8.6.3 平面与平面垂直(第1课时)平面与平面垂直的判定 (教学设计)-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

8.6.3 平面与平面垂直(第1课时)平面与平面垂直的判定 教学设计 1、 教学目标 1.通过实例，学生运用类比的思想，独立探索空间中两个平面互相垂直的定义方法，体会定义一个数学对象的基本思想； 2.熟悉线线垂直、线面垂直的转化； 3.通过运用所学定理的过程，达到巩固理解所学知识的目标，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的转化与化归 2、 重点难点 教学重点：平面与平面垂直的判定定理及应用； 教学难点：平面与平面垂直的判定定理的形成过程。 3、 学情分析&教材分析 空间中平面与平面的垂直关系是“空间直线、平面的 垂直”中的又一个重点, 是继直线、平面的平行关系, 直线 与平面的垂直关系之后的迁移与拓展,是“类比”与“转化” 思想的又一重要体现. 本节内容包括二面角和两个平面互 相垂直的定义、判定与性质, 这一节的学习对理顺“空间直 线、平面的垂直”的知识结构体系、提高学生的综合能力起 着十分重要的作用. 平面与平面的垂直需要“二面角”的概念，二面角定量 地反映了两个平面相交的位置关系,但是如何来刻画二面 角的大小是一个难点.根据“异面直线所成的角”和“直线 与平面所成的角”的学习经验, 借助“空间问题平面化”的 思想,借鉴平面几何中利用角刻画两条相交直线的位置关 系, 进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况的方法, 教材按照直观感知、操作确认、抽象概括的方式得出二面 角的平面角的定义.通过类比直线与直线垂直、直线与平 面垂直的定义, 探索得出空间中两个平面互相垂直的定 义,从中体会定义一个数学对象的基本思想.面面垂直是 面面相交的特殊情况, 生活中面面垂直的例子大量存在, 教材给出实例, 通过类比直线、平面平行关系的判定和性 质以及直线与平面垂直的判定和性质,提出“平面与平面 垂直关系的判定”“平面与平面垂直关系的性质”的猜想， 选择“如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平 面互相垂直”“两个平面垂直, 如果一个平面内有一直线垂 直于这两个面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直” 等典型猜想进行说理. 通过本节课的学习与研究, 可进一步完善学生的知识 结构, 更好地培养学生观察发现、空间想象及推理能力, 体 会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法, 几何直观、空间想象、合情推理和论证推理的结合有助于 学生直观想象、数学抽象和逻辑推理等数学核心素养的 培养. 学情分析 经过前面的学习,学生有了“通过观察、操作并抽象概 括等活动获得数学结论”的体会, 有了一定的几何直观能 力、推理论证能力等，能较准确地使用图形和数学语言表 述几何对象的位置关系; 已了解“平行关系”的性质和判定 方法,以及直线与直线、直线与平面“垂直关系”的性质和 判定方法; 已基本掌握解决空间问题的一般方法一一平面 化,具备学习本节课所需的知识. 然而, 学生的能力发展正处于由形象思维向抽象思维 转折的阶段, 但更注重形象思维, 对两个平面的垂直关系 还停留在感性的认识阶段, 没有上升到理论. 学生还不知 道应该如何定义和判定两个平面互相垂直以及两个平面 垂直的性质,还未能建立起各种垂直关系之间的联系,还 没有形成完整的空间知识结构体系, 学生内在的知识网络 还有待进一步清晰化, 所以在学生学习的过程中教师要适 时的引导,关注学生的思维及学习过程. 4、 学习目标 1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系． 2.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角. 3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直. 5、 导入新知 像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义．那么，该如何定义呢?不妨回顾一下直线与平面垂直、 直线与直线垂直的定义过程． 在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直．所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础． 在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况．类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直． 如图8.6-21，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(dihedral angle)．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为，面分别为，的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在，内(棱以外的半平面部分)分别取点，，将这个二面角记作二面角． 如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或． 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面． 思考 如图8.6-22，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”， 是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？ 如图8.6-23，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角． 的大小与点在上的位置有关吗？为什么？ 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角的取值范围是． 观察 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数． 教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上． 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面与垂直，记作． 如图8.6-24，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直． 在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质．先研究平面与平面垂直的判定． 观察 如图8.6-25，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面．这种方法说明了什么道理？ 这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直．类似的结论也可以在长方体中发现．如图8. 6-26，在长方体中，平面经过平面的一条垂线，此时，平面垂直于平面． 一般地，我们有下面判定两个平面互相垂直的定理： 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直． 6、 应用新知 例7 如图8.6-27所示，在正方体中，求证：平面平面． 分析：要证平面⊥平面，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面经过平面的一条垂线即可．这需要利用，是正方形的对角线． 证明：是正方体， 平面， ． 又，， 平面， 又平面， 平面平面． 【变式】如图，在正方体中，判断平面与平面是否垂直，并说明你的理由． 【答案】见详解. 【知识点】证明面面垂直 【分析】根据面面垂直的判定，只要证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面即可得解. 【详解】平面与平面垂直. 如连接，根据是正方体， 所以，又底面， 所以，又和相交， 所以平面， 所以，同理，， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 证明平面与平面垂直的两个常用方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是： ①找出两相交平面的平面角； ②证明这个平面角是直角； ③根据定义，这两个相交平面互相垂直． (2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是： 例8 如图8.6-28，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点．求证：平面平面． 分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面．而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直．在本题中，由题意可知，，，从而平面，进而平面平面． 证明：平面，平面，． 点是圆周上不同于的任意一点，是的直径，，即． 又，平面，平面，平面． 又平面，平面平面． 【变式】如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点），直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，则以下四个命题正确的是（　　） A．PB⊥AC B．OC⊥平面PAB C．MO∥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC 【答案】CD 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明面面垂直、证明线面垂直、证明线面平行 【详解】利用反证法思想说明AB错误；由直线与平面平行的判定判断C；由平面与平面垂直的判定判断D． 【解答】解：对于A，假设PB⊥AC，由已知可得AC⊥PA， 又PA∩PB＝P，平面，∴AC⊥平面PAB，而平面，则AC⊥AB，与∠CAB是锐角矛盾，故A错误； 对于B，∵点C是圆周上的任意一点，∴OC与AB不一定垂直， 若OC⊥平面PAB，则OC一定与AB垂直，故B错误； 对于C，∵点M为线段PB的中点，点O为AB的中点，∴OM∥PA， 而OM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，∴MO∥平面PAC，故C正确； 对于D，∵PA垂直于圆所在的平面，∴PA⊥BC，由已知得BC⊥AC， 且PA∩AC＝A，平面，∴BC⊥平面PAC，而BC⊂平面PBC，则平面PAC⊥平面PBC，故D正确． 故选：CD． 7、 能力提升 题型一　求二面角 【练习1】如图，在三棱锥中，，平面． （1）求证：平面平面 （2）若，求二面角的正切值 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【知识点】求二面角、证明面面垂直 【分析】（1）要证线面垂直，只要证明其中一个面内的一条直线垂直于另一个平面即可； （2）利用垂直关系，先求得二面角的平面角，解三角形即可得解. 【详解】（1）平面 ，平面 平面 平面平面， 平面平面. （2）设是的中点，过于，连接 在中 平面平面平面， 平面 又平面 是二面角的平面角． 设，则在中， ， 所以. 【感悟提升】1.求二面角的平面角的大小的步骤 (1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线． (2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角． (3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小． (4)结论． 2.确定二面角的平面角的方法 题型二　用定义法证明平面与平面垂直 【练习2】在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明面面垂直、线面平行的性质 【分析】由面面垂直的判定定理和性质定理对选项逐一判断可得答案. 【详解】对于A中，由已知底面，且底面为矩形， 所以，且,平面， 所以平面，又由平面，所以平面平面，所以A正确； 对于B中，由已知底面，且底面为矩形， 所以，且,平面， 所以平面，又由平面，所以平面平面，所以B正确； 对于C中，由已知底面，且底面为矩形， 所以，且,平面， 所以平面，又由平面，所以平面平面， 所以C正确； 对于D中，设为平面与平面的交线，因为，平面， 平面，所以平面，因为为平面与平面的交线， 所以，又，所以，因为平面，平面， 所以，所以，又底面，所以，所以， 所以为平面与平面的二面角，若平面平面， 则，而底面，所以，此时三角形内角和大于，所以平面与平面不垂直，所以D错误. 故选：D. 【感悟提升】　用定义证明两个平面垂直的步骤 利用两个平面互相垂直的定义可以直接证明两个平面垂直，证明的步骤是： ①找出两个相交平面的二面角的平面角； ②证明这个二面角的平面角是直角； ③根据定义，这两个平面互相垂直． 题型三 平面与平面垂直的定义和判定 【练习3】在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E是PD中点，下列叙述正确的是（　　） A．CE∥平面PAB B．CE⊥平面PAD C．平面PBC⊥平面PAB D．平面PBD⊥平面PAC 【答案】D 【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、判断面面是否垂直 【分析】根据线面平行，线面垂直，以及面面垂直的定义，逐个选项进行判断即可. 【详解】对于A，∵四边形ABCD是菱形，则CD∥AB，∵CD平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴CD∥平面PAB，若CE∥平面PAB， ∵CE∩CD＝C，则平面PCD∥平面PAB， 事实上平面PCD与平面PAB相交，假设不成立，故A错误； 对于B，过点C在平面ABCD内作CF⊥AD，垂足为点F， ∵PA⊥平面ABCD，CF⊂平面ABCD， ∴CF⊥PA，∵CF⊥AD，PA∩AD＝A， ∴CF⊥平面PAD，∵过C作平面PAD的垂线有且只有一条， ∴CE与平面PAD不垂直，故B错误； 对于C，过点C在平面ABCD内作CM⊥AB，垂足为点M， ∵PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，则CM⊥PA， ∵CM⊥AB，PA∩AB＝A，则CM⊥平面PAB， 若平面PBC⊥平面PAB，过点C在平面PBC内作CN⊥PB，垂足为点N， ∵平面PBC⊥平面PAB，平面PAB∩平面PAB＝PB，CN⊂平面PBC， ∴CN⊥平面PAB，∵过点C作平面PAB的垂线有且只有一条，∴CM，CN重合， ∴平面ABCD∩平面PBC＝BC，∴CM，CN，CB重合，BC⊥AB， ∵四边形ABCD是菱形，BC与AB不一定垂直，故C错误； 对于D，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC， ∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA， ∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD， ∴平面PBD⊥平面PAC，故D正确． 故选：D． 反思感悟　证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角． (2)利用面面垂直的判定定理，其实质归根结底还是找一条直线与平面内的两条相交直线垂直，一定要把定理用符号语言叙述完整． 题型四　利用判定定理证明面面垂直 【练习4】如图所示，在三棱锥中，且，，，则下列命题不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】C 【知识点】证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、反证法证明 【分析】根据条件推出线面垂直，再根据面面垂直的判定定理判断ABD，利用反证法证明判断C. 【详解】，， 在中，， ， 又且, 平面, 又平面，平面 平面平面，平面平面， 故AB正确； 在中，， ， ， 平面, 又平面, 平面平面，故D正确； 对于C选项，若假设平面平面，则过作于，如图 由平面平面, 平面，可得，又，, 平面， , 这与中矛盾，故假设不正确，故C选项错误. 故选：C 【点睛】关键点点睛：先利用勾股定理证明线线垂直，再得线面垂直，最后推出面面垂直是关键，要证明平面不垂直时，可考虑反证法. 【感悟提升】　证明面面垂直的方法 8、 课堂总结 1．知识清单： (1)二面角以及二面角的平面角． (2)平面与平面垂直的定义和判定定理． (3)平面与平面垂直的性质定理． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直． 9、 作业设计 教材159页练习第4题， 教材163页习题8.6第7,8题。 10、 板书设计 第 1 课时 平面与平面垂直的判定 三、典例剖析 五、小结 一、问题引入 例 1 1.二面角的定义、画法与记法 二、概念形成 例 2 2.二面角的平面角的定义与范围 1.二面角的定义、画法、记法 2.二面角的平面角的定义、范围 3. 平面与平面垂直的判定定理 四、课堂练习 3.面面垂直的判定定理 4. 转化思想. 练习（第158页） 1．如图，检查工件的相邻两个(平)面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了．这是为什么？ 1．解：当曲尺的另一边在工件的另一个面上转动时，如果和另一个面密合，曲尺紧靠工件一个面的边就与另一个面内无 数条相交直线都垂直，从而这边就与另一个面垂直. 同时， 这边紧靠工件的一个面，可看成这边在这个面内，故这两个面垂直． 2．已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（ ） （A）， （B），， （C）， （D）， 2．答案：D 3．如下页图，平面，， 你能发现哪些平面互相垂直，为什么? 3．解析：平面平面，平面平面，平面平面．理由如下： 平面，平面，平面， ∴平面平面，平面平面， 由平面，得．又，，平面，又平面， 平面平面． 4．如图，在正三棱柱中，为棱的中点．求证：平面平面． 4．证明：三棱柱为正三棱柱，则为正三角形．又为棱中点，． 又底面，．又，平面， ∴平面平面． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$