第6章 一次方程组（十四题型压轴专练）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版2024）

第6章 一次方程组 压轴专练 题型一、二元一次方程(组)的整数解 1．已知，是整数，且，则的值有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法及解二元一次方程组，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．由，得，进而得或或或，求解即可得、，进而即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，是整数， ∴或或或， 解得或或或， ∴或或或， ∴的值有个， 故选：． 2．若是整数，且关于、方程组有整数解，则 ． 【答案】或/7或3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组及根据解的情况求参数，熟练掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键，先求解关于、方程组得，，再确定的值即可． 【详解】解： 得：③， 得：④， 得：， 把代入①得：， ∵方程组有整数解， ∴或， ∵是整数， ∴符合题意的或， 故答案为：或． 3．已知关于的方程组的解满足其中．若均为正整数，求所有符合条件的整数． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程组的解法，先求出方程组的解为代入得出，求出m，n代入整理得，然后根据均为正整数讨论可得答案． 【详解】解：解方程组得 因为方程组的解满足 所以， 整理，得． 因为， 所以， 整理，得． 因为均为正整数，所以当时，， 此时； 当时，，此时； 当时，，此时． 综上所述，的值为． 题型二、二元一次方程(组)的新定义运算 1．对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题是新定义题型，主要考查解二元一次方程组的能力，掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．根据新定义，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得 ， 故选B． 2．对于有理数x，y定义新运算：（a，b为常数）．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，先根据，求出a，b的值，再代入计算． 【详解】解：根据题意得：，， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则， 故答案为：． 3．对于有理数定义一种新运算“”：．例如：． (1)若，求的值． (2)在（1）的条件下，试说明：． 【答案】(1) (2)详见解析 【详解】解：（1）由题意，得解得 （2）因为，所以，所以 题型三、二元一次方程组的有、无解 1．已知二元一次方程组无解，则a的值是（   ）. A． B． C．1 D．以上都不对 【答案】D 【分析】由②得出③，把③代入①得出，根据方程组无解，得到，求出即可． 【详解】 由②得,③   把③代入①得, ∴， ∵ 方程组无解, ∴, ∴， 故选D. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程． 2．无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解方程组有解是解题的关键． 将两个方程相减可得，即，由无论m为何值，方程组都有解，可得，，即可求解． 【详解】解：， ，得， 即 ∴， ∵无论m为何值，方程组都有解， ∴，即， 且， ∴． 故答案为：6 3．已知方程组，试确定a、c的值，使方程组： (1)有一个解； (2)有无数解； (3)没有解． 【答案】(1)，c为任意实数 (2)， (3)， 【分析】对于方程组的根，有如下情况： （1）当时，方程组有一个解； （2）当时，两个方程是一个方程，方程组有无数个解； （3）当时，方程组无解． 【详解】（1）要使方程组有唯一解， 则有：， 即，且c为任意实数，方程有唯一解； （2）要使方程组有无数个解， 则有：时，此时有、， 即、，此方程组有无数个解； （3）要使方程组无解， 则有：时，此时有、， 即、，此方程组无解． 【点睛】此题考查二元一次方程组解的个数问题．熟练掌握二元一次方程组根的个数与各方程中未知数系数的关系是解答本题的关键． 题型四、二元一次方程组的两解数量关系求参 1．若关于x、y的方程组的解满足，则k等于（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，让方程组中的两个方程直接相加得到，化简得，结合已知即可求出k的值． 【详解】解：， ①②得，， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，得出．根据原方程组得：，得出,根据，得出，求出k的值即可． 【详解】解：， 得：，即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解及其解法，由方程组的解的含义可得，可得，再解方程组，再进一步解答即可. 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，， ∴ 解， 得，， 解得：， 将代入②，得， 将代入，得， 解得. 题型五、二元一次方程组的误解 1．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，试求的值．（　　） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把甲的结果代入②，乙的结果代入①分别求出正确的与的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：把代入①得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 则原式， 故选C． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组的解，弄清题意是解本题的关键． 2．甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值 ． 【答案】1 【分析】本题考查了方程组的解法，解一元一次方程， 正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．清楚方程组的解是哪一个方程的正确解是解题的关键． 【详解】解：由题意，是的解 得， 解得． 又是的解 得，解得， ． 3．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求出方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案． （1）由于甲看错了a，将甲计算得到的解代入等式②，可求得b的值；同理，由于乙看错了b，将乙计算得到的解代入等式①，可计算得a的值； （2）将a，b的值代入，利用加减消元法即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：由题意，得 解得 即； （2）解：由（1）知 原方程组为 由①②得 解得 把代入①得 解得 原方程组的解为． 题型六、二元一次方程组的换组求参 1．已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出a，b的值即可． 【详解】解：由题意，得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ， ∴； 故选A． 2．已知关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求出第一个方程组的解即可，然后将第一个方程组的解代入第二个方程组求出，再整体代入求出即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入方程组得， 解得：， ∴， 故答案为：． 3．如果方程组与有相同的解，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组同解联立新的二元一次方程组是解题的关键．利用二元一次方程组同解可得，解得，再将代入原两个方程组即可求解． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴x，y满足， 由①得③， 将③代入②得， ∴， 将代入方程组与可得到， 由得， ∴， ∴． 题型七、二元一次方程组的幻方问题 1．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则m与n的和是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴左下角的数为：， ∴最中间的数为：或， 右下角的数为：或， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 2．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的个数之和相等，表是一个已完成的幻方．表是一个未完成的幻方，其中的值为 ． 表 表 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及数学常识，列出关于，，（可以消掉）的三元一次方程组，并解出可用含的代数式表示出，的值是解题的关键． 设左下角的空格中的数字为，根据每一行、每一列以及两条对角线上的个数之和相等，可列出关于，，（可以消掉）的三元一次方程组，解出可用含的代数式表示出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】设左下角的空格中的数字为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t，分别用含有t的式子表示每一空格的数，再根据第三行的和等于第二行的和列方程求解即可； （2）由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组求得m、n的值，即可求解； （3）根据第一行的和等于第三列的和可得关于x的一元二次方程，求得x的值，再根据第二行的和与对角线的和相等即可求解． 【详解】（1）解：设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t， 则每一空格如图所示， 0 2 3 a ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴最左下角的数为：， ∴最中间的数为：或， ∴最右下角的数为：或， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4； （3）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 整理得，， ∵， 整理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． 题型八、二元一次方程组的利润问题 1．某商场用3300元购进节能灯100只，两种节能灯的进价、售价如表： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲种节能灯 30 40 乙种节能灯 35 50 (1)求甲、乙两种节能灯各购进多少只？ (2)全部售完100只节能灯后，该商场获利多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种节能灯各购进40只，60只 (2)1300元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设甲种节能灯购进了只，乙种节能灯购进了只，根据表格信息建立方程组即可； （2）由总利润等于两种节能灯的利润之和可得答案． 【详解】（1）解：设甲种节能灯购进了只，乙种节能灯购进了只， 得 答：甲、乙两种节能灯各购进40只，60只． （2）解：由题意，可得 该商场获利为（元）． 答：该商场获利1300元． 2．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为，乙商品的利润率为，售出这两件商品共可获利元．价格调整后，甲商品的利润率为，乙商品的利润率为，售出这两件商品共可获利元，则两件商品的进价分别是多少元？ 【答案】甲商品的进价为元，乙商品的进价为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据利润进价利润率列出方程． 设甲商品的进价为元，根据甲商品的利润率和乙商品的利润率列出方程，解方程即可． 【详解】解：设甲商品的进价为元，乙商品的进价为元， 根据题意，得， 解得； 答：甲商品的进价为元，乙商品的进价为元． 3．随着山西旅游热持续升温，全省陆续推出了极具特色的各类文创产品．小丽和小壮计划购买一些山西文创产品进行收藏，下面是两位同学的对话： 根据两人的对话，求每件佛小伴挂件和每件晋祠水镜台冰箱贴的售价分别为多少元？ 【答案】每件佛小伴挂件的售价为60元，每件晋祠水镜台冰箱贴的售价为45元． 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，根据两种购买方式列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每件佛小伴挂件的售价为x元，每件晋祠水镜台冰箱贴的售价为y元． 根据题意，得 解这个方程组，得 答：每件佛小伴挂件的售价为60元，每件晋祠水镜台冰箱贴的售价为45元． 题型九、二元一次方程组的方案问题 1．每年的4月23 日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响． 八年级(1)班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售情况如下： 团购群1 客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满元包邮，买本以上一律八折！客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？ 客服： 亲， 您这个没达到元， 需要加上邮费元， 共元． 客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？ 客服：亲， 您这个可以包邮， 共元． 团购群2 客服： 读书日优惠活动开始啦！ 每满元减元，全场包邮！ 客服： 1本《骆驼祥子》+1本《傅雷家书》， 一套元． 根据以上内容，解决下列问题： (1)团购群1中每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？ (2)小明所在班级一共有名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？ 【答案】(1)每本《骆驼祥子》元，每本《傅雷家书》元 (2)团购1群更划算 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并列出方程组是解题的关键． （1）设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，求出的值，即可得到答案； （2）根据题意分别求出团购1群和团购2群的费用，比较之后即可得到答案． 【详解】（1）解：设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元， 由题可得： 解得： 答：团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元． （2）解：由题可得：小明所在班级需要购买《骆驼祥子》和《傅雷家书》各15本，共30本， ∴团购1群的费用为：， 团购2群的费用为：， ∵， ∴团购1群购买更合算． 2．蔬菜大王李明龙年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜31吨，计划同时租用A型x车辆，B型车y辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？ (2)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请你帮该物流公司设计租车方案；并选出费用最少的租车方案，求出最少租车费． 【答案】(1)1辆型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送4吨； (2)租用1辆型车，7辆型车，最少租车费为940元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用． （1）设1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，根据“用2辆型车和1辆型车载满蔬菜一次可运走10吨；用1辆型车和2辆型车载满蔬菜一次可运走11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据一次运送31吨蔬菜，即可得出关于，的二元一次方程，根据，均为非负整数，即可得出各租车方案；利用总租金每辆车的租金租车数量，可分别求出三种租车方案的租车费，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送吨， 依题意得：， 解得：． 答：1辆型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送4吨； （2）解：依题意得：， ． 又，均为非负整数， 或或， 该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆型车，1辆型车；所需租车费为（元）； 方案2：租用5辆型车，4辆型车；所需租车费为（元）； 方案3：租用1辆型车，7辆型车；所需租车费为（元）． ， 费用最少的租车方案为：租用1辆型车，7辆型车，最少租车费为940元． 3．据2024年12月8日成都市气象台气候趋势预测，我市将有1-2次明显冷空气过程，分别出现在12月中旬中期和月底前后，最低气温降至以下．面对即将到来的寒冷天气，某个体户预先购买了某品牌、、三款羽绒服来销售．收据如表，其中部分数据因污损无法识别．根据表格提供的信息，解决下列问题： 商品名 单价/元 数量/件 金额/元 A款羽绒服 500 10 5000 B款羽绒服 400 ■ ■ C款羽绒服 300 ■ ■ 合计 60 23000 (1)分别求出该个体户购买的、两款羽绒服的数量； (2)因、两款羽绒服关注度高，该个体户决定将、两款羽绒服的数量都增加，再用8000元购买、两款羽绒服，有哪几种不同的购买方案？ 【答案】(1)个体户购买B款羽绒服30件，C款羽绒服20件； (2)有3种不同的购买方案．购买A款羽绒服4件，B款羽绒服15件；购买A款羽绒服8件，B款羽绒服10件；购买A款羽绒服12件，B款羽绒服5件． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设个体户购买B款羽绒服x件，C款羽绒服y件，根据题意列出二元一次方程组，解之即可； （2）设再购买A款羽绒服a件，B款羽绒服b件，根据题意列出二元一次方程，利用A款羽绒服和B款羽绒服的数量都要增加，且都为正整数，求解即可． 【详解】（1）解：设个体户购买B款羽绒服x件，C款羽绒服y件， 依题意得：， 解得：， 答：个体户购买B款羽绒服30件，C款羽绒服20件； （2）解：设再购买A款羽绒服a件，B款羽绒服b件， 依题意得：， 整理得： ， ∵A款羽绒服和B款羽绒服的数量都要增加，且都为正整数， ∴或或， ∴有3种不同的购买方案．购买A款羽绒服4件，B款羽绒服15件；购买A款羽绒服8件，B款羽绒服10件；购买A款羽绒服12件，B款羽绒服5件． 题型十、二元一次方程组的几何问题 1．某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 【答案】(1) (2)①；；②24，27，30 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． （1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：、； （2）①由图示裁法一产生A型板材为：，裁法二产生A型板材为：， 所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：，裁法二产生B型板材为，， 所以两种裁法共产生B型板材为张； 故答案为：；． 由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张． ∵所裁得的板材恰好用完， ∴，化简得． ∵n，m皆为整数， ∴m为4的整数倍， 又∵， ∴m可取32，36，40， 此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30． 答：做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个． 2．如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为，求每块小长方形墙砖的长和宽．    【答案】长为，宽为 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，由图可知，小长方形墙砖的长是宽的4倍，小长方形墙砖的长加宽为，设每块小长方形墙砖的长为，宽为，列出方程组求解即可． 【详解】解：设每块小长方形墙砖的长为，宽为． 由题意得， 解得 ， 答：小长方形墙砖的长为，宽为． 3．小明手中有块周长为的长方形硬纸片，若将该硬纸片的长减少，宽增加，就成为一个正方形硬纸片． (1)求这块长方形的硬纸片的长、宽各是多少？ (2)现小明想用这块长方形硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新长方形纸片，请判断小明能否裁出，并说明理由． 【答案】(1)这块长方形的硬纸片的长为，宽为 (2)小明能够裁出符合条件的长方形纸片，见解析 【分析】本题考查了平方根的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设这块长方形的硬纸片的长为，宽为，根据周长为的长方形硬纸片，若将该硬纸片的长减少，宽增加，就成为一个正方形硬纸片．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设新长方形纸片的长为，宽为，根据裁出一块面积为的新长方形纸片，列出方程，根据平方根解方程，即可解决问题． 【详解】（1）设这块长方形的硬纸片的长为，宽为，根据题意得， ，解得， 答：这块长方形的硬纸片的长为，宽为； （2）设新长方形纸片的长为，宽为，根据题意得， ， ， ， ， ，， 小明能够裁出符合条件的长方形纸片． 题型十一、二元一次方程组的整体思想 1．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大，其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔，块橡皮，本日记本共需元，买支铅笔，块橡皮，本日记本共需元，则购买支铅笔，块橡皮，本日记本共需多少元？ (3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么______． 【答案】(1)； (2)元 (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用， （1）把两个方程相减、加即可得到答案； （2）设购买支铅笔元，购买块橡皮元，购买本日记本元，可得，然后仿照“阅读感悟”进行整体变形即可得出答案； （3）由题意列出方程组，然后仿照“阅读感悟”进行整体变形即可得出答案；； 解题的关键是列出方程组和整体思想的应用． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， 得：， ∴， 故答案为：；； （2）设购买支铅笔元，购买块橡皮元，购买本日记本元， 根据题意得：， 得：， ∴， ∴购买支铅笔，块橡皮，本日记本共需元； （3）由题意可得：， 得：， ∴， ∴， 故答案为：． 2．【阅读感悟】有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求代数式和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路运算量比较大．其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【数学理解】（1）已知二元一次方程组则代数式的值为______，代数式的值为______； 【生活应用】（2）某班级组织活动购买小奖品，买20只铅笔、3块橡皮、2本日记本共需35元；买39只铅笔、5块橡皮、3本日记本共需62元．求购买9只铅笔、9块橡皮、9本日记本共需多少元？ 【迁移拓展】（3）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c为常数，等式右边是常规的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】（1）6，2；（2）72元；（3） 【分析】（1）将两个方程相加或相减，即可求解； （2）设铅笔元，橡皮元，日记本元，根据题意列出方程组，即可求解； （3）由新定义可得方程组，即可求解． 【详解】解：， 则①②可得：， ， ①②可得：， （2）设铅笔元，橡皮元，日记本元， 由题意可得：， ①②可得：， ； 答：购买9只铅笔、9块橡皮、9本日记本共需72元； （3）※，4※， ①，②， ②①可得：， ， ※1的值为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出正确的数量关系是解题的关键． 3．阅读感悟 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．例如，已知实数，满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出，的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．解法如下： ，得：；，得：． 比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”． 问题解决 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)商场打折促销甲、乙、丙三种商品，如果李明购买甲商品5件、乙商品4件、丙商品2件，共付款元钱，王华购买甲商品7件、乙商品5件、丙商品1件，共付款元钱，那么张强购甲、乙、丙三种商品各2件需付款多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)元 (3) 【分析】（1）①+②可求出的值，可求出的值； （2）设甲、乙、丙三种商品的单价各是元、元、元，列出三元一次方程组，然后根据相应变换即可求解； （3）根据题意列出关于、、的方程组，然后根据变换表示出的值即可． 【详解】（1）解：，得， ，得； （2）解：设甲、乙、丙三种商品的单价各是元、元、元， 根据题意得， ，得， ∴， ∴， 即张强购甲、乙、丙三种商品各2件需付款元． （3）解：由题意得，， ，得， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想的应用等知识，熟练掌握整体思想的应用，找准等量关系，列出方程组是求解的关键． 题型十二、二元一次方程组的整体换元 1．阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键． 将方程②变形为，再整体代入即可求方程组． 【详解】解：     将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得， 所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 2．阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用整体代换的方法进行求解即可； （2）结合题目所给的解答方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 将②变形为：，即， 将①代入③得：， 解得：， 把代入①得， 故原方程组的解是：； （2）解：原方程组可化为：， 将①代入②得：， 解得：． 3．阅读探索 （1）知识累计 解方程组 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：，即 所以 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高 运用上述方法解下列方程组： （3）能力运用 已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 ． 【答案】（2）  （3） 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键． （2）利用换元法解方程组即可； （3）设，进而得到，求解即可． 【详解】（2）设，， 原方程可变为：， 解方程组得，即， 解得：； （3）原方程化为， 设则方程可化为， 则方程的解为，即， 解得：． 题型十三、二元一次方程组的新定义应用 1．对于一个三位数，它各个数位的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字减去个位数字的差是十位数字的两倍，我们就称这个三位数为“互差数”.定义一个新运算，我们把一个“互差数”a的百位数字减去个位数字的差与十位数字之和记为.例如：715，因为，所以715是一个“互差数”， (1)判断832与421是否为“互差数”，若是“互差数”，请计算出：若不是，请说明理由． (2)若m是一个“互差数”，且，求满足条件的所有m的值． 【答案】(1)832是“互差数”，K=（8-2）+3=9； 421不是“互差数”； (2)满足条件的所有m的值为925；824；723；521． 【分析】（1）根据“互差数”的定义可求解； （2）设个位数字为a，十位数字为b，百位数字是c，根据“互差数”的定义列方程及K（m）=6，列方程组，解方程组结可求解b值，即可得c-a=4，再分类求得m值． 【详解】（1）解：∵8-2=3×2， ∴832是“互差数”，K=（8-2）+3=9； ∵4-1≠2×2， ∴421不是“互差数”； （2）设个位数字为a，十位数字为b，百位数字是c， 根据题意得，， 解得b=2， ∴c-a=4， 当c=9时，a=5，此时m的值为925； 当c=8时，a=4，此时m的值为824； 当c=7时，a=3，此时m的值为723； 当c=5时，a=1，此时m的值为521； 当c=6时，a=2，因b=2，“互差数”各个数位的数字互不相等，所以622不是“互差数”； 当c=4时，a=0，因为“互差数”各个数位的数字均不为0，所以420不是“互差数”， 综上可知：满足条件的所有m的值为925；824；723；521． 