2.1两条直线的位置关系 同步习题 2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

2.1两条直线的位置关系 同步习题 一、单选题 1．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．已知，互补，那么与之间的关系是（   ） A．和为 B．差为 C．互余 D．差为 3．一个角的度数比它的余角的度数大，则这个角的度数是（　　） A． B． C． D． 4．如图，C，D在线段上，下列四个说法： ①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条； ②图中有3对互为补角的角； ③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°； ④若，，，点F是线段上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为25 其中正确说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，连接，，垂足为，并且，点是边上一动点，则的最小值是（    ） A．1.5 B．3 C．3.5 D．4 二、填空题 7．如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为 ． 8．已知∠A的补角是60°，则 ． 9．如图，运动会上，小明以直线为起跳线，两脚落在点P处，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为米，米，则小明的真实成绩为 米． 10．如图，点A、O、B都在直线MN上，射线OA绕点O按顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O按逆时针方向以每秒6°的速度旋转（当其中一条射线与直线MN叠合时，两条射线停止旋转）．经过 秒，∠AOB的大小恰好是60°． 11．如图，三角形中，，P为直线上一动点，则线段的最小值是 ． 12．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 三、解答题 13．完成推理过程： 已知：OA⊥OC，OE⊥OD，求证∠1＝∠2． 证明： ∵OA⊥OC，OE⊥OD（已知） ∴∠AOC＝______º，∠DOE＝______º（垂直定义） ∴∠1＋∠3＝90º ∠2＋∠3＝90º ∴∠1＝∠2（    ） 14．直线相交于点，若，求的度数． 15．如图，直线相交于点平分． (1)图中的余角是______________； (2)如果，那么的大小为______________，理由是______________； (3)如果，求和的大小． 16．如图，在中，是角平分线，过点D作，交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，，则______（用含、的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C C C B B 1．B 【分析】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质可得，，再结合角的和差关系可得答案. 【详解】解：过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，    ∵直尺两边互相平行， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查的是互余，互补的两个角之间的关系，掌握“余角与补角的含义”是解本题的关键． 由条件可得把代入可得从而可得答案． 【详解】解： ，互补， 与互余， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查余角和补角．设这个角的度数为，建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：设这个角的度数为， 则， 解得． 即这个角的度数是． 故选：C． 4．C 【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④分两种情况探讨：当F在线段上最小，点F和E重合最大计算得出答案即可． 【详解】解：①以B、C、D、E为端点的线段共6条，故①正确； ②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即和互补，和互补，故②错误； ③由，根据图形可以求出 ，故③正确； ④当F在线段上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为，④正确． 故选：C． 【点睛】此题分别考查了线段、角的和与差以及补角的定义，解题时注意：互为邻补角的两个角的和为180°． 5．B 【分析】作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB= EF’+EB，再由点到直线的距离垂线段长度最短求解即可． 【详解】解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示： 由对称性可知，EF=EF’， 此时EF+EB= EF’+EB， 由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知， 当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0，此时E位于上图中的E0位置， 由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°， ∴∠BAF0=30°， 由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知， BF0=AB=， 故选：B． 【点睛】本题考查了30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作点F关于AC的对称点，将EF线段转移，再由点到直线的距离最短求解． 6．B 【分析】由三角形的内角和定理和角的和差求出，角平分线的性质定理得，垂线段定义证明最短，求出长的最小值为3． 【详解】解：过点作交于点，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ，， ∴， ∴是的角平分线， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∴点是直线外一点， ∴当点在上运动时，点运动到与点重合时最短，其长度为长等于3， 即长的最小值为3． 故选：B． 【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，角的和差，角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值． 7．5 【分析】根据角平分线的性质即可求出． 【详解】解：当时，最小， 平分，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 8．120 【分析】如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．由此定义即可求解． 【详解】解：∵∠A的补角是60°， ∴∠A=180°-60°=120°， 故答案为：120． 【点睛】本题考查补角的定义，熟练掌握两个角互为补角的定义是解题的关键． 9． 【分析】本题考查的是垂线段最短，熟知“垂线段最短”是解答此题的关键． 根据垂线段最短即可得出结论． 【详解】解：∵小明的真实成绩为点P到直线的距离， ∴小明的真实成绩为米， 故答案为：． 10．12或24 【分析】设经过x秒，∠AOB的大小恰好是60°．分∠AOM＋∠AOB＋∠BON＝180°和∠AOM＋∠BON﹣∠AOB＝180°两种情况，可得关于x的一元一次方程，解之即可求得结论． 【详解】设经过x秒，∠AOB的大小恰好是60°． 由题意可得：当∠AOM＋∠AOB＋∠BON＝180°时，即,解得： 当∠AOM＋∠BON﹣∠AOB＝180°时，即，解得：， 故答案为：12或24． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用和角的计算，解题的关键是找出等量关系，正确列出一元一次方程． 11． 【分析】此题考查了勾股定理和垂线段最短，根据勾股定理求出，当时，的值最小，利用等积法求出答案即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵当时，的值最小， 此时：， ∴， 故答案为：． 12． 减少 10 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 13．90，90，同角的余角相等 【分析】由垂直的定义，得到∠AOC＝90º，∠DOE＝90º，然后同角的余角相等，即可得到∠1＝∠2． 【详解】证明：∵OA⊥OC，OE⊥OD（已知） ∴∠AOC＝90º，∠DOE＝90º（垂直定义） ∴∠1＋∠3＝90º ∠2＋∠3＝90º ∴∠1＝∠2（同角的余角相等）； 故答案为：90，90，同角的余角相等； 【点睛】本题考查了垂直的定义，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行证明． 14． 【分析】根据OM⊥AB，证得，推出，再根据邻补角定义解答． 【详解】解：∵OM⊥AB， ∴， ∴, ∵, ∴，即， ∴． 【点睛】此题考查几何图形中角度计算，邻补角定义，垂直定义，正确理解图形中各角度之间的关系是解题的关键． 15．(1) (2)，对顶角相等 (3)，． 【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角相等的性质、互为余角关系 （1）由垂线的定义和角的互余关系即可得出结果； （2）由对顶角相等即可得出结果； （3）由角平分线的定义求出，由对顶角相等得出的度数，再由角的互余关系即可求出∠3的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是． 故答案为：； （2）∵， ∴．理由是：对顶角相等； 故答案为：，对顶角相等； （3）∵平分， ∴， ∴， ∴． 16．(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的角平分线，垂线． （1）根据三角形的内角和定理可求得，进而求得，又由三角形的内角和定理求得，再根据垂直的定义即可求得； （2）同（1）的思路即可解答． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$