数学（上海卷02）-学易金卷：2025年高考第二次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（上海卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考生注意: 1.本场考试时间 120 分钟,试卷共4页，满分 150分，答题纸共2页; 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名:将核对后的条形码贴在指定位置; 3.所有作答必须涂或写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位,在试卷上作答-律不得分; 4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，则 . 2．已知复数z满足：（为虚数单位），则 . 3．在中，，则外接圆的半径为 ． 4．已知，则的最小值为 ． 5．已知数列的前项和为，且，则 . 6．若圆与圆相切，则实数的取值集合是 . 7．的展开式中，含项的系数为 8．已知函数的两个极值点为、，且，则实数的最小值是 . 9．某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为 ． 10．如图，三个开关控制着号四盏灯，其中开关控制着号灯，开关控制着号灯，开关控制着1，2，4号灯．开始时，四盏灯都亮着．现先后按动这三个开关中的两个不同的开关，则其中1号灯或2号灯亮的概率为 ．    11．如图，两条足够长且互相垂直的轨道相交于点，一根长度为的直杆的两端点分别在上滑动（两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是 . 12．如图，探测机器人从点出发，准备探测道路和所围的三角危险区域.已知机器人在道路和上探测速度可达每分钟2米，，在内为危险区域，探测速度为每分钟1米.假设机器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为 . 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 14．已知一组样本数据如下表所示：经研究发现，x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为，若成等差数列，则当时，的预测值约为（结果精确到0．01）（   ） x 1 2 3 4 5 6 7 y 2 5 m 9 n 13 16 A．18.86 B．20.13 C．22.10 D．26.02 15．已知是定义在上的奇函数，当时，，有下列结论： ①函数在上单调递增； ②函数的图象与直线有且仅有2个不同的交点； ③若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8； ④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为 其中正确的有（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．①② 16．如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则对于以下两个命题，各选项判断正确的是（    ） ①当时，随着的增大而减小； ②当时，随着的增大而增大 A．①②都是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①②都是假命题 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明． (2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围． 18．如图，圆锥的高为是底面圆的直径，为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 19．（1）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个）若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效； 未患病者 患病者 合计 未服用 中草药甲 29 16 45 服用 中草药甲 46 9 55 合计 75 25 100 （2）已知一个盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球.现从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X，求X的分布列、期望和方差. 附：，. α 0.100 0.050 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 20．设椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线交椭圆于点、（不与左右顶点重合），连结、，已知周长为8. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为1，求的面积； （3）设，且，求直线的方程. 21．已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记函数，其中. （i）证明：对任意，； （ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（上海卷）·参考答案 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 2. 3.2. 4.-1 5.81 6.． 7.-6 8.2 9. 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13 14 15 16 D A A B 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17.（1）函数是奇函数， 当时，，则， 当时，， 当时，，则， 因此，恒有成立， 所以函数是奇函数.……（7分） （2）当时，单调递减，当时，单调递减，又， 因此函数在上单调递减，， 由对所有恒成立，得，即， 令，依题意，任意，， 于是，解得， 所以实数的取值范围是.……（7分） 18.（1） 连接，由已知，，且， ∴四边形为菱形，∴， 在圆锥中，∵平面，平面， ∴． ∵，平面，平面， ∴平面． 又∵平面， ∴平面平面．……（7分） （2） 取中点，易知平面，， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ∵，∴， ∴， ∴，． 设平面的一个法向量为． 因为所以，令，则，， ∴， 易知平面即平面，∴平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面的夹角的余弦值为．……（7分） 19.（1）提出原假设：中草药甲对预防此疾病无效，确定显著性水平， 计算，而， 的值超过了所确定的界限，从而否定原假设，即认为中草药甲对预防此疾病有效果.……（7分） （2）的所有可能取值为0，1，2， ， 所以的分布列为， 它的期望为， 它的方差为.……（7分） 20.（1）解：由题可知，周长为8， 由椭圆的定义，可知的周长等于， 则，所以， 又，所以，， 因此椭圆的方程为.……（6分） （2）解：依题意，直线的方程为， 与椭圆方程联立，整理得：， 由韦达定理：，， .……（6分） （3）解：设直线的方程为，，， 直线与椭圆方程联立， 整理得：， 由韦达定理：①，②， 因为， 所以， 即，由，， 得：， 所以， 又，不妨设，所以，， 代入，所以， 所以，整理得， 代入①②，计算得， 所以直线的方程为或.……（6分） 21.（1）由于数列的各项均不为， 所以，可变形为（是正整数）， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以， 又，也符合上式，所以.……（6分） （2）（i）先证：. 根据已知，得 由当且仅当时等号成立， 于是在上是严格增函数，故成立. 再证：. 又，记，则， 由，故且仅当时等号成立， 于是在上是严格减函数， 故，于是，证毕.……（6分） （ii）由题意知，， 下面研究.将（i）推广至一般情形. ， 由当且仅当时等号成立， 于是在上是严格增函数，故成立.① 再证：.， 记，则， 由，故当且仅当时等号成立， 于是在上是严格减函数， 故，于是， 所以，，即对任意，. 于是对，，整理得， 令，得，即，故. （方法一）当时， 故即， 从而.对于任意给定的正实数，令， 则取为大于且不小于的最小整数， 则当时，恒成立，因此，数列的极限为. （方法二）而对于任意，只需且时， 可得. 故存在，当时，恒有， 因而的极限.……（6分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（上海卷）·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（上海卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考生注意: 1.本场考试时间 120 分钟,试卷共4页，满分 150分，答题纸共2页; 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名:将核对后的条形码贴在指定位置; 3.所有作答必须涂或写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位,在试卷上作答-律不得分; 4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，则 . 2．已知复数z满足：（为虚数单位），则 . 3．在中，，则外接圆的半径为 ． 4．已知，则的最小值为 ． 5．已知数列的前项和为，且，则 . 6．若圆与圆相切，则实数的取值集合是 . 7．的展开式中，含项的系数为 8．已知函数的两个极值点为、，且，则实数的最小值是 . 9．某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为 ． 10．如图，三个开关控制着号四盏灯，其中开关控制着号灯，开关控制着号灯，开关控制着1，2，4号灯．开始时，四盏灯都亮着．现先后按动这三个开关中的两个不同的开关，则其中1号灯或2号灯亮的概率为 ．    11．如图，两条足够长且互相垂直的轨道相交于点，一根长度为的直杆的两端点分别在上滑动（两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是 . 12．如图，探测机器人从点出发，准备探测道路和所围的三角危险区域.已知机器人在道路和上探测速度可达每分钟2米，，在内为危险区域，探测速度为每分钟1米.假设机器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为 . 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 14．已知一组样本数据如下表所示：经研究发现，x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为，若成等差数列，则当时，的预测值约为（结果精确到0．01）（   ） x 1 2 3 4 5 6 7 y 2 5 m 9 n 13 16 A．18.86 B．20.13 C．22.10 D．26.02 15．已知是定义在上的奇函数，当时，，有下列结论： ①函数在上单调递增； ②函数的图象与直线有且仅有2个不同的交点； ③若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8； ④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为 其中正确的有（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．①② 16．如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则对于以下两个命题，各选项判断正确的是（    ） ①当时，随着的增大而减小； ②当时，随着的增大而增大 A．①②都是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①②都是假命题 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明． (2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围． 18．如图，圆锥的高为是底面圆的直径，为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 19．（1）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个）若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效； 未患病者 患病者 合计 未服用 中草药甲 29 16 45 服用 中草药甲 46 9 55 合计 75 25 100 （2）已知一个盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球.现从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X，求X的分布列、期望和方差. 附：，. α 0.100 0.050 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 20．设椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线交椭圆于点、（不与左右顶点重合），连结、，已知周长为8. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为1，求的面积； （3）设，且，求直线的方程. 21．已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记函数，其中. （i）证明：对任意，； （ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（上海卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考生注意: 1.本场考试时间 120 分钟,试卷共4页，满分 150分，答题纸共2页; 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名:将核对后的条形码贴在指定位置; 3.所有作答必须涂或写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位,在试卷上作答-律不得分; 4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，则 . 【答案】/ 【分析】化简集合B，根据交集运算求解即可. 【详解】， ， 故答案为： 2．已知复数z满足：（为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】根据复数代数形式的乘除运算及共轭复数定义求出，再根据复数模的公式计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以，所以，所以 故答案为： 3．在中，，则外接圆的半径为 ． 【答案】2 【分析】正弦定理的直接求解. 【详解】因为，可得， 由正弦定理得外接圆的半径． 故答案为：2. 4．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】“”的妙用，利用，再结合基本不等式即可求解. 【详解】． 当且仅当，即时取等号， 的最小值为， 故答案为：. 5．已知数列的前项和为，且，则 . 【答案】81 【分析】根据，即可求出数列的通项公式，再根据，即可求出. 【详解】因为， 所以当时，；即，又，所以， 当时，因为，所以 所以； 所以； 所以当时，是以3为公比的等比数列； 所以； 所以. 故答案为：81. 6．若圆与圆相切，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径和与差相等求出m的值即可． 【详解】圆O1：x2+y2﹣2mx+m2﹣4=0的圆心（m，0），半径为：2． 与圆O2：x2+y2+2x﹣4my+4m2﹣8=0的圆心（﹣1，2m），半径为：3． 圆心距为：， 两个圆相外切：=5， 两个圆相内切：=1， 解得m=﹣，﹣，0，2． 实数m的取值集合是{﹣，﹣，0，2}． 故答案为：． 【点睛】已知两圆的圆心分别为,半径分别为， ①若，则两圆相离；②若，则两圆外切； ③若，则两圆相交；④若，则两圆内切； ⑤若，则两圆内含. 7．的展开式中，含项的系数为 【答案】-6 【解析】首先化简得，再根据二项式定理展开的通项式即可求出含项的系数 【详解】因为， 展开式的通项式为，令，可得 展开式中的系数分别为，所以含项的系数为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二项式的通项公式，属于基础题。 8．已知函数的两个极值点为、，且，则实数的最小值是 . 【答案】 【分析】由题意可知，、为方程的两根，列出韦达定理，将不等式变形为关于实数的不等式，即可解得实数的最小值. 【详解】函数定义域为，且， 因为函数有两个极值点、，则，可得， 由题意可知，、为方程的两根， 由韦达定理可得， 所以， ，解得，所以，， 因此，实数的最小值为. 故答案为：. 9．某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意知硬币正反面出现的机会是均等的，即可得答案. 【详解】由题意可知事件A出现的频率为，而概率是大量试验中，频率趋于的一个稳定值， 由于硬币正反面出现的机会是均等的，故事件A出现的概率为， 故答案为： 10．如图，三个开关控制着号四盏灯，其中开关控制着号灯，开关控制着号灯，开关控制着1，2，4号灯．开始时，四盏灯都亮着．现先后按动这三个开关中的两个不同的开关，则其中1号灯或2号灯亮的概率为 ．    【答案】 【分析】利用分类加法计数原理、排列数分类讨论计算即可. 【详解】先后按动中的两个不同的开关，有（种）按法． 若要1号灯亮，则先按第一个开关时，1号灯灭，再按第二个开关时，1号灯亮， 此时对应的按法有2种，即； 同理可得，若要2号灯亮，有，即2种按法． 综上，要1号灯或2号灯亮有（种）按法，故所求的概率． 故答案为： 11．如图，两条足够长且互相垂直的轨道相交于点，一根长度为的直杆的两端点分别在上滑动（两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求出的面积函数，再利用导数求出值域即得. 