8.6.1 直线与直线垂直（分层作业）-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

8.6.1 直线与直线垂直 分层作业 1、 题型研究 题型一、异面直线所成的角 如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 题型二、直线与直线垂直的证明 若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（　　） A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 2、 基础达标 1.在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 2.直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于 (　　) A．40° B．50° C．90° D．150° 3.和两条异面直线都垂直的直线（    ） A．有无数条 B．有两条 C．只有一条 D．不存在 4.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定 5.若直线直线，且平面，则 A． B． C． D．或 6.设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 7.若斜线段AB是它在平面内的射影长的2倍，则直线与所成的角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．120° 8.在正方体各个面的对角线中与所成的角为的有（     ） A．5条 B．6条 C．8条 D．10条 3、 能力提升 1.如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是 A．①② B．②④ C．①③ D．②③ 2.正方体中，与平面所成的角为 A． B． C． D． 3.如图，直三棱柱中，侧棱平面，若，，则异面直线与所成的角为 A． B． C． D．    4.如图，已知正方体，中，平面，且与不平行，则下列结论一定不可能的是（    ） A． 与平行 B．与异面 B． C．与所成的角为30° D．与垂直 5.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 6.在直三棱柱中，侧棱平面，若，，点，分别，的中点，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 7.如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论： ①与所在直线垂直；                ②与所在直线平行； ③与所在直线成60°角；            ④与所在直线异面. 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 8.在正方体中，与所成角的余弦值是 A． B． C． D． 4、 直击高考 1.（2007·湖南·高考真题）如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ） A．与垂直 B．与垂直 C．与异面 D．与异面 2.（2023高三上·浙江·阶段练习）给出下列命题，其中正确的命题为 A．若直线和共面，直线和共面，则和共面； B．直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直； C．直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行； D．异面直线，不垂直，则过的任何平面与都不垂直. 3.（2023高三上·江西·期中）如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在P B, P C上的射影，给出下列结论： ①；②；③；④.正确命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 4.（2022高一·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.6.1 直线与直线垂直 分层作业 1、 题型研究 题型一、异面直线所成的角 如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点E，连接，易得（或其补角）为异面直线与所成的角，进而求其大小即可. 【详解】如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角. 由条件知：，则， 故选：C. 题型二、直线与直线垂直的证明 若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（　　） A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 【答案】B 【知识点】证明异面直线垂直 【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断. 【详解】∵a⊥b，bc，∴a⊥c. 故选：B. 2、 基础达标 1.在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据题意，求异面直线所成角，找到平行线，转化成平面角，即可求解. 【详解】由题意，作正方体，如下图所示：    连接，， ∴异面直线与即所成的角为. 由题可得为等边三角形，. ∴异面直线与所成的角为60°. 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成角，属于基础题. 2.直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于 (　　) A．40° B．50° C．90° D．150° 【答案】B 【知识点】求线面角 【详解】两条直线平行，它们与同一平面所成的角相等，直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于，选B. 3.和两条异面直线都垂直的直线（    ） A．有无数条 B．有两条 C．只有一条 D．不存在 【答案】A 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析 【解析】平行于公垂线的直线都与异面直线垂直，得到答案。 【详解】由于异面直线的公垂线只有一条，因此凡与公垂线平行的直线都与两条异面直线垂直，有无数条. 故选：A. 【点睛】本题考查了异面直线的垂直问题，意在考查学生的空间想象能力。 4.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定 【答案】B 【知识点】线面垂直证明线线垂直 【详解】一条直线和三角形的两边同时垂直， 根据直线与平面的判定定理可知，该直线垂直与三角形所在平面． 直线与平面垂直，根据线面垂直的性质可知与平面内任意一直线垂直． 故这条直线和三角形的第三边的位置关系是垂直． 故选B 5.若直线直线，且平面，则 A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断 【详解】试题分析：当时，，则，当时，，则，当与相交时，，则与不垂直，所以直线，且，所以或，故选D． 考点：空间中直线与平面之间的位置关系． 【方法点晴】本题主要考查了空间中的直线与平面之间的位置关系问题，其中解答中涉及到直线与平面平行、直线与平面垂直，以及空间中的直线与平面位置关系的判定与证明等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，解答时要认真审题、自习解答，注意空间想象能力和推理能力的培养． 6.设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 【答案】D 【知识点】判断图形中的线面关系、异面直线的判定 【详解】如下图，若，则和相交； 若，则和异面； 若，则和平行； 所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面． 故选：D. 7.若斜线段AB是它在平面内的射影长的2倍，则直线与所成的角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．120° 【答案】A 【知识点】求线面角 【分析】根据题意，得到平面，推出即为与平面所成的角，再由题中条件，即可求出结果． 【详解】因为斜线段是它在平面上的射影的倍， 所以平面，，所以， 因此即为与平面所成的角， 所以，因此． 故选：A 8.在正方体各个面的对角线中与所成的角为的有（     ） A．5条 B．6条 C．8条 D．10条 【答案】C 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】根据题意画出直观图，结合图形分析可得. 【详解】解：由图可知和均是等边三角形，所以，，，与成角.根据平行关系，可知，，，也与成角，故满足题意的面对角线共有8条，故选：C.    【点睛】本题考查两直线所成的角的辨析，属于基础题. 3、 能力提升 1.如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是 A．①② B．②④ C．①③ D．②③ 【答案】B 【知识点】判断线面是否垂直 【分析】由已知几何体为正方体，利用线面垂直的判定逐一分析四个选项得答案． 【详解】对于①，由AB与CE所成角为45°，可得直线与平面不垂直； 对于②，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED=E，可得AB⊥平面； 对于③，由AB与CE所成角为60°，可得直线与平面不垂直； 对于④，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理：EC⊥AB，可得AB⊥平面； 故选B 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 2.正方体中，与平面所成的角为 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求线面角 【分析】连接交于点E，连接AE，求角即可． 【详解】如图，连接交于点E，连接AE， 正方体中，证得：平面， 所以与平面所成的角为， 设正方体的边长为， 在中，求得：，， ,所以， 故选A 【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出对应的一个平面角，解三角形即可，属于基础题． 3.如图，直三棱柱中，侧棱平面，若，，则异面直线与所成的角为 A． B． C． D．    【答案】C 【知识点】异面直线所成的角 【详解】连接，由题意，得∥，则∠是异面直线与所成的角或其补角，在△中，，，即三角形△为正三角形，则∠，即异面直线与所成的角为，故选C. 4.如图，已知正方体，中，平面，且与不平行，则下列结论一定不可能的是（    ） A． 与平行 B．与异面 B． C．与所成的角为30° D．与垂直 【答案】A 【知识点】证明异面直线垂直、求异面直线所成的角 【解析】依次判断每个选项：假设与平行，得出矛盾，错误；取为所在直线，满足；取与成角，成立；得到答案。 【详解】假设，则由，可得，这与“与不平行”矛盾，所以与不平行. 取为所在直线，满足；取与成角，成立。 故选： 【点睛】本题考查了空间中直线的位置关系，意在考查学生的空间想象能力。 5.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】棱柱的结构特征和分类、求空间向量的数量积、用空间基底表示向量、异面直线夹角的向量求法 【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答. 【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，， 令，则，而，， 于是得， 因此，， 所以与所成角的大小为. 故选：B 6.在直三棱柱中，侧棱平面，若，，点，分别，的中点，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】推导出，，从而是异面直线与所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线与所成的角． 【详解】在直三棱柱中，侧棱平面， ，，点，分别，的中点， ∴，， ∴是异面直线与所成的角（或所成角的补角）， 连结，则， ∴， ∴异面直线与所成的角为． 故选B． 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 7.如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论： ①与所在直线垂直；                ②与所在直线平行； ③与所在直线成60°角；            ④与所在直线异面. 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】C 【知识点】异面直线的判定、求异面直线所成的角 【分析】根据正方体平面展开图，画出原正方体，标出各顶点，找平行线判断异面直线所成角，逐一判断，即可求解. 【详解】画出原正方体如图所示，    连接，，由图可知①②错误； ，所以为等边三角形， 所以③与所在直线成60°角是正确的； 显然④与所在直线异面是正确的. 综上，③④正确. 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成角，考查数形结合思想，属于基础题. 8.在正方体中，与所成角的余弦值是 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】由与平行可知，即为所成角，在直角三角形中求解即可. 【详解】如图：    因为正方体中与平行， 所以即为与所成角， 设正方体棱长为，则，在中， ，故选C. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，属于中档题. 4、 直击高考 1.（2007·湖南·高考真题）如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ） A．与垂直 B．与垂直 C．与异面 D．与异面 【答案】D 【知识点】异面直线的判定、线面关系有关命题的判断、线面垂直证明线线垂直 【详解】如图所示，连结，由几何关系可得点为的中点，且， 由三角形中位线的性质可得：，即与不是异面直线， 很明显，与异面， 由几何关系可得：，则， 综上可得，选项D中的结论不成立. 本题选择D选项. 2.（2023高三上·浙江·阶段练习）给出下列命题，其中正确的命题为 A．若直线和共面，直线和共面，则和共面； B．直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直； C．直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行； D．异面直线，不垂直，则过的任何平面与都不垂直. 【答案】D 【知识点】平行公理、证明异面直线垂直 【详解】试题分析：A：直线共面不具有传递性，故A错误；B：根据线面垂直的判定可知B错误；C：若直线，满足直线与平面不平行，但平面内存在无数条直线与已知直线平行，故C错误；D：假设存在过的平面与垂直，则可知，∴假设不成立，故D正确，故选D． 考点：空间中点、线、面的位置关系及其判定． 3.（2023高三上·江西·期中）如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在P B, P C上的射影，给出下列结论： ①；②；③；④.正确命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】证明异面直线垂直 【详解】试题分析：∵是圆的直径，∴，又面圆，故，且，∴面，所以，又，且，∴面，故，，故①③正确, 又，且,所以面，从而，故②正确， 若，则可证面，又面，则面∥面，与面面矛盾，所以不正确，故选C. 考点：1、线面垂直的判定；2、线面垂直的性质. 4.（2022高一·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】由BC∥B1C1，所以∠ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成角在可得答案. 【详解】因为BC∥B1C1，所以∠ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成角，因为，AB=BC=1，所以，所以异面直线B1C1与AC所成角为． 故选：A. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$