7.1.1 数系的扩充和复数的概念 （教学设计) -【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

7.1.1　数系的扩充和复数的概念 教学设计 1、 教学目标 1. 了解引入复数的必要性； 2. 理解复数的有关概念； 3. 掌握复数集与其他数集（实数集等）之间的集合关系； 4. 了解从实数系扩充到复数系的过程，培养类比、转化、特殊到一般等思想方法，提升数学抽象、逻辑推理素养. 2、 重点难点 教学重点：1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程; 2. 理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念; 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件. 教学难点： 1.复数概念的理解。 2.理解复数的分类，复数的代数表示. 3、 学情分析&教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第七章《复数》，本节课主要学习数系的扩充和复数的概念。 本节课数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程,同时是数学产生、发展的客观需求,复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。 《课标》将复数作为数系扩充的结果引入,体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化,这部分内容的学习,有助于学生体会理论产生与发展的过程,认识到数学产生和发展既有来自外部的动力,也有来自数学内部的动力,从面形成正确的数学观;有助于发展学生的全新意识和创新能力。 复数的内容是高中数学课程中的传统内容.对于复数,《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系;理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义:能进行复数代数形式的四则运算了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 4、 学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件． 5、 导入新知 我们知道，对于实系数一元二次方程，当时没有实数根．因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决．事实上，数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他们一直在回避．到16世纪，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，再也无法回避这个问题了，于是开始尝试解决．在解决这个问题的过程中，数学家们遇到了许多困扰，例如负实数到底能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？等等． 本章我们将体会数学家排除这些困扰的思想，通过解方程等具体问题，感受引入复数的必要性，了解从实数系到复数系的扩充过程和方法，研究复数的表示、 运算及其几何意义，体会“数”与“形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充中的作用． 在解决求判别式小于0的实系数一元二次方程根的问题时，一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有理数集扩充到实数集那样，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程变得可解呢？复数概念的引入与这种想法直接相关． 问题1：能否求出方程x2+2x+2=0的解？ 【预设答案】方程判别式小于0，没有实数解. 追问1：我们知道，像x2 +1=0 这些方程在实数集中是无解的，那能否类比从自然数集到实数集的扩充过程，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程有解？ 【预设答案】为了让x2=-1有解，引入一个“”，使得i2=-1,如此一来，x=i就是方程x2+1=0的解. 【设计意图】让学生类比从自然数集到实数集的扩充过程，自然地引导学生从解方程的角度出发探究数系的扩充，使“新数i”的添加变得水到渠成,积累研究数学问题的经验. 从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程有没有解，进而可以归结为方程有没有解． 想一想，这是为什么？ 探究 我们知道，方程在实数集中无解．联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每一次扩充都与实际需求密切相关．例如，为了解决正方形对角线的度量，以及这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集．数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 【数学史介绍】 （1）在1777年，欧拉在《微分公式》一文中首创了用“imaginary”（想象的、假想的）的首字母i作为虚数的单位，本意是这个数是虚幻的，规定了i2=-1. （2）莱昂哈德·欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，有一个以他名字命名的公式被誉为“上帝创造的公式”，那就是欧拉恒等式：. 《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式与麦克斯韦方程组一起并称为“史上最伟大的公式”. 物理大师费曼也盛赞这个公式为“数学最非凡的公式”. 【设计意图】介绍与虚数单位i有关的历史，强化学生对i的认识. 依照这种思想，为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数，使得是方程的解，即使得． 是数学家欧拉 (Le­onhard Euler， 1707—1783) 最早引入的， 它取自imaginary （想象的，假想的） －词的词头．． 思考 把新引进的数添加到实数集中，我们希望数和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律．那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？ 问题2：添加“新数”后，原来数集中规定的加减乘除运算法则和运算律在新数集中仍然成立，那么，把“新数i”添加到实数集中，组成的新数集包含哪些元素？ 追问2：能否写出一个形式，把刚刚的数都包含在内？ 【预设答案】a+bi(a,b∈R) 【设计意图】引导学生根据运算法则和运算律，抽象出复数的代数形式，培养学生数学抽象和逻辑推理等核心素养. 教师讲授： (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，规定i2=-1. (2)复数集 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． (3)复数的表示方法 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部． 