专题03 一元二次方程的应用（八大题型）（题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

一元二次方程 专题03 一元二次方程的应用（八大题型） 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 【题型2一元二次方程应用传染问题】 【题型3一元二次方程应用枝干问题】 【题型4一元二次方程应用双循环问题】 【题型5一元二次方程应用单循环问题】 【题型6 一元二次方程应用-销售利润问题】 【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】 【题型8 一元二次方程应用-动点与几何问题】 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 1．（重庆市潼南区2024-2025学年九年级上学期数学期末试题）某菜鸟驿站星期一收件120件，星期三收件150件，设该菜鸟驿站收件数量平均每天增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）2024年7月5日，曲靖市举行避暑旅游新闻发布会，诚邀各地游客来曲靖避暑，体验“的夏天”．随着川渝避暑大军的到来，我市某景区游客人数逐月增加，七月份游客人数为16万人，九月份游客人数为25万人．设八、九两个月该景区游客人数的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（   ） A．B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期末）某品牌的手机10月份的销售量为300万部，11月，12月销售量连续增涨，12月份销售量达到800万部，求销售量的月平均增长率．设销售量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）智能汽车销售火爆．某店月份销售台，月、月份共销售台．设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）张师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利元，4月份盈利达到元，设张师傅每月盈利的平均增长率为x，根据题意，请列出方程 ． 6．（24-25九年级上·河北沧州·期末）近年来，某市深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活城市经济．据调查，某网红餐饮品牌在某门店2024年10月的营业额为500万元，12月的营业额为720万元． (1)求该店营业额的月平均增长率； (2)若保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计2025年1月该店的营业额能否超过850万元？请利用计算说明． 【题型2一元二次方程应用传染问题】 7．（24-25九年级上·湖北·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·云南昭通·期中）电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）诺如病毒是一种传染性比较强的病毒，会引起病毒性胃肠疾病，具有发病急、传播速度快、涉及范围广等特点，在学校、游戏厅等聚集性场所易引起暴发．假设有一个人感染了该病毒，经过两轮传染后共有人感染该病毒，则每轮传染中平均一个人传染了 人． 10．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感． (1)每轮传染中平均一人传染了几人？ (2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？ 【题型3一元二次方程应用枝干问题】 11．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）我们在学习一元二次方程应用时，课后习题有这样一问题，某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 13．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次户外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，则根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23九年级上·山西吕梁·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是72，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 15．（24-25九年级上·辽宁营口·阶段练习）小雅经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为 ． 16．（23-24九年级上·重庆潼南·阶段练习）某校“自然之美”研究小组在野外考察时发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一株植物上有主干、枝干、小分支数量之和为，根据题意，请列出方程为 ． 【题型4一元二次方程应用双循环问题】 17．（22-23九年级上·四川宜宾·阶段练习）一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）育才中学九（1）班学生毕业时，老师要求每位同学向班上其他同学写一条毕业祝福语，全班共送出祝福语2070条，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【题型5一元二次方程应用单循环问题】 19．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则班级的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 20．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）某学校组织一次篮球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛一场，计划组织x支球队参加，安排21场比赛，则x为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 21．（23-24九年级上·云南昭通·期中）某市举办中学生篮球联赛，参赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛36场，求共有多少个队参加这次篮球联赛？ 22．（23-24九年级上·陕西西安·期中）在参加学校组织的毕业典礼后，数学社团中的每两个九年级同学之间都通过握手来告别，如果所有九年级学生一共握手55次，那么该校数学社团共有多少名九年级学生？ 【题型6 一元二次方程应用-销售利润问题】 23．（重庆市丰都县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题）为了切实加强青少年消防安全教育，增强青少年消防安全意识，某团县委动员全县各级团（队）组织开展“全民消防•生命至上”主题活动．据了解，某县某消防器材专卖店月份销售某款手提式干粉灭火器个，月份销售个． (1)求该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率； (2)若该款手提式干粉灭火器的进价为元/个．销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为多少元？ 24．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． (1)每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？ (2)每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台，新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 25．（24-25九年级上·江西抚州·期末）今年抚州市广昌县白莲喜获丰收，该县某村委会在网上直播销售A，B两种优质白莲礼包． (1)已知今年7月份销售A种白莲礼包包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为，求的值． (2)若B种白莲礼包每包成本价为30元，当售价为每包50元时，每月销量为包．为了尽快减少库存，该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B种白莲礼包每包每降价1元，月销售量可增加包，当B种白莲礼包每包降价多少元时，该村销售B种白莲礼包在10月份可获利元． 26．（24-25九年级上·四川成都·期末）2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． (1)求2023年、2024年这两年的平均增长率； (2)市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 27．（24-25九年级上·四川成都·期中）2024年成都世园会吉祥物为“桐妹儿”，核心创意来自中国特有的孑遗植物珙桐（又称鸽子花）和三星堆“青铜神鸟”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．某商店购进“桐妹儿”的玩偶和钥匙扣，进货价分别为每个66元和59元，准备以每个88元和79元进行销售． (1)该店铺购进玩偶和钥匙扣共80个，若进货后能全部售出，则可获利1702元，问分别购进玩偶和钥匙扣多少个？ (2)该店铺打算把钥匙扣调价销售，若按原价销售，平均每天可售8个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，将销售价定为每个多少元时，能使钥匙扣平均每天销售利润为288元？ 28．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）某酒店有、两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若、两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求、两种客房每间定价分别是多少元? (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额元? 【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】 29．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在宽度为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一假，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为，则可列出方程为（   ） A．B． C． D． 31．（24-25九年级上·广东深圳·期末）某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为． (1)起飞区的边的长为______（用含x的代数式表示）； (2)若起飞区的面积为，求原正方形空地的边长． 32．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在足够大的空地上，某人利用墙和一段长29米的篱笆围成矩形菜园，墙长12米，其中的长不超过墙长，在边上留一个1米宽的小门．设为x米，当x取何值时，矩形菜园的面积最大，最大面积为多少平方米？ 33．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． (1)求车棚的长；（用含x的代数式表示） (2)若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； (3)在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 34．（24-25九年级上·河南南阳·期中）在数学实践课上，同学们用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长30cm，宽18cm的长方形硬纸片，裁去四个角上同样大小的小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)如图2，若纸盒的底面积为288cm2，请计算剪去的正方形的边长； (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为472cm2，请计算剪去的正方形的边长． 【题型8 一元二次方程应用-动点与几何问题】 35．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 36．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问： (1)填空：________，________（用含t的代数式表示） (2)经过几秒，的面积等于？ 37．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为．与此同时，点从点开始沿边运动，速度为．当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，的面积为． (1)用含的代数式表示：______cm，______cm； (2)当为何值时？ 38．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发． (1)几秒钟后，的面积等于？ (2)的面积可能等于吗？为什么？ 39．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）如图在中，．点从点B出发以的速度向点C运动，同时点Q从点C出发以相同的速度向点A运动，当其中一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设运动时间为ts． (1)用含t的代数式分别表示，的长并直接写出t的取值范围 (2)t为何值时，的面积为？ (3)t为何值时，点P，Q之间的距离为？ 40．（17-18九年级上·重庆·期中）如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$一元二次方程 专题03 一元二次方程的应用（八大题型） 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 【题型2一元二次方程应用传染问题】 【题型3一元二次方程应用枝干问题】 【题型4一元二次方程应用双循环问题】 【题型5一元二次方程应用单循环问题】 【题型6 一元二次方程应用-销售利润问题】 【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】 【题型8 一元二次方程应用-动点与几何问题】 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 1．（重庆市潼南区2024-2025学年九年级上学期数学期末试题）某菜鸟驿站星期一收件120件，星期三收件150件，设该菜鸟驿站收件数量平均每天增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．设该菜鸟驿站收件数量平均每天增长率为，利用关系式：星期三收件数量星期一收件数量，即可解答． 【详解】解：设该菜鸟驿站收件数量平均每天增长率为， 由题意得，． 故选：B． 2．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）2024年7月5日，曲靖市举行避暑旅游新闻发布会，诚邀各地游客来曲靖避暑，体验“的夏天”．随着川渝避暑大军的到来，我市某景区游客人数逐月增加，七月份游客人数为16万人，九月份游客人数为25万人．设八、九两个月该景区游客人数的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设八、九两个月该景区游客人数的月平均增长率为x，则八月份游客人数为万人，九月份游客人数为万人，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期末）某品牌的手机10月份的销售量为300万部，11月，12月销售量连续增涨，12月份销售量达到800万部，求销售量的月平均增长率．设销售量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，根据增长率的等量关系列出方程是解答的关键．根据题意，利用10月份的销售量12月份销售量建立方程． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）智能汽车销售火爆．某店月份销售台，月、月份共销售台．设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据故意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为， 由题意得，， 故选：． 5．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）张师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利元，4月份盈利达到元，设张师傅每月盈利的平均增长率为x，根据题意，请列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．利用4月份盈利金额=2月份盈利金额每月盈利的平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·河北沧州·期末）近年来，某市深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活城市经济．据调查，某网红餐饮品牌在某门店2024年10月的营业额为500万元，12月的营业额为720万元． (1)求该店营业额的月平均增长率； (2)若保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计2025年1月该店的营业额能否超过850万元？请利用计算说明． 【答案】(1)该店营业额的月平均增长率为 (2)预计该店2025年1月的营业额能超过850万元．说明见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程成为解题的关键． （1）设该店2024年10月至12月营业额的月平均增长率为x，然后根据增长率问题列出方程求解即可； （2）根据（1）求得的增长率计算出1月份的营业额，然后与850万元比较即可． 【详解】（1）解：设该店营业额的月平均增长率为，依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该店营业额的月平均增长率为 （2）解：预计2025年1月该店的营业额：（万元） ∵， ∴预计该店2025年1月的营业额能超过850万元． 【题型2一元二次方程应用传染问题】 7．（24-25九年级上·湖北·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选：B． 8．（24-25九年级上·云南昭通·期中）电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键． 首先设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，则经过一轮感染，台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．利用等量关系：经过两轮感染后就会有台电脑被感染得出即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意，得， 故选：C． 9．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）诺如病毒是一种传染性比较强的病毒，会引起病毒性胃肠疾病，具有发病急、传播速度快、涉及范围广等特点，在学校、游戏厅等聚集性场所易引起暴发．假设有一个人感染了该病毒，经过两轮传染后共有人感染该病毒，则每轮传染中平均一个人传染了 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设每轮传染中平均一人传染人，根据题意列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人，则第一轮有人感染，第二轮有人感染， 根据题意可得： 解得：或（不符题意，舍去）， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感． (1)每轮传染中平均一人传染了几人？ (2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染9个人 (2)100人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有100人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：，即： 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染9个人． （2）第一轮的患病人数为：人， 第二轮的患病人数为：人， 则，第三轮的患病人数为：人． 【题型3一元二次方程应用枝干问题】 11．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）我们在学习一元二次方程应用时，课后习题有这样一问题，某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意可知：支干的数量为x个，小分支的数量为个，然后根据“主干、支干和小分支的总数是91”列出方程即可．理解题意、明确主干、支干和小分支的关系是解答本题的关键． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：C． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意找出等量关系是解题关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据题意可列出关于x的方程，再求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， ∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8． 故选：C． 13．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次户外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，则根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：， 故选：D． 14．（22-23九年级上·山西吕梁·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是72，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据支干和小分支的总数是72，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．（24-25九年级上·辽宁营口·阶段练习）小雅经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设平均每节课一人教会x人，根据题意表示出两节课教会的人数，进而得出答案． 【详解】解：设平均每节课一人教会x人，根据题意可得： ， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·重庆潼南·阶段练习）某校“自然之美”研究小组在野外考察时发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一株植物上有主干、枝干、小分支数量之和为，根据题意，请列出方程为 ． 【答案】 【分析】根据在1个主干上的主干为1、枝干为和小分支的数量之和是个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程． 【题型4一元二次方程应用双循环问题】 17．（22-23九年级上·四川宜宾·阶段练习）一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每个人送礼物除了不送给自己其他人都有一件，故礼物总数为：人数×（人数1）即可得出对应方程． 【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物， 由题意列方程得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了列方程（一元二次方程）问题，关键在于发现礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）礼物数的积． 18．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）育才中学九（1）班学生毕业时，老师要求每位同学向班上其他同学写一条毕业祝福语，全班共送出祝福语2070条，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；每个学生要向其他个学生共赠送祝福语条，则名学生共赠祝福语为条，由题意即可列出方程． 【详解】解：∵每个学生要向其他个学生共赠送祝福语条， ∴名学生共赠祝福语为条， 由题意得：； 故选：D． 【题型5一元二次方程应用单循环问题】 19．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则班级的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设有x个班级参加比赛， ， ， 解得：（舍）， 则共有6个班级参加比赛， 故选：C． 20．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）某学校组织一次篮球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛一场，计划组织x支球队参加，安排21场比赛，则x为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用比赛的总场数=参赛队伍数参赛队伍数，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴x的值为7． 故选：B． 21．（23-24九年级上·云南昭通·期中）某市举办中学生篮球联赛，参赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛36场，求共有多少个队参加这次篮球联赛？ 【答案】共有9个队参加这次篮球联赛 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设共有x个队参加比赛，则每队要参加场比赛，根据共要比赛36场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设共有个队参加这次篮球联赛，依题意列方程： 解得：，（不符合题意，舍去） ∴ 答：共有9个队参加这次篮球联赛 22．（23-24九年级上·陕西西安·期中）在参加学校组织的毕业典礼后，数学社团中的每两个九年级同学之间都通过握手来告别，如果所有九年级学生一共握手55次，那么该校数学社团共有多少名九年级学生？ 【答案】11名 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：设该校数学社团共有名九年级学生，根据所有九年级学生一共握手55次，列出一元二次方程，解之取其正值即可． 【详解】解：设该校数学社团共有名九年级学生， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该校数学社团共有11名九年级学生． 【题型6 一元二次方程应用-销售利润问题】 23．（重庆市丰都县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题）为了切实加强青少年消防安全教育，增强青少年消防安全意识，某团县委动员全县各级团（队）组织开展“全民消防•生命至上”主题活动．据了解，某县某消防器材专卖店月份销售某款手提式干粉灭火器个，月份销售个． (1)求该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率； (2)若该款手提式干粉灭火器的进价为元/个．销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题中的数量之间的关系列方程求解，并把不符合实际情况的解舍去． 设该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率为，根据连续增长两个月后销量由原来的个增加到个，可列关于的一元二次方程，其中的负数解不符合题意应舍去； 设该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为元，根据销量单件利润总利润列出关于的方程，为了尽可能让顾客得到实惠应选择较低的定价． 【详解】（1）解：设该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(舍去)， 该消防器材专卖店这款手提式干粉灭火器销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款手提式干粉灭火器的实际售价应定为元， 根据题意可得：， 解得：，， 当售价定为元或元时月销售利润都能达到元， 为了尽可能让顾客得到实惠，售价应定为元． 24．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． (1)每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？ (2)每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台，新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 【答案】(1)A型号取暖器的售价为200元，则B型号取暖器的售价为240元 (2)每台B型取暖器应降价40元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设A型号取暖器的售价为x元，则B型号取暖器的售价为元，根据顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设每台B型取暖器应降价m元，根据“每台B型取暖器的进价为140元，商场每月卖出B型取暖器60台．为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元”，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设A型号取暖器的售价为x元，则B型号取暖器的售价为元． 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 则B型号取暖器的售价为． 答：A型号取暖器的售价为200元，则B型号取暖器的售价为240元． （2）设每台B型取暖器应降价m元． 根据题意有： 整理得： 解得：， ∵为了尽快减少库存 ∴ 答：每台B型取暖器应降价40元． 25．（24-25九年级上·江西抚州·期末）今年抚州市广昌县白莲喜获丰收，该县某村委会在网上直播销售A，B两种优质白莲礼包． (1)已知今年7月份销售A种白莲礼包包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为，求的值． (2)若B种白莲礼包每包成本价为30元，当售价为每包50元时，每月销量为包．为了尽快减少库存，该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B种白莲礼包每包每降价1元，月销售量可增加包，当B种白莲礼包每包降价多少元时，该村销售B种白莲礼包在10月份可获利元． 【答案】(1) (2)当B种白莲礼包每包降价6元时，该村销售B种白莲礼包每包降价在10月份可获利元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用9月份的销售量=7月份的销售量月平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出x的值； （2）设B种白莲礼包每包降价m元，则每包的销售利润为元，月销售量为包，利用总利润=每包的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为． （2）解：设B种白莲礼包每包降价m元，则每包的销售利润为元，月销售量为包，依题意得：， 整理得：， 解得：，. ∵为了尽快减少库存， ∴． 答：当B种白莲礼包每包降价6元时，该村销售B种白莲礼包每包降价在10月份可获利元． 26．（24-25九年级上·四川成都·期末）2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． (1)求2023年、2024年这两年的平均增长率； (2)市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)2023年、2024年这两年的平均增长率为 (2)售价应降低元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2023年、2024年这两年的平均增长率为，可列出关于的一元二次方程，解一元一次方程即可得到答案； （2）设售价应降低元，可列出关于的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设2023年、2024年这两年的平均增长率为， 根据题意列方程得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：2023年、2024年这两年的平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：售价应降低元． 27．（24-25九年级上·四川成都·期中）2024年成都世园会吉祥物为“桐妹儿”，核心创意来自中国特有的孑遗植物珙桐（又称鸽子花）和三星堆“青铜神鸟”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．某商店购进“桐妹儿”的玩偶和钥匙扣，进货价分别为每个66元和59元，准备以每个88元和79元进行销售． (1)该店铺购进玩偶和钥匙扣共80个，若进货后能全部售出，则可获利1702元，问分别购进玩偶和钥匙扣多少个？ (2)该店铺打算把钥匙扣调价销售，若按原价销售，平均每天可售8个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，将销售价定为每个多少元时，能使钥匙扣平均每天销售利润为288元？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设购进玩偶个，钥匙扣个，根据“购进玩偶和钥匙扣共个，若进货后能全部售出，则可获利元”列出方程组，解方程组即可得出答案； （2）设将销售价定为每个元时，能使钥匙扣平均每天销售利润为元，根据“每天销售利润每个钥匙扣销售利润每天销售数量”列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进玩偶个，钥匙扣个， 根据题意可得： ， 解得：， 答：购进玩偶个，钥匙扣个； （2）解：设将销售价定为每个元时，能使钥匙扣平均每天销售利润为元， 根据题意可得： ， 解得：， 答：将销售价定为每个元时，能使钥匙扣平均每天销售利润为元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用（销售、利润问题），一元二次方程的应用（营销问题），解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，弄清题意，根据题中的数量关系正确列出方程（组）是解题的关键． 28．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）某酒店有、两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若、两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求、两种客房每间定价分别是多少元? (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额元? 【答案】(1)种客房每间定价是元，种客房每间定价是元 (2)当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额元 【分析】本题考查了二元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设种客房每间定价是元，种客房每间定价是元，根据题意列方程组即可求解； （2）当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额元，根据题意列方程即可求解． 【详解】（1）解：设种客房每间定价是元，种客房每间定价是元， 根据题意得：， 解得：， 种客房每间定价是元，种客房每间定价是元； （2）当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额元， 根据题意得：， 解得：， 当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额元． 【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】 29．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在宽度为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，运用图形平移的方法得到草坪的长和宽是解题的关键． 根据题意，利用平移的方法，得到长为，宽为，由此列式即可求解． 【详解】解：根据题意，将道路平移，如图所示， ∴长为，宽为， ∴， 故选：A ． 30．（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一假，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为，则可列出方程为（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据正方形和圆的面积公式求得总面积，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】根据题意：正方形田的边长与圆形田的直径相等，面积之和为，可得 故选：D． 31．（24-25九年级上·广东深圳·期末）某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为． (1)起飞区的边的长为______（用含x的代数式表示）； (2)若起飞区的面积为，求原正方形空地的边长． 【答案】(1)； (2)原正方形空地的边长为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）根据题意，列出的代数式即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，起飞区的边的长为， 故答案为：； （2）解∶ 根据题意可得：，即， 解得：，舍去 答：原正方形空地的边长为． 32．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在足够大的空地上，某人利用墙和一段长29米的篱笆围成矩形菜园，墙长12米，其中的长不超过墙长，在边上留一个1米宽的小门．设为x米，当x取何值时，矩形菜园的面积最大，最大面积为多少平方米？ 【答案】时，矩形菜园的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．设矩形菜园的面积为，依题意得，为，列出函数关系式 ，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】设矩形菜园的面积为，依题意得，为， 所以是的二次函数， 因为， 所以抛物线开口向下， 对称轴为直线， 其中，， 所以， 在对称轴的右侧，S随着的增大而减小， 所以当时，S取最大值，为， 答：时，矩形菜园的面积最大，最大面积为． 33．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． (1)求车棚的长；（用含x的代数式表示） (2)若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； (3)在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)自行车车棚的长为，宽为； (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ， ∴； （2）解：由（1）可得，车棚面积为：， 解得：或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意，舍去， 自行车车棚的长为，宽为； （3）解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 34．（24-25九年级上·河南南阳·期中）在数学实践课上，同学们用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长30cm，宽18cm的长方形硬纸片，裁去四个角上同样大小的小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)如图2，若纸盒的底面积为288cm2，请计算剪去的正方形的边长； (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为472cm2，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)3cm (2)2cm 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键． （1）设剪去的正方形的边长为，根据数量关系列式求解即可； （2）设剪去的正方形的边长为，根据数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：设剪去的正方形的边长为，依题意得： ， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：剪去的正方形的边长为； （2）解：设剪去的正方形的边长为，依题意得： ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：剪去的正方形的边长为． 【题型8 一元二次方程应用-动点与几何问题】 35．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理： （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，，， 矩形中，， 由勾股定理知， ， 解得，（舍）， 即时，的长度等于； （2）解：如图， 由题意知， ， 的面积等于， ， ， 解得（舍），， 即时，的面积等于． 36．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问： (1)填空：________，________（用含t的代数式表示） (2)经过几秒，的面积等于？ 【答案】(1)， (2)1秒 【分析】本题考查的是动点问题，理解动点距离和三角形面积公式是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间即以表示出，．再用就可以求出的值． （2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：根据题意得，，． 故答案为：，； （2）解：， 解得：，． ∵，当点Q运动到点C时，两点停止运动，，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． ∴，即， 则秒． 37．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为．与此同时，点从点开始沿边运动，速度为．当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，的面积为． (1)用含的代数式表示：______cm，______cm； (2)当为何值时？ 【答案】(1)t； (2) 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键． （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， 故答案为：t，； （2）解：∵， ， ， ， 或 ， ， ． 38．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发． (1)几秒钟后，的面积等于？ (2)的面积可能等于吗？为什么？ 【答案】(1)2或4秒 (2)不可能，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． （1）根据直角三角形的面积公式和路程速度时间进行求解即可． （2）根据（1）中的解题思路列出方程，结合根的判别式进行解答． 【详解】（1）解：设秒钟后，的面积等于，由题意可得： ， 解得，． 答：2或4秒钟后，的面积等于． （2）解：设秒钟后，的面积等于，由题意可得： ， 整理，得 ， 因为， 所以该方程无解， 答：的面积不可能等于． 39．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）如图在中，．点从点B出发以的速度向点C运动，同时点Q从点C出发以相同的速度向点A运动，当其中一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设运动时间为ts． (1)用含t的代数式分别表示，的长并直接写出t的取值范围 (2)t为何值时，的面积为？ (3)t为何值时，点P，Q之间的距离为？ 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，勾股定理： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式，并求出的范围即可； （2）根据的面积为，列出方程进行求解即可； （3）利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴点先到达点，两点运动停止，， ∴； （2）解：由题意，得：， 解得：或； （3）解：∵，，， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴． 40．（17-18九年级上·重庆·期中）如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)2秒或4秒 (2)不能，理由见解析 (3)经过秒或5秒或秒后，的面积为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． （1）设经过x秒，的面积等于，根据三角形面积公式列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段上，点Q在线段上；②点P在线段上，点Q在射线上；③点P在射线上，点Q在射线上；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，的面积等于，依题意有： ， 解得：， ∴经过2秒或4秒，的面积等于； （2）解：线段不能将分成面积相等的两部分，理由如下： 设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有 的面积， ， 即， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； （3）解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上， 依题意得： ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴此时； ②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意得： ， 即， 解得， 经检验，符合题意． ③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上，依题意得： ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$