精品解析： 河南省郑州市高新区2024—2025学年上学期八年级期末数学试卷

2024—2025学年上学期期末调研 八年级数学 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间90分钟，满分120分． 2.考生应首先阅读试题卷和答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（本题10个小题，每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列比3大且比4小的无理数是（ ） A. B. C. D. 3.14 2. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 某打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金箍棒看成圆柱体，它的底面周长是，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1圈升高，则龙头部分的长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个数值转换器，当输入x值为9时，则输出y的值是（ ）   A. B. C. D. 7. 如图，用雷达图展示小智参与趣味数学活动过程中探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的分项得分，分别按进行综合评价，他的综合得分为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 8. 某客运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费（元）与行李质量（）之间的函数表达式为，该函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 旅客最多可免费携带行李 D. 当行李的质量超过规定时，超出部分的行李每千克需要加收元 9. 如图，在中，平分，平分，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 10. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程s（单位：里）关于行走时间t（单位：日）的函数图象如图所示，下列说法：①劣马比良马早出发12日；②点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马；③良马的速度比劣马的速度快80里/日．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”）． 12. 已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是_____. 13. 若方程组的解为，则方程组的解为______． 14. 如图，四边形中，，剪去后，得到一个五边形，则的度数为______°． 15. 如图，在中，，，点为线段上的一个动点，将沿直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，若的某一直角边等于斜边长度的一半时，则的长为______． 三、解答题（本大题共7个小题，满分75分） 16. 计算：． 17. 某校开展趣味数学活动，现从七年级和八年级参与的学生中各随机抽取10名同学的成绩（满分10分）进行整理、描述和分析． a．如图为这20名学生成绩折线统计图： b．这20名学生成绩的平均数、中位数、方差如表： 平均数 中位数 方差 七年级 6 7 八年级 7 m 根据以上信息，回答下列问题： （1） ，比较 （填写：＞、＝、＜）； （2）根据以上数据，你认为在此次趣味数学活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由． 18. 朱仙镇木版年画是中国古老的传统工艺品之一，某文创商店购进如图“马上鞭”和“对花枪”两种木板年画作品，其进价和销售价如表所示： 马上鞭 对花枪 进价（元/张） 23 34 售价（元/张） 25 35 （1）若文创商店购进两种木板年画作品共130张，正好用去3760元，计算两种木板年画作品分别购进多少张？ （2）该文创商店某次出售两种木板年画作品（两种作品出售张数不为0），正好盈利6元，列出所有的销售方案． 19. 为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图1，表示一辆购物车的尺寸，如图2，表示3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米，购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，直立电梯一次性最多能转运12辆购物车，如图3，扶手电梯一次性最多转运购物车时，需要在斜坡上预留的安全距离． （1）当x辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为y米，则y与x的关系式是 ； （2）若该超市扶手电梯水平距离为4m，高为3m，考虑安全距离，求扶手电梯一次性最多能转运的购物车数量，并比较哪种方式一次性转运的购物车数量多． 20. 如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，建立平面直角坐标系，点，，，根据图形回答下列问题： （1）点A到x轴距离为 ，点B到y轴的距离为 ； （2）连接与y轴交于点D，求点D的坐标； （3）在x轴上找到一点P，使得为等腰三角形，直接写出格点P的坐标． 21. 课本上有很多与方格纸相关的问题，请你来完成（方格纸中每个小方格的边长为）． （1）如图，线段长为，请以为一边，画出一个面积为的钝角三角形，三角形的顶点均为格点，使得一条边为，则第三边的长为 ； （2）截取出方格纸的局部如图，将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图中用实线画出剪切线，在图中画出拼成的正方形； （3）截取出方格纸的局部如图，只剪两刀就可以将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图中用实线画出这两条剪切线． 22. 受自行车尾灯设计的启发某班开展项目式学习，以下是某小组的活动记录． 探究“进入光线和离开光线夹角与镜子夹角的关系”项目活动记录 项目背景 如图1，两个互相垂直的平面镜（），根据光的反射定律，入射角等于反射角，即，， ∵，，，， ∴，，（① ）． ∵，（② ）， ∴． ∵， ∴． ∴m∥n． 实验探究 如图2，在同一平面内，两块平面镜AB，BC的夹角为（）；用一束激光射到平面镜AB上，分别经过平面镜AB，BC两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角为；多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量记录，得到多组和的值，数据如下： 10° 30° 50° 70° 160° 120° 80° 40° 建立模型 根据表中信息，猜想与之间的关系为③　　　（）；由项目背景知：，，… 深入思考 如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，镜子AB与BC的夹角，入射光线FE与平面镜AB的夹角（），入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，反射光线与入射光线EF平行时，∠BCD的度数为 （可用含有m的代数式表示）． 请你结合活动记录完成以下任务： （1）①的依据定理是 ，②的依据定理是 ； （2）③猜想与之间的关系为 ，并说明理由； （3）∠BCD度数为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上学期期末调研 八年级数学 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间90分钟，满分120分． 2.考生应首先阅读试题卷和答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（本题10个小题，每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列比3大且比4小的无理数是（ ） A. B. C. D. 3.14 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．先估算各个选项中的数的大小，再判断是否是无理数，从而进行判断即可． 【详解】解：，是有理数，此选项不符合题意； ，且是无理数，此选项符合题意； ，此选项不符合题意； ，是有理数，此选项不符合题意： 故选：B． 2. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 3. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为， 故选：B． 4. 某打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金箍棒看成圆柱体，它的底面周长是，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1圈升高，则龙头部分的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查平面展开——最短路径问题，勾股定理．正确画出图形是解题关键．根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可． 【详解】解：如下图，则， ， 即龙头不符的长为， 故选：． 5. 下列选项中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么y是x的函数”判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，A中y不是x的函数，B、C、D中y是x的函数， ∴A符合题意，B、C、D不符合题意． 故选：A． 6. 如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（ ）   A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，实数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据程序第一步计算，，再次计算得，，是无理数，直接输出即可． 【详解】解：根据程序第一步计算， 再次计算得， 是无理数，直接输出， 故选：C． 7. 如图，用雷达图展示小智参与趣味数学活动过程中探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的分项得分，分别按进行综合评价，他的综合得分为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了加权平均数，根据加权平均数定义进行解答即可． 【详解】解：， 故选：C 8. 某客运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费（元）与行李质量（）之间的函数表达式为，该函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 旅客最多可免费携带行李 D. 当行李的质量超过规定时，超出部分的行李每千克需要加收元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量以及一次函数的增减性． 利用待定系数法求一次函数解析式即可判断A，B选项；令时求出的值即可判断C选项；根据函数解析式即可判断D选项． 【详解】解：由图可知，函数图象经过点，， ， 解得：；故A，B正确， ∴函数解析式为 令，则， 解得， 所以，旅客最多可免费携带行李的质量为10kg；故C正确； ∵， ∴当行李的质量超过规定时，超出部分的行李每千克需要加收元，故D选项错误 故选：D． 9. 如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由平分，平分，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故选：B． 10. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程s（单位：里）关于行走时间t（单位：日）的函数图象如图所示，下列说法：①劣马比良马早出发12日；②点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马；③良马的速度比劣马的速度快80里/日．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，理解题意，看懂图象，从图象上获取准确信息是解答的关键．从图象中找到两马的起始时间可判断①；根据图象的交点可判断②；求出两马的速度可判断③，进而可得答案． 【详解】解：①由图象知，劣马比良马早出发12日，正确，符合题意； ②两图象的交点坐标为，则点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马，正确，符合题意； ③良马的速度为（里/日）， 劣马的速度为（里/日）， （里/日）， ∴良马的速度比劣马的速度快90里/日，原结论错误，不符合题意， 故正确的椒①②． 故选：A． 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】举个反例，得出它是错误的即可． 【详解】解：假设，则满足， 但， 因此，这个命题是假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查判断命题的真假，掌握举反例得出一个命题为假命题是解题的关键．判断一个命题为真需要经过证明，但判断一个命题为假，只需要找到一个反例即可． 12. 已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是_____. 【答案】 【解析】 【分析】方程即，即一次函数与x相交，求出交点横坐标即可. 【详解】由图可知，函数与x轴相交于（3,0），与y轴相交于（0，-2）.当时，，关于的方程的解是. 故答案为 【点睛】本题考查了直线方程与坐标轴的相交，相交点坐标为（a，0），，.需要注意的是，题干中要求关于的方程的解，即解的形式要写成. 13. 若方程组的解为，则方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 设，则方程组可化为，根据题意得出，即可求出的值． 【详解】解：设，则方程组可化为， 方程组的解为， 方程组的解为， ， ， 方程组的解为， 故答案为： 14. 如图，四边形中，，剪去后，得到一个五边形，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理，熟练运用三角形外角的定义和性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质可得，，再根据三角形内角和为即可求解． 【详解】解： ， ， 由图可知，和是的两个外角， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 15. 如图，在中，，，点为线段上一个动点，将沿直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，若的某一直角边等于斜边长度的一半时，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，由翻折得，，分三种情况：①当点在边上，且（即）时；②当点在的延长线上，且（即）时；③当点在的延长线上，且（即）时，分别根据勾股定理求出的长，再求出的长即可 【详解】解：由翻折得，，分三种情况： ①当点在边上，且（即）时， ， 由勾股定理得，， 即， ， ， ； ②当点在的延长线上，且（即）时，同理得， ， ； ③当点在的延长线上，且（即）时， 由勾股定理得，， 即， ， ， ， ， ，此时点不在边上，不符合题意，舍去， 综上，当的某一直角边等于斜边长度的一半时，的长度为，． 故答案为：，． 三、解答题（本大题共7个小题，满分75分） 16 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查实数的混合运算，正确计算是解题的关键．根据立方根，平方差公式，二次根式的混合运算计算即可． 解：原式 17. 某校开展趣味数学活动，现从七年级和八年级参与的学生中各随机抽取10名同学的成绩（满分10分）进行整理、描述和分析． a．如图为这20名学生成绩折线统计图： b．这20名学生成绩的平均数、中位数、方差如表： 平均数 中位数 方差 七年级 6 7 八年级 7 m 根据以上信息，回答下列问题： （1） ，比较 （填写：＞、＝、＜）； （2）根据以上数据，你认为在此次趣味数学活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由． 【答案】（1）7，＞ （2）八年级的成绩更好，八年级的平均分高于七年级，方差小于七年级，说明整体分数较高且稳定． 【解析】 【分析】本题考查求中位数，方差，利用方差判断稳定性，正确理解题意是解题的关键： （1）根据中位数和方差的求法即可得出答案； （2）利用方差判断即可． 【小问1详解】 解：八年级10名同学的成绩为：6，7，8，8，9，6，5，4，7，10，按照从小到大排列为：4，5，6，6，7，7，8，8，9，10， 中位数为：， 七年级10名同学的成绩为：4，8，10，2，6，9，8，1，4，8， ， 故答案为：7，＞； 【小问2详解】 八年级的成绩更好，八年级的平均分高于七年级，方差小于七年级，说明整体分数较高且稳定． 18. 朱仙镇木版年画是中国古老的传统工艺品之一，某文创商店购进如图“马上鞭”和“对花枪”两种木板年画作品，其进价和销售价如表所示： 马上鞭 对花枪 进价（元/张） 23 34 售价（元/张） 25 35 （1）若文创商店购进两种木板年画作品共130张，正好用去3760元，计算两种木板年画作品分别购进多少张？ （2）该文创商店某次出售两种木板年画作品（两种作品出售张数不为0），正好盈利6元，列出所有的销售方案． 【答案】（1）购进“马上鞭”版画作品60张，“对花枪”版画作品70张． （2）销售方案有两种：“马上鞭”版画作品1张，“对花枪”版画作品4张；“马上鞭”版画作品2张，“对花枪”版画作品2张． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解二元一次方程，正确理解题意是解题的关键： （1）设购进“马上鞭”版画作品x张，“对花枪”版画作品y张，根据题意，得，求解即可得出答案； （2）设出售“马上鞭”版画作品a张，“对花枪”版画作品b张，根据题意，得，求出方程的正整数解，进而可得出答案． 【小问1详解】 解：设购进“马上鞭”版画作品x张，“对花枪”版画作品y张， 根据题意，得， 解得， 所以购进“马上鞭”版画作品60张，“对花枪”版画作品70张； 【小问2详解】 解：设出售“马上鞭”版画作品a张，“对花枪”版画作品b张， 根据题意，得 即， 这个方程的正整数解有，， 所以，销售方案有两种：①“马上鞭”版画作品1张，“对花枪”版画作品4张；②“马上鞭”版画作品2张，“对花枪”版画作品2张． 19. 为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图1，表示一辆购物车的尺寸，如图2，表示3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米，购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，直立电梯一次性最多能转运12辆购物车，如图3，扶手电梯一次性最多转运购物车时，需要在斜坡上预留的安全距离． （1）当x辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为y米，则y与x的关系式是 ； （2）若该超市扶手电梯水平距离为4m，高为3m，考虑安全距离，求扶手电梯一次性最多能转运的购物车数量，并比较哪种方式一次性转运的购物车数量多． 