第03讲 一元二次方程的应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

第03讲 一元二次方程的应用 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 【题型2一元二次方程应用传染问题】 【题型3一元二次方程应用枝干问题】 【题型4一元二次方程应用双循环问题】 【题型5一元二次方程应用单循环问题】 【题型6 一元二次方程应用-销售利润问题】 【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】 【题型8 一元二次方程应用-动点与几何问题】 知识点1： 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 【典例1】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）石家庄西柏坡作为革命圣地．拥有丰富的历史文化资源，近年来，景区的知名度和吸引力不断提升，吸引了大量游客前来参观和体验，据了解2024年7月份该基地接待参观人数为10万，9月份接待参观人数增加到12.1万． (1)求这两个月参观人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该景区10月份的参观人数． 【答案】(1) (2)万 【分析】本题考查了一元二次方程的应用增长率的问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意，解之取其正值即可得出结论； （2）根据题意10月份的参观人数，即可求出结论． 【详解】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这两个月参观人数的月平均增长率为． （2）（万人）． 答：预计10月份的参观人数为万人． 【变式1-1】（河南省洛阳市2024—2025学年上学期九年级期末考试数学试卷）近几年，洛阳市文旅市场持续火热，从龙门石窟、应天门到洛邑古城、白马寺，处处都是灯火璀璨、人潮涌动的景象．从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键．从2021年到2023年平均增长率为，由此列式即可． 【详解】解：从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为， ∴， 故选：D ． 【变式1-2】（四川省绵阳市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题）某工厂年一月份生产的产品是万件，若月平均增长率为，第一季度的总产量是万件，那么下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 【变式1-3】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）某种商品一月份的销售量为件，由于采取促销措施，销售量稳步增长，三月份的销售量为件． (1)求该商品一月至三月的月平均增长率； (2)如果四月份该商品保持相同的增长率，求四月份的销售量． 【答案】(1)一月至三月增长率为； (2)该商品四月份的销售量约为173件． 【分析】本题考查一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键． （1）由题意可得，一月份的销售量为件；设二、三月份销售量平均增长率为，则二月份的销售量为件；三月份的销售量为件，又知三月份的销售量为件，由此等量关系列出方程求出的值，即可得解； （2）根据（1）所得的增长率，然后列式计算即可． 【详解】（1）解：设一月至三月份销售量平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（舍去）， 答：一月至三月增长率为； （2）解：∵（件）， ∴该商品四月份的销售量约为173件． 知识点2： 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 【题型2一元二次方程应用传染问题】 【典例2】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 【变式2-1】（24-25九年级上·湖北·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？设每轮传播中平均一人传播了x人，列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设每轮传播中平均一人传播了x人，根据经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设每轮传播中平均一人传播了x人， 根据题意得：， 即：． 故答案为：． 【变式2-3】（2023·广东阳江·一模）鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 【答案】(1)12只 (2)2197只 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式． （1）平均每只病鸡传染了x只健康鸡，则第一天有x只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可； （2）根据经过三轮传染后患病的鸡＝经过两轮传染后患病的鸡数+经过两轮传染后患病的鸡数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每只病鸡传染了x只健康鸡，由题意得： ， 解，得，，(不符合题意舍去)， 答：每只病鸡传染健康鸡12只； （2）解：， 答：三轮传染后，患病的鸡共有2197只． 【题型3一元二次方程应用枝干问题】 【典例3】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）国庆当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，试求小明给多少个人发了短信？ 【答案】12个人 【分析】首先设小明发短信给个人，根据每人只转发一次可得第一次转发共有人收到了短信，第二次转发有人收到了短信，由题意可得方程人收到了短信，再解方程即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 【详解】解：设小明发短信给个人，由题意得： ， 解得：，（不合题意舍去）， 答：小明发短信给12个人． 【变式3-1】（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）学校“自然之美”研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支，现在一个主干上的主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由枝干数及每个枝干又长出个小分支，可得出个枝干上共长出个小分支，结合一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为68，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支， 个枝干上共长出个小分支． 根据题意得：． 故选：C． 【变式3-2】（24-25九年级上·广东河源·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，设每个支干长出x个小分支，则x的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系列出方程是解题关键．根据题意可列出关于x的一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意有：， 解得：（舍），， ∴x的值为7． 故选B． 【变式3-3】（24-25九年级上·河南新乡·期中）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据“主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241”列方程求解即可． 【详解】解：设每个支干长出小分支的个数是x， 根据题意，得， 故答案为：． 知识点3： 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 【题型4一元二次方程应用双循环问题】 【典例4】（24-25九年级上·广西贵港·阶段练习）在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手（每两人只握一次），大家一共握了21次手，设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，正确找出题中的等量关系是解题关键． 根据“每个人都会和个人握手”列出方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为， 即， 故选：D． 【变式4-1】（22-23九年级上·河南信阳·期中）4月23日是“世界读书日”，某班为了落实“爱读书、多读书、读好书”的理念，全班每位同学互赠一本自己喜欢的图书给其他同学，全班共互赠了1640本，设该班有人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题意，设该班有人，其中一个同学赠送出去本书，从而全班同学相互赠送书的总数为，结合全班共互赠了1640本，得到方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得到， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程解实际应用题，读懂题意，找到等量关系建立方程是解决问题的关键． 【变式4-2】（22-23九年级上·山东青岛·期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全班有x名同学，可得出每名同学要送出张照片，再结合全班共送张照片，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出张照片， 又∵全班共送张照片， ∴根据题意，可列出方程． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式4-3】（22-23九年级上·河南鹤壁·期中）为庆祝国庆，市总工会组织了篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了28场比赛，设有个代表队参加比赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题设有个代表队参加比赛，则每个队都与另外一个队进行一场比赛，每队参加场比赛，而任何两队设都只赛一场，因而共举行场比赛，根据题意列出一元二次方程求得． 【详解】解：设这次有个队参加比赛； 由题意得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，应加强培养对应用题的理解能力，判断出题干信息，列出一元二次方程求解． 【题型5一元二次方程应用单循环问题】 【典例5】（24-25九年级上·云南昆明·期中）2024年官渡区运动会（中学生篮球项目）暨昆明市中学生“希望杯”篮球三级联赛在新亚洲体育城举办某学校为选拔篮球运动员参赛，要组织一场篮球邀请赛，参赛的每两个队伍之间都只比赛一场．根据场地和时间等条件要安排45场比赛，组织者应邀请多少个队参赛？设组织者应邀请x个队参赛，则可列方程为：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 【变式5-1】（24-25九年级上·天津河北·期末）某校九年级若干个班级组织一次足球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排场比赛，则九年级参赛的班级个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设九年级参赛的班级有个，由题意列出方程，然后求解并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设九年级参赛的班级有个， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 知识点4： 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为 【题型6 一元二次方程应用-销售利润问题】 【典例6】（24-25九年级上·重庆巫山·期末）“巫山红叶醉人心，三峡龙脊徒步寻．” 今年巫山红叶节又推出一张旅游名片三峡龙脊，吸引了无数徒步爱好者前来探寻．某旅游品商店抓住商机，以每件20元的批发价进了一批旅游纪念品在红叶节期间销售，商店销售时发现：每件定价30元，每天能卖出500件，若每件定价每上涨1元，其销售量将减少10件 (1)若每件纪念品售价为35元，求商店每天销售这种旅游纪念品的利润为多少元． (2)若商店为了实现每日8000元的销售利润，并使消费者得到实惠，每件纪念品的售价应定为多少元． 【答案】(1)元 (2)40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据总利润单件利润销售数量，即可求出结果； （2）设售价上涨x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，再根据总利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： （元）， 答：销售这种纪念品的利润为元； （2）解：设售价上涨x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 依题意得：， 解得：，，                      又∵要使消费者得到实惠， ∴， ∴定价为：元，                                       答：售价应定为40元． 【变式6-1】（24-25九年级上·四川内江·期末）某地一村民，2022年承包种植橙子树100亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2024年一共种植144亩． (1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率； (2)某水果批发店销售该种橙子，经市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为 (2)售价应降低6元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，利用该村民2024年种植橙子的亩数=该村民2022年种植橙子的亩数该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为； （2）解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 【变式6-2】（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）某大型超市一天销售甲种饮料30箱，乙种饮料50箱，其中甲种饮料每箱利润比乙种饮料每箱利润高4元，两种饮料的总利润为1080元． (1)求甲、乙两种饮料每箱利润各是多少元？ (2)年底该超市为了尽快清空库存，进行了促销活动．若该超市平均每天可售出乙种饮料50箱，为了扩大销售量，超市准备降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出10箱．要使每天销售该饮料获利700元，则每箱应降价多少元？ 【答案】(1)甲，乙两种饮料每箱利润各是16元，12元 (2)每箱应降5元 【分析】本题考查的是一元一次方程，一元二次方程的应用． （1）设乙两种饮料每箱利润为元，根据两种饮料的总利润为1080元，再建立一元一次方程求解即可； （2）设每箱应降元，由每箱利润乘以销售数量等于总利润建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙两种饮料每箱利润为元，则 解得 甲： 答：甲，乙两种饮料每箱利润各是16元，12元． （2）解：设每箱应降元，则 解得，． 