8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（教学设计) -【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 教学设计 1、 教学目标 1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式． 2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题． 3.知道球、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 2、 重点难点 教学重点： 圆柱、圆雉、圆台及球的表面积和体积公式及其应用. 教学难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成, 以及与球等有关的组合体的表面积和体积的计算. 3、 学情分析&教材分析 本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进本节的主要内容是圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的表 面积和体积. 教材首先利用圆柱、圆锥、圆台的展开图, 得 出它们的表面积公式, 然后根据以前学习过的圆柱、圆锥 的体积公式推导出圆台的体积公式, 再结合棱柱、棱雉、棱 台的体积公式将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式, 最后给出了球的表面积公式, 并由球的表面积公式推导出 了球的体积公式. 本节内容的重点是圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和 体积公式及其应用,难点是推导体积和面积公式中空间想象能力的形成, 以及与球等有关的组合体的表面积和体积 的计算. 本节内容所涉及的主要核心素养有: 数学抽象、直观 想象、逻辑推理、数学运算等. 学情分析 学生在前面学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积， 这为学习圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积提供了方法和 依据,对于学习柱体、锥体、台体的表面积和体积来说,总 体上学生还是比较容易理解和接受的.而对于球的表面积 和体积的理解上则要难一些, 主要是难以理解极限思想. 4、 学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积． 5、 导入新知 （一）情景导入 前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. （二）预习课本，引入新课 阅读课本116-119页，思考并完成以下问题 1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？ 2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？ 3．球的表面积与体积公式各式什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 1．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和．利用圆柱、圆锥、圆台的展开图（图8.3-3），可以得到它们的表面积公式： （是底面半径，是母线长）， （是底面半径，是母线长）， （，分别是上、下底面半径，是母线长）． 思考 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即 （是底面半径，是高）， （是底面半径，是高）． 由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式 （，分别是上、下底面半径，是高）． 思考 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？ 归纳 （为底面积，为柱体高）； （为底面积，为锥体高）； （，分别为上、下底面面积，为台体高）． 当时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式． 2．球的表面积和体积 设球的半径为，它的表面积只与半径有关，是以为自变量的函数． 事实上，如果球的半径为，那么它的表面积是 ． 在前面我们已经学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，那么对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，它们的表面积和体积又该如何计算呢？ 6、 应用新知 例3 如图8.3-4，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（取3.14） 解：一个浮标的表面积为 ， 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料 【变式】万花筒（Kaleidoscope），是由苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特爵士发明的一种光学玩具，将有鲜艳颜色的实物放于圆筒的一端，圆筒中间放置一正三棱镜（正三棱柱），另一端用开孔的玻璃密封，由孔中看去即可观测到对称的美丽图像．如图，已知正三棱镜底面边长为6cm，高为16cm，现将该三校镜放进一个圆柱形容器内，则该圆柱形容器的侧面积至少为（    ）（容器壁的厚度忽略不计，结果保留） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆柱表面积的有关计算、正弦定理求外接圆半径 【分析】由题意，满足题意的圆柱的高即为三棱柱的高，圆柱上下底面的圆恰好是三棱锥上下底面的外接圆，据此求出圆柱的各项数据. 【详解】由题意，圆柱的高为16cm，底面圆即为三棱柱底面的外接圆，设底面圆半径为，由正弦定理，边长6cm等边三角形外接圆半径满足，故，于是侧面积为. 故选：B 【感悟提升】　求几何体积的常用方法 (1)公式法：直接代入公式求解． (2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 思考 在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？ 类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积．如图8.3-5，把球的表面分成个小网格，连接球心和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成个“小锥体”． 当越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径．设是其中一个“小锥体”，它的体积是 由于球的体积就是这个“小锥体”的体积之和，而这个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．因此，球的体积 ． 由此，我们得到球的体积公式 例4 如图8.3-6，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比． 解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为． ，． 【变式】古希腊数学家阿基米德的墓碑，上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的内切球体积与圆柱体积比为定值，则该定值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】根据题意，分别计算出圆柱的体积和球的体积，进而可以得出它们的比为定值. 【详解】 设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以 . 故选：B 本节我们学习了柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算方法．在生产、生活中遇到的物体，往往形状比较复杂，但很多物体都可以看作是由这些简单几何体组合而成的，它们的表面积与体积可以利用这些简单几何体的表面积与体积来计算． 【感悟提升】　求圆柱、圆锥、圆台的体积问题，一是要牢记公式，然后观察空间图形的构成，是单一的旋转体，还是组合体；二是注意旋转体的构成，以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质，从而找出公式中需要的各个量，代入公式计算．　 7、 能力提升 题型一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 【练习1】大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、球的体积的有关计算、柱体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为，分别求出球的体积与表面积，圆柱的体积与表面积，从而得出答案. 【详解】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为 所以球的体积为, 表面积为. 圆柱的体积为：,所以其体积之比为： 圆柱的侧面积为：, 圆柱的表面积为： 所以其表面积之比为： 故选：C 【感悟提升】　圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解，基本步骤如下： (1)得到空间几何体的平面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各个平面图形的面积相加． 　题型二　圆柱、圆锥、圆台的体积 【练习2】如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念．何尊的形状可近似看作是由上部分圆台和下部分圆柱的组合体，组合体的高约为40cm，上口直径约为28cm，圆柱的底面直径约为18cm．取的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为1296cm2，则该组合体上部分圆台的体积约为（    ） A．6448cm3 B．6548cm3 C．5548cm3 D．5448cm3 【答案】A 【知识点】台体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】首先根据圆柱的侧面积公式求得其高为24cm，则得到圆台的高，利用圆台体积公式即可得到答案. 【详解】设圆柱的高为，则，则圆台的高为16cm， 设圆台上底面的面积为，下底面的面积为， 则 故选：A. 【感悟提升】　圆柱、圆锥、圆台的体积的解题策略 1.求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得， 2.其中高一般利用几何体的轴截面求得，圆锥、圆台的高是由母线、高、半径(半径的差)组成的直角三角形的边长列出方程并求解． 题型三　组合体的表面积与体积 【练习3】如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面.圆柱的母线长为6，底面半径为2.求该组合体的表面积与体积.    【答案】表面积为，体积为 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】先求圆柱的侧面积,圆锥的侧面积，圆柱的底面积相加即为几何体的表面积，体积为圆柱体积减去圆锥体积即可． 【详解】挖去的圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积等于.圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为， 所以组合体的表面积为. 体积为. 【感悟提升】　1.求组合体的表面积与体积的方法 (1)求解几何体的体积与表面积时还经常用割补法．补法是指把不规则的(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体． (2)解答本题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢． 2、关于组合体的表面积与体积问题的解题策略 (1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量． (2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积． (3)计算求值：根据设计的计算方法求值． 题型四：球的表面积与体积 【练习4】已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且圆锥侧面积为，则该圆锥的内切球体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥中截面的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】假设圆锥的底面半径为，由题意知圆锥的母线长为，根据圆锥侧面积为，可求出，再计算内切球的半径即可得到内切球的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为,因为圆锥的轴截面为等边三角形, 所以圆锥的母线长为 依题意：,解得. 设圆锥的内切球半径为,又圆锥的轴截面为等边三角形， 所以， 则内切球的体积. 故选：B. 球的体积与表面积的求法及其注意事项 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．　　 题型五：　与球有关的切接问题 【练习5】已知球的表面积为，则它的内接正方体的表面积S的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】根据球的表面积求出球的半径，然后根据正方体内接于球求解出棱长的平方，则正方体表面积可求. 【详解】设球的内接正方体的棱长为， 球的半径为， 因为，所以， 因为正方体内接于球，所以，所以，所以， 所以正方体的表面积 故选：B． 【点睛】结论点睛：已知正方体的棱长为，球的半径为， （1）当球内切于正方体时，； （2）当球外接于正方体时，； （3）当球与正方体的每条棱都相切时，. 与球有关的切接问题的一般处理方法 (1)正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1). (2)长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r2＝，如图(2). (3)正四面体的外接球 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.　　 8、 课堂总结 1．知识清单： (1)圆柱、圆锥、圆台的表面积． (2)圆柱、圆锥、圆台的体积． (3)球的表面积和体积． 2．方法归纳：公式法． 3．常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚． 图形 表面积公式 旋 转 体 圆柱 底面积：S底＝2πr2； 侧面积：S侧＝2πrl； 表面积：S＝2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝πr2； 侧面积：S侧＝πrl； 表面积：S＝πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2； 下底面面积：S下底＝πr2； 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)； 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 注意点： 在计算圆台的侧面积时，把其展开图看成梯形，上底为小圆的周长，下底为大圆的周长，高为母线长，利用梯形的面积公式求其侧面积． 9、 作业设计 教材第 119 页第 1,3 题 10、 板书设计 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 1、圆柱、圆锥、圆台表面积公式 例1 例2 2、圆柱、圆锥、圆台体积公式 例3 例4 3、球的表面积与体积公式 练习（第119页） 1．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径． 解：设圆锥的底面半径为，母线长为则由题意得 ① 又圆锥的侧面展开图为半圆，，即 ② 将②式代入①式得，，即． 故圆锥的底面直径为． 2．当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？ 解：设球的半径为时，其体积和表面积的数值相等．则，． 即球的半径时，其体积和表面积的数值相等． 3．将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积． 解：由题意知，球内切于正方体，，． ，即可制作的最大零件的体积为． 4．一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200 000cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球．如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？ 解：，水中球的体积， ，． 故水不会从水槽中溢出． 习题5.2（第119页） 1．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点，，，在同一个平面内．如果四边形是边长为的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？ 1．解：由题意，每个面都是边长为的正三角形， ， 即这个八面体的表面积是． 2．如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比． 解： 设长方体的三条棱长分别为，，，则 ， 剩下的几何体的体积 ， 所以棱雉的体积与剩下的几何体的体积之比为 3．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点．那么当底面水平放置时，水面高为多少？ 解：当三棱柱的侧面水平放置时，液体部分是四棱柱， 其高即为原三棱柱的高，侧棱长．设当底面水平放置时，液面高度为，由已知条件，知四棱柱与三棱柱的底面面积之比为，由于两种状态下液体体积相等，即，，∴当底面水平放置时，液面高为6． 4．如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 解：设圆锥底面半径为，圆柱底面半径为，则，． 又可知圆柱母线长，圆锥母线长． 剩下几何体的表面积． 剩下几何体的体积． 答：剩下几何体的表面积为，体积为 ． 5．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是cm，求球的体积． 解：正方体的棱长为cm，正方体的体对角线长为 球的半径 综合运用 6．如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是一个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）．为防止雨水的侵蚀，同时使烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？（结果精确到1cm2，可用计算工具）． 解： 由题意， 需贴瓷砖的部分为四棱柱与四棱台的侧面积． 四棱台的斜高 故需要瓷砖的面积为 ． 7．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.9×103kg/m3）六角螺母共重5.8kg．如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，这堆螺母大约有多少个？（可用计算工具，π取3.14） 解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即 所以螺帽的个数为 答：这堆螺帽大约有248个． 8．分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积之间有什么关系？ 解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为． 以边长为的直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，其体积为，记为．同理，以边长为的直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体也是圆锥，其体积为，记为．以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥组合而成的简单组合体，其体积为 ，记为．所以 ． 9．如下页图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积．（可用计算工具，尺寸如图，单位：cm，取3.14，结果取整数．） 9．解析：由三视图画出它的直观图如图所示 ，球的直径为，， ，，，． 四棱台的面上的斜高， 四棱台的面上的斜高， ，， ，， ， ∴奖杯的表面积， 奖杯的体积． 奖杯的表面积约为，体积约为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$