【答案】（1） （2）17辆，扶手电梯一次性转运的购物车数量多． 【解析】 【分析】本题考查函数关系式，根据题意写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）1辆购物车时长度为，每增加一辆长度增加，据此写出y与x的关系式即可； （2）在中利用勾股定理求出，根据题意列关于x的一元一次不等式并求解，比较x的最大值与12的大小关系即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ∴y与x的关系式是． 故答案为：． 【小问2详解】 在中利用勾股定理，得， 根据题意，得， 解得， ∴扶手电梯一次性最多能转运17辆购物车， ∵， ∴扶手电梯一次性转运的购物车数量多． 20. 如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，建立平面直角坐标系，点，，，根据图形回答下列问题： （1）点A到x轴的距离为 ，点B到y轴的距离为 ； （2）连接与y轴交于点D，求点D的坐标； （3）在x轴上找到一点P，使得为等腰三角形，直接写出格点P的坐标． 【答案】（1）3，3 （2） （3），，， 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质、等腰三角形的判定，一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据点的坐标的几何意义填空即可； （2）先求出的解析式为，当时，，得到点D坐标即可； （3）画出符合条件的点P，直接写出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：点A到x轴的距离为3，点B到y轴的距离为3； 故答案为：3；3． 【小问2详解】 如图所示， 设的解析式为， 将，，代入得：， 解得：， ∴的解析式为， 当时，， ∴； 【小问3详解】 如图所示 当时，为等腰三角形， ∴， 当时，为等腰三角形， ∴， 当时，， ∴，， 21. 课本上有很多与方格纸相关的问题，请你来完成（方格纸中每个小方格的边长为）． （1）如图，线段的长为，请以为一边，画出一个面积为的钝角三角形，三角形的顶点均为格点，使得一条边为，则第三边的长为 ； （2）截取出方格纸的局部如图，将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图中用实线画出剪切线，在图中画出拼成的正方形； （3）截取出方格纸的局部如图，只剪两刀就可以将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图中用实线画出这两条剪切线． 【答案】（1），作图见解析； （2）作图见解析； （3）作图见解析． 【解析】 【分析】（）根据题目要求作出即可，利用勾股定理求出； （）个小正方形的面积和为，拼成的正方形的边长为，由此即可解决问题； （）截取一个边长为的正方形即可； 本题考查作图—应用与设计作图，勾股定理与无理数，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 解：如图中， ∴即为所求，第三边的长， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， ∴正方形即为所求； 【小问3详解】 解：如图（答案不唯一）， 22. 受自行车尾灯设计的启发某班开展项目式学习，以下是某小组的活动记录． 探究“进入光线和离开光线夹角与镜子夹角的关系”项目活动记录 项目背景 如图1，两个互相垂直的平面镜（），根据光的反射定律，入射角等于反射角，即，， ∵，，，， ∴，，（① ）． ∵，（② ）， ∴． ∵， ∴． ∴m∥n． 实验探究 如图2，在同一平面内，两块平面镜AB，BC夹角为（）；用一束激光射到平面镜AB上，分别经过平面镜AB，BC两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角为；多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量记录，得到多组和的值，数据如下： 10° 30° 50° 70° 160° 120° 80° 40° 建立模型 根据表中信息，猜想与之间的关系为③　　　（）；由项目背景知：，，… 深入思考 如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，镜子AB与BC的夹角，入射光线FE与平面镜AB的夹角（），入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，反射光线与入射光线EF平行时，∠BCD的度数为 （可用含有m的代数式表示）． 请你结合活动记录完成以下任务： （1）①的依据定理是 ，②的依据定理是 ； （2）③猜想与之间的关系为 ，并说明理由； （3）∠BCD的度数为 ． 【答案】（1）等角的余角相等；三角形的内角和等于 （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平行线，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，四边形内角和，注意分类讨论，是解决本题的关键． （1）根据余角性质，三角形内角和性质回答即可； （2）结合光的反射，得，得得，，根据，得； （3）分三种情况画图讨论：①当时，可得，∴，，得，，得；②当时，根据， ，得．③当时,根据，解得，不成立． 【小问1详解】 解：，， ∵，，，， ∴，，（等角的余角相等）． ∵，（三角形的内角和等于）， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：等角余角相等；三角形的内角和等于 【小问2详解】 解：如图，为法线， 则， ∴， 在中， , ∴， 在中， ， 在四边形中， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：或．理由如下： ①当时， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由内角和， 得； ②当时， 如果在边反射后与平行， 则， 与题意不符； 则只能在边反射后与平行， ∵， ∴， 由， 可得， ∴， ∴； ③当时, ∵反射光线直接与平行，入射光线与平面镜的夹角， ∴， 解得， 此时与镜面垂直， 这与矛盾， 时不成立． 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $