精品解析：四川省资阳天立学校2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题

高2024级数学入学考试 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出即可. 【详解】根据题意得， 解得． 故选：A． 2. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据代数式有意义，列出不等式，即可得答案. 【详解】要使得代数式在实数范围内有意义， 需满足且， 故选：D 3. 一个长方形的宽为，长为，则这个长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合长方形的面积公式，即可求解. 【详解】由长方形的面积公式可得，长方形的面积为. 故选：A. 4. 已知实数a、b满足，若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，进而结合韦达定理分析求解. 【详解】因为，则，解得， 方程即为，可得， 所以. 故选：A. 5. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】， 则， 故选：C 6. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，即， 解得或，则不等式的解集为或. 故选：B. 7. 已知全集，集合，，则（ ） A. 集合的真子集有8个 B. C. U中的元素个数为7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出集合B，利用子集的定义及集合的并集，结合补集的定义即可求解. 【详解】因为，所以 因为集合，所以A的真子集有共7个，故A错； 由，，得，所以，故B错； 由，得U中的元素个数为5，故C错； 由，，，所以， 所以，故D对； 故选：D 8. 已知是二次函数图象上的一系列点，其中，记（n为正整数），令，则S的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设 是二次函数 图象上的一系列点，由已知条件，分别为 ，进而求得 的值. 【详解】由是二次函数 图象上的一系列点，, 所以， ， ， ， 所以 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下面的表述中，正确的说法有（ ） A. 最小的质数是 B. 既不是质数也不是合数 C. 可以分解为 D. 的两实根积等于 【答案】AB 【解析】 【分析】利用质数、合数的概念可判断AB选项；利用十字相乘法可判断C选项；判断方程的解，可判断D选项. 【详解】对于A选项，最小的质数是，A对； 对于B选项，既不是质数也不是合数，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，对于方程，， 所以，方程无实根，D错. 故选：AB. 10. 某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ） A. 三项比赛都参加的有2人 B. 只参加100米比赛的有3人 C. 只参加400米比赛的有3人 D. 只参加1500米比赛的有3人 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意先分析出3项都参加的人数，再分析只参加某项的人数即可. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}，{是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 只参加100米比赛的有人， 只参加400米比赛的有人， 只参加1500米比赛的有人. 故选：AB 11. 有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加上得到第3项，以此类推；下列说法正确的是（ ） A. 第4项为 B. C. 若第2022项的值为0，则 D. 当时，第k项的值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于ABC，根据题意可得第1项为，第2项为第3项为，……，根据变化规律解答即可；对于D，结合等比数列的前项和公式即可判断. 【详解】对于A，根据题意： 第1项为，， 第2项为，， 第3项为，， …… 第4项为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，若第2022项为0 ，则 ， ，故C正确； 对于D，因为第k项为， 所以当时， 第k项的值为 ，故D错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则的值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】变形给定等式即可得解. 【详解】由，得，，整理得， 所以. 故答案为： 13. 定义集合，若，则中元素的个数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据集合定义，利用列举法可得答案. 【详解】因为定义集合， 又， ， 所以集合中的元素为1，2，3，4，5，6，7，8，11，共8个． 故答案为：8. 14. 阅读下面材料，在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：①已知a和b，求N，这是乘方运算；②已知b和N，求a，这是开方运算.现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算.定义：如果ab=N（a>0.a≠1，N>0），则b叫做以a为底的N的对数，记作b=logaN.例如：因为23=8，所以log28=3；因为，所以.我们可以根据对数的定义得到对数的性质：loga（M•N）=logaM+logaN；根据对数的性质计算：___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的定义和运算性质求解即可 【详解】， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算： （2）先化简，再求值：（x﹣1+）÷，其中x的值是从﹣2<x<3的整数值中选取. 【答案】（1）4；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据实数的运算法则求解即可， （2）先利用分式的运算法则化简，然后再根据的范围和分式有意义的条件取值计算即可. 【详解】（1）解：原式 =4+1﹣1 =4. （2）解：原式. 已知﹣2<x<3的整数有﹣1，0，1，2， ∵分母x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0， ∴x≠0，且x≠1，且x≠﹣1， ∴x=2. 当x=2时，原式. 16. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若，求实数a的取值的集合． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）当 时，求出，即可根据交集和并集的定义求解． （2）根据，可得不等式组进而即得． 【小问1详解】 当时，，所以， ,； 【小问2详解】 ，， 则，解得：． 故实数取值的集合为. 17. 某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（℃）与时间（）之间的函数关系，其中线段AB､BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度与时间的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于10时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】（1） （2） （3）10小时 【解析】 【分析】（1）分段结合一次函数、反比例函数的定义求出所对应的解析式，即可得解； （2）根据（1）中解析式判断即可； （3）把代入中，即可求得结论． 【小问1详解】 解：当时设，由函数过点、， 所以，解得，所以，， 当时， 所以时， 设双曲线解析式为， ，即，， 双曲线的解析式为：； 综上可得. 【小问2详解】 解：由（1）中函数解析式可知恒温系统设定的恒定温度：. 【小问3详解】 解：把代入中，解得， ， 所以恒温系统最多可以关闭小时，蔬菜才能避免受到伤害． 18. 如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E､F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由； （3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围. 【答案】（1）证明： ∵菱形ABCD的边长为2，BD=2， ∴△ABD和△BCD都为正三角形，∴ ，BD=BC， ∵AE+DE=AD=2，而AE+CF=2，∴DE=CF， ∴△BDE≌△BCF； （2）△BEF为正三角形，理由如下： ∵△BDE≌△BCF，∴∠DBE=∠CBF，BE=BF， ∵ ， ∴ 即 ， ∴△BEF为正三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形相全等的判定定理即可证明； （2）利用（1）的结论可得BE=BF，再说明，即可得到结论； （3）找到BE取最小值和最大值的位置，求得其值，根据三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 △BEF为正三角形.理由略； 【小问3详解】 设BE=BF=EF=x，则， 当BE⊥AD时，x最小,最小值， 当BE与AB重合时，x最大，最大值为2，， . 19. 阅读以下材料：对于三个实数a､b､c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数.例如：；；；，解决下列问题： （1）填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}=___________，如果，则x的取值范围为___________； （2）①如果，求=___________. ②根据①，你发现了结论“如果，那么___________（填，b，c的大小关系）”. ③运用②的结论，若，则x+y=___________； （3）在同一直角坐标系中作出函数，，的图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：的最大值为___________. 【答案】（1）， （2）①1；②a=b=c；③﹣4 （3） 最大值是1 【解析】 【分析】（1）根据题设的数的定义可求，同理根据定义可得关于的不等式组，从而可求其范围. （2）不失一般性，可设，根据定义可得，从而可得三者相同，再根据这个结果可得的方程组，求出的值后可求. （3）在同一坐标系中画出三个函数的图象，根据图象结合定义可求最大值. 【小问1详解】 . 如果，则， 故. 【小问2详解】 如果，不失一般性，设， 则，故即， 而，故，当且仅当时等号成立， 故. 若， 则，故， 所以. 【小问3详解】 函数，，的图象如图所示： 表示三者中较小者，故其图象为图中实线， 设，的图象在上的交点为， 由可得，故， 而，的图象在上的交点的纵坐标为1， 结合图象可得的最大值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级数学入学考试 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 且 3. 一个长方形的宽为，长为，则这个长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数a、b满足，若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知全集，集合，，则（ ） A. 集合的真子集有8个 B. C. U中的元素个数为7 D. 8. 已知是二次函数图象上的一系列点，其中，记（n为正整数），令，则S的值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下面的表述中，正确的说法有（ ） A. 最小的质数是 B. 既不是质数也不是合数 C. 可以分解为 D. 的两实根积等于 10. 某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ） A. 三项比赛都参加的有2人 B. 只参加100米比赛的有3人 C. 只参加400米比赛的有3人 D. 只参加1500米比赛的有3人 11. 有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加上得到第3项，以此类推；下列说法正确的是（ ） A. 第4项为 B. C. 若第2022项的值为0，则 D. 当时，第k项的值为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则的值为_____________. 13. 定义集合，若，则中元素的个数是______． 14. 阅读下面材料，在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：①已知a和b，求N，这是乘方运算；②已知b和N，求a，这是开方运算.现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算.定义：如果ab=N（a>0.a≠1，N>0），则b叫做以a为底的N的对数，记作b=logaN.例如：因为23=8，所以log28=3；因为，所以.我们可以根据对数的定义得到对数的性质：loga（M•N）=logaM+logaN；根据对数的性质计算：___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算： （2）先化简，再求值：（x﹣1+）÷，其中x的值是从﹣2<x<3的整数值中选取. 16. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若，求实数a的取值的集合． 17. 某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（℃）与时间（）之间的函数关系，其中线段AB､BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度与时间的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于10时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 18. 如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E､F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由； （3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围. 19. 阅读以下材料：对于三个实数a､b､c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数.例如：；；；，解决下列问题： （1）填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}=___________，如果，则x的取值范围为___________； （2）①如果，求=___________. ②根据①，你发现了结论“如果，那么___________（填，b，c的大小关系）”. ③运用②的结论，若，则x+y=___________； （3）在同一直角坐标系中作出函数，，的图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：的最大值为___________. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $