第02讲 解一元二次方程（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

第02讲 解一元二次方程 【题型1 解一元二次方程-直接平方】 【题型2 解一元二次方程-配方法】 【题型3 解一元二次方程-公式法】 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】 【题型5 根的判别式】 【题型6 根与系数的关系】 知识点1： 解一元二次方程-直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 【题型1 解一元二次方程-直接平方】 【典例1】（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程．整理后，利用直接开平方法即可解题． 【详解】解：整理得， 解得， 故选：C． 【变式1-1】（2023·广东阳江·一模）一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了直接开平方法解方程，利用直接开平方法解方程得出答案． 【详解】解：， 则， 解得：，． 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级上·广东茂名·期中）方程的根是（ ） A． B．， C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和根的定义是解题的关键．利用直接开平方法解方程，再根据一元二次方程根的定义即可得出结论． 【详解】解：， 方程有两个相等的实数根，且． 故选：A． 【变式1-3】（24-25九年级上·山西运城·期中）关于的一元二次方程的解是（    ） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解题关键．先移项，然后系数化为1，得到，利用直接开方法求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 知识点2：解一元二次方程-配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 【题型2 解一元二次方程-配方法】 【典例2】（上海市长宁区八年级上学期期末考试2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了运用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化1，得，再把常数项移到等号的右边，即，再配方，最后开方，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴ ∴． 【变式2-1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程．根据方程两边都加上一次项系数一半的平方即可得到配方结果． 【详解】解： ∴， ∴， 故选：D 【变式2-2】（24-25九年级上·四川成都·期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-3】（24-25九年级上·贵州毕节·阶段练习）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．先移项，然后配方，再开平方，最后求出方程的解即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，． 知识点3： 解一元二次方程-公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 【题型3 解一元二次方程-公式法】 【典例3】（24-25九年级下·北京·开学考试）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题关键．先将方程化成一般式，再利用公式法解一元二次方程即可得． 【详解】解：化成一般式为， 这个方程中的， 所以这个方程根的判别式为， 所以， 所以，． 【变式3-1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）用公式法解一元二次方程： 【答案】 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，先求出，再利用求根公式直接求解即可． 【详解】解： 【变式3-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）解方程：（用公式法） 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握求根公式是关键，根据一元二次方程的求根公式求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 知识点4：解一元二次方程-因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】 【典例4】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）用适当的方法解下列方程． (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程． （1）方程的左边利用十字相乘法因式分解后求解可得； （2）移项后，提取公因式，因式分解法求解可得． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ， ∴或， 解得，． 【变式4-1】（陕西省咸阳市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题）解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程，原方程变形为，利用因式分解法解一元二次方程即可 【详解】解： ∴ 则或 解得， 【变式4-2】（24-25九年级上·湖南常德·期末）解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程．变形后利用因式分解得到，得到两个一元一次方程或，即可求出答案． 【详解】解： 则， ∴ ∴ 则或 解得， 【变式4-3】（24-25九年级上·江西上饶·期末）解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 知识点5： 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 【题型5 根的判别式】 【典例5】（24-25九年级上·广东佛山·期末）一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：由得， ， ∴方程没有实数根， 故选：． 【变式5-1】（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）关于的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．方程的根的情况与的取值有关 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴A选项正确；B选项、C选项、D选项都不正确． 故选：A． 【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程中的， 则这个方程的根的判别式为， 所以这个方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【变式5-3】（24-25九年级上·新疆伊犁·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式可得且，解之得出k的范围． 【详解】解：根据题意知且， 解得：且． 故选：C 知识点6：一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 【题型6 根与系数的关系】 【典例6】（24-25九年级上·新疆伊犁·期末）已知是方程的两个根，则的值为 【答案】2022 【分析】本题考查了根与系数的关系，若是一元二次方程的两根，则．直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴． ∴， 故答案为：2022． 【变式6-1】（24-25九年级上·天津滨海新·期末）若，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键掌握是方程的两根时，，． 【详解】解：是方程的两个根， ，． 故选∶ A． 【变式6-2】（24-25九年级上·河南许昌·期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，若，是一元二次方程的两个实数根，则，．利用一元二次方程根与系数的关系，可得，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式6-3】（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知m，n是方程的两根，则 ． 【答案】4 【分析】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．把代入方程求出，利用根与系数的关系求出，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：把代入方程得：， 即， 根据根与系数的关系得：， 则原式 故答案为：4． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东惠州·期末）一元二次方程的根是（   ） A．， B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴，； 故选A． 2．（23-24九年级下·广东肇庆·期末）关于 x 的一元二次方程 的根的情况，下列说法中正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，先计算根的判别式，再利用配方的办法确定根的判别式与0的关系，最后得结论． 【详解】解：， ∴关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）利用配方法解方程时，化成的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查一元二次方程，解题关键是熟练运用一元二次方程的解法．根据配方法即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，然后解不等式即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 即， 解得：， 故选：D． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）下面是一元二次方程的解答过程： ， ， ， 或． 上述解法用到的方法是（    ） A．直接开平方法 B．因式分解法 C．公式法 D．配方法 【答案】D 【分析】本题主要考查运用配方法解一元二次方程，根据解题过程可判断出解题方法． 【详解】解：由解题过程可以看出是先将常数项移到等号右边，再加上一次项系数一半的平方， 符合用配方法解一元二次方程， 故选：D． 6．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）等腰三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是（     ） A．7 B．10 C．8 D．10或8 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系；解方程求出两根，由等腰三角形的定义得、、或、、，由三角形的三边关系，即可求解；理解等腰三角形的定义，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解： 解得：，， 三角形是等腰三角形， 、、或、、， ， 此种情况不存在； 三角形的三边为：、、， 三角形的周长为：， 故选：B． 7．（24-25九年级上·全国·期末）现定义运算“”：对于任意实数a，b，都有，如：，若，则（    ） A．4 B． C．或4 D．或2 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，解一元二次方程．原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选：C． 二、填空题 8．（24-25九年级上·青海西宁·期末）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：， ， 则或， 所以，． 故答案为：，． 9．（24-25九年级上·湖南常德·期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程（为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．以及一元二次方程的意义．根据方程有实数根，得出，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 10．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤，完全平方公式是解题的关键．根据配方法把原式变成平方和的形式，根据非负数的性质解答． 【详解】 = = 因为任何数的平方都大于等于0， 所以 ，那么， 当，时，代数式取得最小值． 此时． 综上，该代数式的最小值是． 故答案为： 三、解答题 11．（24-25九年级上·新疆伊犁·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程． （1）运用直接开平方法，即可作答． （2）原式整理得，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵． ∴． 则， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·北京密云·期末）已知方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)已知方程的一个根是4，求m的值，并求出方程的另一个根． 【答案】(1) (2)，另一个根是 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，，然后解一次方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴的取值范围为； （2）设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，， 解得，， 即方程的另一根是． 13．（24-25九年级上·四川凉山·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根的判别式进行求解； （2）根据根与系数的关系得出，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：方程化为一般式为， 根据题意得， 解得， k的取值范围为； （2）解：根据根与系数的关系得，， ， ， ， ， 整理得， 解得，， 由（1）得， 的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 解一元二次方程 【题型1 解一元二次方程-直接平方】 【题型2 解一元二次方程-配方法】 【题型3 解一元二次方程-公式法】 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】 【题型5 根的判别式】 【题型6 根与系数的关系】 知识点1： 解一元二次方程-直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 【题型1 解一元二次方程-直接平方】 【典例1】（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·广东阳江·一模）一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·广东茂名·期中）方程的根是（ ） A． B．， C．， D． 【变式1-3】（24-25九年级上·山西运城·期中）关于的一元二次方程的解是（    ） A． B．， C． D． 知识点2：解一元二次方程-配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 【题型2 解一元二次方程-配方法】 【典例2】（上海市长宁区八年级上学期期末考试2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题）用配方法解方程：． 【变式2-1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·四川成都·期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25九年级上·贵州毕节·阶段练习）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．先移项，然后配方，再开平方，最后求出方程的解即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，． 知识点3： 解一元二次方程-公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 【题型3 解一元二次方程-公式法】 【典例3】（24-25九年级下·北京·开学考试）用公式法解方程：． 【变式3-1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段）用公式法解一元二次方程： 【变式3-2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）解方程：（用公式法） 【变式3-3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）用公式法解方程：． 知识点4：解一元二次方程-因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】 【典例4】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）用适当的方法解下列方程． (1) (2)． 【变式4-1】（陕西省咸阳市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题）解方程：． 【变式4-2】（24-25九年级上·湖南常德·期末）解一元二次方程：． 【变式4-3】（24-25九年级上·江西上饶·期末）解下列一元二次方程 (1) (2) 知识点5： 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 【题型5 根的判别式】 【典例5】（24-25九年级上·广东佛山·期末）一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式5-1】（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）关于的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．方程的根的情况与的取值有关 【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【变式5-3】（24-25九年级上·新疆伊犁·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 知识点6：一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 【题型6 根与系数的关系】 【典例6】（24-25九年级上·新疆伊犁·期末）已知是方程的两个根，则的值为 【变式6-1】（24-25九年级上·天津滨海新·期末）若，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25九年级上·河南许昌·期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【变式6-3】（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知m，n是方程的两根，则 ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东惠州·期末）一元二次方程的根是（   ） A．， B． C． D．， 2．（23-24九年级下·广东肇庆·期末）关于 x 的一元二次方程 的根的情况，下列说法中正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）利用配方法解方程时，化成的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）下面是一元二次方程的解答过程： ， ， ， 或． 上述解法用到的方法是（    ） A．直接开平方法 B．因式分解法 C．公式法 D．配方法 6．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）等腰三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是（     ） A．7 B．10 C．8 D．10或8 7．（24-25九年级上·全国·期末）现定义运算“”：对于任意实数a，b，都有，如：，若，则（    ） A．4 B． C．或4 D．或2 二、填空题 8．（24-25九年级上·青海西宁·期末）方程的根是 ． 9．（24-25九年级上·湖南常德·期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 10．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）代数式的最小值是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·新疆伊犁·期末）解下列方程： (1) (2) 12．（24-25九年级上·北京密云·期末）已知方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)已知方程的一个根是4，求m的值，并求出方程的另一个根． 13．（24-25九年级上·四川凉山·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$