6.3 二项式定理（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3 二项式定理 【考点1：求二次项展开式】 【考点2：求二次项展开式的第k项】 【考点3：求指定项的二次项系数】 【考点4：二项系数和】 【考点5：求系数最大(小)】 【考点6：二项展开式各项的系数和】 知识点 二项式定理 1、二项式定理 （1）二项式定理：， （2）通项公式：，表示展开式的第项：， （3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （4）两个常用的二项展开式： ①（） ② 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质： ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． （2）二项式系数先增后减中间项最大 ①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （3）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为， 设第项系数最大，应有，从而解出来． 3、二项展开式中的系数和问题 （1）二项式系数和令，则二项式系数的和为， 变形式． （2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． （3）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． 【考点1：求二次项展开式】 【典例1】（22-23高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）写出的二项展开式 . 【变式1-2】（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是 ． 【变式1-3】（23-24高二上·上海·课后作业）求的二项展开式． 【考点2：求二次项展开式的第k项】 【典例2】（24-25高三上·江苏扬州·期末）的展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 【变式2-2】（24-25高三上·四川成都·开学考试）二项式的展开式中第5项为 . 【变式2-3】（24-25高三上·全国·阶段练习）二项式展开后的第三项是 【考点3：求指定项的二次项系数】 【典例3】（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）的展开式中含项的系数为（    ） A．8 B．12 C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）的展开式中的系数为（    ） A．24 B．21 C．15 D．9 【变式3-2】（24-25高三上·上海·期中）已知二项式的展开式中的系数为15，则 ． 【考点4：求系数最大(小)项】 【典例4】（24-25高二上·甘肃·期末）在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项． 【变式4-1】（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（    ） A． B． C． D．7 【变式4-2】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A． 第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【变式4-3】（24-25高二上·湖南长沙·期末）若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（    ） A． B． C． D． 【考点5：二项系数和】 【典例5】（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）二项式的展开式的二项式系数和为256，则等于 ． 【变式5-1】（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 . 【变式5-2】（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）已知展开式的二项式系数之和为32，则该展开式中x的系数为 . 【变式5-3】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 【考点6：二项展开式各项的系数和】 【典例6】（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【变式6-1】（2025·云南昆明·模拟预测）已知若，则（    ） A．5 B．8 C．9 D．14 【变式6-2】（2024年全国普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业单独招生考试数学试卷）已知，则 （    ） A． B． C．0 D．1 【变式6-3】（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·山东·一模）在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．多选题（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．二项式系数和为64 B．所有项的系数之和为2 C．第三项的二项式系数最大 D．系数最大值为240 3．（2025高三·全国·专题练习）已知的展开式中的常数项为，则展开式中所有项的系数之和为 ． 4．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，的二项展开式中各项系数和为，则展开式中项的系数是 ． 5．（20-21高三上·山东济南·阶段练习）在展开式中，的系数为 . 6．（2024·重庆·模拟预测）的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3 二项式定理 【考点1：求二次项展开式】 【考点2：求二次项展开式的第k项】 【考点3：求指定项的二次项系数】 【考点4：二项系数和】 【考点5：求系数最大(小)】 【考点6：二项展开式各项的系数和】 知识点 二项式定理 1、二项式定理 （1）二项式定理：， （2）通项公式：，表示展开式的第项：， （3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （4）两个常用的二项展开式： ①（） ② 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质： ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． （2）二项式系数先增后减中间项最大 ①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （3）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为， 设第项系数最大，应有，从而解出来． 3、二项展开式中的系数和问题 （1）二项式系数和令，则二项式系数的和为， 变形式． （2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． （3）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． 【考点1：求二次项展开式】 【典例1】（22-23高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理求解. 【详解】二项式 ， . 故选：B 【变式1-1】（24-25高三·上海·课堂例题）写出的二项展开式 . 【答案】 【分析】直接根据二项式定理展开求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为， 所以. 故答案为： 【变式1-2】（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是 ． 【答案】 【分析】根据二项式定理可得答案. 【详解】 ． 故答案为：． 【变式1-3】（23-24高二上·上海·课后作业）求的二项展开式． 【答案】 【分析】 根据二项式定理直接展开作答. 【详解】由二项式定理，得 ， 所以的二项展开式是． 【考点2：求二次项展开式的第k项】 【典例2】（24-25高三上·江苏扬州·期末）的展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理的通项公式，利用项的指数为即为常数项. 【详解】由的展开式的通项为， 令，得，则， 即在的展开式中，常数项为. 故选：A 【变式2-1】（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 【答案】D 【分析】根据二项展开式的通项直接运算即可. 【详解】由题意可知：展开式中的第3项为. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高三上·四川成都·开学考试）二项式的展开式中第5项为 . 【答案】15 【分析】根据二项展开式通项公式代入计算即可. 【详解】展开式通项为， . 故答案为：15. 【变式2-3】（24-25高三上·全国·阶段练习）二项式展开后的第三项是 【答案】 【分析】根据通项公式计算即可. 【详解】因为 所以. 故答案为： 【考点3：求指定项的二次项系数】 【典例3】（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）的展开式中含项的系数为（    ） A．8 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】先求出展开式的通项公式，分别求出、项的系数，即可求解展开式中含项的系数. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，可得二项式的展开式中的系数为； 令，可得二项式的展开式中的系数为． 的展开式中的系数为. 故选：B 【变式3-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）的展开式中的系数为（    ） A．24 B．21 C．15 D．9 【答案】D 【分析】利用二项式定理求解对应项系数即可. 【详解】由二项式定理得的通项为， 当时，含有的系数为，当时，含有的系数为， 综上，原式展开式中的系数为，故D正确. 故选：D 【变式3-2】（24-25高三上·上海·期中）已知二项式的展开式中的系数为15，则 ． 【答案】-3 【分析】写出二项展开式的通项公式，得到，故得到，求出答案. 【详解】展开式通项公式为， 令得， 故，解得. 故答案为：-3 【考点4：求系数最大(小)项】 【典例4】（24-25高二上·甘肃·期末）在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项． 【答案】(1) (2)第6项和第7项 (3) 【分析】（1）由二项式系数的性质即可得到结果； （2）由展开式的通项公式列出不等式，代入计算，即可得到结果； （3）结合展开式的通项公式，由（2）中的结论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，； （2）的展开式的通项为 ，，， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项； （3）由（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负， 第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项． 【变式4-1】（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得的系数． 【详解】在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大， 它的展开式共计有9项，， 故二项展开式的通项公式为， 令，求得，可得在的展开式中的系数为， 故选：C． 【变式4-2】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【分析】由的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得，求出，即可求得展开式中系数最大的项. 【详解】由的展开式中第2项与第8项的系数相等， 由的展开式的二项式系数和项的系数相等， 所以，所以， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项， 故选：C． 【变式4-3】（24-25高二上·湖南长沙·期末）若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式系数的单调性可得出展开式的项数，即可求得的值. 【详解】因为展开式中只有第项的二项式系数最大，则其展开式中共项， 所以，，解得. 故选：D. 【考点5：二项系数和】 【典例5】（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）二项式的展开式的二项式系数和为256，则等于 ． 【答案】8 【分析】由二项式的二项式系数和为列方程，计算即得. 【详解】依题意，解得． 故答案为：8. 【变式5-1】（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 . 【答案】 【分析】 根据二项式系数性质求得，二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项． 【详解】 由题意可得，求得， 故展开式的通项公式为， 令，求得，得展开式的常数项为， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）已知展开式的二项式系数之和为32，则该展开式中x的系数为 . 【答案】 【分析】由二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】依题意可得，所以， 则展开式的通项为 ，， 令，解得，所以展开式中的系数为. 故答案为： 【变式5-3】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 【答案】 【分析】首先根据二项式系数和的性质求出的值，然后写出二项式展开式的通项公式，再根据通项公式求出最高次项的系数. 【详解】已知的展开式中二项式系数和为32，则，即. 二项式展开式的通项公式为. 对于，则其通项公式为. 化简得. 因为，所以最高次项为时的项. 当时，该项的系数为. 所以最高次项的系数为. 故答案为：. 【考点6：二项展开式各项的系数和】 【典例6】（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由展开式的通项计算即可； （2）利用赋值法计算即可. 【详解】（1）二项式展开式的通项为，， 因为， 所以； （2）令，则， 令，则，可得， 因此. 【变式6-1】（2025·云南昆明·模拟预测）已知若，则（    ） A．5 B．8 C．9 D．14 【答案】B 【分析】利用二项式定理求出，进而求出值. 【详解】依题意，，由，得， 即，解得. 故选：B 【变式6-2】（2024年全国普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业单独招生考试数学试卷）已知，则 （    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】令，代入计算，即可得到结果. 【详解】令可得. 故选：D 【变式6-3】（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件利用赋值法，令和即可求解. 【详解】因为，， 所以令，可得， 又令，可得， 所以， 故选：D. 1．（2024·山东·一模）在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】先由二项式系数公式求出n，再由二项式展开式定理即可得解. 【详解】由题得， 所以二项式的展开式的项数是. 故选：A. 2．多选题（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．二项式系数和为64 B．所有项的系数之和为2 C．第三项的二项式系数最大 D．系数最大值为240 【答案】AD 【分析】利用二项式系数和公式可判定A，利用赋值法可判定B，利用二项式定理的性质可判定C，利用二项式展开式通项可判定D. 【详解】由二项式系数和公式知的二项式系数和为，故A正确； 令，则的展开式所有项的系数之和为，故B错误； 易知的展开式共7项，所以二项式系数最大项为第四项，故C错误； 设的展开式通项为， ， 计，显然取偶数时各项系数为正数， ， 可知系数最大值为240，故D正确. 故选：AD 3．（2025高三·全国·专题练习）已知的展开式中的常数项为，则展开式中所有项的系数之和为 ． 【答案】/0.015625 【分析】先求出二项式的展开式通项，利用常数项列式求得，然后赋值法求解系数和即可. 【详解】二项式的展开式通项， 令，得，故展开式中的常数项为，得（舍去负值）， 则令得展开式中所有项的系数之和为． 故答案为： 4．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，的二项展开式中各项系数和为，则展开式中项的系数是 ． 【答案】 【分析】由二项展开式的各项系数和为，求出，再利用二项展开式的通项公式，即可求解． 【详解】因为的二项展开式的各项系数和为， 令，得，解得， 所展开式的通项公式为， 令，得， 所以项的系数为． 故答案为：． 5．（20-21高三上·山东济南·阶段练习）在展开式中，的系数为 . 【答案】80 【分析】由二项展开式的通项求解即可； 【详解】， 二项式的展开式的第项为， 令，则，令，则， 则展开式中，的系数为. 故答案为：80. 6．（2024·重庆·模拟预测）的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】令求出，然后求出展开式中的常数项和含的项，分别与因式中的项相乘可得. 【详解】令可得，解得， 的展开式中通项，， 分别令，得， 所以展开式中的常数项和含的项分别为， 所以展开式中的系数为. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$