10.3.1 频率的稳定性（教学设计)-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

10.3.1频率的稳定性 教学设计 1、 教学目标 1. 在问题情境中了解频率与概率的关系, 达到数学抽 象核心素养学业质量水平一的层次. 2. 理解频率与概率的关系,明确事件 发生的频率 与事件 发生的概率 的区别与联系,达到数 学抽象核心素养学业质量水平二的层次. 3. 了解蒙特卡洛方法, 通过实例理解其步骤, 达到数 学建模核心素养学业质量水平一的层次. 2、 重点难点 教学重点：1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性； 2.理解频率与概率的关系, 了解随机模拟试验. 教学难点：1.频率与概率的区别与联系； 2. 理解频率的稳定性. 3、 学情分析&教材分析 本节的主要内容是频率与概率,主要包括频率的稳定 性与随机模拟. 前面已经学习了概率的概念、性质以及运 算、古典概型等知识, 但是古典概型是在样本点等可能的 试验中进行的. 教材提出在现实生活中, 很多试验的样本 点往往不是等可能的或者是否具有等可能性不容易判断, 这就需要寻找新的求概率的方法, 以此来激起学生的求知 欲望,在此基础上来学习频率与概率的相关知识. 本节的重点是理解频率与概率的关系、随机模拟,难 点是频率与概率的关系. 突破重点与难点的关键, 在于理 解其含义, 并结合实例进行体会. 本节内容所涉及的主要核心素养有: 数学抽象、数学 建模、数学运算等. 学情分析 对学生而言, 前面已经学习了随机事件概率的计算方 法, 接触了大量的与概率有关的信息, 并初步感知了频率可作 为概率的估计值, 为学习本节内容积累了一定的经验. 学生学习本节内容时可能存在以下方面的困难: 对频 率与概率的关系不理解, 错误地认为频率就是概率, 概率 就是频率, 这就需要教师引导学生对频率与概率的关系进 行深入理解; 对于用随机模拟的方法估计概率的过程不理 解, 需要教师多举几个实例帮助学生掌握这种方法. 4、 学习目标 1. 通过抛掷硬币的实验，理解频率的稳定性； 2. 通过计算机模拟实验，理解频率与概率的关系， 3.掌握用频率估计概率. 4.结合实例，会用频率估计概率， 5.会计算古典概型中简单随机事件的概率． 5、 导入新知 对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率．但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者是否等可能不容易判断．例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻找新的求概率的方法． 我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小．在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率．那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？ 问题1：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计事件A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较.你发现了什么规律？ 【设计意图】通过日常可见的生活问题，加深学生们对概率事件发生的理解. 1.2探索新知 【探究】把硬币正面朝上记为1，反面朝上记为0，则这个试验的样本空间，，所以. 【活动设计】下面分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件A的频率的变化情况，以及频率与概率的关系. 第一步：每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率； 第二步：每4名同学为一组，相互比较试验结果； 第三步：各组统计事件A发生的次数，计算事件A发生的频率，将结果填入下表中. 每组中4名同学的结果一样吗？为什么会出现这样的情况？ 表10.3-1 小组序号 试验总次数 事件A发生的次数 事件A发生的频率 1 100 2 100 3 100 … 合计 问题2：比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件A发生的频率. （1）各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？ （2）随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？ 【答案预设】（1）试验次数n相同，频率可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性. （2）从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小.但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大. 【实验模拟】利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数和频率如下表： 序号 n=20 n=100 n=500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 用折线图表示频率的波动情况如下图： 我们发现： （1）试验次数n相同，频率可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性. （2）从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小.但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大. 雅各布第一 •伯努利(Jakob I Bernoulli，1654—1705)瑞士数学家，被公认为概率理论的先驱，他给出了著名的大数定律．大数定律阐述了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近． 【结论】大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率. 6、 应用新知 例1新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51． 分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001)； 根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？ 分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率；由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率． 解：（1）2014年男婴的出生率为：， 2015年男婴出生的频率为：． 由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532． （2）由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度．因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论． 要得到生男孩和生女孩是否等可能的科学判断，还需要用统计学中假设检验的方法进行检验． 【变式】下列命题中是真命题的是（    ） A．做7次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有4次出现正面，因此出现正面的概率是 B．盒子中有大小均匀的3个黑球，2个白球，1个红球，则每种颜色被摸到的可能性相同 C．从-4，-3，-2，-1，0，1，2中任取一个数，取得小于0的概率大于取得不小于0的概率 D．分别从2名男生，2名女生中各选一名作为代表，则每名学生被选中的可能性相同 【答案】CD 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据题意求出各试验事件发生的概率，逐一判断即可得出选项. 【详解】解析：A中，抛掷一枚硬币出现正面的概率是，故错误； B中，摸到黑球､白球､红球的可能性分别为，，，故错误， C中，取得小于0的概率为，取得不小于0的概率为，故正确； D中，每名学生被选中的可能性都为，故正确. 故选：CD. 【感悟提升】　由统计定义求概率的一般步骤 （1）确定随机事件A的频数nA； （2）由fn(A)＝ 计算频率fn(A) (n为试验的总次数); （3）由频率fn(A)估计概率P(A). 概率可看成频率在理论上的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件的概率. 例2一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜．判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等． 在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次．据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的．你更支持谁的结论？为什么？ 解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7．根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小．相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近．而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的．因此，应该支持甲对游戏公平性的判断． 【变式】有以下说法: ①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是;②买彩票中奖的概率为0.001,那么买1 000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的. 根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是 . 【答案】①③ 【知识点】游戏的公平性、天气预报中的概率解释、抽奖、彩票的概率解释、其他问题中的概率解释 【详解】根据“概率的意义”求解,买彩票中奖的概率0.001,并不意味着买1 000张彩票一定能中奖,只有当买彩票的数量非常大时,我们可以看成大量买彩票的重复试验,中奖的次数为; 昨天气象局的天气预报降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定会下雨. 说法②④是错误的，而利用概率知识可知①③是正确的. 故答案为①③． 【感悟提升】　游戏规则公平的判断标准 在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，也就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等．例如：体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才是公平的；每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的，这样才是公平的；抽签决定某项事务时，任何一支签被抽到的概率也是相等的，这样才是公平的等等． 思考 气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%．如果您明天要出门，最好携带雨具”如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确．那么如何理解“降水概率是90%”？又该如何评价预报的结果是否准确呢？ 降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的．对“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨． 只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性．如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天（天数较多）里，大约有90%确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确． 7、 能力提升 题型一　频率与概率的关系 【练习1】一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ． 【答案】15 【知识点】用频率估计概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据频率与概率的关系得出概率，再据此即可列式求红球的个数. 【详解】设盒子中红球的个数为， 由摸到黑球的频率稳定在0.25左右知，摸到黑球的概率为0.25， 则， 解得， 即盒子中红球个数大约15个. 故答案为：15 【感悟提升】　理解概率与频率应关注的三个方面 (1)概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值． (2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映． (3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件． 题型二　用频率估计概率 【练习2】某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为（ ） A．72% B．74% C．75% D．76% 【答案】B 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据题意可直接计算. 【详解】该同学这两场投篮的命中率为. 故选：B. 【感悟提升】　1.用频率估计概率 (1)在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值． (2)在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率． 2.随机事件概率的理解及求法 (1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率． (2)求法：通过公式fn(A)＝计算出频率，再由频率估算概率．　　 题型三　游戏的公平性 【练习3】下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？ 游戏1 游戏2 游戏3 袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球 获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜 取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜 【答案】；；；游戏1和游戏3是公平的 【知识点】计算古典概型问题的概率、游戏的公平性 【解析】利用古典概型的概率公式分别计算三个游戏中甲获胜的概率，根据甲乙对应的概率是否相等判断游戏的公平性. 【详解】解：游戏1中，甲获胜的概率为；游戏2中，甲获胜的视率为；游戏3中，甲获胜的概率为，所以游戏1和游戏3是公平的. 【点睛】本题主要考查了判断游戏的公平性以及古典概型的概率公式，属于中档题. 【感悟提升】游戏公平性的标准及判断方法 (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的． (2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．　　 题型四　频率的稳定性在实际生活中的应用 【练习4】某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表: 射击次数 10 20 50 100 200 500 击中10环次数 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 （1）将表格填写完整； （2）这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少? 【答案】（1）表格见解析；（2）0.9. 【知识点】用频率估计概率、计算频率 【分析】（1）根据频率计算公式，结合已知数据，即可容易求得结果； （2）根据（1）中所求，频率的稳定值即为所求. 【详解】（1）根据频率计算公式，表格数据如下： 射击次数 10 20 50 100 200 500 击中10环次数 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.89 0.906 （2）由（1）中所求，随着射击次数的增大，频率的稳定值为. 故这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9. 【点睛】本题考查频率的计算，以及用频率估计概率，属简单题. 【感悟提升】　 (1)解决这类问题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率． (2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． 8、 课堂总结 （1） 频率的稳定性 （2） 随机模拟 1．产生随机数的方法 (1)利用计算器或计算机软件产生随机数； (2)构建模拟试验产生随机数． 2．蒙特卡洛方法 利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法． 9、 作业设计 教材第 257 258 页习题 10.3 第 2,3 , 教材第 258 页习题 10、 板书设计 10.3 频率与概率 一、问题引入 二、探究新知 2. 随机模拟 称利用随机模拟解决问题 的方法为蒙特卡洛方法 四、应用举例 例 1 例 2 五、巩固训练 六、归纳小结 1.频率与概率的关系 1.频率与概率的关系 一般地,随着试验次数 的增大,频率偏离概率 的幅度会缩小,即事件 发生的频率 会逐 渐稳定于事件 发生的概率 . 称频率的这 个性质为频率的稳定性.可以用频率 估计 概率 三、概念深化 两种随机模拟试验 例 3 例 4 2. 随机模拟试验 七、布置作业 练习（第254页） 1．判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两枚硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上； （2）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4； （3）当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率； （4）在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5． 1．解析：（1）不正确．抛掷两枚硬币，“一次正面朝上，一次反面朝上”的概率是0.5，不是必然事件． 概率与频率有本质的区别． （2）不正确．只能说频率是0.4，正面朝上的概率为 0.5．由于试验次数较少，频率与概率差别较大． （3）正确．试验次数较大时，频率稳定到概率． （4）不正确．随机事件发生的概率有大小之分．这种错误是 “等可能性偏见”． 2．用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏公平吗？ 2．解析：抛掷两枚质地均匀的硬币，同时出现正面或同时出现反面的概率为0.5，出现一个正面、一个反面的概率也为0.5，这个游戏是公平的． 3．据统计ABO血型具有民族和地区差异．在我国H省调査了30488人，四种血型的人数如下: 血型 A B O AB 人数/人 7704 10765 8970 3049 频率 （1）计算H省各种血型的频率并填表（精确到0.001）； （2）如果从H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约是多少? 3．（1） 血型 A B O AB 人数/人 7704 10765 8970 3049 频率 0.253 0.353 0.294 0.100 （2）他是O型血的概率大约是0.294 4．分别举出一个生活中概率很小和很大的例子． 4．解析：例如，飞机失事是一个小概率事件，买福利彩票双色球中一等奖是小概率事件，购买一台知名品牌笔记本电脑，该电脑是合格品是一个概率很大的事件． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$