直线、平面垂直的判定及性质（1）课件-2025届高三数学一轮复习

课题导入 与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用．类比平行关系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重点研究这些垂直关系的判定和性质． 直线、平面垂直的判定及性质（1） 授课教师：高复数学 授课时间：2025届 2025 2 目标引领 独立自学 线线垂直 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 独立自学 独立自学 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 目标升华 目标升华 当堂诊学 当堂诊学 强化补清 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 2025 坚持到底就是胜利！ 21 1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． （2）线面垂直的判定定理 判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 图形语言 符号语言 （3）线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 图形语言 符号语言 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件． (2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直． (3)异面直线所成的角与二面角的取值范围均为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))). (4)若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则a∥b. (5)若平面α⊥平面β，直线a⊥平面β，则a∥α. (6)若直线a⊥平面α，直线a⊂平面β，则α⊥β. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明： (1) CD⊥AE； (2) PD⊥平面ABE. 【证明】　在四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. 【证明】　由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE. (1)求证：AF⊥SC； (2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD. 【证明】　∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC. ∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC且SA∩AB＝A. ∴BC⊥平面SAB. 又∵AE⊂平面SAB，∴BC⊥AE. 又SB⊥AE且SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC. 又∵SC⊂平面SBC，∴AE⊥SC. 又EF⊥SC且AE∩EF＝E，∴SC⊥平面AEF. 又∵AF⊂平面AEF，∴AF⊥SC. 【证明】　∵SA⊥平面AC，DC⊂平面AC，∴SA⊥DC. 又AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD. 又AG⊂平面SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF， ∴SC⊥AG且SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC. 又SD⊂平面SDC，∴AG⊥SD. 正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点． (1)求证：平面； (2)求四面体的体积． 1．证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用等腰三角形底边中线的性质． (3)利用勾股定理的逆定理． (4)利用直线与平面垂直的性质． (5)向量法：a⊥b⇔a·b＝0. 2．证明线面垂直的常用方法 (1)利用判定定理，它是最常用的思路． (2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面． (3)利用面面垂直的性质： ①两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面． ②若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面． (4)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 2．(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 3．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　) A．α⊥β且m⊂α　　　　　 B．m⊥n且n∥β C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β 4．如图，直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中不正确的是(　　) A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC $$