精品解析：河南省漯河市2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题

漯河市2024—2025学年上学期期末质量监测 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线：，：，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 已知数列为等差数列，且，则（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 28 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，且在上的投影向量为，则的值为（ ） A. -19 B. -20 C. -22 D. -27 5. 已知三棱锥中，为上一点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 7. 已知椭圆的左右焦点分别为，，P为C上一点，O为坐标原点，若，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和为，且，则使不等式成立的正整数n的最大值为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知数列的前项和为，若，则为等差数列 B. 已知数列的前n项和为，若，则为等比数列 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D. 若两个不同平面，的法向量分别为，，且，，则 10. 已知曲线E：，其焦点为F，下列说法中正确的是（ ） A. 若P为曲线E上一点，，则 B. 若P为曲线E上一点，则P到直线l：的距离最小值为 C. 过F的直线l交曲线E于A，B两点，若l的倾斜角为，则 D. 过F的直线，分别交曲线E于A，B，C，D四点，若，则的最小值为16 11. 在三棱柱中，若底面是边长为的等边三角形，为线段上的任意一点（不与，重合），则下列说法中正确的是（ ） A. 若为中点，为平面上任意一点，且，则三棱锥体积的最大值为 B. 若侧面为菱形，，，则与平面所成角的正弦值为 C. 若三棱柱体积为，则四棱锥体积为 D. 若平面，当平面平面，且是面积为的等腰直角三角形，则三棱柱的外接球的表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线 的焦点到准线的距离为________. 13. 设双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，过作直线的垂线与双曲线交于两点，若，则该双曲线的离心率为______． 14. 在正项等比数列中，若，，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C：关于直线对称，且过点． （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若直线l过点，且与圆C交于A，B两点，满足，求直线l的方程． 16. 如图，在三棱锥中，，，，为中点，点Q满足． （1）证明：面； （2）求二面角的大小． 17. 已知数列的前项和为，，，其中． （1）若，求证：为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 18. 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别为一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆为“共轴”曲线，且椭圆，（，分别为曲线的离心率）．已知O为坐标原点，点，点P为双曲线右支上不同于顶点的一点． （1）求双曲线的方程； （2）延长线段PO到点Q，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； （3）点A，B分别为双曲线的左、右顶点，直线PM交双曲线的左支于点R，直线AP，BR的斜率分别为，．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 若数列满足“，，有”，则称数列具有“性质P”．已知数列为无穷数列． （1）若数列为等比数列，且首项，判断数列为否具有“性质P”，并说明理由； （2）若数列为等差数列，且公差，求证：数列不具有“性质P”； （3）若等差数列具有“性质P”，且，，求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漯河市2024—2025学年上学期期末质量监测 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线：，：，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直关系列式计算得解. 【详解】由，得，解得， 所以. 故选：B 2. 已知数列为等差数列，且，则（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的项的性质，再结合等差数列的求和公式计算. 【详解】因为数列为等差数列，且， 所以，所以， 则. 故选：D. 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用椭圆方程的标准形式，即可求解. 【详解】由，即， 由题有，所以， 故选：A. 4. 已知空间向量，，且在上的投影向量为，则的值为（ ） A. -19 B. -20 C. -22 D. -27 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的知识列方程，由此求得的值. 【详解】依题意，在上的投影向量为， 所以， 解得. 故选：C 5. 已知三棱锥中，为上一点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】设,则, 故 故选：A 6. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在直线的方程．由题意知圆的圆心在直线上，可得，再利用二次函数的性质可求最小值． 【详解】∵方程表示圆， ∴，即． 圆，圆， 两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线的方程：． 若圆平分圆的周长，则圆的圆心在直线上， ∵圆的圆心为， ∴，即， ∴， ∴当时，取最小值9． 故选：D． 7. 已知椭圆的左右焦点分别为，，P为C上一点，O为坐标原点，若，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求得，由条件结合图形，求得，代入椭圆方程，化简求得，则可得离心率. 【详解】 如图，因P为C上一点，不妨设点在第二象限， 则，解得， 因，则可得， 代入椭圆方程，可得， 化简得，即， 因，故，则离心率为：. 故选：B. 8. 已知数列的前n项和为，且，则使不等式成立的正整数n的最大值为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列前n项和公式求出，再利用裂项相消法求和并解不等式即可. 【详解】依题意，，， 则 ，不等式为，即， 因此，解得，所以所求正整数n的最大值为9. 故选：C 【点睛】易错点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知数列的前项和为，若，则为等差数列 B. 已知数列的前n项和为，若，则为等比数列 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D. 若两个不同平面，的法向量分别为，，且，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据与的关系，由条件求数列的通项公式，结合等差数列定义判断A，结合等比数列的定义判断B，证明与不共线，判断C，证明，由此判断D. 【详解】对于A：因为， 所以， 当时，， 所以，，， 所以，， 所以数列不是等差数列，A错误； 对于B：因为， 所以， 当时，， 因为， 所以数列的通项公式为， 所以当时，， 所以数列是等比数列，B正确； 对于C，直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，所以与不共线， 所以直线与平面不垂直，C错误； 对于D，因为，， 所以， 所以，所以，D正确. 故选：BD. 10. 已知曲线E：，其焦点为F，下列说法中正确的是（ ） A. 若P为曲线E上一点，，则 B. 若P为曲线E上一点，则P到直线l：的距离最小值为 C. 过F的直线l交曲线E于A，B两点，若l的倾斜角为，则 D. 过F的直线，分别交曲线E于A，B，C，D四点，若，则的最小值为16 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用抛物线定义，结合几何图形求解判断A；利用点到直线距离公式求出最小值判断B；利用弦长公式求解判断CD. 【详解】抛物线的焦点，准线 对于A，过作准线的垂线，垂足分别为，交抛物线于，连接， 则， 当且仅当重合时取等号，A正确； 对于B，设，P到直线l：的距离， 当且仅当，即点时取等号，B正确； 对于C，直线的方程为，由消去得， 设的横坐标分别为，则，，C错误； 对于D，直线的斜率都存在且不为0，设直线的方程为，， 由消去得，则， ，直线的方程为， 同理，因此， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 11. 在三棱柱中，若底面是边长为的等边三角形，为线段上的任意一点（不与，重合），则下列说法中正确的是（ ） A. 若为中点，为平面上任意一点，且，则三棱锥体积的最大值为 B. 若侧面为菱形，，，则与平面所成角的正弦值为 C. 若三棱柱体积为，则四棱锥体积为 D. 若平面，当平面平面，且是面积为的等腰直角三角形，则三棱柱的外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据，得到点在以为直径的圆上，要使得三棱锥体积最大时，平面，可判定A不正确；先证得平面平面，过点作，垂足为，证得平面，得到为与平面所成的角，在中，求得的值，可判定B正确；结合，可判定C正确；取的中点，连接，再点作，证得平面，得到，设，结合题意求得，取三棱柱上下底面的中心分别为，再取的中点，连接，得到为三棱柱外接球的半径，结合球截面圆的性质，求得外接球的半径，结合表面积公式，即可求解. 【详解】对于A中，若为中点，为平面上任意点，且， 如图（1）所示，由，所以，所以， 所以点在以为直径的圆上，所以， 要使得三棱锥体积最大，即三棱锥体积最大即可， 此时平面，所以体积的最大值为， 所以A不正确； 对于B中，如图（2）所示，因为侧面为菱形，，可得， 连接，由点为的中点，可得， 又因为为等边三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 过点作，垂足为， 因为平面平面，所以平面， 所以为与平面所成的角， 在中，由，可得，所以， 所以与重合，在直角中，，所以， 则，所以，所以B正确； 对于C中，设三棱柱的高为， 由三棱柱体积为，可得， 在三棱柱中，可得平面， 因为点为线段上任意点，所以点和到平面的距离相等， 由，所以，所以C正确； 对于D中，若平面，且底面为等边三角形，所以棱柱为正三棱柱， 取的中点，连接，则， 又因为平面，平面，所以， 因为且平面，所以平面， 过点作，且，可得四边形为矩形， 所以，所以平面， 因为平面，所以， 又因为是面积为3的等腰直角三角形，所以， 此时点为的中点，设，可得, 可得，解得，所以， 取三棱柱上下底面的中心分别为，再取的中点，连接， 则为三棱柱外接球的半径， 在直角中，，可得， 所以三棱柱的外接球的表面积为，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：对于立体中的综合问题的求解策略 1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题； 2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； 4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线 的焦点到准线的距离为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的定义知，焦点到准线的距离为p. 【详解】由抛物线方程知，，， 所以焦点到准线的距离为2. 【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，几何性质，属于容易题. 13. 设双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，过作直线的垂线与双曲线交于两点，若，则该双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可得，从而可得，再结合条件可得，即可求解. 【详解】由，令，得到，所以， 如图所示，， 则，又，所以， 得到，即，整理得到， 所以，解得或（舍），所以， 故答案为：. 14. 在正项等比数列中，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质计算可求得结果. 【详解】因为数列为正项等比数列，， 所以， 又. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C：关于直线对称，且过点． （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若直线l过点，且与圆C交于A，B两点，满足，求直线l的方程． 【答案】（1），． （2）或． 【解析】 【分析】（1）由圆的一般式方程可得圆心为，用两点之间的距离得到径,即可得到结果. （2）首先将直线分为斜率不存在时与斜率存在时，再利用弦长公式即可得到直线方程. 【小问1详解】 根据题意，圆C：的圆心为， 因为圆C关于直线对称，所以点C在直线上，可得，即， 由点在圆C上，可得，解得，所以， 圆心为，半径． 【小问2详解】 由（1）得圆C的标准方程为， ①当直线l的斜率不存在时，直线l：，交圆C于点，，此时，符合题意； ②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，即． 若圆心到直线l的距离为d，则，解得． 所以，解得，所以直线l的方程为． 综上：直线l的方程为或． 16. 如图，在三棱锥中，，，，为中点，点Q满足． （1）证明：面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）连接，因为，， 所以是正三角形，故， 同理可得，所以， 因为为的中点，所以， 由三线合一性质得， 因为，所以， 因为，所以由直角三角形中线性质得， 结合，由勾股定理得， 所以， 故，因为，面， 所以面． （2）45° 【解析】 【分析】（1）首先证明等为正三角形，再利用三线合一的性质得到垂直于，再由与的关系得出垂直于，结合勾股定理证明垂直于，最后依据线面垂直的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合二面角是锐角的条件，利用二面角的向量求法求解二面角的角度即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，， 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 设，故，， 因为，所以，，， 解得，，，故， 而是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量， 则，即，取，解得，， 故，设二面角为， 故， 由题意得二面角为锐角，则， 故二面角的大小为． 17. 已知数列的前项和为，，，其中． （1）若，求证：为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）对任意的，，， ①当时，，又， 解得， ②当时，因为， 用替换可得， 两式相减可得， 即有，可得， 因为，则， 因为，，所以， 对任意的，，所以， 因此是首项和公比均为的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由条件取，结合可求，当时，用替换，两式相减可得，结合等比数列定义证明结论； （2）由（1）可得，利用错位相减法求结论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， ∵，∴， ∴上式两端同乘以得到等式， 两式相减可得： 所以 化简可得． 18. 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别为一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆为“共轴”曲线，且椭圆，（，分别为曲线的离心率）．已知O为坐标原点，点，点P为双曲线右支上不同于顶点的一点． （1）求双曲线的方程； （2）延长线段PO到点Q，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； （3）点A，B分别为双曲线的左、右顶点，直线PM交双曲线的左支于点R，直线AP，BR的斜率分别为，．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意，设双曲线方程为：，利用求出的值，即得双曲线方程； （2）设，由得到，由题意建立方程组，解之即得； （3）设直线的方程为，，，将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，计算并化简，利用韦达定理和积互化，即得定值，从而得解. 【小问1详解】 由题意，可设双曲线方程为：， 因为，解得， 则双曲线的方程为. 【小问2详解】 设，因为，所以，， 因为点在椭圆上，则得，① 因为点P为双曲线上任意一点，所以，② 联立①②，解得，由于，所以点P的坐标为或． 【小问3详解】 由已知得，直线PR的斜率必存在且不为0， 设直线PR的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 因为双曲线的渐近线方程为，直线PM交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以， 由韦达定理得，， 可得到关系式：， 所以 ． 综上所述存在实数，使得． 【点睛】关键点点睛：关键在于将直线与圆锥曲线方程联立，写出韦达定理后，要建立两根和与积的数量关系，为下一步处理非对称式时和积互化奠定基础. 19. 若数列满足“，，有”，则称数列具有“性质P”．已知数列为无穷数列． （1）若数列为等比数列，且首项，判断数列为否具有“性质P”，并说明理由； （2）若数列为等差数列，且公差，求证：数列不具有“性质P”； （3）若等差数列具有“性质P”，且，，求数列的通项公式． 【答案】（1）数列具有“性质P”，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设数列的公比为q，则，，根据条件整理得出，所以数列具有“性质P”； （2）由已知可得，分和两种情况讨论，都得出不存在正整数k，使得，可得数列不具有“性质P”； （3）设数列的公差为d，则，且对任意，都存在正整数k，使得，结合条件可求出或，即可求出数列的通项公式. 【小问1详解】 数列具有“性质P”． 事实上，设数列的公比为q，则，． 对任意正整数，，，，，∴． 所以数列具有“性质P”． 【小问2详解】 由已知 ①若，则，，所以不存在正整数k，使得． ②若，则当时，，从而，所以不存在正整数k，使得． 综上，当时，数列不具有“性质P”． 【小问3详解】 设数列的公差为d，则． 由已知，对任意，都存在正整数k，使得， 即，整理得， 若，则上式即为，矛盾，∴，且，（*） 由，则，（**） 由（2）知，又由（*）、（**）可得或． 当时，，不满足要求． ∴，．验证满足要求，故． 【点睛】关键点点睛：关键在于理解定义，结合定义以及等比数列与等差数列的性质进行计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $