8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（分层作业）-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 分层作业 1、 题型研究 题型1： 圆柱、圆锥、圆台的表面积 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，以过的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】 根据该截面为等腰直角三角形以及截面面积得出圆锥底面半径和母线长，再由圆锥侧面积面积公式求出侧面积. 【详解】设该圆锥的底面半径为，母线长为 由于该截面为等腰直角三角形，则，即 由于该截面面积为，则，即 则该圆锥的侧面积为 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆锥母线与底面圆半径的关系以及圆锥的侧面积公式，属于中档题. 题型2： 圆柱、圆锥、圆台的体积 古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，据说阿基米德对这个图最引以为自豪，则该圆柱的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】本题先找出圆柱底面和高分别与内切球的半径的关系，然后根据公式进行推理运算即可 【详解】由题意,圆柱底面半径等于球的半径, 圆柱的高,则, 故选：C. 题型3： 组合体的表面积与体积 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体内切球的体釈之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】由题意可求出正方体的体积和其内切球的体积，从而可求出牟合方盖的体积，然后用正方体的体积减去牟合方盖的体积即可 【详解】正方体的体积为，其内切球的体积为， 由条件可知牟合方盖的体积为， 故正方体除去牟合方盖后剩余的部分体积为. 故选：C 题型4： 球的表面积与体积 已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为1，那么这个球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】正方体外接球的直径就是正方体的体对角线，由勾股定理求出直径，再用球的表面积公式求解即可 【详解】因为一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上， 所以正方体外接球的直径就是正方体的体对角线， 由勾股定理可得体对角线为， 所以球的半径是, 所以这个球的表面积是， 故选：D 题型5：与球有关的切接问题 在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、余弦定理解三角形 【分析】取的中点，所以为二面角的平面角，过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上，设球的半径为，在中利用余弦定理可得，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，取的中点，连接，， 由题意，，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且， 所以，为外接圆的圆心， 又是边长为2的等边三角形，所以， 过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上， 设球的半径为，连接，可得， 在中，， 利用余弦定理可得， 所以，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：A. 2、 基础达标 1.一圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为3，则它的表面积为（   ） A．21 B．38 C．29 D．60 【答案】B 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】利用圆台表面积公式直接得解. 【详解】由已知圆台上底面半径，下底面半径，母线长 则圆台的表面积 故选：B 2.在梯形中，，，.将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算、由平面图形旋转得旋转体 【分析】旋转一周后可得一个圆柱减去一个圆锥的组合体，利用圆柱的侧面积和一个底面面积，加上圆锥的侧面积即可得到几何体的表面积. 【详解】由题意可知，将梯形绕所在直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为，高为的圆柱减去一个底面半径是，高为的圆锥构成的组合体 几何体表面积 故选 【点睛】本题考查旋转体表面积的求解问题，涉及到圆柱和圆锥的表面积的求解，关键是能够明确旋转后得到的几何体的结构特征. 3.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪” .其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地的降雨量是（    ） A．9寸 B．6寸 C．4寸 D．3寸 【答案】D 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据圆台的计算公式求解. 【详解】 如图所示，由题意知天池盆上底面半径是14寸，下底面半径是6寸，高为18寸， 由积水深9寸知水面半径为 (14+6) = 10寸， 则盆中水体积为  (立方寸)，所以平地降雨量为 3(寸)； 故选：D. 4.圆台的上、下底面半径和高的长度之比为，侧面积为，则圆台的母线长是（    ） A．20 B．2 C． D．10 【答案】D 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】设圆台的上、下底面半径和高分别为母线长为，得，由计算即可解决. 【详解】由题知，圆台的上、下底面半径和高的长度之比为，侧面积为， 设圆台的上、下底面半径和高分别为母线长为， 所以，得， 因为， 所以 所以． 故选：D 5.圆锥的母线长是2，侧面积是，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】结合圆锥的侧面积公式求出底面半径，进而可以求出圆锥的高. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 因为圆锥的侧面积是，所以，所以， 则， 故选：A. 6.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】先求出母线长，再由圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，则，解得，则该圆锥的表面积为. 故选：C. 7.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为， 则圆锥的侧面积为， 故表面积为，得①， 又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即， 得②， 联立①②得：，. 故答案为：B. 【点睛】本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系. 8.圆锥的母线长为 5 ， 高为 3 ， 则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】首先根据勾股定理求得底面半径，则可以得到底面周长，然后利用扇形的侧面积公式即可求解. 【详解】解：底面半径是：，则底面周长是， 则圆锥的侧面积是：， 故选：B. 3、 能力提升 1.已知某圆柱的轴截面是正方形，且上､下底面圆周上的所有点都在球的表面上，则该圆柱的体积与球的体积的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】本题设圆柱底圆半径为，则可利用几何关系表示出圆柱的高和球的半径，再求体积之比即可. 【详解】设该圆柱的底面圆半径为，高为，则， 设球的半径为，则由已知条件可得， 设圆柱的体积为，球的体积， 由圆柱的体积公式可得， 由球的体积公式可得， 则. 故选：D. 2.已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且，，，三棱锥O－ABC的体积为， 则球O的表面积为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】由已知可得△ABC是直角三角形，斜边BC中点就是△ABC的外接圆的圆心，利用三棱锥的体积计算公式可得O到底面的距离，进一步算出球的半径，然后带入球的表面积计算公式即可求解. 【详解】解：由题意得： 在△ABC中，，， 由勾股定理可知，可得：，则斜边BC中点就是△ABC的外接圆的圆心 ∵三棱锥O-ABC的体积为 ，球的半径 所以球O的表面积为 故选：D 3.已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算、棱柱表面积的有关计算、正弦定理求外接圆半径 【分析】设正三棱柱底面边长为，高为，的外接圆半径为，圆柱的高为，通过正弦定理和体积相等，求出与、与的关系，表示出正三棱柱与圆柱的侧面积，再求比值. 【详解】设的边长为，外接圆半径为，， 由正弦定理得，则，， 设圆柱的高为，V圆柱，， 正三棱柱的侧面积S棱柱，圆柱的侧面积S圆柱， 正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为 故选：D. 4.在三棱锥中，已知平面，，，，，则三棱锥的外接球的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】根据题意，得到该三棱锥是长方体的一个角，把三棱锥补成一个长方体，可得长方体的外接球和三棱锥的外接球为同一个球，结合长方体的对角线长，求得外接球的半径，进而求得球的体积，得到答案. 【详解】如图所示，因为平面，平面，所以， 同理可得， 又因为，所以该三棱锥是长方体的一个角，把三棱锥补成一个长方体，可得长方体的外接球和三棱锥的外接球为同一个球， 又由长方体的对角线长为, 所以外接球的半径为，可得外接球的体积为. 故选：B. 5.在矩形中，，沿对角线进行翻折，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】在翻折过程中，始终不变，然后可得的中点即为球心. 【详解】因为在翻折过程中，始终不变， 所以的中点到，，，四点的距离始终相等，三棱锥外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：D 6.已知各棱长均相等的正四棱锥各顶点都在同一球面上，若该球表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算 【分析】先求棱锥的高，利用球的表面积公式得，然后由求解可得，可求棱锥体积. 【详解】如图，设四棱锥的棱长为，在底面的射影为，则平面， 且为的交点，且， 由正四棱锥的对称性可知在直线上， 设外接球的半径为，则其表面积为，所以， 则，故，解得或（舍）， 故正四棱锥的体积为． 故选：A． 7.三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积. 【详解】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直， 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球， 设，，， 则，，， 解得，，，. 则长方体的对角线的长为. 所以球的直径是，半径长， 则球的表面积， 故选：C. 8.平面截球所得截面圆的面积为，球心到平面的距离为，则此球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的表面积的有关计算、球的截面的性质及计算 【分析】由截面圆的面积求出截面圆半径，根据截面圆半径、球的半径和球心到平面的距离之间的关系即可求解球的半径，进而求表面积． 【详解】如图所示： 设截面圆的半径为，球的半径为，球心到平面的距离为 因为截面圆的面积为，得，又 由图可得 则球的表面积为 故选：D． 4、 直击高考 1.（2024·四川宜宾·模拟预测）已知正四面体的外接球的体积为， 则该正四面体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】求出正四面体的外接球半径，将正四面体放入正方体中，求出正方体的棱长，即可求得该正四面体的棱长. 【详解】设正四面体的外接球半径为，则， 解得， 将正四面体放入正方体中，设正方体的棱长为，如下图所示： 则，所以，，故该正四面体的棱长为. 故选：C. 2.（2024·山东·二模）已知圆柱的底面半径为4，侧面面积为，则该圆柱的母线长等于 ． 【答案】2 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】根据圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】由题意可知圆柱的底面周长， 所以根据圆柱的侧面面积公式可知，该圆柱的母线长， 故答案为： 3.（2024·江苏·模拟预测）夹弹珠游戏是儿童特别喜欢的游戏，夹弹珠能有效提高参与者的注意力与协调性，调整逻辑思维判断和空间控制平衡能力，锻炼小肌肉，增强手眼协调，培养敏捷的反应能力，从而提高参与者的适应能力.如图，三个半径都是的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器（不计厚度）中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的表面积（包括容器的内部和外部两部分）是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】根据题意，由条件可得大球的半径，再由球的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】在面上的投影为为大球球心，为小球球心.   ，大球半径为， ， ， 故选：D. 4.（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测，多选）下列物体中，能够整体放入半径为1（单位：）的球体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．底面边长为，高为的正四棱柱 B．底面棱长为，侧棱长为正六棱锥 C．底面直径为，高为的圆柱 D．棱长均为的正四面体 【答案】ABD 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】分别计算各选项外接球的半径（直径），即可判断. 【详解】底面边长为，高为的正四棱柱的外接球的直径为，故A正确； 棱长为的正六边形底面的外接圆的半径为，此时外接圆恰好是半径为的球体的大圆，而正六棱锥的高为，故B正确； 底面直径为，高为的圆柱体的外接球的半径为，故C错误； 将棱长均为的正四面体补成一个正方体，则该正方体的棱长均为， 此正方体的外接球的直径为，故D正确． 故选：ABD 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 分层作业 1、 题型研究 题型1： 圆柱、圆锥、圆台的表面积 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，以过的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 题型2： 圆柱、圆锥、圆台的体积 古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，据说阿基米德对这个图最引以为自豪，则该圆柱的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 题型3： 组合体的表面积与体积 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体内切球的体釈之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（   ） A． B． C． D． 题型4： 球的表面积与体积 已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为1，那么这个球的表面积是（    ） A． B． C． D． 题型5：与球有关的切接问题 在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2、 基础达标 1.一圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为3，则它的表面积为（   ） A．21 B．38 C．29 D．60 2.在梯形中，，，.将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 3.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪” .其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地的降雨量是（    ） A．9寸 B．6寸 C．4寸 D．3寸 4.圆台的上、下底面半径和高的长度之比为，侧面积为，则圆台的母线长是（    ） A．20 B．2 C． D．10 5.圆锥的母线长是2，侧面积是，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D．2 6.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 7.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ） A． B．3 C． D． 8.圆锥的母线长为 5 ， 高为 3 ， 则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3、 能力提升 1.已知某圆柱的轴截面是正方形，且上､下底面圆周上的所有点都在球的表面上，则该圆柱的体积与球的体积的比值是（    ） A． B． C． D． 2.已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且，，，三棱锥O－ABC的体积为， 则球O的表面积为(　　) A． B． C． D． 3.已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D．2 4.在三棱锥中，已知平面，，，，，则三棱锥的外接球的体积为（    ）． A． B． C． D． 5.在矩形中，，沿对角线进行翻折，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6.已知各棱长均相等的正四棱锥各顶点都在同一球面上，若该球表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7.三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 8.平面截球所得截面圆的面积为，球心到平面的距离为，则此球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4、 直击高考 1.（2024·四川宜宾·模拟预测）已知正四面体的外接球的体积为， 则该正四面体的棱长为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·山东·二模）已知圆柱的底面半径为4，侧面面积为，则该圆柱的母线长等于 ． 3.（2024·江苏·模拟预测）夹弹珠游戏是儿童特别喜欢的游戏，夹弹珠能有效提高参与者的注意力与协调性，调整逻辑思维判断和空间控制平衡能力，锻炼小肌肉，增强手眼协调，培养敏捷的反应能力，从而提高参与者的适应能力.如图，三个半径都是的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器（不计厚度）中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的表面积（包括容器的内部和外部两部分）是（    ）    A． B． C． D． 4.（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测，多选）下列物体中，能够整体放入半径为1（单位：）的球体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．底面边长为，高为的正四棱柱 B．底面棱长为，侧棱长为正六棱锥 C．底面直径为，高为的圆柱 D．棱长均为的正四面体 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$