基本立体几何、简单几何体的表面积与体积2课件-2025届高三数学一轮复习

课题导入 回顾上节，我们主要学习了哪些内容？ 1.回顾正四面体和正三棱锥的区别 2.平面几何体直观图和斜二测直观图的面积比值 基本立体图形、简单 几何体的表面积与体积2 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 授课教师：高复数学 授课时间：2025届 2025届高复 2 目标引领 了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式 独立自学 2πr2＋2πrl πr2＋πrl 4πR2 π(r12＋r22)＋π(r1＋r2)l 矩形 扇形 扇环 独立自学 Sh πr2h 独立自学 引导探究 题型二　空间几何体的表面积 √ 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 √ 引导探究 √ √ 引导探究 引导探究 √ 引导探究 题型三　空间几何体的体积 √ 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 1 引导探究 引导探究 引导探究 1∶5 目标升华 当堂诊学 强化补清 完成：题组层级快练（四十四） 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 2025 坚持到底就是胜利！ 31 (3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长为l，则其表面积为S圆柱＝_________________，S圆锥＝___________． (4)若圆台的上、下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为S＝________________________． (5)球的表面积为S＝___________ (球的半径是R)． eq \f(1,3)Sh eq \f(1,3)πr2h (1)(2024·江苏七市与浙江大联考)已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为eq \f(r,3)，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为(　　) A.eq \f(2,9) B.eq \f(\r(3),9) C.eq \f(2,3) D.eq \f(2\r(3),9) 【解析】　由题可得圆锥的高SO＝eq \r(3)r，根据相似关系易得圆柱的高为eq \f(2,3)SO＝eq \f(2\r(3),3)r. 所以圆柱侧面积S1＝2π·eq \f(1,3)r·eq \f(2\r(3),3)r＝eq \f(4\r(3),9)πr2，圆锥侧面积S2＝eq \f(1,2)·2πr·2r＝2πr2，eq \f(S1,S2)＝eq \f(2\r(3),9).故选D. (2) 如图，设正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，则此正三棱锥的表面积为________． 27eq \r(3) 【解析】　如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′. ∵S侧＝2S底，∴3·eq \f(1,2)a·h′＝eq \f(\r(3),4)a2×2.∴a＝eq \r(3)h′. ∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2. ∴32＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))eq \s\up22(2)＝h′2.∴h′＝2eq \r(3)，∴a＝eq \r(3)h′＝6. ∴S底＝eq \f(\r(3),4)a2＝eq \f(\r(3),4)×62＝9eq \r(3)，S侧＝2S底＝18eq \r(3). ∴S表＝S侧＋S底＝18eq \r(3)＋9eq \r(3)＝27eq \r(3). (3)(2023·南京质检) 如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq \r(2)，AD＝2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为___________． (60＋4eq \r(2))π 【解析】　由题意可得，四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥的组合体．如图，过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，过C作AB的垂线，垂足为F. 则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，EC＝CD·sin 45°＝2， ED＝CD·cos 45°＝2， CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3， BC＝eq \r(32＋42)＝5. 故圆台的上底面半径r1＝2， 下底面半径R＝5，高h1＝4， 母线长l1＝5. 圆锥底面半径r2＝2，高h2＝2，母线长l2＝2eq \r(2). 所以圆台侧面积S1＝π(R＋r1)l1＝π(5＋2)×5＝35π， 圆锥侧面积S2＝eq \f(1,2)×2πr2×l2＝eq \f(1,2)×2π×2×2eq \r(2)＝4eq \r(2)π，　 圆台下底面面积S3＝πR2＝25π. 故该几何体的表面积S＝S1＋S2＋S3＝35π＋4eq \r(2)π＋25π＝(60＋4eq \r(2))π. (π,4)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题3　(1)(2024·福州市质检)将一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为(　　) A．2π B．π＋8 C．2π＋8 D．4π＋8 【解析】　由题意知形成的几何体为柱体，该柱体是底面半径r为2，高h为2的圆柱的eq \f(1,8)，所以其表面积S＝eq \f(1,8)(2πrh＋2πr2)＋22×2＝eq \f(1,8)(2π×2×2＋2π×22)＋8＝2π＋8.故选C. (2)【多选题】已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，若θ＝30°，侧棱长为eq \r(21)，则(　　) A．正四棱锥的底面边长为6 B．正四棱锥的底面边长为3 C．正四棱锥的侧面积为24eq \r(3) D．正四棱锥的侧面积为12eq \r(3) 【解析】　如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，设底面边长为2a(a>0)，因为∠SHO＝30°，OH＝a，所以OS＝eq \f(\r(3),3)a，SH＝eq \f(2\r(3),3)a，在Rt△SAH中，a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)a))eq \s\up22(2)＝21，所以a＝3，底面边长为6，SH＝2eq \r(3)，侧面积为S＝eq \f(1,2)×6×2eq \r(3)×4＝24eq \r(3).故选AC. (3)(2024·江苏无锡天一中学期末)若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球的表面积之比为(　　) A.eq \r(5)∶2 B.eq \r(5)∶4 C．1∶2 D.eq \r(3)∶4 【解析】　设圆锥的底面半径为r，高为h，则球的半径为eq \f(r,2).∴eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(4,3)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))eq \s\up22(3)，∴h＝eq \f(r,2)，∴圆锥母线长为eq \r(r2＋h2)＝eq \f(\r(5),2)r，∴圆锥侧面积S1＝eq \f(1,2)×2πr·eq \f(\r(5),2)r＝eq \f(\r(5),2)πr2，球的表面积S2＝4πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))eq \s\up22(2)＝πr2，∴eq \f(S1,S2)＝eq \f(\r(5),2).故选A. (1)(2023·全国乙卷，理)已知圆锥PO的底面半径为eq \r(3)，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于eq \f(9\r(3),4)，则该圆锥的体积为(　　) A．π B.eq \r(6)π C．3π D．3eq \r(6)π 【解析】　在△AOB中，∠AOB＝120°，而OA＝OB＝eq \r(3)，取AB中点C，连接OC，PC，PO，有OC⊥AB，PC⊥AB，如图，易知∠ABO＝30°，OC＝eq \f(\r(3),2)，AB＝2BC＝3，由△PAB的面积为eq \f(9\r(3),4)，得eq \f(1,2)×3×PC＝eq \f(9\r(3),4)，解得PC＝eq \f(3\r(3),2)，于是PO＝eq \r(PC2－OC2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))\s\up24(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up24(2))＝eq \r(6)， 所以圆锥的体积V＝eq \f(1,3)π×OA2×PO＝eq \f(1,3)π×(eq \r(3))2×eq \r(6)＝eq \r(6)π.故选B. 【解析】　(等体积法)∵D为棱B1C1上任意一点，∴S△BCD ＝eq \f(1,2)×2×2＝2. 又A1到平面BCC1B1的距离d＝eq \r(3)， ∴VD－A1BC＝VA1－BCD＝eq \f(1,3)×2×eq \r(3)＝eq \f(2\r(3),3). (2) 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是________． eq \f(2\r(3),3) (3) 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆画和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它盛酒的部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为eq \f(14,3)πR2，设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则eq \f(V2,V1)＝________． eq \f(1,2) 【解析】　由球的半径为R，知酒杯下部分(半球)的表面积为2πR2，由酒杯内壁表面积为eq \f(14,3)πR2，得圆柱侧面积为eq \f(14,3)πR2－2πR2＝eq \f(8,3)πR2，设酒杯上部分(圆柱)的高为h，则2πR×h＝eq \f(8,3)πR2，解得h＝eq \f(4,3)R，酒杯下部分(半球)的体积V2＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)π×R3＝eq \f(2,3)πR3，酒杯上部分(圆柱)的体积V1＝πR2×eq \f(4,3)R＝eq \f(4,3)πR3，所以eq \f(V2,V1)＝eq \f(\f(2,3)πR3,\f(4,3)πR3)＝eq \f(1,2). eq \r(3)π (3)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题4　(1)已知圆锥的轴截面是斜边为2的直角三角形，该圆锥的体积为________． 【解析】　由题意，知该圆锥的轴截面是等腰直角三角形，其底面圆半径为eq \r(3)，高为eq \r(3)，所以该圆锥的体积为V＝eq \f(1,3)π×(eq \r(3))2×eq \r(3)＝eq \r(3)π. (2)(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是________，圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是________． eq \f(2,3) 【解析】　设圆锥底面圆半径为r，则高为eq \r(3)r，设球O的半径为R，圆锥MM′的体积为V1，球O的体积为V2， 则2R＝eq \r(3)r，R＝eq \f(\r(3),2)r，eq \f(V1,V2)＝eq \f(\f(1,3)·πr2·\r(3)r,\f(4,3)π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)r))\s\up22(3))＝eq \f(2,3). 圆锥的表面积S1＝πr2＋πr·2r＝3πr2， 球O的表面积S2＝4πR2＝4π·eq \f(3,4)r2＝3πr2， eq \f(S1,S2)＝eq \f(3πr2,3πr2)＝1. eq \f(7\r(6),6) (3)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq \r(2)，则该棱台的体积为________． 【解析】　如图，连接A1C1，B1D1，AC，BD，设上、下底面的中心分别为O1，O，连接OO1，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知M为AO中点．又AO＝eq \r(2)，∴AM＝eq \f(\r(2),2)，∴A1M＝eq \r(2－\f(1,2))＝eq \f(\r(6),2)，V＝eq \f(1,3)(4＋1＋eq \r(4×1))×eq \f(\r(6),2)＝eq \f(7\r(6),6). (4) 如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，则棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为________． 【解析】　设AB＝a，AD＝b，DD′＝c， 则长方体ABCD－A′B′C′D′的体积V＝abc. 又S△A′DD′＝eq \f(1,2)bc，且棱锥C－A′DD′的高为CD＝a， ∴V棱锥C－A′DD′＝eq \f(1,3)S△A′DD′·CD＝eq \f(1,6)abc.则剩余部分的体积V剩＝abc－eq \f(1,6)abc＝eq \f(5,6)abc.故V棱锥C－A′DD′∶V剩＝eq \f(1,6)abc∶eq \f(5,6)abc＝1∶5. 求多面体体积的几种转化方法 (1)分割法：通过对不规则几何体进行分割，化为规则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体体积． (2)补形法：通过补形构造出一个规则几何体，然后进行计算． (3)等体积法：三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面，常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解． eq \f(3,2)a 5．如图1是一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是________． 解析　设题图1中容器内液面的高度为h，液体的体积为V，则V＝S△ABCh，题图2中液体形状为一个直四棱柱，其底面积为S△ABC－eq \f(1,4)S△ABC＝eq \f(3,4)S△ABC，高度为2a，则V＝eq \f(3,4)S△ABC·2a，∴h＝eq \f(\f(3,4)S△ABC·2a,S△ABC)＝eq \f(3,2)a. $$