超市为了尽快清空库存，扩大销售量，所以． 答：每箱应降5元． 【变式6-3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）东莞公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售400个，6月份销售576个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1) (2)该品牌头盔的实际售价应定为50元 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售400个，6月份销售576个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元， 由题意得：， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元． 知识点5： 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】 【典例7】（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； （3）解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 【变式7-1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）自今年4月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为的长方形精品花售卖区（如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为的栅栏围成，边留有宽的门． (1)若售卖区垂直于墙的边的长为，则边的长为_____． (2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？ 【答案】(1) (2)长为，宽为或长为或宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为，可得平行于墙的边长为，整理即可； （2）根据矩形的面积公式结合养鸡场的面积为，列出一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵售卖区垂直于墙的边的长为， ∴边的长为． （2）解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 当时，；当时，． 答：售卖区的长为，宽为或长为，宽为． 【变式7-2】（22-23九年级上·四川成都·期中）学校停车场车位布局如图所示．已知矩形停车场的长为，宽为，共有五个等宽矩形停车区，其总面积为，其余部分是等宽通道，设通道宽． (1)用含的代数式表示：停车区宽为______，停车区的长为______． (2)停车场的通道宽为多少米？ 【答案】(1) (2)5m 【分析】本题主要考查代数式表示数或数量关系，一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据图示中，矩形停车场的宽为，是停车区与两条通道的宽的和，由此列式即可求解； （2）根据面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得停车区的宽为：， 停车区的长为：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， 解得（舍去）， ∴停车场的通道宽为5米． 【变式7-3】（24-25九年级上·宁夏银川·期中） 如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏） ，用于修建自行车棚，若所用栅栏的总长度为34米，墙的最大可用长度为18米，为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个2米宽的门（门用其他材料） ，设栅栏的长为x米，解答下列问题： (1) 米． （用含x的代数式表示） (2)若围成的自行车棚的面积为154平方米，求栅栏的长． 【答案】(1) (2)11米 【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的应用． （1）根据题意，可知，且有，整理即可得出用含x的代数式表示矩形的长的式子； （2）根据矩形场地面积为154平方米列出方程，解出此时x的值然后求出栅栏的长，看是否符合题意进而确认的值． 【详解】（1）解：依题意得：，， ∴米， 故答案为：； （2）解：根据图形，可列方程：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为11米． 知识点6： 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 【题型8 一元二次方程应用-动点与几何问题】 【典例8】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)存在， 【分析】本题借助动点问题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，等腰三角形的定义计算． （1）首先运用勾股定理求出边的长度，然后根据路程速度时间，分别表示出、的长度，由于，如果为等腰三角形，那么只有一种情况，即，可列出方程，从而求出x的值； （2）根据四边形的面积的面积的面积，列出方程，根据解的情况即可判断． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴当时，为等腰三角形； （2）解：假设存在x的值，使得四边形的面积等于， 则， 解得． 假设成立，所以当时，四边形面积的面积等于． 【变式8-1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图所示，已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于，理由见详解 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用； （1）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解． （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为，依题意， 则， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， 所以此方程无解， 故的面积不能等于． 【变式8-2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，其中一个动点到达终点时，另一个也随之停止运动． (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． (3)几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于，理由见解析 (3)当时，的长度等于 【分析】本题主要考查勾股定理和解一元二次方程，以及判别式的应用． （1）设经过秒以后面积为4，列出方程求解，同时求得x的取值范围，取满足题意的解即可； （2）设经过秒以后面积为8，列出方程利用判别式判断方程是否有解即可； （3）在中，利用得，求解并求得满足题意得解． 【详解】（1）解：设经过秒以后面积为4，则 ， 整理得：， 解得：或， ， ， 答：1秒后的面积等于 （2）解：设经过秒以后面积为8， ， 整理得：， ， 的面积不能等于． （3）解：当时，在中，， ，整理得， 解得，（不合题意舍去）， 当时，的长度等于． 【变式8-3】（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 【答案】(1)经过或之后，的长为cm； (2)秒或秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可； （）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可； 【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm， 根据题意，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 答：经过或之后，的长为cm； （2）设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，，， ∴，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， 整理得：， 解得，， 答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的． 一、单选题 1．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）某工厂一月份生产总值为20万元，第一季度的生产总值共100万元，如果平均每月的增长率为x，则所列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平均每月的增长率为x，根据题意，列出方程即可，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】平均每月的增长率为x，由题意可得，， 即， 故选：D． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的运用，根据题意找出等量关系，列出方程式解题的关键． 根据等量关系是挂图的面积等于，而挂图的长和宽分别等于原风景画的长和宽加上两个金色纸边的宽度，通过设未知数，列出方程，即可解答。 【详解】解：设金色纸边的宽为，依题意得：                       ．     故选：B. 3．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜逝世年龄的个位数字为，根据题意列出方程即可． 【详解】设周瑜逝世年龄的个位数字为， 根据题意得，． 故选：B． 4．（24-25八年级上·上海松江·期末）布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这个长方形垂直于墙的一边长为米，则这个平行于墙的一边长为米，据此根据长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 二、填空题 5．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，则该小组共有 人． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该小组共有x人，则每人需送出张贺卡，根据全组共送贺卡72张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该小组共有x人，则每人需送出张贺卡， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴该小组共有9人． 故答案为：9． 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了90件，则全组共有 名同学． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设全组共有名同学，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设全组共有名同学， 由题意得：， 解得：（舍），， 即全组共有名同学， 故答案为：． 7．（山西省大同市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题）山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米（如图），每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售，根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱，则该店铺每天可获得的最大利润为 元． 【答案】1250 【分析】本题考查了利用二次函数解决实际问题能力，根据：每天的总利润=每个玩具利润×降价后每天的销售数量，可列出y关于x的函数关系式，将函数表达式配方成顶点式，可求出最大利润． 【详解】解：解：设每个玩具售价下降了x元，商场每天的销售利润为y元．降价后商场平均每天可售出箱装小米数量为箱； 由题意得， ∴当时，y有最大值1250． ∴该商场每天获得的利润最大利润是1250元． 故答案为：1250． 8．（24-25九年级上·广东惠州·期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），据此列方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 列方程得：， 故答案为： 三、解答题 9．（24-25九年级上·海南儋州·期末）劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉，某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图1，该中学有面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地． 　　　　图1                            图2 (1)求正方形区域的边长； (2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图2的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成平行于两边的宽度相等的三条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 【答案】(1)正方形区域的边长为 (2)小道的宽度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设正方形区域的边长为，则矩形空地长为，宽为，根据“面积为的矩形空地”，列出元二次方程，解之取其正值即可； （2）设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形，根据“栽种鲜花区域的面积为”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设正方形区域的边长为， 根据题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：正方形区域的边长为； （2）解：设小道的宽度为， 根据题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小道的宽度为． 10．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功发射．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出100个，每个盈利20元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降价1元，平均每天可以多售出10个，并且尽可能让顾客得到实惠，要使“中国空间站”模型每天获利2160元，每个模型应降价多少元？ 【答案】每个模型应降价8元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每个模型应降价x元，则每个模型盈利元，销售量为个，再根据总盈利为2160元建立方程求解即可． 【详解】解：设每个模型应降价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：每个模型应降价8元． 11．（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向运动，同时点从点出发以每秒的速度也向运动，一个点到达点则另一个点也停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示、的长，并指出的取值范围； (2)连接，为何值时，的面积为． 【答案】(1)，， (2)1 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据各数量之间的关系用含的代数式表示出各线段的长度； （2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， （秒）, ； （2）解：    解得，（舍） ∴当为1秒时，的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元二次方程的应用 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 【题型2一元二次方程应用传染问题】 【题型3一元二次方程应用枝干问题】 【题型4一元二次方程应用双循环问题】 【题型5一元二次方程应用单循环问题】 【题型6 一元二次方程应用-销售利润问题】 【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】 【题型8 一元二次方程应用-动点与几何问题】 知识点1： 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 【典例1】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）石家庄西柏坡作为革命圣地．拥有丰富的历史文化资源，近年来，景区的知名度和吸引力不断提升，吸引了大量游客前来参观和体验，据了解2024年7月份该基地接待参观人数为10万，9月份接待参观人数增加到12.1万． (1)求这两个月参观人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该景区10月份的参观人数． 【变式1-1】（河南省洛阳市2024—2025学年上学期九年级期末考试数学试卷）近几年，洛阳市文旅市场持续火热，从龙门石窟、应天门到洛邑古城、白马寺，处处都是灯火璀璨、人潮涌动的景象．从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（四川省绵阳市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题）某工厂年一月份生产的产品是万件，若月平均增长率为，第一季度的总产量是万件，那么下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）某种商品一月份的销售量为件，由于采取促销措施，销售量稳步增长，三月份的销售量为件． (1)求该商品一月至三月的月平均增长率； (2)如果四月份该商品保持相同的增长率，求四月份的销售量． 知识点2： 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 【题型2一元二次方程应用传染问题】 【典例2】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【变式2-1】（24-25九年级上·湖北·期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？设每轮传播中平均一人传播了x人，列方程为 ． 【变式2-3】（2023·广东阳江·一模）鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 【题型3一元二次方程应用枝干问题】 【典例3】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）国庆当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，试求小明给多少个人发了短信？ 【变式3-1】（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）学校“自然之美”研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支，现在一个主干上的主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·广东河源·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，设每个支干长出x个小分支，则x的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3-3】（24-25九年级上·河南新乡·期中）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为 ． 知识点3： 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 【题型4一元二次方程应用双循环问题】 【典例4】（24-25九年级上·广西贵港·阶段练习）在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手（每两人只握一次），大家一共握了21次手，设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意得方程（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23九年级上·河南信阳·期中）4月23日是“世界读书日”，某班为了落实“爱读书、多读书、读好书”的理念，全班每位同学互赠一本自己喜欢的图书给其他同学，全班共互赠了1640本，设该班有人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（22-23九年级上·山东青岛·期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（22-23九年级上·河南鹤壁·期中）为庆祝国庆，市总工会组织了篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了28场比赛，设有个代表队参加比赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5一元二次方程应用单循环问题】 【典例5】（24-25九年级上·云南昆明·期中）2024年官渡区运动会（中学生篮球项目）暨昆明市中学生“希望杯”篮球三级联赛在新亚洲体育城举办某学校为选拔篮球运动员参赛，要组织一场篮球邀请赛，参赛的每两个队伍之间都只比赛一场．根据场地和时间等条件要安排45场比赛，组织者应邀请多少个队参赛？设组织者应邀请x个队参赛，则可列方程为：（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·天津河北·期末）某校九年级若干个班级组织一次足球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排场比赛，则九年级参赛的班级个数为 ． 知识点4： 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为 【题型6 一元二次方程应用-销售利润问题】 【典例6】（24-25九年级上·重庆巫山·期末）“巫山红叶醉人心，三峡龙脊徒步寻．” 今年巫山红叶节又推出一张旅游名片三峡龙脊，吸引了无数徒步爱好者前来探寻．某旅游品商店抓住商机，以每件20元的批发价进了一批旅游纪念品在红叶节期间销售，商店销售时发现：每件定价30元，每天能卖出500件，若每件定价每上涨1元，其销售量将减少10件 (1)若每件纪念品售价为35元，求商店每天销售这种旅游纪念品的利润为多少元． (2)若商店为了实现每日8000元的销售利润，并使消费者得到实惠，每件纪念品的售价应定为多少元． 【变式6-1】（24-25九年级上·四川内江·期末）某地一村民，2022年承包种植橙子树100亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2024年一共种植144亩． (1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率； (2)某水果批发店销售该种橙子，经市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【变式6-2】（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）某大型超市一天销售甲种饮料30箱，乙种饮料50箱，其中甲种饮料每箱利润比乙种饮料每箱利润高4元，两种饮料的总利润为1080元． (1)求甲、乙两种饮料每箱利润各是多少元？ (2)年底该超市为了尽快清空库存，进行了促销活动．若该超市平均每天可售出乙种饮料50箱，为了扩大销售量，超市准备降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出10箱．要使每天销售该饮料获利700元，则每箱应降价多少元？ 【变式6-3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）东莞公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售400个，6月份销售576个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 知识点5： 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】 【典例7】（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【变式7-1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）自今年4月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为的长方形精品花售卖区（如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为的栅栏围成，边留有宽的门． (1)若售卖区垂直于墙的边的长为，则边的长为_____． (2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？ 【变式7-2】（22-23九年级上·四川成都·期中）学校停车场车位布局如图所示．已知矩形停车场的长为，宽为，共有五个等宽矩形停车区，其总面积为，其余部分是等宽通道，设通道宽． (1)用含的代数式表示：停车区宽为______，停车区的长为______． (2)停车场的通道宽为多少米？ 【变式7-3】（24-25九年级上·宁夏银川·期中） 如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏） ，用于修建自行车棚，若所用栅栏的总长度为34米，墙的最大可用长度为18米，为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个2米宽的门（门用其他材料） ，设栅栏的长为x米，解答下列问题： (1) 米． （用含x的代数式表示） (2)若围成的自行车棚的面积为154平方米，求栅栏的长． 知识点6： 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 【题型8 一元二次方程应用-动点与几何问题】 【典例8】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【变式8-1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图所示，已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【变式8-2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，其中一个动点到达终点时，另一个也随之停止运动． (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． (3)几秒后，的长度等于？ 【变式8-3】（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 一、单选题 1．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）某工厂一月份生产总值为20万元，第一季度的生产总值共100万元，如果平均每月的增长率为x，则所列方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海松江·期末）布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，则该小组共有 人． 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了90件，则全组共有 名同学． 7．（山西省大同市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题）山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米（如图），每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售，根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱，则该店铺每天可获得的最大利润为 元． 8．（24-25九年级上·广东惠州·期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·海南儋州·期末）劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉，某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图1，该中学有面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地． 　　　　图1                            图2 (1)求正方形区域的边长； (2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图2的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成平行于两边的宽度相等的三条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 10．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功发射．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出100个，每个盈利20元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降价1元，平均每天可以多售出10个，并且尽可能让顾客得到实惠，要使“中国空间站”模型每天获利2160元，每个模型应降价多少元？ 11．（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向运动，同时点从点出发以每秒的速度也向运动，一个点到达点则另一个点也停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示、的长，并指出的取值范围； (2)连接，为何值时，的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$