问题3：复数z=a+bi（a，b∈R）是实数的充要条件是什么？z=a+bi=0的充要条件是什么？ 【预设答案】b=0；a=0,b=0. 教师讲授： 依照以上设想，把实数与相乘，结果记作；把实数与相加，结果记作．注意到所有实数以及都可以写成的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中． 我们把形如的数叫做复数(complex number)，其中叫做虚数单位(imaginary unit)． 全体复数所构成的集合叫做复数集(set of complex numbers)．这样，方程在复数集中就有解了． (4)复数相等的充要条件 规定：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， a＋bi与c＋di相等当且仅当a=c且b=d． 复数只能说相等或不相等，而只有当两个复数都是实数时才能比较大小，否则，不能比较大小. 复数通常用字母表示，即．以后不作特殊说明时，复数都有，其中的与分别叫做复数的实部(real part)与虚部(imaginary part)． 在复数集中任取两个数，，我们规定： 与相等当且仅当且． 对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时， 它是实数0；当时，它叫做虚数(imaginary number)；当且时，它叫做纯虚数． 例如，，，，都是虚数，它们的实部分别是3，，，0，虚部分别是2，，，，并且其中只有是纯虚数． 【设计意图】由特殊到一般，帮助学生理解复数相等的含义. 问题4：进一步地，你能对复数z=a+bi（a,b∈R）进行分类吗？ 【预设答案】 【设计意图】通过对复数进行分类，深化学生对于复数的认识. 思考： 复数集与实数集之间有什么关系？ 显然， 实数集是复数集的真子集，即． 这样，复数可以分类如下： 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图7.1-1表示． 问题5：我们已经将实数集扩充到了复数集，能否用韦恩图表示出数集N，Z，Q，R，C之间的关系？ 【设计意图】通过问题让学生理解复数集与以前学过的数集之间的关系，深化学生对复数集的理解，将新知与旧知联系起来，完善已有的知识结构. 6、 应用新知 例1 当实数取什么值时，复数是下列数？ （1） 实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 分析：因为，所以，都是实数．由复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定的取值． 解：（1）当，即时，复数是实数． （2）当，即时，复数是虚数． （3）当，且， 即时，复数是纯虚数． 【变式】实数取什么值时，复数是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）（2）（3）利用复数是实数、虚数、纯虚数的定义列式计算作答. 【详解】（1）复数是实数，则，解得， 所以当时，复数是实数. （2）复数是虚数，则，解得， 所以当时，复数是虚数. （3）复数是纯虚数，则，解得， 所以当时，复数是纯虚数. 复数分类问题方法技巧 1．复数a＋bi(a，b∈R)是零的充要条件是a＝0且b＝0. 2．复数a＋bi(a，b∈R)为实数的充要条件是b＝0. 3．复数a＋bi(a，b∈R)为虚数的充要条件是b≠0. 4．复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.　　 7、 能力提升 题型一　复数的有关概念 【练习1】是虚数单位，，，则是为纯虚数的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【知识点】复数的基本概念、判断命题的必要不充分条件 【分析】复数是纯虚数，则，利用直接法进行判断即可得解. 【详解】复数是纯虚数，则， “”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件． 故选：B. 与复数有关命题的判断方法 (1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． (2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．　　 （3）数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i与实数的运算及运算律仍成立． 题型二　复数的分类 【练习2】若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（    ） A．1 B．0 C．－ D．－1 【答案】D 【知识点】复数的相等、已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 【详解】设z＝bi，b∈R且b≠0，则＝bi，得到1＋i＝－ab＋bi， ∴1＝－ab，且1＝b，解得a＝－1. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算和纯虚数的概念. 复数分类问题的求解方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为a＋bi(a，b∈R)的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则： ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 题型三　复数相等的应用 【练习3】已知，为虚数单位，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】复数的相等 【分析】利用复数相等的知识列方程组，由此求得，进而求得. 【详解】由于， 所以. 故选：D 【感悟提升】　复数相等的充要条件 1. 复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数． 2. 解决复数相等问题的步骤是分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程(组)求解．　　 8、 课堂总结 1．知识清单： (1)数系的扩充． (2)复数的概念． 1　 复数的代数形式； 2　 复数的实部、虚部； 3　 虚数、纯虚数； 4　 复数的相等。 (3)复数的分类． (4)复数相等的充要条件． 2．方法归纳：方程思想． 3．常见误区：未化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式． 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 9、 作业设计 教科书7.1.1的练习第1，2，3题. 10、 板书设计 练习（第70页） 1．说出下列复数的实部和虚部：，，，，，0． 解：它们的实部和虚部分别是：；；；；；0，0． 2．指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．为什么？ ，，，0，，，，，． 解：实数有：，，0； 虚数有：，，，，，； 纯虚数有：，，． 3． 求满足下列条件的实数，的值： （1）；（2）． 解：（1）由复数相等得：，解得：； （2）由复数相等得：，解得：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$