精品解析：四川省泸州市合江县中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

合江中学高2024级高一上期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1､本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4 4. 幂函数在上是减函数，则的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列叙述中正确的是（ ） A. B. 是的充分不必要条件 C. D. 函数的定义域为 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.下列说法正确的是（ ） A. 不是“可分集合” B. 是“可分集合” C. 四个元素的集合可能是“可分集合” D. 五个元素的集合不可能是“可分集合” 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是_____. 13. 若正数满足，则的最小值为__________. 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一､享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数则的值域是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合，， （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当时，求的最小值. 17. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. （1）确定函数的解析式； （2）用函数单调性的定义证明在上是增函数； （3）解不等式. 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 19. 已知函数，对于任意的，都有，当时，，且. （1）求的值； （2）求函数在区间上的值域； （3）设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合江中学高2024级高一上期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1､本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论. 【详解】命题为全称量词命题， 则命题的否定为，， 故选：C. 2. 下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分数指数幂的运算法则计算可得； 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算得解. 【详解】函数，则， 所以. 故选：D 4. 幂函数在上是减函数，则的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数单调性列式计算得解. 【详解】由幂函数在上是减函数，得，解得， 符合要求的选项只有A. 故选：A 5. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】函数的对称轴为， 由题意可知，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 6. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数的单调性比较大小即得. 【详解】对于A，，函数在R上递增，则，A错误； 对于B，，函数在R上递减，则，B错误； 对于C，函数在R上递减，函数在上递增，则，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 8. 若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论. 【详解】因为是奇函数，又， 所以， 由得或， 而且奇函数在内是增函数， 所以或 解得或， 所以不等式的解集为或 故选：D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列叙述中正确的是（ ） A. B. 是的充分不必要条件 C. D. 函数的定义域为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系判断A；利用充分不必要条件的定义判断B；求出算术根判断C；求出定义域判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由，得，则成立；反之若，则不一定有，如， 因此是的充分不必要条件，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，D正确. 故选：BD 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确； 对于C，利用作差法知， 由，，知， 即，故C正确； 对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确. 故选：BCD 11. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.下列说法正确的是（ ） A. 不是“可分集合” B. 是“可分集合” C. 四个元素的集合可能是“可分集合” D. 五个元素的集合不可能是“可分集合” 【答案】ABD 【解析】 【分析】去掉3，由“可分集合”的定义判断即可判断A,逐一去掉一个元素，列举即可可判断BD；不妨设，讨论当在集合，，，，中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可判断D； 【详解】对于A，去掉3后，,2,不满足定义，,2,3,不是“可分集合”， A正确； 对于B，集合所有元素之和为49， 当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，集合,5,7,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，集合,9,与,7,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，集合,3,7,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，集合,9,与,5,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，集合,3,5,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，集合,7,与,5,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，集合,3,5,与,的元素和相等，符合题意； 因此集合是“可分集合”， B正确； 对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾， 因此,,,一定不是“可分集合”， C错误； 对于D，不妨设， 若去掉元素，将集合,,,分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有，或者②， 若去掉元素，将集合,,,分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③或②④得，矛盾； 由①④或②③得，矛盾， 因此集合,,,,不是“可分集合”， D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用，恒为1，求出x值及对应的函数值作答. 【详解】在函数中，当，即时，， 所以点P的坐标是. 故答案为： 13. 若正数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一､享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数则的值域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简函数的解析式，明确函数值的取值范围，分，，求函数的值即可. 【详解】因为， 因为，所以，所以. 当时：，所以，所以，所以； 又，所以，所以，所以， 故； 当时： ，所以，所以； 当时：，所以，所以，所以； 又，所以，所以，所以， 故. 综上可得：函数的值域为：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：该题的关键在于弄清楚高斯函数的意义. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合，， （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集、并集的运算可直接求解. （2）根据可得，再根据集合的包含关系，分类讨论可求参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以，. 【小问2详解】 因为，所以. ①当时，，此时成立； ②当时，. 综上：. 故实数的取值范围为. 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当时，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2）根据的单调性，按的不同取值分类讨论即可. 【小问1详解】 若，则，则， 为偶函数.则， 故. 【小问2详解】 当时，，开口向上，对称轴，在单调递减，在单调递增， 当时，，则； 当时，，则； 当时，； 故. 17. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. （1）确定函数的解析式； （2）用函数单调性的定义证明在上是增函数； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）证明：设，则， ∵，∴，且，则， 则，即，所以函数在上是增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，求解并验证即可； （2）通过单调性的定义即可求解； （3）通过单调性、奇偶性去求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得，所以，经检验满足奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，∴， ∵是定义在上的增函数，∴，得， 所以不等式的解集为. 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】（1）采用方案二；理由如下： 方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）24 【解析】 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 采用方案二，花费更少，理由略； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 19. 已知函数，对于任意的，都有，当时，，且. （1）求的值； （2）求函数在区间上的值域； （3）设函数，若方程有4个不同的解，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合特殊值，进行合理赋值，即可求解； （2）根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，求得函数是上的减函数和奇函数，得到在上单调递减，进而求得函数的最值； （3）根据题意，求得，令，得到，转化为，令，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【小问1详解】 因为， 令，可得，解得， 令，可得， 令，可得. 【小问2详解】 任取，且， 因为，即， 令，则，可得， 又因为时，，且，所以， 所以，即，所以函数是上的减函数， 所以在上单调递减，所以， 又因为， 令，代入，可得， 所以，可得函数为奇函数， 所以， 所以，函数在区间上的值域为. 【小问3详解】 由（2）可知函数为奇函数， 可得，即 所以 ， 令，即， 因为函数是上的减函数，所以，即， 令， 则函数的图象，如图所示， 结合图象，可得：当时，函数有4个零点， 即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：根据函数为奇函数可得，令，又由函数的单调性得到，转化为，令，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $