专题6.4 空间向量求距离及夹角（九个重难点突破）-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第二册）

专题6.4 空间向量求距离及夹角 一、点线距离问题 六、线面角的范围问题 二、点面、线线距离问题 七、平面与平面的夹角 三、异面直线所成角 八、平面与平面的夹角范围问题 四、异面直线所成角的范围问题 九、探索性问题 五、线面角 知识点1利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则， 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． 如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)． 知识点2利用空间向量求距离 （1）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则B到平面的距离为. （2）点到直线的距离 设为直线上一点, 为直线的方向向量, 在向量方向上的投影向量的模长为,则点到直线的距离. 重难点一、点线距离问题 1．已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故答案为：3 2．已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【详解】根据题意可知,, ∴点到直线的距离为 故选：B 3．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，则点F到直线的距离为（ ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【详解】如图，建立空间直角坐标系，，，， ，， 所以点到直线的距离 故选：D 4．在正四棱柱中，，点E在线段上，且，点F为中点，则点到直线的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由题意可得， 则， 所以点到直线的距离为， 故选：A. 5．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，求点B到直线A1C1的距离. 【答案】 【详解】解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4，0，1)，C1(0，3，1). 直线A1C1的方向向量=(-4，3，0)，=(0，3，1)，所以点B到直线A1C1的距离. 【点睛】本题考查空间中点到直线的距离，重点是利用向量法求解，属于基础题. 用向量法求点到直线的距离：①求直线的方向向量；②计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度；③利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 重难点二、点面、线线距离问题 6．在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量，点在内，则原点O到的距离为 . 【答案】7 【详解】已知点，点，那么向量. 已知，，则. 对于向量，根据向量模长公式. 计算原点到平面的距离： 根据点到平面距离公式，把，代入可得，. 故答案为：7. 7．在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 8．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． (1)求证：平面平面； (2)当Q为中点时，求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）由题意证明如下， ∵四边形是正方形， ∴． ∵平面平面，所以 ∴． 平面，平面， ∴平面． ∵平面， ∴平面平面． （2）由题意及（1）得， 在正方形中，, 在四棱锥中，，平面，Q为中点， 面，面，, ∴，， 建立空间直角坐标系如下图所示 ． 所以， 设平面的法向量为， 则得 当时，则， 设点B到平面的距离为， ， 则． 9．已知三棱柱，点在内，分别为三边的一个三等分点，为面的一个法向量，且.若到面的距离为2，则 . 【答案】 【详解】设点到面的距离为，则，设平面的重心为， 则， 又因为为面的一个法向量，，所以 所以， 故答案为：. 10．已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】设该正四棱锥底面边长为，高为， 则由题意可得，解得， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、， 则，， 则可设，，，， 则， 要使线段的长度最小，则为的公垂线， 即有， 解得，符合题意， 此时，则. 即线段长度的最小值. 故答案为：. 用向量法求点到平面的距离：①在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；②设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量；③代入求点到平面的距离公式 重难点三、异面直线所成角 11．在正方体 中，点 分别在棱 上，且 ， ，则异面直线 与 所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【详解】设正方体中棱长为3， 以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，，， 设异面直线与所成角为，则. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 12．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 故选：B. 13．青铜豆最早见于商代晚期，盛行于春秋战国时期，它不仅可以作为盛放食物的铜器.还是一件十分重要的礼器，图①为河南出土的战国青铜器—方豆，豆盘以上是长方体容器和正四棱台的斗形盖.图②是与主体结构相似的几何体，其中，，，点为上一点，且，点为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，在正四棱台中， 点到平面距离为, 则，， 因此， 所以异面直线与夹角的余弦值为. 故选：A    14．在三棱锥中，平面，点分别为,的中点，为线段上的点（不包括端点），若异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知两两垂直，故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 因，故，又， 在直角三角形中，，则，， 设则， ， 解得或（舍去）， 故. 故选：A. 15．四面体中，两两垂直，，的中点为与所成角的正切值为，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】． 【详解】 根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，为坐标原点，设，    则，故， 设与所成的角为，则，∴， 于是，解得，故； 设与所成的角为，∵， ∴，∴与所成角的余弦值为． 用空间向量法求异面直线夹角的步骤：①确定两条异面直线的方向向量；②确定两个向量夹角的余弦值的绝对值；③得出两条异面直线所成的角． 重难点四、异面直线所成角的范围问题 16．已知正四面体中，，是的中点，延长至，使得，点在线段上(不包含端点)，则直线与夹角的余弦值的取值范围为 . 【答案】 【详解】如图所示，    可设，选取为基底， 由题意知，， 而， 从而 ， ， 所以， 设，因为，所以， 而，因为， 设，则， 所以， 由解得 故直线与夹角的余弦值的取值范围为. 故答案为：. 17．如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    设正方体的棱长为2，    则， ，， 设得：， 所以， ， 由， 所以，当时，等号成立， 则，即异面直线与MN所成角的正弦值的最小值为. 故选：C. 18．在正四棱柱中，为棱上的动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，故，， 设与所成的角为，则， 所以，令， 所以，故. 故选：B. 19．如图，四边形，，现将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点为，连接，又， 所以，且，是的平面角， 由都在面内，故面，面内过作， 可构建如下图示的空间直角坐标系，则， 由，则，且， 所以， 则， 当时，最大. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构建合适空间直角坐标系，并确定含参的点坐标为关键. 20．在正方体中，空间中一动点满足，则直线与直线所成角正弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，设正方体的棱长为1，以点为坐标原点建立空间直角坐标系. 则， 设点，则， 由可得：，解得， 则，， 设直线与直线所成角为，则， 于是 ， 设，因，故， 则即，因，则，则， 即，因，则得. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解异面直线的夹角的方法主要有： 平移法：将异面直线中的一条或两条利用平移使其相交，通过解三角形求得； 坐标法：通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标和向量坐标，利用空间向量夹角的坐标公式求解. 重难点五、线面角 21．如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）连接， 因为，且，所以为正三角形， 因为为的中点，所以，且， 所以，则， 又，所以，所以，所以， 又平面， 所以平面. （2）由（1）可知平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 22．如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形 是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点. (1)证明：平面平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）如图，因为四边形是等腰梯形，点G为的中点，点H为的中点， 所以，又平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 取BE的中点M，连接，则四边形是边长为2的菱形， 所以，又，所以， 因为且都在面内，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）由（1）知，两两垂直， 以H为原点，所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，得， 设直线与平面所成的角为θ， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 23．正方形的边长是分别是和的中点，将正方形沿折成直二面角 (如图所示).为矩形内一点，如果和平面所成角的正切值为，那么点到直线的距离为 . 【答案】/ 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系 则，设 则 ∵，则，即 ∴ 平面的一个法向量，则 ∵和平面所成角的正切值为，则，则 ∴点到直线的距离为 故答案为：． 24．如图，和所在平面垂直，且，. (1)求证：； (2)若，连接，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）（1）延长，过点作，交于点，连接. 由平面平面，平面平面， 平面， 则平面， 由，， 得， 故，. 又，得， 则， 即. 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设， 则，，，， 所以，， 因为， 所以，即. （2）由（1）知，， 设平面的法向量为，则， 即， 所以 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 设，由， 得， 所以，，，即点， 所以. 设直线与平面所成角为， 则 ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 25．如图，在平行六面体中，底面是矩形，，，点E，F分别为，，的中点，且. (1)证明：平面平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，则， 则， 所以， 因为为的中点， 所以，， 则，所以， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）由，可得，则， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 设， 则， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 解得， 所以的长度为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 用空间向量法求线面夹角的步骤：①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量；③求平面的法向量；④计算：设线面角为，则 重难点六、线面角的范围问题 26．如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 ． 【答案】 【详解】取中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，且， 因为为的中点， 故，于是， 平面的一个法向量为， ， 设，则，， 故，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为：． 27．在长方体中，，点M为棱上的动点（含端点）. (1)求二面角的余弦值； (2)当的长度为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值. 【答案】(1) (2), . 【详解】（1）以长方体的顶点为坐标原点，为坐标轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设向量为平面的一个法向量， 则，令，则，即， 在长方体中平面，∴平面的一个法向量为， 设二面角为，由图知该角为锐角， 则. （2）由（1）可知平面的一个法向量为， 设，则，则， 设直线与平面所成角为， 则， 设, ∵，∴， ∴， ∵，∴，结合函数在上单调递减， ∴， 即， ∴ ∴当时，取最小值，最小值为，此时. 28．如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．设平面与平面的交线为． (1)证明：平面； (2)已知，，为上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）在正方形中，， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 因为，平面平面且平面平面，平面， 所以平面，则平面． （2）取中点记为，中点记为，连接，所以， 连接，因为为等腰三角形，所以， 所以，，两两垂直， 如图建立空间直角坐标系， 因为，， 所以，，，，， 令，所以，，， 记平面的一个法向量，则， 可取，记直线与平面所成的角为， 则， 当时，，当时， ， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 29．如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点． (1)证明：平面； (2)设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）如图，在平面ABC内过点作直线， ∵平面，平面，∴，， ∴以为坐标原点，分别为坐标轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ∵为的中点，∴， ∴，，， ∴，即， 又∵平面，平面，， ∴平面. （2）设，即 则， ，， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 即， 设直线与平面所成角为， 则， 令， 当时，取最小值，即， 即当时，取得最大值，， 30．如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上． (1)若，，求证：，，，四点共面； (2)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，，， 所以，所以，，，四点共面． （2）因为， 所以点在底面的射影落在上，过点作，过点作，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，， 所以平面，又平面， 则，在中，， 又因为底面是边长为4的菱形，且， 所以，则， 设与的交点为，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 由，可求得，， 所以，， 设为平面的法向量， 由，即，取，则，， 所以， 因为，所以， 设，所以， 所以， 设直线与平面所成角的为， 所以， 因为，所以，， 所以． 重难点七、平面与平面的夹角 31．在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，由，得， 则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值. 故选：D 32．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)已知上有一点，满足，求此时平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点，连接，， 因为，，则，所以， 则为等腰直角三角形，所以，且， 因为，，为的中点，则且， 故得，则， 又因为，所以，则， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，则平面平面； （2）由上分析，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 由可得， 故，， 设平面的一个法向量为， 则 取，则，，故， 又，， 设平面的一个法向量为， 则 取，则，，故， 设平面与平面所成角为， 所以. 即平面与平面所成角的余弦值为. 33．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 34．如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，D为AC的中点，，侧面底面 (1)证明：； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）等边三角形中，D为AC中点，所以， 因为侧面底面，侧面底面 平面，所以平面， 又因为平面，所以 （2）在中，，， 所以， 所以， 所以是等腰三角形，又D为AC中点，所以， 由知，，平面， 又平面， 所以， 所以两两垂直. 以为正交基底建立空间直角坐标系 则，，，，， 所以，，设平面的法向量为， 则 不妨取，则，， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 记平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为 35．如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为矩形，，平面ABCD，H为DC的中点． (1)求证：平面平面POC； (2)已知二面角的平面角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵，H为DC中点， ∴， ∵平面ABCD，平面ABCD， ∴， ∵，平面POC，平面POC， ∴平面POC， 又∵平面DPO， ∴平面平面POC． （2）以O为原点，OB，OP所在直线分别为y轴、z轴，作x轴平面APB，如图所示． 设，则，， ，， ，． 由（1）知，为平面POC的一个法向量， 设为平面PBC的法向量， 则即 取，可得， 则． 解得， 又∵，∴， ∴． 用空间向量法求面面夹角的步骤：①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；②求出两个半平面的法向量；③设两平面的夹角为，则 注：若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解． 重难点八、平面与平面的夹角范围问题 36．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是的中点，点在棱上，且.    (1)若平面平面，证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为四边形正方形，所以. 因为平面平面，所以平面. 又因为平面，平面平面，所以. 因为平面平面，所以平面. （2）因为四边形是正方形，所以. 又因为平面，所以平面. 因为，所以平面， 因为平面，所以，. 由，得. 所以. 以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 点到平面的距离为，    点到平面的距离为. 则， 设，则， 设平面的法向量为， 则，取，可得. 设平面的法向量为， 则，取，可得. 设平面与平面的夹角为， 则令， 则 . 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值为，此时，. 故平面与平面的夹角的余弦值的最大值为. 37．如图，在多面体中，四边形为矩形，四边形为直角梯形， ，，且． (1)当时，求证：； (2)当点在线段上（包含端点），时，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）取的中点的中点，连接 ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 平面， 分为的中点， ， 平面，易知， 因为，所以， 以分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角生标系， ， ，设. 则 ， . （2）， ， ，， 因为点M在上，可设， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则 设平面的一个法向量为， 则， 令，则 ， 假设平面与平面的夹角为， 则， 因为，所以， 令，，， ， ， ，， ， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为 38．如图，三棱锥中，，，，为 中点，点满足. (1)证明：OP⊥平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上取一点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：连接，∵，， ∴△是正三角形，∴， 同理可得，∴， ∵是的中点，∴， ∵，∴，∵，∴. ∵，∴， ∴，则, ∵在平面内，∴平面 （2）由（1）得，，， 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ∵，∴，而， 显然是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量， 则 ，∴ . 取，则，，∴， ∴= ∴由题可知二面角为钝角，故二面角的大小为； （3）设（），则， ∴， ∵直线与平面所成角的正弦值为 ∵当时，关于λ的函数单调递减 ∴当时，取得最大值；当时，取得最小值 ∴直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 39．如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥． (1)求点P到平面ABCM的最大距离； (2)若棱PB的中点为N，求CN的长； (3)设的角度大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 由题意可知，当平面平面时， 点P到平面ABCM的距离最大， 因为，，点是边的中点， 所以，取的中点为，连接， 则，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以P到平面ABCM的最大距离为. （2） 取中点，连接，， 则因为为中点，所以为的中位线， 所以且， 因为为的中点，四边形为矩形， 所以且， 所以且， 故四边形为平行四边形， 所以. （3）连接， 因为，所以， 所以为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 过作于点，由题意得平面， 设，所以，， 所以，所以， ， 设平面的法向量为， 则， ， 令，则， 设平面的法向量为， 因为， 则， 可得， 令，则， 设两平面的夹角为， 则 ， 令，，所以， 所以，所以当时，有最小值， 所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为. 40．如图所示，在四面体中，为等边三角形，，则平面与平面夹角的最大值是 . 【答案】/ 【详解】以为坐标原点，在平面内作直线垂直于为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设等边的边长为1，因为，所以设， 因为当时，四点共面，不能构成空间四边形，所认， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以， 即，结合，所以， 所以平面与平面夹角的最大值是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，用向量夹角的坐标法求解空间角解决空间角的一种重要方法. 重难点九、探索性问题 41．如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足平面. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【详解】（1）证明：因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，所以. 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面. （2）因为平面平面，所以， 又， 以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以 设平面的法向量为，则 令，得，所以. 假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设， 则 , 解得或. 所以线段上存在点，当或时， 使得直线与平面所成角的正弦值为. 42．图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且点为线段靠近的三等分点 【详解】（1）取的中点为，连接、，作图如下： 因为四边形是边长为正方形，所以，， 在中，，则， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）易知是以为斜边的等腰直角三角形，且为的中点，则， 又因为平面， 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则、、、， 设，则，设，， 可得，解得，所以， 则，， 设平面的法向量，可得， 令，则，，所以平面的一个法向量， 由图易知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 化简可得，解得或（舍去）， 所以存在满足题设条件的点，点为线段靠近的三等分点. 43．如图，在三棱锥中，，．    (1)证明：； (2)在棱上是否存在点（不与端点重合），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，点位于棱上靠近点或点的四等分点处. 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为，所以，， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以． （2）存在点，位于棱上靠近点或点的四等分点处，使直线与平面所成角的正弦值为，证明如下： 如图，因为，易知，则，    取的中点，连接，易知，又平面，易知两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设，易得，，则，，，， 则，，设，， 则，故， 设平面的法向量为，则， 令，则，设直线与平面所成角为， 则，解得或， 故在棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时点位于棱上靠近点或点的四等分点处． 44．如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）,（ii）存在， 【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； （2），，， ，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， （i）故， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，， 平面的一个法向量为, 则，令，则，，故， ,， 由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为； （ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则,0,，0,， 由（2）知平面的一个法向量为,,， ， 点到平面的距离是， ，． 45．如图,在三棱锥中,侧面是全等的直角三角形,是公共的斜边,且,另一个侧面是正三角形. (1)求证:; (2)求二面角的大小; (3)在直线上是否存在一点F,使与平面成角？若存在,确定F的位置;若不存在,说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在,或 【详解】（1）证明:取中点,连接,如图所示: 是正三角形, 为中点, , ,为中点, , 平面,平面, 平面, 得证. （2）由(1)知平面, 平面, 平面平面, , 以为原点,方向为轴,方向为轴,过作垂直于平面的线为轴建立如图所示直角坐标系, 则, 不妨设, , , 解得, , 设平面法向量为, 即, 取, 则, 设平面法向量为, 即, 取, 则 二面角的大小为 （3）是上一点,设, 令, 则, ,, 由(2)可知,平面的法向量为, 与平面成角, , , 解得, 或 当或时,与平面成角. 一、单选题 1．直三棱柱中，，，则与所成的角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【详解】由题意可知和两两垂直， 所以， 又，， 所以， 且，， 所以， 所以与所成的角的余弦值为，故与所成的角的大小为. 故选：C. 2．四棱锥中，已知平面的法向量为，则该四棱锥的高为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意可得该四棱锥的高． 故选：B． 3．在长方体中，，，，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，故，， 设平面的一个法向量为， 所以有，即，取故， 平面的一个法向量为，， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故选：D. 4．如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为. 则，，，，，. 所以，，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 又，设直线与平面所成的角为，则 ， 从而当时，取到最大值，又，故时直线与平面所成的角最大． 故选：C 5．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：    ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系， 则，， 对于①，此时易知，即， 而平面的一个法向量为，显然，即①正确； 对于②，易知平面，即平面， 则直线到平面的距离即点到平面的距离， 此时， 设平面的一个法向量为，则， 令，即， 所以点到平面的距离，即②错误； 对于③，设， 则， ， 所以， 若，则， 显然时符合题意，故③正确； 对于④，当面积最小时即到距离最小时， 此距离亦即异面直线与的距离，易知，则平面， 此距离即到平面的距离， 不妨设平面的一个法向量为，则， 令，即， 则到平面的距离， 所以面积的最小值为，故④错误. 故选：C    二、多选题 6．如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面AEF C．异面直线与EF所成角的余弦值为 D．点到平面AEF的距离为2 【答案】ABD 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，. 对于A，因， 则，故，A正确； 对于B，，， 设平面AEF的法向量为， 则故可取， 因，则，又平面AEF， 故平面AEF，故B正确； 对于C，因， 则异面直线与EF所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，，由上分析已得平面AEF的法向量为， 则点到平面AEF的距离为，D正确. 故选：ABD. 7．已知正方体的棱长为1，动点分别在棱和线段上，满足平面，则（    ） A．到平面的距离有最大值 B．到平面的距离有最小值 C．两点距离有最大值1 D．两点距离有最小值 【答案】AD 【详解】如图建立空间直角坐标系，    过点作交于点，过作交于点， 则平面平面，故，过作交于点． 所以到平面的距离就是到平面的距离， 当与重合时，有最大距离为，无最小距离，故A正确B错误． 设，，则，所以， 故， 当时，，无最大值，故C错误D正确． 故选：AD 三、填空题 8．在所有棱长均相等的正三棱柱中，是的中点，，，则异面直线，所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【详解】如图，取的中点，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设，则，，，，，. 设异面直线，所成的角为，则. 故答案为：. 9．如图所示，在圆锥中，是底面圆直径，且，则二面角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为， 可得，则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，由图可得， 则，所以面角的余弦值为. 故答案为：. 10．在直三棱柱中，，，点 P 满足，其中，则直线AP与平面所成角的最大值为 【答案】 【详解】分别取中点，则，即平面， 连接,因为,所以, 以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系, 由已知,,,,, 则, 因为， ，， 易知平面的一个法向量是， 设直线AP与平面所成角为，， 则， 所以时，，即的最大值是． 故答案为：． 四、解答题 11．如图四边形是边长为的菱形，，平面外的点，满足，，，四点共面，且底面，. (1)证明：； (2)若，，求与平面所成的角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）连接，与相交于点，连接， 因为四边形是边长为的菱形，所以⊥，且， 因为底面，平面， 所以， 其中，，，四点共面 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，由三线合一可知； （2）过点作，交于点， 因为底面，所以底面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 因为四边形是边长为的菱形，， 所以均为等边三角形， 故， ，，故， 因为底面，平面， 所以⊥，又，故， 其中，设， 设，故， 解得，故， 又，故，解得，故，， ， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，故， 设与平面所成的角大小为， 则， 故， 所以与平面所成的角的余弦值为. 12．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，. (1)证明：平面平面. (2)若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面平面，， 所以平面.因为平面，所以平面平面. （2）取的中点，连接.因为，所以. 因为平面平面，所以平面. 以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 设，平面的法向量为， 因为，， 所以，令，得. 平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角为，所以，所以. 设平面的法向量为， 因为，， 所以 令，得. 因为，所以点到平面的距离. 13．如图，在三棱锥中，，，，为中点，点Q满足． (1)证明：面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)45° 【详解】（1）连接，因为，， 所以是正三角形，故， 同理可得，所以， 因为为的中点，所以， 由三线合一性质得， 因为，所以， 因为，所以由直角三角形中线性质得， 结合，由勾股定理得， 所以， 故，因为，面， 所以面． （2）由（1）得，，， 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 设，故，， 因为，所以，，， 解得，，，故， 而是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量， 则，即，取，解得，， 故，设二面角为， 故， 由题意得二面角为锐角，则， 故二面角的大小为． 14．如图，已知四边形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面. (1)若O是CD的中点，证明:； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)存在点Q，点Q为PC的中点 【详解】（1）连接， 因为三角形PCD是正三角形，且O是CD的中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为四边形ABCD是矩形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 则，所以. （2）由（1）可得：， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设二面角为， 则，可得， 所以二面角的正弦值为. （3）由（1）可得， 设，可得， 由（2）可知：平面的法向量， 则由， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可知存在点Q，点Q为PC的中点. 15．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为线段中点. (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)若在线段上，且直线与平面相交，求取值范围. 【答案】(1)直线与平面所成角的余弦值为. (2)平面与平面所成角的大小为 (3)的取值范围是. 【详解】（1） 因为， 所以； 又因为，， 所以， 因此. 以为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，， ，，. 所以，，. 设平面的法向量， 由得： 令，则 设直线与平面所成角为， 则有= 所以 即：直线与平面所成角的余弦值为. （2）同理可得：平面的法向量， 则有 所以平面与平面所成角的大小为 （3）设， 由得：. 则， 又因为直线与平面相交， 所以. 即: , 解得： 所以的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.4 空间向量求距离及夹角 一、点线距离问题 六、线面角的范围问题 二、点面、线线距离问题 七、平面与平面的夹角 三、异面直线所成角 八、平面与平面的夹角范围问题 四、异面直线所成角的范围问题 九、探索性问题 五、线面角 知识点1利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则， 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． 如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)． 知识点2利用空间向量求距离 （1）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则B到平面的距离为. （2）点到直线的距离 设为直线上一点, 为直线的方向向量, 在向量方向上的投影向量的模长为,则点到直线的距离. 重难点一、点线距离问题 1．已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为 ． 2．已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D．3 3．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，则点F到直线的距离为（ ） A．6 B．4 C．2 D．1 4．在正四棱柱中，，点E在线段上，且，点F为中点，则点到直线的距离（   ） A． B． C． D． 5．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，求点B到直线A1C1的距离. 用向量法求点到直线的距离：①求直线的方向向量；②计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度；③利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 重难点二、点面、线线距离问题 6．在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量，点在内，则原点O到的距离为 . 7．在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 8．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，为上一点． (1)求证：平面平面； (2)当Q为中点时，求点B到平面的距离． 9．已知三棱柱，点在内，分别为三边的一个三等分点，为面的一个法向量，且.若到面的距离为2，则 . 10．已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是 ． 用向量法求点到平面的距离：①在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；②设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量；③代入求点到平面的距离公式 重难点三、异面直线所成角 11．在正方体 中，点 分别在棱 上，且 ， ，则异面直线 与 所成角的正弦值为 . 12．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 13．青铜豆最早见于商代晚期，盛行于春秋战国时期，它不仅可以作为盛放食物的铜器.还是一件十分重要的礼器，图①为河南出土的战国青铜器—方豆，豆盘以上是长方体容器和正四棱台的斗形盖.图②是与主体结构相似的几何体，其中，，，点为上一点，且，点为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 14．在三棱锥中，平面，点分别为,的中点，为线段上的点（不包括端点），若异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 15．四面体中，两两垂直，，的中点为与所成角的正切值为，求异面直线与所成角的余弦值． 用空间向量法求异面直线夹角的步骤：①确定两条异面直线的方向向量；②确定两个向量夹角的余弦值的绝对值；③得出两条异面直线所成的角． 重难点四、异面直线所成角的范围问题 16．已知正四面体中，，是的中点，延长至，使得，点在线段上(不包含端点)，则直线与夹角的余弦值的取值范围为 . 17．如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（    ）      A． B． C． D． 18．在正四棱柱中，为棱上的动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．如图，四边形，，现将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 20．在正方体中，空间中一动点满足，则直线与直线所成角正弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重难点五、线面角 21．如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 22．如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形 是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点. (1)证明：平面平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 23．正方形的边长是分别是和的中点，将正方形沿折成直二面角 (如图所示).为矩形内一点，如果和平面所成角的正切值为，那么点到直线的距离为 . 24．如图，和所在平面垂直，且，. (1)求证：； (2)若，连接，求直线与平面所成角的正弦值. 25．如图，在平行六面体中，底面是矩形，，，点E，F分别为，，的中点，且. (1)证明：平面平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 用空间向量法求线面夹角的步骤：①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量；③求平面的法向量；④计算：设线面角为，则 重难点六、线面角的范围问题 26．如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 ． 27．在长方体中，，点M为棱上的动点（含端点）. (1)求二面角的余弦值； (2)当的长度为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值. 28．如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．设平面与平面的交线为． (1)证明：平面； (2)已知，，为上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 29．如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点． (1)证明：平面； (2)设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 30．如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上． (1)若，，求证：，，，四点共面； (2)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 重难点七、平面与平面的夹角 31．在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 32．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)已知上有一点，满足，求此时平面与平面所成角的余弦值. 33．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 34．如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，D为AC的中点，，侧面底面 (1)证明：； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 35．如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为矩形，，平面ABCD，H为DC的中点． (1)求证：平面平面POC； (2)已知二面角的平面角为，求． 用空间向量法求面面夹角的步骤：①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；②求出两个半平面的法向量；③设两平面的夹角为，则 注：若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解． 重难点八、平面与平面的夹角范围问题 36．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是的中点，点在棱上，且.    (1)若平面平面，证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 37．如图，在多面体中，四边形为矩形，四边形为直角梯形， ，，且． (1)当时，求证：； (2)当点在线段上（包含端点），时，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 38．如图，三棱锥中，，，，为 中点，点满足. (1)证明：OP⊥平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上取一点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 39．如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥． (1)求点P到平面ABCM的最大距离； (2)若棱PB的中点为N，求CN的长； (3)设的角度大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值． 40．如图所示，在四面体中，为等边三角形，，则平面与平面夹角的最大值是 . 重难点九、探索性问题 41．如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足平面. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 42．图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 43．如图，在三棱锥中，，．    (1)证明：； (2)在棱上是否存在点（不与端点重合），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由． 44．如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 45．如图,在三棱锥中,侧面是全等的直角三角形,是公共的斜边,且,另一个侧面是正三角形. (1)求证:; (2)求二面角的大小; (3)在直线上是否存在一点F,使与平面成角？若存在,确定F的位置;若不存在,说明理由. 一、单选题 1．直三棱柱中，，，则与所成的角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．四棱锥中，已知平面的法向量为，则该四棱锥的高为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在长方体中，，，，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 5．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：    ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 6．如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面AEF C．异面直线与EF所成角的余弦值为 D．点到平面AEF的距离为2 7．已知正方体的棱长为1，动点分别在棱和线段上，满足平面，则（    ） A．到平面的距离有最大值 B．到平面的距离有最小值 C．两点距离有最大值1 D．两点距离有最小值 三、填空题 8．在所有棱长均相等的正三棱柱中，是的中点，，，则异面直线，所成角的余弦值为 . 9．如图所示，在圆锥中，是底面圆直径，且，则二面角的余弦值为 ． 10．在直三棱柱中，，，点 P 满足，其中，则直线AP与平面所成角的最大值为 四、解答题 11．如图四边形是边长为的菱形，，平面外的点，满足，，，四点共面，且底面，. (1)证明：； (2)若，，求与平面所成的角的余弦值. 12．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，. (1)证明：平面平面. (2)若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离. 13．如图，在三棱锥中，，，，为中点，点Q满足． (1)证明：面； (2)求二面角的大小． 14．如图，已知四边形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面. (1)若O是CD的中点，证明:； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由 15．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为线段中点. (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)若在线段上，且直线与平面相交，求取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$