精品解析：福建省厦门市2024-2025学年高中毕业班第一次质量检测数学试卷

厦门市2025届高中毕业班第一次质量检测数学试题 2025.1 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知化简复数得出对应点的坐标进而判断选项. 【详解】，所以对应的点为，位于第二象限， 故选：B． 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集定义计算判断即可. 【详解】集合集合，， 所以， 故选：A． 3. 已知等轴双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1，则C的焦距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等轴双曲线，结合点到直线距离公式计算得出焦距. 【详解】设等轴双曲线的焦距为2c，设焦点坐标为，渐近线为 因为焦点到其渐近线的距离为， 又因为，所以，双曲线的焦距为， 故选：C． 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的性质判断A的真假；根据线面平行的判定判断B的真假；根据线面垂直的判定判断C的真假；根据线面垂直的性质判断D的真假. 【详解】若，则m，n平行或异面，A选项错误； 若，则或，B选项错误； 若，则m，不一定垂直，也可能平行或相交，C选项错误； 若，，则，D选项正确. 故选：D 5. 已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（ ） A. -1 B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，即可求得答案. 【详解】由题意知随机变量X服从正态分布，， 如图所示，结合，得， 可知关于对称，所以，解得， 故选：C． 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题运用两角和的正切公式转化，再结合同角三角函数的基本关系化简式子，结合已知条件判断式子特征以简化等式，最后通过对常见三角恒等式的变形运用，建立与的联系从而得出结果即可. 【详解】由两角和的正切公式得， 由同角三角函数的基本关系得， ，故， 因为，所以， 因为，所以， 故，则得到， 解得，故， 而， 则，解得，故C正确. 故选：C 7. 过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线于点P，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线的准线，过点作出准线的垂线段，利用抛物线定义，结合几何图形求解. 【详解】抛物线C：的焦点，准线方程为， 过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，， 由，得，即， 所以与的面积之比为. 故选：B 8. 若函数的图象关于直线对称，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】依题意，，其图象关于直线对称， 则， 所以，所以，解得， 所以，此时，满足题意； 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，则（ ） A. ，不可能垂直 B. ，不可能共线 C. 不可能为5 D. 若，则在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标运算及模长公式结合正弦函数值域计算判断A，C，再应用平行向量坐标运算判断B，应用投影向量公式计算判断D. 【详解】，A选项正确； 若向量，共线，则，解得，所以向量，可能共线，B选项错误； ，所以，C选项正确； 若，则，，所以在方向上的投影向量为，D选项正确； 故选：ACD． 10. 药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，如下表所示： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 120 110 103 93 82 68 59 47 38 根据表中数据可得到经验回归方程，则（ ） A. B. 变量y与x的相关系数 C. 当时，残差为-1.5 D. 代谢约10小时后才需要补充药物 【答案】AC 【解析】 【分析】根据样本中心点计算求解判断A，根据单调性判断B，应用回归直线计算求解得出残差判断C，计算判断得出D. 【详解】因为样本中心点在直线上，所以，A选项正确； 血液中药物浓度y（mg/L）随代谢时间x（h）的增大而减小，所以变量y与x的相关系数，B选项错误； 当时，，残差为，C选项正确； 令，解得，D选项错误； 综上所述，应选AC． 故选：AC. 11. 已知定义在上的函数满足，其中表示不超过x的最大整数，如[，．当时，，设为从小到大的第n个极小值点，则（ ） A. B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】应用已知计算判断A，化简计算判断B，应用极值点定义结合等差数列定义判断C，应用递推公式得出等比数列计算判断D. 【详解】因为，故A选项错误； 当时，，等式两边同时加，得， 故，，故B选项正确； 当时，设，则极小值点为， 所以当时，，此时，的极小值点为， 即，所以，数列是等差数列，故C选项正确； 所以设，则，，， 为首项是，公比为2的等比数列， 所以，当时，，故D选项错误． 综上所述，应选BC． 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的母线长为6，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用圆锥的几何特征结合圆锥的体积公式计算即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r，轴截面为等边三角形，则，解得，所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 故答案为：. 13. 已知函数的图象经过，两点，若在区间上单调递减，则______；______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】由条件可得，结合列方程，结合的范围解不等式可得结论. 【详解】依题意，， 所以， 即， 解得，所以， 因为，所以， 故答案为：，. 14. 从集合的所有非空子集中任选两个，则选中的两个子集的交集为空集的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】（1）先求集合的非空子集的个数，确定样本空间中样本点的个数， 方法一：分，，三种情况确定满足条件的样本点的个数，结合古典概型概率公式求结论； 方法二：分，，三种情况确定满足条件的样本点的个数，结合古典概型概率公式求结论； 方法三：由条件对于集合中的任意元素均有，且；，且；这三种选法，且集合，都不为空集，由此确定满足条件的样本点的个数，结合古典概型概率公式求结论； 【详解】设，，且， 易知集合的非空子集个数为，任取两个集合，共有种选法． （方法一）①若，则共有种选法； ②若，从个元素里选个，再分成两组（不平均），有种选法； ③若，个元素平均分为两组共有种；不平均分组共有种，小计共有种选法； 所以选中的两个子集的交集为空集的概率为． （方法二）①当时，个元素里任选一个放入集合中，集合共有种情况， 故有种情况； ②当时，个元素里任选两个放入集合中，集合共有种情况， 故有种情况； ③当时，个元素里任选三个放入集合中，集合共有种情况， 故有种情况； 总共有种情况，所以选中的两个子集的交集为空集的概率为． （方法三）对于集合中的任意元素均有，且；，且；这三种选法，再减去集合，其中一个为空集的情况，故共有种， 所以选中的两个子集的交集为空集的概率为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）设D为边AB的中点，若，且，求a． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得. （2）利用和角的正弦公式，正弦定理及余弦定理求解即得. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 即，即， 而，即，则，又， 所以. 【小问2详解】 依题意，，则，或， 当时，由， 得， 在中，由正弦定理得，，则， 在中，由余弦定理得， 因此， 当时，， ，， 所以或. 16. 如图，在三棱柱中，，，． （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 方法1：取的中点，连接，， 因为，所以，且， 因为，，为的中点，所以， 所以，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 方法2：设为在底面的射影，则平面， 因为，所以 射影为底面的外心，又为直角三角形，所以恰为斜边的中点， 因为平面，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）法1：取中点，先证平面，再根据面面垂直的判定定理判定平面平面； 法2：设为在底面的射影，证明点恰为斜边的中点，得平面，再证面面垂直. （2）法1：根据（1）的结果建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦； 法2：根据二面角的平面角的概念构造平面与平面夹角的平面角，利用直角三角形的边角关系求角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，平面，所以与平面所成角即为，所以， 因为，所以，所以，， 因为，为的中点，所以， 方法1：如图所示，以为原点，分别以，，所在方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则有，即令，则，， 所以， 易知平面ABC的一个法向量为， 设平面与平面ABC的夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 方法2：如图，过作的平行线，因为，所以， 过作，垂足为， 因为平面平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以平面与平面的夹角即为， 易知，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知动圆M与圆：内切，且与圆：外切，记圆心M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程； （2）设点在C上，且以为直径的圆E经过坐标原点O，求圆E面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆M半径，表示出，，由椭圆的定义推出点M轨迹为椭圆，求出a，b，c，即得C的方程． （2）方法1：考虑直线的斜率不存在的情况，并计算圆E的面积；联立直线与椭圆，设点写出韦达关系，由，垂直关系，得到k，m的关系式，写出的表达式，求其最小值即得；方法2：考虑直线OP或者OQ斜率不存在的情况，并计算圆E的面积，联立直线与椭圆方程，得到，与k的关系，写出的表达式，求得其最小值即得；方法3：由参数方程分别写出的坐标，由与的垂直关系，得到两参数关系，写出的表达式，求出最小值即得；方法4：设，，，利用两点在椭圆上推得，写出的表达式， 利用常值代换法和基本不等式求出的最小值即得． 【小问1详解】 设圆M的半径为，由题意可知，， 且，且， 因，故圆心M的轨迹为椭圆， 易知椭圆C的长轴长为，焦距为，则，，， 故C的方程为：． 【小问2详解】 方法1：设，，由题意可得，则，即得 ， 当直线的斜率不存在时，设直线，则，， 由可得，， 所以，解得，则， 此时，圆E的面积为． 当直线的斜率存在时，设直线， 由可得，， 所以，， 所以 ， 所以，即， 代入， 所以 ， 当且仅当时，取得最小值，所以圆E面积的最小值为． 方法2：因为以为直径的圆E经过坐标原点O，所以， ①当直线中有一条斜率不存在时，则另一条斜率为0， 易知，所以圆E的半径为，所以圆E的面积为． ②若直线的斜率均存在，设直线，直线，，， 所以由可得，同理可得 所以 ， 所以， 当且仅当时，取得最小值，所以此时，圆E面积的最小值为， 因为，所以圆E面积的最小值为． 方法3：设，， 因为，所以， 所以 ， 由可得：， 整理得，， 由基本不等式，有， 所以， 设，则，即，解得， 所以， 所以圆E面积的最小值为． 方法4：设，， 因为，所以可设，且， 因为点在C上，所以， 所以， 同理可得，，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，，或，，时等号成立， 所以圆E面积的最小值为． 18. 设函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若是增函数，求a的取值范围； （3）当时，设为的极小值点，证明：． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为． （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）在时，根据导函数的符号即可求得原函数的单调区间； （2）求出，设，求导推得，根据参数分，和三种情形，讨论函数的单调性和零点情况，即得其取值范围； （3）设为的零点，推得，，分段讨论函数的单调性，推出，即得，即，则，设，求导得出在上的单调性，即可求出其范围，即得证. 【小问1详解】 当时，，， 因当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 因， 设，， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故时，取得极小值， （ⅰ）所以当时，，，所以，单调递增，符合题意； （ⅱ）当时，， 因为趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于， 所以存在两个零点， 即存在区间使得，所以不恒成立，不合题意； （ⅲ）当时，若，因为的零点为，且， 则与有唯一相同零点且零点两侧函数值符号相同， 所以，解得， 此时，当时； 当时，则 所以综上a的取值范围为. 【小问3详解】 当时，，，设为的零点，则， 因为，所以， 当时，，，故，在单调递增， 当时，，，所以，在单调递减， 当时，，，所以，在单调递增， 所以，且，即， 所以， 设，则，在上单调递增， 所以，且，故得． 【点睛】思路点睛：本题主要考查根据函数的单调性、极值点求参数范围的问题，属于较难题. 对于已知函数的单调性求参问题，一般考虑对函数求导，根据参数分类讨论函数的图象性质进行分析取舍；对于已知极值点问题，一般利用导函数方程的根的情况进行简化所求式，结合函数的值域即可. 19. 若数列满足数列是等差数列，则称为“绝对等差数列”，的公差称为的“绝对公差”． （1）若“绝对等差数列”的“绝对公差”为2，且，求的值； （2）已知“绝对等差数列”满足，，且的“绝对公差”为1，记为的前n项和． （ⅰ）若，求； （ⅱ）证明：对任意给定的正整数m，总存在，使得． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）依题意，，记，其中， ①若m为奇数， 令，由（ⅰ）可知，， 因为， 所以，符合题意； 所以对任意给定的奇数m，存在满足的使得； ②若m为偶数， 因为， ， …… ，， 累加得 由（ⅰ）知，令'可得，． 若，则，符合题意，故下面只讨论的情况． 当k为大于1的奇数时，，，设此时的， 即，， 构造新数列，其中，，其余各项均不变 即， 记调整为后该数列的前m项和为， 则 ，结合及（ⅰ）可得 令，解得， 则对任意给定的偶数m，当，或时， 存在一个对应的满足，其中为不超过x的最大整数，， 综上所述，对任意给定的正整数m，总存在一个满足 【解析】 【分析】（1）设，结合，分析与正负性可得答案； （2）（ⅰ）由题可得，然后由累加法可得，据此可得答案；（ⅱ）记，，由（ⅰ）可得若m为奇数，满足题意；若m为小于8的偶数，满足题意；当m为大于8的偶数时，通过构造数列可完成证明. 【小问1详解】 设，则， 因为， 若与均为负数，则，解得，不合题意； 若与一正一负，则或-2，不合题意； 所以，， 所以，解得，故． 【小问2详解】 （ⅰ）由题 则 ， 又因为． 则，所以． （ⅱ）略 【点睛】关键点睛：数列新定义问题关键为读懂题意，第二问（ⅰ）给第（ⅱ）证明提供了思路，证明较复杂问题时，可先证明较简单情况，然后在已证明的条件下做出适当调整，从而完成证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市2025届高中毕业班第一次质量检测数学试题 2025.1 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等轴双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1，则C的焦距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（ ） A. -1 B. C. 0 D. 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线于点P，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 1 8. 若函数的图象关于直线对称，则的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，则（ ） A. ，不可能垂直 B. ，不可能共线 C. 不可能为5 D. 若，则在方向上的投影向量为 10. 药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，如下表所示： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 120 110 103 93 82 68 59 47 38 根据表中数据可得到经验回归方程，则（ ） A. B. 变量y与x的相关系数 C. 当时，残差为-1.5 D. 代谢约10小时后才需要补充药物 11. 已知定义在上的函数满足，其中表示不超过x的最大整数，如[，．当时，，设为从小到大的第n个极小值点，则（ ） A. B. C. 数列是等差数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的母线长为6，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为______． 13. 已知函数的图象经过，两点，若在区间上单调递减，则______；______． 14. 从集合的所有非空子集中任选两个，则选中的两个子集的交集为空集的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）设D为边AB的中点，若，且，求a． 16. 如图，在三棱柱中，，，． （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知动圆M与圆：内切，且与圆：外切，记圆心M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程； （2）设点在C上，且以为直径的圆E经过坐标原点O，求圆E面积的最小值． 18. 设函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若是增函数，求a的取值范围； （3）当时，设为的极小值点，证明：． 19. 若数列满足数列是等差数列，则称为“绝对等差数列”，的公差称为的“绝对公差”． （1）若“绝对等差数列”的“绝对公差”为2，且，求的值； （2）已知“绝对等差数列”满足，，且的“绝对公差”为1，记为的前n项和． （ⅰ）若，求； （ⅱ）证明：对任意给定的正整数m，总存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $