”集合， 如果：(1)； (2)的每个元素都是包含在中的闭区间； (3)对于任意实数中包含的元素个数不超过. 定义为可以取得的最大值，其中是“-好的”集合且是“-好的”集合.下证加强的命题：，原题即时的特例. 对此，我们采用归纳法，归纳基础为. 此时，再对使用归纳法.如果，显然成立；否则，设为中最左边的两个区间（注意到，因此我们能够比较这两个区间的位置）､为中最左边的两个区间.此时不难得到：或两者之一，与另一个集合中最多一个区间有非空交集.这是因为，若对某个与的交集非空，则，因此，对于所有与交集为空.不妨设与另一个集合中最多一个区间有非空交集，这样一来，我们可以去掉，再利用归纳假设，结论成立. 不妨设，否则把换成. 令为中互相不包含的区间的集合（如果多个区间相同且未严格包含于更大的区间中，则选择任意一个加入）.注意到为“-好的”集合，为“（-好的”集合（为中的补集）．下面即为区间对的个数.则： ， 其中，不等号使用了奠基的结论. 至此，加强的命题得证! 【点睛】方法点睛：根据极限法，的最大值是10构造集合，得出最值结论，然后用调整法，归纳法证明一般结论，从而得出结果． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某种产品每吨成本7万元，其销售价格（万元/吨）和销售量（吨）的变化情况如下表： 8 9 10 9 （1）若与线性相关，求关于的经验回归方程； （2）根据（1）的结论，预测要使该产品销售利润最大，销售价格是多少？（结果精确到） 附：（参考公式） 【答案】（1）； （2）万元/吨. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用最小二乘法公式求出经验回归方程. （2）由（1）的结论，求出销售利润函数式，再借助二次函数最值求解. 【小问1详解】 依题意，，， ， 因此， 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 依题意，销售利润为， 当时，取得最大值， 所以预测销售价格万元/吨时，该产品销售利润最大. 16. 已知内角的对边分别为，． （1）证明：； （2）求的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理及和差角的正弦公式推理得证. （2）由（1）的结论，利用和角的正弦及二倍角公式化简，再利用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理，得， 整理得，由正弦定理得， 则 于是或（不成立），所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 则 ， 由，得，， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 17. 已知为坐标原点，抛物线，点、在上．当为等边三角形时，其重心为． （1）求的方程； （2）已知点，直线、是圆的两条切线．求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点，根据题意得出关于、的方程组，解出的值，可得出、的坐标，再结合的重心坐标求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）设点在点的左侧，分析可知，直线、的斜率互为相反数，求出，结合斜率公式可求出点的坐标，同理可得出点的坐标，进而可得出直线的方程，由此可求出以及点到直线的距离，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 设点，点、关于轴对称，则轴， 因为为等边三角形， 所以，，解得，即点，可得点， 又因为的重心坐标为，所以，，解得， 所以，抛物线的方程为. 【小问2详解】 设点在点的左侧，显然，且轴， 所以，直线、的倾斜角、互补，斜率互为相反数， 设直线与圆的切点为， 则，， 故， 设点、，所以，， 即，所以，，， 同理，，解得，， 所以，点、，则， 则直线的方程为，即， ， 点到直线的距离， 所以，. 18. 如图，在四棱柱中，四边形为正方形，． （1）证明：平面平面； （2）若四棱柱所有棱长为2，．记四边形的外接圆圆心分别为，点分别在平面上，且． ①求二面角的最大值； ②根据①的结论，求外接圆直径的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）由线线垂直得线面垂直，进而可得面面垂直； （2）①由空间向量法得，进而可得二面角最大值为； ②先根据题中位置关系确定在正方体的棱切球上，进而确定四点共面，进而可得外接圆直径的最大值即为球的直径. 【小问1详解】 因为，，， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面，所以， 又因为，，所以平面， 此时四棱柱是棱长为的正方形 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设直线与直线交点为， 则， 设平面的一个法向量为，则， 所以，令，得， 设平面的一个法向量为，则， 所以，令，得， 设二面角的大小为， 则， 当且仅当时取等号，此时为中点， 所以二面角的最大值为. 由题意可知点均在一个与正方体各棱都相切的球上，球直径为， 当恰分别为，中点时， 则，显然， 所以四点共面， 所以此时外接圆直径的最大，最大值恰为球的直径 19. 记为各项均为整数且最后一项不为0的项数列，其对应的多项式函数记为．若存在整数使得，则记．若存在和，使得，则称是可约的．对于，若存在质数，使得均是的倍数，不是的倍数，不是的倍数，则称是不可分的． （1）设，证明：是3不可分的； （2）已知：若是不可分的，则不是可约的．证明：不是可约的； （3）若（其他未写出的各项都是0），证明：不是不可分的． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用是3不可分的定义推理得证. （2）利用不是可约的定义推理得证. （3）利用不是不可分的的定义，并分类讨论推理得证. 【小问1详解】 依题意，， 则， 由于都是3的倍数，6不是的倍数，1不是3的倍数， 所以是3不可分的. 【小问2详解】 由（1）知，是3不可分的，则不是可约的， 若是可约的，则存在与使得， 则， 与不是可约的矛盾，因此不是可约的. 【小问3详解】 对于，若存在，以及质数，使得是不可分， 由 则有3不是的倍数；以及和是的倍数；但不是的倍数， 分两种情况讨论： ①若是的倍数，则由是的倍数，得，此与不是的倍数矛盾； ②若不是的倍数，则由是的倍数，得是的倍数；再由是的倍数， 仍然有，此与不是的倍数矛盾， 所以不是不可分的. 【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $