第6章 一次方程组（题型清单） （十四类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版2024）

第6章 一次方程组（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：二元一次方程组的基本概念 1.二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。一般形式为：ax+by=c（a、b、c为常数，且a、b均不为0）。 2.二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 3.二元一次方程（组）的解：能够使二元一次方程（或方程组）的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程（或方程组）的解。 要点二：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的基本思想：消元，化二元一次方程组为一元一次方程来解。 2.二元一次方程组的基本解法 （1）代入消元法（代入法）： 第一步：从方程组中找出或者由已知方程转化为y=kx+b或x=my+n的形式； 第二步：将方程y=kx+b或x=my+n代入另一个方程，消去一个未知数； 第三步：解所得的一元一次方程，求出一个未知数的值； 第四步：将所得未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值； 第五步：得出结论。 （2）加减消元法： 第一步：变形，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等； 第二步：消元，将两个方程的左右两边分别相加或相减，消去一个未知数； 第三步：解所得的一元一次方程，求出一个未知数的值； 第四步：将所得未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。 要点三：实际应用 列方程（组）解应用题的一般步骤： 第一步：审，即审清题意，分清题中的已知量和未知量之间的关系； 第二步：设，即设出关键的未知数； 第三步：列，即找出适当等量关系列出方程； 第四步：解，即解方程（组）； 第五步：验，即检验所解答案是否正确或是符合题意； 第六步：答，即规范作答，注意单位名称。 、。03 题型归纳 题型一　二元一次方程的定义和解 例题：若是关于的二元一次方程，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得． 故选C． 巩固训练 1．在下列二元一次方程中，有一组解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分别代入，，求值，即可判断求解， 本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是：熟练掌握二元一次方程的解． 【详解】解：将分别代入，， 得：，， 故选：C． 2．已知方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1次的整式方程；根据二元一次方程的概念求解即可，注意未知数x的系数非零． 【详解】解∶ ∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为∶1． 3．若是关于x、y的方程的解，则a值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，将代入得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得：， 故答案为：． 题型二　二元一次方程组的定义和解 例题：下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．利用二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，方程组含有二次项，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； B、，方程组含有二次项，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； C、，符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； D、，方程组含有3个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； 故选：C． 巩固训练 1．下列x和y的值不符合二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，将选项逐一代入，看左右两边是否成立即可． 【详解】解：将选项逐一代入， A. ，成立，故符合； B. ，成立，故符合； C. ，成立，故符合； D.，不成立，故不符合； 故选：D． 2．请任写一个方程与方程－2=10组成一个二元一次方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二元一次方程组的定义，写出一个含有字母为的二元次一次方程即可求解． 【详解】解：根据题意，与组成一个二元一次方程组的方程可以是： 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个这样的整式方程．像这样的方程组叫做二元一次方程组． 3．已知关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 … … 4 2 … 关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 … … 4 1 … 则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】分别从两个表格中找到两个方程的公共解，即可求解． 【详解】解：∵从两个表格中可知，是关于，的二元一次方程和关于，的二元一次方程的公共解， ∴关于，的二元一次方程组的解是 故答案为：． 【点睛】此题考查了含有字母参数的二元一次方程组的同解问题，关键是能通过两个表格找到两个方程的公共解． 题型三　三元一次方程组的定义和解 例题：用加减法解方程组较为简便的方法是（   ） A．先消x B．先消y C．先消z D．都一样 【答案】B 【分析】本题考查解三元一次方程组．观察方程组，第一个方程不含有未知数y，因此将第二和第三个方程联立，首先消去y，进而选择即可． 【详解】解：， ∵方程①只有两个未知数x和z组成，而方程②③中y前面的系数是倍数关系， ∴方程②③消去y较容易， 故选：B． 巩固训练 1．已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 【答案】D 【分析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方法解方程即可；先求解，，再利用整体代入法可得答案． 【详解】解：当时，①， 当时，②， 当时，③， 当时，④， ③①得：，即， ④②得：， ∴， ∴， ∴； 故选D 2．在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 【答案】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，代值列出三元一次方程组进行解答，即可． 【详解】解：由题可得：， 解得， ∴等式为， 故答案为：． 3．方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，先用得出关于x，z的方程组，再消去z求出x，然后代入分别求出答案即可． 【详解】解：， 得：； 得：， 解得， 将代入得：， 将，代入得：， 则方程组的解为， 故答案为． 题型四　二元一次方程组的解法 例题：解二元一次方程组用代入消元法消去x，得到的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用代入消元法消去系数为1的未知数项，从而达到消元的目的，掌握此知识点是解答本题的关键． 将①变形代入②即可消去x，得到方程． 【详解】解：， ①变形为, 将其代入②可得：， 即． 故选：D． 巩固训练 1．二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①＋②得，，求出，代入①得，，即可得到答案． 【详解】解： ①＋②得，， 解得， 把代入①得， ， 解得， ∴ 故选：A 2．已知方程组则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法把方程组中两个方程组相加可得：，再把方程两同时乘以即可得到答案． 【详解】解： 得：， 方程两同时乘以得：． 故答案为： ． 3．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （）利用加减法解答即可； （）先化简方程组，再利用加减法解答即可． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：方程组化简得，， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 题型五　三元一次方程组的解法 例题：已知是方程组的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了三元一次方程组的解，以及解三元一次方程组，方程组的解为能使方程组中每一个方程左右两边相等的未知数的值，本题的技巧性比较强，求不要求出，及的值，而是整体求出．由题意，可将，及的值代入方程组得到关于，，的方程组，将方程组中三个方程左右两边相加，变形后即可求出的值． 【详解】解：由题意将代入方程组得： ， 得：， 即， ∴． 故选：． 巩固训练 1．已知方程组，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组三方程相加即可求出所求． 【详解】解：， 得： ， ， ， 故选：A． 2．方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，涉及加减消元法解方程组，由②③得④，联立①④，利用加减消元法求解即可得到答案，熟练掌握加减消元法解方程组是解决问题的关键． 【详解】解：， 由②③得④， 由①④解得， 将代入①得， 将代入②得， 方程组的解为， 故答案为：． 3．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程组的方法，且消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）先把方程组中的第一个方程化简整理，然后用加减法解二元一次方程组即可． （2）先①②和①③消去，再解答即可． 【详解】（1）解：， 由①得：③， ②③得， 把代入②得：， 方程组的解：． （2）解：①②得：④， ①③得：⑤， ， ④⑤得：， 把代入④得：， 把代入②得：， ∴方程组的解为：． 题型六　二元一次方程组求参 例题：已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 由得，，即 解得：． 故选：A． 巩固训练 1．如果关于，的二元一次方程组的解，满足，那么是（   ） A．15 B． C．14 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用②减①求出，然后得出即可求出k的值． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 2．若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．两式相加得到，再根据题意得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：， 得， ∵关于，的方程组的解满足， ∴， 解得， 故答案为：1． 3．已知关于x，y的方程组与的解相同，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中没有参数的两个方程，组成新的方程，求出未知数的方程，再代入带参数的方程中，求出参数的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与的解相同， ∴，得，解得， 把代入②，得， ∴方程组的解为：， ∴， ∴，． 题型七　二元一次方程组的特殊解法 例题：已知当时，且，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，由当时，，且，可得，即可得，而当时，整体代入可得答案． 【详解】解：∵当时，，且， ∴， 得：③， 得：④， 得：， 当时， ， 故选：B． 巩固训练 1．已知二元一次方程组的解是则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】提示：令，则方程组可化为解得所以所以 2．已知方程组的解是则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，利用换元思想是解决本题的关键．将方程组中的两个方程两边同除以4，整理得，运用换元思想，得，进而可求得方程组的解． 【详解】解：∵， ∴ ∵的解是， ∴ 解得， 故答案为：． 3．阅读下列解题过程，将空格补充完整，借鉴其中一种方法解答后面给出的试题： 问题：某人买个鸡蛋，个鸭蛋、个鹅蛋共用去了元；买个鸡蛋，个鸭蛋、个鹅蛋共用去了元．试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元． 分析：设买鸡蛋，鸭蛋、鹅蛋各一个分别需、、元，则需要求的值．由题意，知； 视为常数，将上述方程组看成是关于y、z的二元一次方程组，化“三元”为“二元”、化“二元”为“一元”从而获解． 解法1：视x为常数，依题意得 解这个关于y、z的二元一次方程组得 于是 ． 评注：也可以视z为常数，将上述方程组看成是关于、的二元一次方程组，解答方法同上，你不妨试试． 分析：视为整体，由（1）（2）恒等变形得 ， ． 解法：设，，代入（1）、（2）可以得到如下关于、的二元一次方程组 ，解得 评注：运用整体的思想方法指导解题．视，为整体，令，，代入、将原方程组转化为关于、的二元一次方程组从而获解． 请你运用以上介绍的任意一种方法解答如下数学竞赛试题： 购买五种教学用具、、、、的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种教学用具各一件共需多少元？ 品名次数 总钱数 第一次购买件数 第二次购买件数 【答案】购买每种教学用具各一件共需元 【分析】本题考查了二元一次方程组的拓展应用，运用整体的思想方法指导解题，关键是找对里面的规律． 若设购买每种教学用具各一件各需，，，，元，则有；以及，可假设，，构建新的方程组，即可求解． 【详解】解：设购买每种教学用具各一件各需，，，，元， 则， 整理得， 若设，， 则原方程组变形为， 解得， 答：购买每种教学用具各一件共需元． 题型八　列二元一次方程组 例题：“践行垃圾分类助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些垃圾要分类生活更完美废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，那么我的废电池数量就是你的2倍，”我们可以设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，则根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，那么我的废电池数量就是你的2倍，”据此列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可得， 故选：A 巩固训练 1．如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组，能根据题意正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据大长方形的宽为以及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 2．从北京到张家口若乘高铁，所用时间约为；若乘坐京张铁路（詹天佑主持修建的我国第一条铁路）的直达列车，所用时间约为．已知直达列车的平均时速比高铁慢，京张铁路比京张高铁全长多，设京张铁路全长，京张高铁全长，根据题意，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．根据“京张铁路比京张高铁全长多”得，根据“直达列车的平均时速比高铁慢”得，得出方程组即可． 【详解】解：设京张铁路全长，京张高铁全长，根据题意，得 ． 故答案为：． 3．如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    【答案】，见解析 【分析】由图形观察得到线段间的数量关系，设小长方形，构建方程组，求解进而求得小长方形面积； 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，由题意，得 ，变形得 解得 ∴小长方形的面积为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用；由几何图形确定线段间数量关系构建方程是解题的关键． 题型九　二元一次方程组的应用——配套问题 例题：一家眼镜厂，有25名工人加工镜片和镜架，每人每天可加工镜架72副或镜片96片，为了使每天加工的镜架和镜片能配套，应如何分配工人？ 【答案】分配15名工人加工镜片，10名工人加工镜架 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设分配x名工人加工镜片，分配y名工人加工镜架，根据题意列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设分配x名工人加工镜片，分配y名工人加工镜架， 由题意，得，解得， 答：分配15名工人加工镜片，10名工人加工镜架． 巩固训练 1．某教具制造厂准备利用20厘米和30厘米两种细钢条制作、两种型号的长方体框架模型，其中种型号长方体框架的长、宽、高分别为30厘米、20厘米、20厘米．种型号长方体框架的长、宽、高分别为30厘米、30厘米、20厘米． (1)请在图中补画出种型号的长方体框架的直观图； (2)如果30厘米的细钢条有520根，20厘米的细钢条有440根，并全部用于制作这两种型号的长方体框架．请问做成、两种型号的长方体框架各有多少个？ 【答案】(1)见解析 (2)做成种型号的长方体框架有30个，做成种型号的长方体框架有50个 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程组． （1）根据种型号长方体框架的长、宽、高分别为30厘米、20厘米、20厘米画出长方体即可； （2）设做成种型号的长方体框架有个，做成种型号的长方体框架有个，根据题意可得等量关系：、两种型号长方体所用30厘米的细钢条根，、两种型号长方体所用20厘米的细钢条根，根据等量关系列出方程组再解即可． 【详解】（1）解：如图： （2）设做成种型号的长方体框架有个，做成种型号的长方体框架有个． 由题意，得， 解得， 答：做成种型号的长方体框架有30个，做成种型号的长方体框架有50个． 2．用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有15张白铁皮用于制作盒身和盒底，问可以恰好配成多少套罐头盒？ 【答案】144套 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设用来制盒身的铁皮为张，用来制盒底的铁皮为张，根据每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．列出方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】解：设用来制盒身的铁皮为张，用来制盒底的铁皮为张，根据题意， 得 解得 答：可以恰好配成144套罐头盒. 3．列方程或方程组解应用题 福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？多少名工人制作裤子？ 【答案】安排18名工人制作衬衫，6名工人制作裤子 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题． 设安排x名工人制作衬衫，y名工人制作裤子，根据“现有24名制作服装的工人”和“要求每天获得利润2100元”列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设安排x名工人制作衬衫，y名工人制作裤子，根据题意，得 ， 解得， 答：安排18名工人制作衬衫，6名工人制作裤子． 题型十　二元一次方程组的应用——几何问题 例题：某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 【答案】(1)见解析 (2)可以做成甲种盒子个，乙种盒子个 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意即可作图； （2）设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意得，即可求解； 【详解】（1）解如图： （2）解：设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意，得 解这个方程组，得 答：可以做成甲种盒子个，乙种盒子个． 巩固训练 1．如图，用8块相同的小长方形拼成的一个周长是大长方形的，求拼成大长方形的面积． 【答案】大长方形的面积为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每个小长方形的长是，宽是，根据图形，列出方程组，求出的值，进而求出长方形的面积即可． 【详解】解：设每个小长方形的长是，宽是， 依题意，解得． 大长方形的面积为：． 2．如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为． (1)求每块小长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． 【答案】(1)长为，宽为 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组解实际应用题、长方形面积等知识，读懂题意列出方程是解决问题的关键． （1）设一块长方形墙砖的长为，宽为，列方程组求解即可得到答案； （2）利用面积公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设一块长方形墙砖的长为，宽为， 依题意得，解得， 答：一块长方形墙砖的长为，宽为； （2）解：求电视背景墙的面积为， 答：电视背景墙的面积为． 3．在长方形中，放入5个形状、大小相同的小长方形，其中，． (1)求小长方形的长和宽； (2)求阴影部分图形的总面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设小长方形的长为，宽为，根据题意，得，解方程组解答即可； （2）根据题意，阴影部分图形的总面积为，解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得， 故小长方形的长为，宽为． （2）根据题意，阴影部分图形的总面积为． 题型十一　二元一次方程组的应用——鸡兔同笼问题 例题：古老的“鸡兔同笼问题”：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题．它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣．怎样来解答这个问题呢？ 【答案】鸡有23只，兔有12只 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设鸡有只，兔有只，根据鸡、兔共有35个头、94只脚，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 依题意得：， 解得：， 答：鸡有23只，兔有12只． 巩固训练 1．鸡兔同笼，共有12个头，36只腿，则笼中有多少只鸡，多少只兔？ 【答案】笼中有6只鸡，有6只兔 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系是解决应用题的关键，同时注意了解必备的生活常识． 设笼中有鸡只，兔只，根据“鸡兔同笼，共有12个头，36只腿”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案 【详解】解：设笼中有鸡只，兔只． 根据题意，得：， 解得：， 答：笼中有6只鸡，有6只兔． 2．《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料．下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”问题是其中之一．原题如下：令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？ 【答案】鸡有23只，兔有12只 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用；根据总头数和总脚数得到两个等量关系是解决本题的关键． 设鸡有只，兔有只，根据：鸡的头数兔的头数；鸡的头数兔的头数，列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 由题意得：， 解得． 答：鸡有23只，兔有12只． 3．《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔同笼”、“物不知数”等许多有趣的数学问题，《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其译文为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”请解答《孙子算经》中的这道题． 【答案】 【分析】设木长为尺，绳子长为尺，由题意得，根据题意联立二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设木长为尺，绳子长为尺，由题意得， 解得， 答：绳子长为尺，木长尺． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，根据题意，找准等量关系，根据等量关系建立方程组是解题的关键． 题型十二　二元一次方程组的应用——门票问题 例题：某旅游景点的门票价格规定如表所示： 团体购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价（团体价） 13元 11元 a元 学校七年级（1）（2）两个班共104人去旅游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，一共应付款1240元． (1)问两班各有学生多少名？ (2)若两班联合起来，作为一个团体购票，可节省304元，试求a的值． 【答案】(1)(1)班有48人，2班有56人 (2)的值为9 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用等知识点， (1)设(1)班有x人，2班有y人，根据总人数为104人，共花费1240元购票，列方程组求解； (2)根据题意，列出方程求解的值即可； 解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】（1）解：设(1)班有x人，2班有y人， 由题意得，， 解得：， 答：(1)班有48人，2班有56人； （2）解：由题意得，， 解得：， 即的值为9． 巩固训练 1．为拓宽学生视野，某校组织学生前往昆明石林风景区开展研学旅游活动.在此次活动中，小亮、小红等同学随老师一同到该景区游玩．原来每名老师的购票费用为120元，每名学生的购票费用为60元，老师和学生共需门票费用6600元．现在景区为帮助师生研学活动，决定每人的购票费用减少20元，最终老师和学生共需门票费用4600元．问他们一共去了几名老师，几名学生？ 【答案】他们一共去了10名老师，90名学生 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设有x名老师，y名学生，根据题意列出方程组即可求解； 【详解】解：设有x名老师，y名学生， 由题意列方程组：， 解得：，， ∴他们一共去了10名老师，90名学生． 2．某校初中七年级一班、二班共104人到博物馆参观，一班人数不足50人，二班人数超过50人，已知博物馆门票规定如下：1～50人购票，票价为每人13元；51～100人购票为每人11元，100人以上购票为每人9元． (1)若分班购票，则共应付1240元，求两班各有多少名学生？ (2)请您计算一下，若两班合起来购票，能节省多少元钱？ 【答案】(1)一班有48名学生，二班有56名学生； (2)304元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设一班有名学生，二班有名学生，根据“两班共有104人，且分班购买共需1240元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由可得出两班合起来购票每张票的价格为9元，利用总价单价数量，可求出两班合起来购票所需费用，再利用节省的钱数分班购票所需费用两班合起来购票所需费用，即可求出结论； 【详解】（1）解：设一班有名学生，二班有名学生， 依题意得： 解得： 答：一班有48名学生，二班有56名学生． （2）解： 两班合起来购票每张票的价格为9元， 两班合起来购票所需费用为（元） 共节省（元） 答：若两班合起来购票，能节省304元钱． 3．综合与实践 如何设计购买方案？ 素材1 某班同学暑假要去某景区参加“非遗传承，研学之旅”活动，已知该景区有、两场历史演出活动，且购买张演出门票比张演出门票多元，购买张演出门票和张演出门票的费用一样多． 素材2 考虑场地和安全原因，要求演出、演出两种门票都要购买，且该班购买A演出的门票要多于演出的门票． 问题解决 任务1 确定演出门票价格 请分别求出演出和演出的门票单价． 任务2 拟定购买方案 若购买门票的总预算为元（全部花完），且要使购买门票的总数量尽量的多，请你设计一种最佳购买方案． 【答案】任务1：一张演出门票元，一张演出门票元；任务2：要使购买门票的总数量尽量的多，选择方案1，即购买张演出门票，张演出门票 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）设一张演出门票为元，一张演出门票为元，根据“购买张演出门票比张演出门票多元，购买张演出门票和张演出门票的费用一样多”列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买演出门票张，购买演出门票张，根据“购买门票的总预算为元”，列出二元一次方程，结合，均为正整数，且，求出方程的解，再根据“要使购买门票的总数量尽量的多”进行判断． 【详解】（1）解：设一张演出门票为元，一张演出门票为元， 由题意得：， 解得：， 故一张演出门票元，一张演出门票元． （2）解：设购买演出门票张，购买演出门票张， 则依题意得：， ∴， 又∵，均为正整数，且， ∴或， ∴共有种购买方案，（张），（张）． 故要使购买门票的总数量尽量的多，选择方案1，即购买张演出门票，张演出门票． 题型十三　二元一次方程组的应用——方案问题 例题：“五一”节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． (1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，商店拟用元购进这两种品牌电风扇（两种都有，且元刚好全部用完），为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应采用哪种进货方案？ 【答案】(1)两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元 (2)购进种品牌电风扇7台，种品牌电风扇2台 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用及销售问题，熟练的根据题意列出方程并掌握二元一次方程组的解法是解题的关键， （1）设两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元，由题意列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进种品牌电风扇台，种品牌电风扇台，根据题意，列出二元一次方程，求其正整数解，再分别计算出各种方案下的利润，即可得出答案． 【详解】（1）解：设两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元， 根据题意，得 解得 答：两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元． （2）解：设购进种品牌电风扇台，种品牌电风扇台，根据题意，得， 其正整数解为或或 当时， 利润为（元）； 当时， 利润为（元）； 当时， 利润为（元）． 因为， 所以当时，利润最大． 答：为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应购进种品牌电风扇7台，种品牌电风扇2台． 巩固训练 1．“泉在济南·共赏春花”2024济南花朝节于3月23日在大明湖景区开幕，花朝节上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类以花为主题的文创商品．已知2个绢布扇和3个手帐本需花费90元，3个绢布扇和4个手帐本需花费125元． (1)绢布扇和手帐本的单价分别是多少元？ (2)某商店为吸引游客，推出了投壶小游戏，凡购买一件文创商品可获得一次投壶机会，投中3次即可免费赠送文创书签．一名游客恰好用110元购买了绢布扇和手帐本两种文创商品，问分别购买多少个绢布扇和手账本获得的投壶机会最多？ 【答案】(1)绢布扇的单价为15元，手帐本的单价为20元 (2)分别购买6个绢布扇和1个手账本获得的投壶机会最多 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设绢布扇的单价为x元，手帐本的单价为y元，根据2个绢布扇和3个手帐本需花费90元，3个绢布扇和4个手帐本需花费125元列出方程组求解即可； （2）设购买绢布扇m个，购买手账本n个，根据总费用为110元列出方程求出m、n的值，再求出的最大值即可得到结论． 【详解】（1）解：设绢布扇的单价为x元，手帐本的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：绢布扇的单价为15元，手帐本的单价为20元； （2）解：设购买绢布扇m个，购买手账本n个， 由题意得，， ∴， ∴， ∵m、n都为自然数， ∴当时，； 当时，； ∵， ∴分别购买6个绢布扇和1个手账本获得的投壶机会最多． 2．又到了一年一度西瓜成熟的时节，水果市场刘老板要将一批西瓜分三次由地运往地，联系了一家运输公司，该公司有中型和小型两种货车可供选择，前两次运送西瓜的情况如下表： 中型货车/辆 小型货车/辆 总运载量/吨 第一次 3 2 9 第二次 5 4 16 (1)求2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量； (2)第三次运送西瓜的重量为19吨，已知每辆中型货车一次的运费是500元，每辆小型货车一次的运费是400元，请你写出所有的运输方案（中型、小型两种货车均满载），并计算哪种运输方案花费最少，最少花费多少钱？ 【答案】(1)2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量是5.5吨 (2)方案一：中型货车8辆，小型货车2辆，方案二：中型货车5辆，小型货车6辆，方案三：中型货车2辆，小型货车10辆，选择中型货车8辆，小型货车2辆，花费最少，最少花费4800元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的应用； （1）设1辆中型货车一次可以运西瓜吨，1辆小型货车一次可以运西瓜吨，再根据表格信息建立方程组解题，进一步的计算即可； （2）设用中型货车辆，小型货车辆，可得，即．再求解方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设1辆中型货车一次可以运西瓜吨，1辆小型货车一次可以运西瓜吨， 根据题意，得 解得 （吨）． 答：2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量是吨． （2）解：设用中型货车辆，小型货车辆， 则，即． ∵为正整数， ∴或或； 方案一：中型货车8辆，小型货车2辆， 费用：（元）； 方案二：中型货车5辆，小型货车6辆， 费用：（元）； 方案三：中型货车2辆，小型货车10辆， 费用：（元）． ， 方案一运输费用最少． 即选择中型货车8辆，小型货车2辆，花费最少，最少花费4800元． 3．甲、乙两个乐团决定向某服装厂购买演出服，已知甲乐团购买的演出服每套元，乙乐团购买的演出服每套元，两个乐团共人，购买演出服的总价钱为元． (1)甲、乙两个乐团各有多少人？（用二元一次方程组解答） (2)现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人，去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”，甲乐团每位成员负责位小朋友，乙乐团每位成员负责位小朋友，这样恰好使得福利院位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．（可以仅从一个乐团抽调） 【答案】(1)甲乐团有人，乙乐团有人 (2)共有三种抽调方案，方案：从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人；方案：从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人；方案：从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，读懂题意，根据题意列出方程组是解本题的关键． （1）设甲乐团有人，乙乐团有人，然后根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意可得，然后求得正整数解即可． 【详解】（1）解：设甲乐团有人，乙乐团有人， 根据题意得：， 解得：； 答：甲乐团有人，乙乐团有人． （2）根据题意得：， 又，均为非负整数， 或，或， 共有三种抽调方案， 方案：从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人； 方案：从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人； 方案：从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人． 题型十四　三元一次方程组的应用 例题：已知，当时，；当时，；当时，．求、、的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，有加减消元法和代入消元法两种，本题通过建立关于��，��，c的三元一次方程组，求得��、��、��的值． 【详解】解：根据题意，得 把③分别代入①和②，得，解得 ，，． 巩固训练 1．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 2．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①得：  ③ 得：， 所以，的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）18；（2）共需要450元． 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价本笔记本、支签字笔、支记号笔花费总数，即可求解． 【详解】解：（1）， ①②得：③ ③得： 所以，的值为18； （2）设买1本笔记本需要a元、买1支签字笔需要b元、买1支记号笔需要c元， 由题意得： ①得：③ ②③得 所以，元； 答：买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔共需要450元． 3．2007—08NBA季后赛，湖人在主场以100比92逆转马刺，晋级总决赛．湖人队的队员科比在这场比赛中23投19中（包括罚球），共夺得39分，他投进两分球的个数是投进三分球个数的2倍．问：科比投中了几个三分球？几个两分球？罚中了几个球（罚球时，投进一个球得一分）？ 【答案】科比投中了5个三分球，10个两分球，罚中了4个球 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，正确理解题意，找到等量关系是关键；设科比投中个三分球，个两分球，罚中了个球，根据关系式：19中（包括罚球），共夺得39分，他投进两分球的个数是投进三分球个数的2倍，列出方程组即可求解． 【详解】解：设科比投中个三分球，个两分球，罚中了个球．根据题意，得 ， 解这个方程组，得； 答：科比投中了5个三分球，10个两分球，罚中了4个球． 39 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 一次方程组（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：二元一次方程组的基本概念 1.二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。一般形式为：ax+by=c（a、b、c为常数，且a、b均不为0）。 2.二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 3.二元一次方程（组）的解：能够使二元一次方程（或方程组）的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程（或方程组）的解。 要点二：二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的基本思想：消元，化二元一次方程组为一元一次方程来解。 2.二元一次方程组的基本解法 （1）代入消元法（代入法）： 第一步：从方程组中找出或者由已知方程转化为y=kx+b或x=my+n的形式； 第二步：将方程y=kx+b或x=my+n代入另一个方程，消去一个未知数； 第三步：解所得的一元一次方程，求出一个未知数的值； 第四步：将所得未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值； 第五步：得出结论。 （2）加减消元法： 第一步：变形，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等； 第二步：消元，将两个方程的左右两边分别相加或相减，消去一个未知数； 第三步：解所得的一元一次方程，求出一个未知数的值； 第四步：将所得未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。 要点三：实际应用 列方程（组）解应用题的一般步骤： 第一步：审，即审清题意，分清题中的已知量和未知量之间的关系； 第二步：设，即设出关键的未知数； 第三步：列，即找出适当等量关系列出方程； 第四步：解，即解方程（组）； 第五步：验，即检验所解答案是否正确或是符合题意； 第六步：答，即规范作答，注意单位名称。 、。03 题型归纳 题型一　二元一次方程的定义和解 例题：若是关于的二元一次方程，则（　　） A．1 B． C．2 D． 巩固训练 1．在下列二元一次方程中，有一组解为的是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 3．若是关于x、y的方程的解，则a值为 ． 题型二　二元一次方程组的定义和解 例题：下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列x和y的值不符合二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．请任写一个方程与方程－2=10组成一个二元一次方程组 ． 3．已知关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 … … 4 2 … 关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 … … 4 1 … 则关于，的二元一次方程组的解是 ． 题型三　三元一次方程组的定义和解 例题：用加减法解方程组较为简便的方法是（   ） A．先消x B．先消y C．先消z D．都一样 巩固训练 1．已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 2．在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 3．方程组的解为 ． 题型四　二元一次方程组的解法 例题：解二元一次方程组用代入消元法消去x，得到的方程是（  ） A． B． C． D． 巩固训练 1．二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程组则代数式的值是 ． 3．解方程组 (1) (2) 题型五　三元一次方程组的解法 例题：已知是方程组的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 巩固训练 1．已知方程组，则（    ） A． B． C． D． 2．方程组的解为 ． 3．解下列方程组： (1)； (2)． 题型六　二元一次方程组求参 例题：已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如果关于，的二元一次方程组的解，满足，那么是（   ） A．15 B． C．14 D． 2．若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 3．已知关于x，y的方程组与的解相同，求a，b的值． 题型七　二元一次方程组的特殊解法 例题：已知当时，且，则当时，（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知二元一次方程组的解是则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程组的解是则方程组的解是 ． 3．阅读下列解题过程，将空格补充完整，借鉴其中一种方法解答后面给出的试题： 问题：某人买个鸡蛋，个鸭蛋、个鹅蛋共用去了元；买个鸡蛋，个鸭蛋、个鹅蛋共用去了元．试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元． 分析：设买鸡蛋，鸭蛋、鹅蛋各一个分别需、、元，则需要求的值．由题意，知； 视为常数，将上述方程组看成是关于y、z的二元一次方程组，化“三元”为“二元”、化“二元”为“一元”从而获解． 解法1：视x为常数，依题意得 解这个关于y、z的二元一次方程组得 于是 ． 评注：也可以视z为常数，将上述方程组看成是关于、的二元一次方程组，解答方法同上，你不妨试试． 分析：视为整体，由（1）（2）恒等变形得 ， ． 解法：设，，代入（1）、（2）可以得到如下关于、的二元一次方程组 ，解得 评注：运用整体的思想方法指导解题．视，为整体，令，，代入、将原方程组转化为关于、的二元一次方程组从而获解． 请你运用以上介绍的任意一种方法解答如下数学竞赛试题： 购买五种教学用具、、、、的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种教学用具各一件共需多少元？ 品名次数 总钱数 第一次购买件数 第二次购买件数 题型八　列二元一次方程组 例题：“践行垃圾分类助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些垃圾要分类生活更完美废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，那么我的废电池数量就是你的2倍，”我们可以设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，则根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 2．从北京到张家口若乘高铁，所用时间约为；若乘坐京张铁路（詹天佑主持修建的我国第一条铁路）的直达列车，所用时间约为．已知直达列车的平均时速比高铁慢，京张铁路比京张高铁全长多，设京张铁路全长，京张高铁全长，根据题意，可列方程组为 ． 3．如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    题型九　二元一次方程组的应用——配套问题 例题：一家眼镜厂，有25名工人加工镜片和镜架，每人每天可加工镜架72副或镜片96片，为了使每天加工的镜架和镜片能配套，应如何分配工人？ 巩固训练 1．某教具制造厂准备利用20厘米和30厘米两种细钢条制作、两种型号的长方体框架模型，其中种型号长方体框架的长、宽、高分别为30厘米、20厘米、20厘米．种型号长方体框架的长、宽、高分别为30厘米、30厘米、20厘米． (1)请在图中补画出种型号的长方体框架的直观图； (2)如果30厘米的细钢条有520根，20厘米的细钢条有440根，并全部用于制作这两种型号的长方体框架．请问做成、两种型号的长方体框架各有多少个？ 2．用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有15张白铁皮用于制作盒身和盒底，问可以恰好配成多少套罐头盒？ 3．列方程或方程组解应用题 福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？多少名工人制作裤子？ 题型十　二元一次方程组的应用——几何问题 例题：某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 巩固训练 1．如图，用8块相同的小长方形拼成的一个周长是大长方形的，求拼成大长方形的面积． 2．如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为． (1)求每块小长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． 3．在长方形中，放入5个形状、大小相同的小长方形，其中，． (1)求小长方形的长和宽； (2)求阴影部分图形的总面积． 题型十一　二元一次方程组的应用——鸡兔同笼问题 例题：古老的“鸡兔同笼问题”：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题．它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣．怎样来解答这个问题呢？ 巩固训练 1．鸡兔同笼，共有12个头，36只腿，则笼中有多少只鸡，多少只兔？ 2．《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料．下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”问题是其中之一．原题如下：令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？ 3．《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔同笼”、“物不知数”等许多有趣的数学问题，《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其译文为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”请解答《孙子算经》中的这道题． 题型十二　二元一次方程组的应用——门票问题 例题：某旅游景点的门票价格规定如表所示： 团体购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价（团体价） 13元 11元 a元 学校七年级（1）（2）两个班共104人去旅游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，一共应付款1240元． (1)问两班各有学生多少名？ (2)若两班联合起来，作为一个团体购票，可节省304元，试求a的值． 巩固训练 1．为拓宽学生视野，某校组织学生前往昆明石林风景区开展研学旅游活动.在此次活动中，小亮、小红等同学随老师一同到该景区游玩．原来每名老师的购票费用为120元，每名学生的购票费用为60元，老师和学生共需门票费用6600元．现在景区为帮助师生研学活动，决定每人的购票费用减少20元，最终老师和学生共需门票费用4600元．问他们一共去了几名老师，几名学生？ 2．某校初中七年级一班、二班共104人到博物馆参观，一班人数不足50人，二班人数超过50人，已知博物馆门票规定如下：1～50人购票，票价为每人13元；51～100人购票为每人11元，100人以上购票为每人9元． (1)若分班购票，则共应付1240元，求两班各有多少名学生？ (2)请您计算一下，若两班合起来购票，能节省多少元钱？ 3．综合与实践 如何设计购买方案？ 素材1 某班同学暑假要去某景区参加“非遗传承，研学之旅”活动，已知该景区有、两场历史演出活动，且购买张演出门票比张演出门票多元，购买张演出门票和张演出门票的费用一样多． 素材2 考虑场地和安全原因，要求演出、演出两种门票都要购买，且该班购买A演出的门票要多于演出的门票． 问题解决 任务1 确定演出门票价格 请分别求出演出和演出的门票单价． 任务2 拟定购买方案 若购买门票的总预算为元（全部花完），且要使购买门票的总数量尽量的多，请你设计一种最佳购买方案． 题型十三　二元一次方程组的应用——方案问题 例题：“五一”节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． (1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，商店拟用元购进这两种品牌电风扇（两种都有，且元刚好全部用完），为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应采用哪种进货方案？ 巩固训练 1．“泉在济南·共赏春花”2024济南花朝节于3月23日在大明湖景区开幕，花朝节上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类以花为主题的文创商品．已知2个绢布扇和3个手帐本需花费90元，3个绢布扇和4个手帐本需花费125元． (1)绢布扇和手帐本的单价分别是多少元？ (2)某商店为吸引游客，推出了投壶小游戏，凡购买一件文创商品可获得一次投壶机会，投中3次即可免费赠送文创书签．一名游客恰好用110元购买了绢布扇和手帐本两种文创商品，问分别购买多少个绢布扇和手账本获得的投壶机会最多？ 2．又到了一年一度西瓜成熟的时节，水果市场刘老板要将一批西瓜分三次由地运往地，联系了一家运输公司，该公司有中型和小型两种货车可供选择，前两次运送西瓜的情况如下表： 中型货车/辆 小型货车/辆 总运载量/吨 第一次 3 2 9 第二次 5 4 16 (1)求2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量； (2)第三次运送西瓜的重量为19吨，已知每辆中型货车一次的运费是500元，每辆小型货车一次的运费是400元，请你写出所有的运输方案（中型、小型两种货车均满载），并计算哪种运输方案花费最少，最少花费多少钱？ 3．甲、乙两个乐团决定向某服装厂购买演出服，已知甲乐团购买的演出服每套元，乙乐团购买的演出服每套元，两个乐团共人，购买演出服的总价钱为元． (1)甲、乙两个乐团各有多少人？（用二元一次方程组解答） (2)现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人，去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”，甲乐团每位成员负责位小朋友，乙乐团每位成员负责位小朋友，这样恰好使得福利院位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．（可以仅从一个乐团抽调） 题型十四　三元一次方程组的应用 例题：已知，当时，；当时，；当时，．求、、的值． 巩固训练 1．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 2．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①得：  ③ 得：， 所以，的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 3．2007—08NBA季后赛，湖人在主场以100比92逆转马刺，晋级总决赛．湖人队的队员科比在这场比赛中23投19中（包括罚球），共夺得39分，他投进两分球的个数是投进三分球个数的2倍．问：科比投中了几个三分球？几个两分球？罚中了几个球（罚球时，投进一个球得一分）？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$