【详解】依题意，设，则， 因此的面积，， 求导得， 当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减， 因此，而，则， 所以面积的取值范围是. 故答案为： 12．如图，探测机器人从点出发，准备探测道路和所围的三角危险区域.已知机器人在道路和上探测速度可达每分钟2米，，在内为危险区域，探测速度为每分钟1米.假设机器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为 . 【答案】 【分析】讨论机器人探测的路线，结合直线与圆的关系计算三角形面积即可. 【详解】如图所示，机器人只在道路上前进可到达AB点，则OA=OB=10米， 作的角平分线OC，过A作AD⊥OB，垂足为D点，交OC于C点， 设机器人先在道路OA上前进分钟到达P点, 此时，AP=，后进入危险区域， 其能探测到达的点组成以P为圆心，以为半径的圆弧， 由题意可知：，即AD与该圆弧相切，设切点为E， 故随P点从O移动到A，机器人可探测的区域为， 结合对称性，机器人5分钟能到达的点围成区域有与，即图中阴影部分， 其面积为， 易知为含120°的等腰三角形，所以区域面积为：. 故答案为： 【点睛】本题关键在于对题意的理解，然后结合直线与圆的位置关系，利用角的对称性得出区域形状，再解三角形求区域面积，极容易出错，需要仔细审题. 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义和基本函数的性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，定义域为，令，因为，所以此函数为奇函数，所以A错误， 对于B，定义域为，令，因为，所以此函数为偶函数， 因为在上单调递增，所以B错误， 对于C，定义域为，令，因为，所以此函数为偶函数， 因为在上有增区间也有减区间，所以C错误， 对于D，定义域为，令，因为，所以此函数为偶函数， 当时，，因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以D正确， 故选：D 14．已知一组样本数据如下表所示：经研究发现，x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为，若成等差数列，则当时，的预测值约为（结果精确到0．01）（   ） x 1 2 3 4 5 6 7 y 2 5 m 9 n 13 16 A．18.86 B．20.13 C．22.10 D．26.02 【答案】A 【分析】由已知可得进而求得进而可求得可求时的预测值. 【详解】因为成等差数列，所以所以 所以所以所以 所以当时，. 故选：A． 15．已知是定义在上的奇函数，当时，，有下列结论： ①函数在上单调递增； ②函数的图象与直线有且仅有2个不同的交点； ③若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8； ④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为 其中正确的有（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．①② 【答案】A 【分析】作出函数的图象，利用数形结合思想依次判断选项①②③，利用等比数列求和判断选项④． 【详解】解：当时，； 若，则，即， 若，则，即， 作出函数在时的部分图象，如图所示， 对于①，由图可知，函数在上单调递增，由奇函数性质知，函数在上单调递增，故①正确； 对于②，可知函数在时的图象与直线有1个交点，结合函数的奇偶性知，的图象与直线有3个不同的交点，故②错误； 对于③，设，则关于的方程等价于，解得：或 当时，即对应一个交点为；方程恰有4个不同的根，可分为两种情况： （1），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为8； （2），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为-4，故③错误； 对于④，函数在，上的最大值为，即， 由函数的解析式及性质可知，数列是首项为1，公比为的等比数列， 则数列的前7项和为，故④正确． 故选：A． 16．如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则对于以下两个命题，各选项判断正确的是（    ） ①当时，随着的增大而减小； ②当时，随着的增大而增大 A．①②都是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①②都是假命题 【答案】B 【分析】 根据条件，分别做出异面直线的平面角，三角形中，利用余弦定理，解出三边长，利用余弦定理表示出，利用导数考查单调性即可. 【详解】当时，作交于点，如图所示， 直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即， 设正四面体的棱长为3，则 在中，由余弦定理可得， ，同理在中，由余弦定理可得 在中，由余弦定理可得：，化简可得， 所以在中，有 令，则， 当时，有正有负，函数有增有减，所以①错误， 当时，作交于点，如图所示， 直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即， 同样设正四面体的棱长为3，则可求得 在中，有 所以，即， 所以在中，有 令，则， 所以在定义域内单调递减，即增大，减小，即减小，从而增大，故②正确， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：做出异面直线与的平面角，利用余弦定理表达，利用导数考查单调性. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明． (2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定的函数解析式，利用奇函数、偶函数定义判断即得. （2）探讨函数的单调性，并求出最小值，再借助一次型函数图象与性质列出不等式，求解即得. 【详解】（1）函数是奇函数， 当时，，则， 当时，， 当时，，则， 因此，恒有成立， 所以函数是奇函数. （2）当时，单调递减，当时，单调递减，又， 因此函数在上单调递减，， 由对所有恒成立，得，即， 令，依题意，任意，， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 18．如图，圆锥的高为是底面圆的直径，为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，可证出菱形中，结合可证出平面，再由平面与平面垂直判定定理即可证出平面平面； （2）取中点，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，使用空间向量进行求解. 【详解】（1） 连接，由已知，，且， ∴四边形为菱形，∴， 在圆锥中，∵平面，平面， ∴． ∵，平面，平面， ∴平面． 又∵平面， ∴平面平面． （2） 取中点，易知平面，， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ∵，∴， ∴， ∴，． 设平面的一个法向量为． 因为所以，令，则，， ∴， 易知平面即平面，∴平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面的夹角的余弦值为． 19．（1）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个）若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效； 未患病者 患病者 合计 未服用 中草药甲 29 16 45 服用 中草药甲 46 9 55 合计 75 25 100 （2）已知一个盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球.现从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X，求X的分布列、期望和方差. 附：，. α 0.100 0.050 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得的分布，结合期望、方差计算公式即可求解. 【详解】（1）提出原假设：中草药甲对预防此疾病无效，确定显著性水平， 计算，而， 的值超过了所确定的界限，从而否定原假设，即认为中草药甲对预防此疾病有效果. （2）的所有可能取值为0，1，2， ， 所以的分布列为， 它的期望为， 它的方差为. 20．设椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线交椭圆于点、（不与左右顶点重合），连结、，已知周长为8. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为1，求的面积； （3）设，且，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）由椭圆的离心率公式和椭圆的定义，可得，，再由，，的关系可得，进而得到所求椭圆方程； （2）求得直线的方程，联立椭圆方程，消去，运用韦达定理，结合的面积为，计算可得所求值； （3）设直线的方程为，，，联立椭圆方程，运用韦达定理，由，得出，结合，设，所以，，运用韦达定理可求出，进而得到所求直线方程． 【详解】（1）解：由题可知，周长为8， 由椭圆的定义，可知的周长等于， 则，所以， 又，所以，， 因此椭圆的方程为. （2）解：依题意，直线的方程为， 与椭圆方程联立，整理得：， 由韦达定理：，， . （3）解：设直线的方程为，，， 直线与椭圆方程联立， 整理得：， 由韦达定理：①，②， 因为， 所以， 即，由，， 得：， 所以， 又，不妨设，所以，， 代入，所以， 所以，整理得， 代入①②，计算得， 所以直线的方程为或. 【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程和简单几何性质，考查运用直线和椭圆的位置关系求三角形面积，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查三点共线的向量表示，突出考查化简运算能力，属于中档题． 21．已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记函数，其中. （i）证明：对任意，； （ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限. 【答案】(1)证明见解析，； (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由可变形为，从而得到为等差数列，然后由累乘法求通项即可； （2）可先证：，根据的表达式求导，分析单调性，得出最小值，即可得证，再证：，即证恒成立，即即可；先求出，然后由，分析单调性证明进而得到，代入表达式，取可得，再对进行放缩即可求解. 【详解】（1）由于数列的各项均不为， 所以，可变形为（是正整数）， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以， 又，也符合上式，所以. （2）（i）先证：. 根据已知，得 由当且仅当时等号成立， 于是在上是严格增函数，故成立. 再证：. 又，记，则， 由，故且仅当时等号成立， 于是在上是严格减函数， 故，于是，证毕. （ii）由题意知，， 下面研究.将（i）推广至一般情形. ， 由当且仅当时等号成立， 于是在上是严格增函数，故成立.① 再证：.， 记，则， 由，故当且仅当时等号成立， 于是在上是严格减函数， 故，于是， 所以，，即对任意，. 于是对，，整理得， 令，得，即，故. （方法一）当时， 故即， 从而.对于任意给定的正实数，令， 则取为大于且不小于的最小整数， 则当时，恒成立，因此，数列的极限为. （方法二）而对于任意，只需且时， 可得. 故存在，当时，恒有， 因而的极限. 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的通项、求和，另外考查数列和函数的结合以及新定义知识，难度较大，本题主要思维方法： 1.基本方法求通项：定义法，累乘法； 2.不等式的证明，借助构造函数利用导数分析单调性，求最值； 3.新定义考查，主要是结合导数的最值分析和不等式的放缩思维，对于一般学生要求较高，难度很大. 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$