【点睛】本题主要考查列代数式，有理数的混合运算，三元一次方程组的应用，理解“互差数”的意义是解题的关键． 2．我们定义：若整式M与N满足（k为整数）则称M与N为关于的平衡整式．例如，若，我们称与为关于4的平衡整式． (1)若与为关于1的平衡整式，求a的值； (2)若与y为关于2的平衡整式，与为关于5的平衡整式，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据平衡整式的定义列出方程，解一元一次方程得到答案； （2）根据平衡整式的概念列出二元一次方程组，对方程组变形求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）由题意得：， ①＋②得：， ∴． 【点睛】本题考查的是解一元一次方程，解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 3．定义．对于一个四位自然数n，若其百位数字等于其个位数字与十位数字之和，其千位数字等于其十位数字与百位数字之和，则称这个四位自然数n为“加油数”，并将该“加油数”的各个数位数字之和记为．例如：5413是“加油数”，因为5413的个位数字是3，十位数字是1，百位数字是4，千位数字是5，且，所以543是“加油数”，则；9734不是“加油数”，因为9734的个位数字是4，十位数字是3，百位数字是7，千位数字是9，而，但，所以9734不是“加油数”． （1）判断8624和3752是不是“加油数”并说明理由： （2）若x，y均为“加油数”，其中x的个位数字为1，y的十位数字为2，且，求所有满足条件的“加油数”x． 【答案】（1）8624是“加油数”；3752不是“加油数”；（2）3211或9541． 【分析】（1）根据“加油数”的定义分别计算判断即可； （2）设x的十位数为a，y的个位数为b，根据“加油数”的定义分别表示出x，y其他位上的数，然后根据列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵8624的个位数字是4，十位数字是2，百位数字是6，千位数字是8， ∵， ∴8624是“加油数”； ∵3752的个位数字是2，十位数字是5，百位数字是7，千位数字是3， ∵，但， ∴3752不是“加油数”； （2）设x的十位数为a，y的个位数为b， ∴x的百位数为a+1，千位数为2a+1，y的百位数为b+2，千位数为4+b， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴， ，且a和b为整数， ∴或， ∴满足条件的“加油数”x为3211或9541． 【点睛】本题以新定义考查了列代数式，二元一次方程的正整数解，解题的关键是根据新定义列出代数式，建立方程． 题型十四、二元一次方程组的阅读理解 1．【注重阅读理解】先阅读，再解方程组． 解方程组： 解：设， 则原方程组变为 整理，得解得 解得 请用这种方法解方程组： 【答案】 【详解】设，则原方程组变为 解得 解得 2．阅读理解 （Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容．下面的两幅算筹图就表示了两个二元一次方程组：    把它们写成我们现在的方程组是与． （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为即可求得的方程组的解为．用数表简化解二元一次方程组的过程如下： 所以方程组的解为，解答下列问题： (1)直接写出下面算筹图表示的关于x，y的二元一次方程组．    (2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察图形，列出关于x、y的二元一次方程组即可； （2）仿照阅读材料中数表的解法格式解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解： ∴方程的解为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，观察图形，读懂题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如，我们分析，，可以采用“换元法”来解：设，，原方程组转化为，解得，∴，，由倒数定义得，原方程组的解为． (1)直接写出满足方程的一个解______； (2)解方程组． 【答案】(1)（答案不确定，满足方程即可） (2) 【分析】（1）根据方程解的定义，先假定x等于一个数，再求出对应的y即可； （2）仿照例题，设，，，则原方程组可变形为关于m、n的方程组，求出m，n的值，进而求出方程组的解． 【详解】（1）解：当时，方程成立， 故方程的解可以是：， 故答案为：（答案不确定，满足方程即可） （2）设，，原方程组转化为， 解得， ∴，由倒数定义得，原方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能把二元一次方程组转化成关于m，n的方程组是解此题的关键． 37 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 一次方程组 压轴专练 题型一、二元一次方程(组)的整数解 1．已知，是整数，且，则的值有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若是整数，且关于、方程组有整数解，则 ． 3．已知关于的方程组的解满足其中．若均为正整数，求所有符合条件的整数． 题型二、二元一次方程(组)的新定义运算 1．对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．对于有理数x，y定义新运算：（a，b为常数）．已知，，则 ． 3．对于有理数定义一种新运算“”：．例如：． (1)若，求的值． (2)在（1）的条件下，试说明：． 题型三、二元一次方程组的有、无解 1．已知二元一次方程组无解，则a的值是（   ）. A． B． C．1 D．以上都不对 2．无论m为何值，关于x，y的方程组都有解，则 ． 3．已知方程组，试确定a、c的值，使方程组： (1)有一个解； (2)有无数解； (3)没有解． 题型四、二元一次方程组的两解数量关系求参 1．若关于x、y的方程组的解满足，则k等于（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 题型五、二元一次方程组的误解 1．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，试求的值．（　　） A．1 B． C．0 D．2 2．甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值 ． 3．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求出方程组的正确解． 题型六、二元一次方程组的换组求参 1．已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为 ． 3．如果方程组与有相同的解，求a，b的值． 题型七、二元一次方程组的幻方问题 1．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则m与n的和是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的个数之和相等，表是一个已完成的幻方．表是一个未完成的幻方，其中的值为 ． 表 表 3．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 题型八、二元一次方程组的利润问题 1．某商场用3300元购进节能灯100只，两种节能灯的进价、售价如表： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲种节能灯 30 40 乙种节能灯 35 50 (1)求甲、乙两种节能灯各购进多少只？ (2)全部售完100只节能灯后，该商场获利多少元？ 2．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为，乙商品的利润率为，售出这两件商品共可获利元．价格调整后，甲商品的利润率为，乙商品的利润率为，售出这两件商品共可获利元，则两件商品的进价分别是多少元？ 3．随着山西旅游热持续升温，全省陆续推出了极具特色的各类文创产品．小丽和小壮计划购买一些山西文创产品进行收藏，下面是两位同学的对话： 根据两人的对话，求每件佛小伴挂件和每件晋祠水镜台冰箱贴的售价分别为多少元？ 题型九、二元一次方程组的方案问题 1．每年的4月23 日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响． 八年级(1)班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售情况如下： 团购群1 客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满元包邮，买本以上一律八折！客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？ 客服： 亲， 您这个没达到元， 需要加上邮费元， 共元． 客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？ 客服：亲， 您这个可以包邮， 共元． 团购群2 客服： 读书日优惠活动开始啦！ 每满元减元，全场包邮！ 客服： 1本《骆驼祥子》+1本《傅雷家书》， 一套元． 根据以上内容，解决下列问题： (1)团购群1中每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？ (2)小明所在班级一共有名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？ 2．蔬菜大王李明龙年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满蔬菜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜31吨，计划同时租用A型x车辆，B型车y辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜．根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆A型车和1辆B型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？ (2)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请你帮该物流公司设计租车方案；并选出费用最少的租车方案，求出最少租车费． 3．据2024年12月8日成都市气象台气候趋势预测，我市将有1-2次明显冷空气过程，分别出现在12月中旬中期和月底前后，最低气温降至以下．面对即将到来的寒冷天气，某个体户预先购买了某品牌、、三款羽绒服来销售．收据如表，其中部分数据因污损无法识别．根据表格提供的信息，解决下列问题： 商品名 单价/元 数量/件 金额/元 A款羽绒服 500 10 5000 B款羽绒服 400 ■ ■ C款羽绒服 300 ■ ■ 合计 60 23000 (1)分别求出该个体户购买的、两款羽绒服的数量； (2)因、两款羽绒服关注度高，该个体户决定将、两款羽绒服的数量都增加，再用8000元购买、两款羽绒服，有哪几种不同的购买方案？ 题型十、二元一次方程组的几何问题 1．某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 2．如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为，求每块小长方形墙砖的长和宽．    3．小明手中有块周长为的长方形硬纸片，若将该硬纸片的长减少，宽增加，就成为一个正方形硬纸片． (1)求这块长方形的硬纸片的长、宽各是多少？ (2)现小明想用这块长方形硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新长方形纸片，请判断小明能否裁出，并说明理由． 题型十一、二元一次方程组的整体思想 1．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大，其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔，块橡皮，本日记本共需元，买支铅笔，块橡皮，本日记本共需元，则购买支铅笔，块橡皮，本日记本共需多少元？ (3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么______． 2．【阅读感悟】有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求代数式和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路运算量比较大．其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【数学理解】（1）已知二元一次方程组则代数式的值为______，代数式的值为______； 【生活应用】（2）某班级组织活动购买小奖品，买20只铅笔、3块橡皮、2本日记本共需35元；买39只铅笔、5块橡皮、3本日记本共需62元．求购买9只铅笔、9块橡皮、9本日记本共需多少元？ 【迁移拓展】（3）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c为常数，等式右边是常规的加法和乘法运算．已知，，求的值． 3．阅读感悟 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．例如，已知实数，满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出，的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．解法如下： ，得：；，得：． 比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”． 问题解决 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)商场打折促销甲、乙、丙三种商品，如果李明购买甲商品5件、乙商品4件、丙商品2件，共付款元钱，王华购买甲商品7件、乙商品5件、丙商品1件，共付款元钱，那么张强购甲、乙、丙三种商品各2件需付款多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，求的值． 题型十二、二元一次方程组的整体换元 1．阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 2．阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 3．阅读探索 （1）知识累计 解方程组 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：，即 所以 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高 运用上述方法解下列方程组： （3）能力运用 已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 ． 题型十三、二元一次方程组的新定义应用 1．对于一个三位数，它各个数位的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字减去个位数字的差是十位数字的两倍，我们就称这个三位数为“互差数”.定义一个新运算，我们把一个“互差数”a的百位数字减去个位数字的差与十位数字之和记为.例如：715，因为，所以715是一个“互差数”， (1)判断832与421是否为“互差数”，若是“互差数”，请计算出：若不是，请说明理由． (2)若m是一个“互差数”，且，求满足条件的所有m的值． 2．我们定义：若整式M与N满足（k为整数）则称M与N为关于的平衡整式．例如，若，我们称与为关于4的平衡整式． (1)若与为关于1的平衡整式，求a的值； (2)若与y为关于2的平衡整式，与为关于5的平衡整式，求的值． 3．定义．对于一个四位自然数n，若其百位数字等于其个位数字与十位数字之和，其千位数字等于其十位数字与百位数字之和，则称这个四位自然数n为“加油数”，并将该“加油数”的各个数位数字之和记为．例如：5413是“加油数”，因为5413的个位数字是3，十位数字是1，百位数字是4，千位数字是5，且，所以543是“加油数”，则；9734不是“加油数”，因为9734的个位数字是4，十位数字是3，百位数字是7，千位数字是9，而，但，所以9734不是“加油数”． （1）判断8624和3752是不是“加油数”并说明理由： （2）若x，y均为“加油数”，其中x的个位数字为1，y的十位数字为2，且，求所有满足条件的“加油数”x． 题型十四、二元一次方程组的阅读理解 1．【注重阅读理解】先阅读，再解方程组． 解方程组： 解：设， 则原方程组变为 整理，得解得 解得 请用这种方法解方程组： 2．阅读理解 （Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容．下面的两幅算筹图就表示了两个二元一次方程组：    把它们写成我们现在的方程组是与． （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为即可求得的方程组的解为．用数表简化解二元一次方程组的过程如下： 所以方程组的解为，解答下列问题： (1)直接写出下面算筹图表示的关于x，y的二元一次方程组．    (2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组． 3．阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如，我们分析，，可以采用“换元法”来解：设，，原方程组转化为，解得，∴，，由倒数定义得，原方程组的解为． (1)直接写出满足方程的一个解______； (2)解方程组． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$