第6章 一次方程组 （单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版2024）

第6章 一次方程组 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列方程属于二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，正确理解二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：A、只有一个未知数，故不是二元一次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是整式方程，故不是二元一次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，故是二元一次方程，符合题意； D、含有两个未知数，但未知数项的次数是2，故不是二元一次方程，不符合题意． 故选：C． 2．下列四组值中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把各项中x与y的值代入方程检验即可． 【详解】解：A、把代入方程得：左边，左边右边，不是方程的解，该选项不符合题意； B、把代入方程得：左边，左边右边，不是方程的解，该选项不符合题意； C、把代入方程得：左边，左边右边，不是方程的解，该选项不符合题意； D、把代入方程得：左边，左边右边，是方程的解，该选项符合题意； 故选：D． 3．已知是关于的二元一次方程的一个解，则k的值是（    ） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得：， ∴； 故选C． 4．已知，当时，；当时，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到关于k、b的二元一次方程组是关键．把x与y的值分别代入中，得到关于k、b的二元一次方程组，解二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 5．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少．”设人数为x，物价为y钱．根据题意，下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】略 6．关于x、y的方程组的解是则的值是（   ） A．4 B．9 C．5 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组求出、的值是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 解得， 所以，． 故选：B． 7．学习情境▪墨迹覆盖关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入可得，则，即可求解． 【详解】解：把代入可得， 由题意得，解得， 故选：D． 8．我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．5000 B．4000 C．5800 D．4800 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为， 设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 由题意可得， 两式相加可得， 解得：， 故这对轮胎最多可以行驶公里， 故选：D． 9．已知方程组的解满足，求的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组以及解一元一次方程，欲求，先求与，联立方程组，求出解后再代入，求解即可．熟练掌握解二元一次方程组以及解一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解满足， 联立方程组， 解得：， ∴， 解得：， ∴的值为． 故选：D． 10．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，，，那么的最大值是（    ） A． B． C． D．１ 【答案】B 【分析】根据题意得，，，代入，已知是正整数，其最小值为1，于是的最大值是． 【详解】解：， ， 又，，， ，，， ， 是正整数，其最小值为1， 的最大值是． 故选：B． 【点睛】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．写出一个解为的二元一次方程 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．将，的值代入中，即可得出结论． 【详解】解：当，时，， 二元一次方程的一组解为． 故答案为：（答案不唯一）． 12．已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】利用等式的基本性质将原式变形即可．本题主要考查了用代入法解二元一次方程组，熟练掌握用代入法解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 【详解】∵， ∴． 故答案为： 13．若是关于x、y的二元一次方程，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数为1的整式方程，据此列式，即可作答． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．若关于x，y的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的加减消元法的应用，熟练掌握加减消元法是解题的关键．将两式相减即可． 【详解】解：， ，得， 故答案为：． 15．若方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知解一元二次方程组的加减消元法是解题的关键．先把方程组中的方程相减求出的值，再与相比较即可得出的值． 【详解】解：， 得，， ， ， 解得． 故答案为：1． 16．如图，长方形含有3个正方形，①号和②号一样大，若长方形的长为，宽为，则③号正方形的边长为 ． 【答案】/2厘米 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，表示出大长方形长和宽是解题的关键．设正方形①号的边长为，正方形③号的边长为，再根据长方形的长为，宽为，得到方程组解出a、b，即可求出结论． 【详解】解：设正方形①号的边长为，正方形③号的边长为，则正方形②的边长为， 长方形的长为，宽为， ， 解得：， 则③号正方形的边长为， 故答案为：． 17．新趋势·新定义  对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．若方程组的解与都是正整数且具有“邻好关系”，则正整数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过解方程组得到和，根据与都是正整数求出符合条件的正整数的值，最后根据再由验证即可． 【详解】解：， ①+②得，， ∴， 把代入得， ∵方程组的解与都是正整数， ∴或或或， ∴a的值为或0或1或2， ∴正整数的值的值只能是1或2， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 18．【概念感知】如图，第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，满八进一，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 【尝试应用】小明设计了一个n进制数，换算成十进制数是，则 ．（n为正整数） 【答案】9 【分析】本题考查了有理数的乘方、零指数幂、一元二次方程的应用，参照八进制数换算成十进制数的方法，建立方程，解方程即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 解得：，（不符合题意舍去）， 故答案为：9． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据代入消元法即可得到答案； （2）根据加减消元法即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①，得③ 把③代入②，得．解得， 把代入③，得， 原方程组的解为； （2）解： ①②，得，解得， 把代入①，得，解得， 原方程组的解为． 20．已知关于的二元一次方程组和的解相同，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题的关键是掌握“消元”的方法． 先解，求出，然后代入得，求出a， b，即可求出的平方根． 【详解】解：根据题意重新联立方程组，得 ①，得③， ②+③，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 方程组的解为， 方程组和的解相同， 将代入得 ④+⑤，得， 解得， 将代入④，得， 解得， ， 的平方根为． 21．阅读材料“轮换式方程组的解法”，然后解题． 材料：解方程组；解方程组． 解：将，得，即     将，得，即 将，得，即 将代入，得，即 所以原方程组的解为． 【答案】 【分析】本题考查了阅读型问题，解二元一次方程组，理解题意，弄清材料中的解题方法是解题的关键． 观察例题中方程组的特点找出规律，利用此规律解方程组即可． 【详解】解：将得，，即， 将得，， 将，得，即， 将代入，得，即， 所以原方程组的解为． 22．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功!小王和小花都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏.下面是两位同学的对话：    求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ 【答案】甲乙两种飞船模型每件的售价分别是元，元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组是解题的关键． 根据题意列方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲乙两种飞船模型每件的售价分别是元，元， 根据题意得， 解得， 答：甲乙两种飞船模型每件的售价分别是元，元． 23．如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一种书，并且要求书脊朝外，方便我们查阅．根据图中的数据，求这种书的厚度和竖放时的高度． 【答案】这种书的厚度为，竖放时的高度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先设这种书的厚度为，竖放时的高度为，然后根据题干信息找到等量关系，列出方程组，即可求解； 【详解】解：设这种书的厚度为，竖放时的高度为， 根据题意，得， 解得， 答：这种书的厚度为，坚放时的高度为． 24．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单： ，得，即． ，得． ，得，解得． 把代入，得． 所以这个方程组的解是 (1)请你运用小明的方法解方程组 (2)猜想关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组、阅读理解能力．解决本题的关键是读懂材料中提供的解题方法，利用材料中的方法解二元一次方程组． 仿照阅读材料中的解二元一次方程组的方法，把方程组中得到，然后把方程两边同时乘以得到方程，把方程和组成一个新的二元一次方程组，继续用加减消元法解二元一次方程组即可； 仿照阅读材料中的解二元一次方程组的方法求解即可． 【详解】（1）解： ，得， 整理得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 方程组的解是； （2）解：， 得：， 整理得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 方程组的解是， 故答案为：． 25．某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．    情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有的正方形纸板200张，的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．    情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．    情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4    根据以上信息，解决以下问题： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】(1)40个竖式无盖，80个横式无盖； (2)能，理由见解析 (3)240或245 【分析】（1）设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，列出方程组进行求解即可； （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可． 【详解】（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张，由题意，得： ，解得：； 答：可做40个竖式无盖纸盒，80个横式无盖纸盒； （2）能；理由如下： ∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板， ∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张； 设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意，得： ，解得：； ∴当制作竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为． （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意，得： ，解得：， ∵纸板的使用率为， ∴均为整数， ∵为中的数字， ∴或， ∴丙种纸板的数量为张或张． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 一次方程组 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列方程属于二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列四组值中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于的二元一次方程的一个解，则k的值是（    ） A． B．0 C．4 D． 4．已知，当时，；当时，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 5．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少．”设人数为x，物价为y钱．根据题意，下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 6．关于x、y的方程组的解是则的值是（   ） A．4 B．9 C．5 D．11 7．学习情境▪墨迹覆盖关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．5000 B．4000 C．5800 D．4800 9．已知方程组的解满足，求的值为（   ） A． B． C． D． 10．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，，，那么的最大值是（    ） A． B． C． D．１ 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．写出一个解为的二元一次方程 ． 12．已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 13．若是关于x、y的二元一次方程，则的值 ． 14．若关于x，y的二元一次方程组，则 ． 15．若方程组的解满足，则的值为 ． 16．如图，长方形含有3个正方形，①号和②号一样大，若长方形的长为，宽为，则③号正方形的边长为 ． 17．新趋势·新定义 ： 对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．若方程组的解与都是正整数且具有“邻好关系”，则正整数的值为 ． 18．【概念感知】如图，第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，满八进一，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 【尝试应用】小明设计了一个n进制数，换算成十进制数是，则 ．（n为正整数） 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．解下列方程组 (1) (2) 20．已知关于的二元一次方程组和的解相同，求的平方根． 21．阅读材料“轮换式方程组的解法”，然后解题． 材料：解方程组；解方程组． 解：将，得，即     将，得，即 将，得，即 将代入，得，即 所以原方程组的解为． 22．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功!小王和小花都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏.下面是两位同学的对话：    求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ 23．如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一种书，并且要求书脊朝外，方便我们查阅．根据图中的数据，求这种书的厚度和竖放时的高度． 24．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单： ，得，即． ，得． ，得，解得． 把代入，得． 所以这个方程组的解是 (1)请你运用小明的方法解方程组 (2)猜想关于，的二元一次方程组的解是________． 25．某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．    情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有的正方形纸板200张，的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．    情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．    情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4    根据以上信息，解决以下问题： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$