专题05 新定义及阅读理解题-2024-2025学年华东师大版七年级数学下册期末解答压轴题必刷专项训练

专题05新定义及阅读理解题 1．【问题情境】如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，将直角三角板如图摆放．其中，，直角边与直线重合，另一边在直线上方，过点在直线上方作射线，，将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒． 【初探发现】当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时______； 【深入探究】（1）若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出的取值，若不存在，请说明理由； （2）是否存在值，使，若不存在，请说明理由；若存在，直接写出的值． 2．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，我们就称这两个方程为同解方程．例如：方程与方程的解都为，所以它们为同解方程． (1)若方程与关于x的方程 是同解方程，求k的值． (2)若关于x的方程与是同解方程，求a的值． (3)若关于x的两个方程与是同解方程，试求的值． 3．阅读理解：如果两个方程的解相差10，则称这两个方程为“十全十美方程”．例如方程和方程是“十全十美方程”． (1)判断方程和方程是否是“十全十美方程”？ (2)若方程与方程是“十全十美方程”，求的值． 4．完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品．苏州（姑苏）是中国眼镜的发源地，明代崇祯初年（），苏州眼镜技师孙云球将制造眼镜技术进一步发扬光大． 索材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率（利润率利润成本），则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 5．阅读材料，解决问题： 参考数据 材料1 谷物、牛奶、牛肉、鸡蛋的蛋白质含量 食品种类 谷物 牛奶 牛肉 鸡蛋 每所含蛋白质 10 3 20 15 材料2 有研究认为，周岁男性每天约需要摄入蛋白质． 问题解决 问题1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，则该份早餐中蛋白质总含量为______． 问题2 某天中学生小强刚好通过谷物和牛肉共实现了蛋白质的摄入量，这天他摄入谷物和牛肉各多少克？ 6．若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 7．综合与实践 【项目背景】 干支纪年是中国传统的纪年方法，由十个天干和十二个地支搭配而成(如下图)． 十个天干与十二个地支中的前十个分别按顺序搭配，例如天干之“甲”与地支之“子”相搭配，便形成了干支纪年的第一个组合“甲子”，然后“乙”与“丑”搭配，形成“乙丑”，等等，第一个十年如下： 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉 第二个十年是把前一个十年未参与的“戌”和“亥”排在地支最前面，后面依次是“子、丑、寅、……”，天干和地支仍按顺序搭配，得到组合如下： 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰 辛巳 壬午 癸未 第三个十年从“甲申”开始，依此类推，周而复始． 【内容理解】 （1）干支纪年中， “甲丑”年(填“有”或“没有”)；干支纪年的一个周期为 年； 【问题探究】 （2）中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70周年是 年(填干支组合)；在一个周期内，“甲子”年是第1年，“戊戌”年是第 年(填序号)． 【知识运用】 （3）小红是七年级学生，她的弟弟比她小5岁，甲辰年小红和弟弟的年龄之和刚好是爸爸年龄的一半，20年以后，小红和弟弟年龄之和比爸爸的年龄大1岁．用干支纪年表示，小红是哪一年出生的？ 8．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．如图1，这是“洛书”的示意图．数出图1中各处的圆圈和圆点的个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图2），此时每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为15． (1)①如图3，当______时，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等； ②若将，，，1，3，5，7，9，11这9个数填入图4的九个格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则______． (2)将幻方迁移到月历，如图5，这是2024年12月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是189．”该同学的说法正确吗？请说明理由． 9．[核心素养]对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：．例如：，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 10．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们在三角形中增加一些几何元素，探索角之间的数量关系．已知在中，，的平分线交于点D．点P是边上的一个动点，过点P作交边于点E．设的度数为． 初步探究：（1）如图，当点P在线段上运动时（不与A，D重合），善思小组的同学作的外角的平分线，交的延长线于点F．他们提出如下问题．请你解答： ①当时，求的度数； ②用含的代数式表示的度数为__________； 深入探究：（2）类比（1）的思路，善思小组进一步探究点P在线段上运动时的情形（不与C，D重合），他们作的外角的平分线PN，交直线于点F（点F不与点B重合），发现与之间存在一定的数量关系．请直接写出相应的的度数．（用含的代数式表示）    11．虹吸现象是液态分子间引力与高度差所造成的，即利用水柱压力差，使水上升后再流到低处．由于管口处承受不同的压力，水会由压力大的一边流向压力小的一边，直到管口处压力相等，即相对水平面，两个容器内的水面平齐，水就会停止流动（如图1）． 如图2，有甲、乙两个圆柱形容器，甲容器底面积是乙容器底面积的2倍，高度均为，甲容器下方垫有一高度为的长方体木块；未发生虹吸现象前，甲容器内水位高度为，乙容器内无水．若发生虹吸现象，甲容器中的水不断流入乙容器中．（导管与导管内的液体体积忽略不计，圆柱体的体积＝底面积×高） (1)①当甲容器内水位下降，则乙容器内水位上升 ； ②当时，试判断虹吸现象过程中乙容器内的水是否会溢出？直接写出答案： （填：“会”或“不会”） (2)当虹吸现象结束时，若乙容器内水位深度是甲容器内水位深度的3倍，请求出此时长方体木块高度的值； (3)小结你在探究过程中发现的等量关系，并记录下来（两条即可） ① ； ② ． 12．材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称“洛书”，即现在的三阶幻方，三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等．    (1)图1中，________，________，________； (2)由图1，计算：的值； (3)图2所示是“整式和幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个整式之和均相等，求k的值． 13．【问题提出】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 14．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们称这两个方程为“美好方程”．例如：方程与为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是美好方程，求的值； (2)若一元一次方程与一元一次方程是“美好方程”，且这两个方程的解的差为5，方程的解为，直接写出的值． 15．如图1，射线在的内部，与的大小之比定义为射线的分割值，，n为射线与的“分割值”，记为&（，）． 例如，，则，即&（，），反之&（，），则． (1)如图2，射线在的内部， 若射线是的平分线，则 ； 若，，则 ； (2)如图3，，，射线从位置开始，绕点D按顺时针方向匀速旋转，到达时立即原速返回，射线从位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为t秒．若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒． 当到达时，求的值； 若，求t的值． 16．阅读材料：如果等式成立，那么我们就称为等式成立的“奇妙数对”．例如，时可以使等式成立，我们就称为成立的“奇妙数对”． (1)应用：若是“奇妙数对”，求的值； (2)提升：若是成立的“奇妙数对”，求代数式的值． 17．我们规定一种运算，如，按照这种运算规定，解答下列各题： (1)计算 ； (2)若，求x的值． 18．（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题： (1)__________， __________； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求满足的所有非负数的值． 19．定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 20．若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的其中一个解，且满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程” (1)已知关于的方程：①，②．哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出对应的序号___________． (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值． 试卷第16页，共16页 试卷第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05新定义及阅读理解题 1．【问题情境】如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，将直角三角板如图摆放．其中，，直角边与直线重合，另一边在直线上方，过点在直线上方作射线，，将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒． 【初探发现】当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时______； 【深入探究】（1）若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出的取值，若不存在，请说明理由； （2）是否存在值，使，若不存在，请说明理由；若存在，直接写出的值． 【答案】初探发现：；（1），；（2）存在，或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差运算，一元一次方程，掌握分类讨论思想是关键． 初探发现：先根据补角的定义求出的度数，再根据角平分的定义求出的度数，最后根据余角的定义即可求出的度数； （1）分两种情况讨论，①当平分时；②当平分时，可分别求出的值； （2）分情况讨论：当重合时，当时，如图，当时，如图，当时，如图，再进一步利用建立方程求解即可． 【详解】解：初探发现：， ， 平分， ， ， ； （1）存在，理由如下： ∵最长旋转时间为：， ①如图，当平分时， ， ∴， 解得； ②如图，当平分时， ， ∴， 解得； 综上所述，，； （2）当重合时，， 当时，如图， ，， ∵， ∴， 解得：； 当重合时，， 当时，如图， ，， ∵， ∴， 解得：， 当时，如图， ，， ∵， ∴， 解得：，不符合题意，舍去， 综上：当时，或. 2．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，我们就称这两个方程为同解方程．例如：方程与方程的解都为，所以它们为同解方程． (1)若方程与关于x的方程 是同解方程，求k的值． (2)若关于x的方程与是同解方程，求a的值． (3)若关于x的两个方程与是同解方程，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同解方程，整体代入的数学思想，解决本题的关键是理解题意进行准确计算． （1）根据方程与 是同解方程，即可求出k的值； （2）根据方程与是同解方程，用含a的式子表示x，即可求a的值； （3）根据方程与是同解方程，利用整体思想将得出的，代入化简后的式子即可求值． 【详解】（1）解：解方程，得， 把代入，得， 解得：； （2）解：由方程，得， 解方程，得， 由题意，得， 解得； （3）解：由，得， 解，得， 由题意，得， 整理，得：， ， 因为， 所以， 所以， 所以． 3．阅读理解：如果两个方程的解相差10，则称这两个方程为“十全十美方程”．例如方程和方程是“十全十美方程”． (1)判断方程和方程是否是“十全十美方程”？ (2)若方程与方程是“十全十美方程”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)或 【分析】本题考查一元一次方程的解法和新定义方程，解题关键是明确题目中“十全十美方程”的含义，准确解方程； （1）解两个方程，根据“十全十美方程”的定义判断即可； （2）解方程，再根据“十全十美方程”的定义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； ， ， ， ， 方程和方程不是“十全十美方程”． （2）解：， ， ； ， ， 方程与方程是“十全十美方程”， 则， 或． 4．完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品．苏州（姑苏）是中国眼镜的发源地，明代崇祯初年（），苏州眼镜技师孙云球将制造眼镜技术进一步发扬光大． 索材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率（利润率利润成本），则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 【答案】任务一：每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好配套；任务二：要达到的利润率，每副镜架的出厂价应定为元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系． （1）设名工人生产镜框，则名工人生产镜腿．根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据定价=成本利润率即可求解． 【详解】解：（1）设名工人生产镜框，则名工人生产镜腿． 由题意，得， 解方程，得． ． 答：每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好配套． （2）（元）． 答：要达到的利润率，每副镜架的出厂价应定为元． 5．阅读材料，解决问题： 参考数据 材料1 谷物、牛奶、牛肉、鸡蛋的蛋白质含量 食品种类 谷物 牛奶 牛肉 鸡蛋 每所含蛋白质 10 3 20 15 材料2 有研究认为，周岁男性每天约需要摄入蛋白质． 问题解决 问题1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，则该份早餐中蛋白质总含量为______． 问题2 某天中学生小强刚好通过谷物和牛肉共实现了蛋白质的摄入量，这天他摄入谷物和牛肉各多少克？ 【答案】问题1：25；问题2：他摄入谷物，牛肉． 【分析】此题考查了有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 问题1：根据题意列出算式求解即可； 问题2：设摄入谷物，则牛肉，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】问题1： ∴该份早餐中蛋白质总含量为； 问题2：设摄入谷物，则牛肉 由题意得， 解得， 所以， 答：他摄入谷物，牛肉． 6．若规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵，∴方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，组合满足为“值1方程”的是______，组合满足“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值； (3)无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，求mn的值． 【答案】(1)①②，①③ (2)或 (3)的值为或． 【分析】（1）先求出各个方程的解，然后根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出关于a的方程，解方程即可； （3）先求出两个方程的解，再根据“值Q方程”的定义，列出含有k，m，n的方程，然后根据无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”，列出关于m的方程，求出m，再求出n，从而求出答案即可． 【详解】（1）解：①， ； ②， ， ， ， ； ③， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴组合满足为“值1方程”的是①②，组合满足“值6方程”的是①③， 故答案为：①②，①③； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴， ∴，，， 解得：或18； （3）解：，，， ， ， ， ， ∵x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， ， ∴或5， 或15，即或15， ∵无论k取任何数，关于x的方程与关于y的方程是“值3方程”， ∴， 解得， ∴或15， 把代入得： ， ， ； 把代入得： ， ， ； 当，时， ； 当，时， ； ∴的值为或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和新定义，解题关键是理解已知条件新定义的含义． 7．综合与实践 【项目背景】 干支纪年是中国传统的纪年方法，由十个天干和十二个地支搭配而成(如下图)． 十个天干与十二个地支中的前十个分别按顺序搭配，例如天干之“甲”与地支之“子”相搭配，便形成了干支纪年的第一个组合“甲子”，然后“乙”与“丑”搭配，形成“乙丑”，等等，第一个十年如下： 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉 第二个十年是把前一个十年未参与的“戌”和“亥”排在地支最前面，后面依次是“子、丑、寅、……”，天干和地支仍按顺序搭配，得到组合如下： 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰 辛巳 壬午 癸未 第三个十年从“甲申”开始，依此类推，周而复始． 【内容理解】 （1）干支纪年中， “甲丑”年(填“有”或“没有”)；干支纪年的一个周期为 年； 【问题探究】 （2）中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70周年是 年(填干支组合)；在一个周期内，“甲子”年是第1年，“戊戌”年是第 年(填序号)． 【知识运用】 （3）小红是七年级学生，她的弟弟比她小5岁，甲辰年小红和弟弟的年龄之和刚好是爸爸年龄的一半，20年以后，小红和弟弟年龄之和比爸爸的年龄大1岁．用干支纪年表示，小红是哪一年出生的？ 【答案】（1）没有，（2）丁丑，（3）壬辰年 【分析】本题考查考查了规律型：数字的变化类，一元一次方程的应用，读懂题目介绍的干支纪年法是解题的关键． （1）根据干支纪年表即可得到答案； （2）由干支纪年表中的信息即可得到答案； （3）设甲辰年小红的年龄为，则弟弟的年龄为，爸爸的年龄为，根据题意列方程，解方程，再根据干支纪年表中的信息，即可得到答案． 【详解】解：（1）如干支纪年表所示， 干支纪年中没有甲丑年，干支纪年的一个周期为年， 故答案为：没有，； （2）如干支纪年表所示，中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70周年是丁丑年，在一个周期内，“甲子”年是第1年，“戊戌”年是第年， 故答案为：丁丑，； （3）设甲辰年小红的年龄为，则弟弟的年龄为，爸爸的年龄为，根据题意列方程得， 解得：， 如干支纪年表所示年之前为壬辰年， 小红是壬辰年出生的． 8．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．如图1，这是“洛书”的示意图．数出图1中各处的圆圈和圆点的个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图2），此时每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为15． (1)①如图3，当______时，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等； ②若将，，，1，3，5，7，9，11这9个数填入图4的九个格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则______． (2)将幻方迁移到月历，如图5，这是2024年12月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是189．”该同学的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)①；②3 (2)该同学的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据幻方的特点，得到每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍是解题的关键． （1）①根据题意，列出方程进行计算即可； ②根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍，列出方程进行求解即可； （2）设阴影方框的中央位置的数为x，根据题意，列出方程求出x的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：①由题意得， 解得， 故答案为：； ②根据题意得， 解得， 故答案为：3； （2）解：正确．理由如下： 设阴影方框的中央位置的数为x， 由题意得， 解得， 当阴影方框中央位置数字为21时，方框中的9个数的和是189，故该同学的说法正确． 9．[核心素养]对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：．例如：，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方不等式和一元一次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据题意得到，然后解方程即可； （2）根据题意得到，然后解不等式即可． 【详解】（1）根据题意，得， 解得． （2）根据题意，得， 解得． 10．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们在三角形中增加一些几何元素，探索角之间的数量关系．已知在中，，的平分线交于点D．点P是边上的一个动点，过点P作交边于点E．设的度数为． 初步探究：（1）如图，当点P在线段上运动时（不与A，D重合），善思小组的同学作的外角的平分线，交的延长线于点F．他们提出如下问题．请你解答： ①当时，求的度数； ②用含的代数式表示的度数为__________； 深入探究：（2）类比（1）的思路，善思小组进一步探究点P在线段上运动时的情形（不与C，D重合），他们作的外角的平分线PN，交直线于点F（点F不与点B重合），发现与之间存在一定的数量关系．请直接写出相应的的度数．（用含的代数式表示）    【答案】（1）①，②；（2）或 【分析】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）①先求出的度数，由外角的性质可求解； ②先求出的度数，由外角的性质可求解； （2）分为两种情况：当点F在线段上时及当点F在线段的延长线上时，分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）①，平分， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ； ②，平分， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， 故答案为：； （2）如图2，当点F在线段上时，      ①，平分， ， ， ，， ， 平分， ， ， ． ②如图3，当点F在线段的延长线上时，   ，平分， ， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， 综上所述，或． 11．虹吸现象是液态分子间引力与高度差所造成的，即利用水柱压力差，使水上升后再流到低处．由于管口处承受不同的压力，水会由压力大的一边流向压力小的一边，直到管口处压力相等，即相对水平面，两个容器内的水面平齐，水就会停止流动（如图1）． 如图2，有甲、乙两个圆柱形容器，甲容器底面积是乙容器底面积的2倍，高度均为，甲容器下方垫有一高度为的长方体木块；未发生虹吸现象前，甲容器内水位高度为，乙容器内无水．若发生虹吸现象，甲容器中的水不断流入乙容器中．（导管与导管内的液体体积忽略不计，圆柱体的体积＝底面积×高） (1)①当甲容器内水位下降，则乙容器内水位上升 ； ②当时，试判断虹吸现象过程中乙容器内的水是否会溢出？直接写出答案： （填：“会”或“不会”） (2)当虹吸现象结束时，若乙容器内水位深度是甲容器内水位深度的3倍，请求出此时长方体木块高度的值； (3)小结你在探究过程中发现的等量关系，并记录下来（两条即可） ① ； ② ． 【答案】(1)① 20；② 不会 (2)长方体木块高度为 (3)①当乙容器没有溢出时，甲容器流出水的体积与乙容器流入水的体积相等；②当虹吸现象结束时，甲容器水位深度乙容器水位深度 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准数量关系列方程是解题的关键． （1）①设乙容器底面积是，则甲容器底面积是，然后用下降的水的体积除以乙容器的底面积计算即可解题；②计算出甲、乙容器虹吸结束后的水面高度即可解题； （2）设虹吸现象结束时，甲容器内水位深度为，则乙容器内水位深度是的，根据题意列方程解题求出的值，然后根据求出即可； （3）根据探究过程中发现，写两条等量关系即可． 【详解】（1）解：①设乙容器底面积是，则甲容器底面积是， ∴乙容器内水位上升的高度为， 故答案为：20； ②乙容器内的水不会溢出，理由为： 当乙容器内的水满时，甲容器水位下降为， 这时甲容器中水位离桌面距离为， ∴当时，乙容器内的水不会溢出． （2）解：设虹吸现象结束时，甲容器内水位深度为，则乙容器内水位深度是的， ∴， 解得：， ∴长方体木块高度． （3）解：根据探究过程发现： ①当乙容器没有溢出时，甲容器流出水的体积与乙容器流入水的体积相等； ②当虹吸现象结束时，甲容器水位深度乙容器水位深度． 12．材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称“洛书”，即现在的三阶幻方，三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等．    (1)图1中，________，________，________； (2)由图1，计算：的值； (3)图2所示是“整式和幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个整式之和均相等，求k的值． 【答案】(1)；， (2) (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，求解代数式的值，整式的加减运算． （1）根据“和幻方”每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等列方程即可求字母的值； （2）根据“和幻方”每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等求出，整体代入求值即可； （3）根据“和幻方”每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等可得，再建立方程即可． 【详解】（1）解：根据“和幻方”每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等，列方程得，，解得：， ，解得：， ，解得：； ∴； （2）解：根据“和幻方”每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等得， ， ∴， ∴． （3）解：根据“和幻方”每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等得， ， ∴， ∴， 解得， 13．【问题提出】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题． 【解决问题】如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 证明过程如下：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以______，______． 所以______． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中在与直线的交点上，即，，三点共线），本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【拓展延伸】如图所示，点是锐角内部的一点．请你在边和边上分别找到点，，使得的周长最小． 【答案】[解决问题]，，； [拓展延伸]见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边的关系、以及两点之间线段最短等知识，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键． [解决问题]利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决； [拓展延伸]作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，根据两点之间线段最短，P、Q即为所求． 【详解】[解决问题] 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，， 因为直线是点，的对称轴，点，在直线上， 所以，． 所以． 因为在中，（三角形的两边之和大于第三边） 所以，即最小． 故答案为： ，，； [拓展延伸] 解：如图所示，作出点M关于的对称点，点M关于的对称点，连接，交于P，交于Q，此时的周长最小． 14．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们称这两个方程为“美好方程”．例如：方程与为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是美好方程，求的值； (2)若一元一次方程与一元一次方程是“美好方程”，且这两个方程的解的差为5，方程的解为，直接写出的值． 【答案】(1) (2)3或 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解“美好方程”的定义是解此题的关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义得出，求解即可； （2）根据“美好方程”的定义得出另一个方程的解为，结合题意列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：解得， 解得， ∵关于的方程与方程是美好方程， ∴， 解得； （2）解：∵“美好方程”的两个方程解的和为1，其中一个解为y ∴另一个方程的解为： 又∵两个方程解的差为5， ∴或， ∴或， ∴的值为3或． 15．如图1，射线在的内部，与的大小之比定义为射线的分割值，，n为射线与的“分割值”，记为&（，）． 例如，，则，即&（，），反之&（，），则． (1)如图2，射线在的内部， 若射线是的平分线，则 ； 若，，则 ； (2)如图3，，，射线从位置开始，绕点D按顺时针方向匀速旋转，到达时立即原速返回，射线从位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为t秒．若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒． 当到达时，求的值； 若，求t的值． 【答案】(1)； (2)，t的值为或 【分析】本题依托“分割值”主要考查角度之间的倍积关系和一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据角平分线的定义以及“分割值”的定义求解即可 ；根据角的和差关系以及“分割值”的定义求解即可； （2） 当到达时，，可以求出的度数，从而求出的值 ；分两种情况，根据列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：若射线是的平分线， ，即． ． 故答案为∶． 由题意可得∶． ． ． 故答案为∶． （2）解： 当到达时， ． ， 当由向运动时， ， ． 解得：． 当由向运动时， ， ． 解得：． 综上所述，t的值为或． 16．阅读材料：如果等式成立，那么我们就称为等式成立的“奇妙数对”．例如，时可以使等式成立，我们就称为成立的“奇妙数对”． (1)应用：若是“奇妙数对”，求的值； (2)提升：若是成立的“奇妙数对”，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，整式的化简求值，新定义： （1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义得到，再把所求式子去括号，合并同类项化简后利用整体代入法代值计算即可． 【详解】（1）解：∵是“奇妙数对”， ∴， 解得； （2）解：∵是成立的“奇妙数对”， ∴， ∴， ∴ ． 17．我们规定一种运算，如，按照这种运算规定，解答下列各题： (1)计算 ； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解一元一次方程，掌握运算法则和解一元一次方程的方法是关键． （1）根据，列出算式即可求解； （2）根据题意列出一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：∵， ∴， 整理得：， 解得：． 18．（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题： (1)__________， __________； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求满足的所有非负数的值． 【答案】(1)2；2 (2) (3)或2或 【分析】本题以新定义为背景，考查了一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，求出相应的数值． （1）根据题意和四舍五入法，可以写出题目中的数据的结果； （2）根据题意和，可以得到不等式组，然后求解即可； （3）根据题意和，可以设，然后可以得到，从而可得关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围，进而求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：2，2； （2）解：由题意可得：， 解得， 故答案为：； （3）解：设，为整数，则，， ，解得． 为整数， 或2或3， 时，，； 时，，； 时，，； 或2或． 19．定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②－①，得， 解方程组得． 20．若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的其中一个解，且满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程” (1)已知关于的方程：①，②．哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出对应的序号___________． (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值． 【答案】(1)② (2)91或95 【分析】本题是新定义题，考查了解一元一次方程及含绝对值的方程等知识，有一定的综合性，理解题中新定义，会解含有参量的一元一次方程是解题的关键． （1）分别求出三个方程的解，再验证即可； （2）先解方程，求得或，再求出关于的方程的解，根据题意可分别求得的值． 【详解】（1）解：解得：； 解得，； 解得：， 而， 所以是一元一次方程的“友好方程”， 故答案为②； （2）解：对于， 解得：或， 对于方程 解得：， ∴当时， 解得：； 当，， 解得：， 综上所述：的值为91或95． 试卷第20页，共30页 试卷第21页，共30页 学科网（北京）股份有限公司 $$