6.4.3 (第3课时)余弦定理、正弦定理应用举例（教学设计）-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.4.3 第3课时余弦定理、正弦定理应用举例 教学设计 1、 教学目标 1.了解实际问题中常用的测量相关术语，能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题； 2.通过对余弦定理、正弦定理应用的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。 能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 2、 重点难点 教学重点：正弦定理、余弦定理在解决距离、高度、角度等实际问题中的应用． 教学难点：理解题意，从实际问题中抽象出三角形模型，并综合运用正弦定理、余弦定理解三角形． 3、 学情分析&教材分析 余弦定理与正弦定理是解决有关斜三角形问题的两个重要定理，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它们是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体应用，是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，也因此成为高考的必考内容之一，主要以选择题和解答题形式出现.因此，余弦定理的知识非常重要. 本节所涉及的核心素养有：数学抽象、逻辑推理、数学运算等. 学情分析 本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识等有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识.在此基础上利用向量方法探求余弦定理、正弦定理，进而学习余弦、正弦定理的应用，学生已有一定的学习基础 4、 学习目标 1.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式. 2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用. 3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用． 5、 导入新知 中国有一个传统节日——中秋节.中秋节的夜晚一般明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想.同学们想到了什么呢？有同学想到了月饼，有同学想到了嫦娥.很好.嫦娥奔月的神话故事想必大家都耳熟能详了.嫦娥偷吃丈夫后羿从西王母那里讨来的不死药之后，飘飘然就飞起来了，因想念后羿就停在了离地球最近的月宫.这里有一个问题：那遥不可及的月宫离地球究竟有多远呢？ 早在1752年，两个法国天文学家就测出了地球与月亮之间的距离大约为385400km.他们是怎样测出两者之间的距离呢？带着这一系列的问题，我们进入今天的数学学习. 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量． 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案．下面我们通过几道例题来说明这种情况．需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件． 事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案． 例9 如图6.4-12，，两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量，两点间距离的方法，并求出，间的距离． 分析：若测量者在，两点的对岸取定一点 (称作测量基点)，则在点处只能测出的大小，因而无法解决问题．为此，可以再取一点，测出线段的长，以及，，，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了． 解： 如图6.4-13，在，两点的对岸选定两点，，测得，并且在，两点分别测得，，，． 在和中，由正弦定理， 得， 于是，在中，由余弦定理可得，两点间的距离 【变式】如图，某工程队将从A 到D 修建一条隧道，工程队从A 出发向正东行 到达B，然后从B向南偏西方向行了一段距离到达C，再从C 向北偏西方向行了到达D. 已知C在A 南偏东方向上，则A 到D 修建隧道的距离为（    ）km. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】由题意，在△ABC中，由正弦定理得，在△ACD中，由余弦定理求得． 【详解】连接AC， 可得， ，， 在中，由正弦定理得， 即，则， 在中，由余弦定理得， 则． 故选：C． 【感悟提升】　求距离问题的注意事项 (1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 思考 在上述测量方案下，还有其他计算，两点间距离的方法吗? 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线，如例9中的．为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高，如图6. 4-14，早在1671年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上的柏林(点)与好望角(点)为基点，测量出，的大小，并计算出两地之间的距离，进而算出了地球与月球之间的距离约为385 400 km．我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴．当然，随着科学技术的发展，人们会不断发现更加先进的测量距离的方法． 6、 应用新知 下面看一个测量高度的问题． 例10 如图6.4-15，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度的方法，并求出建筑物的高度． 分析：由锐角三角函数知识可知，只要获得一点 (点到地面的距离可求)到建筑物的顶部的距离，并测出由点观察的仰角，就可以计算出建筑物的高度．为此，应再选取一点，构造另一个含有的，并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方法计算出． 解：如图6.4-15，选择一条水平基线，使，，三点在同一条直线上．在，两点用测角仪器测得的仰角分别是，， ，测角仪器的高是．那么，在中，由正弦定理，得 ． 所以，这座建筑物的高度为． 【变式】 碧津塔是著名景点·某同学为了测量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（    ） A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再结合直角三角形边角关系求解即得. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得，则， 在中，，则， 在中，，则，又， 因此，， 所以碧津塔高约为38.23米. 故选：B 在实际操作时，使，，三点共线不是一件容易的事情，你有什么替代方案吗？ 【感悟提升】　测量高度问题的一般步骤 下面再来看一个测量角度的问题． 例11 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距7n mile的C处的乙船．那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到)?需要航行的距离是多少海里(精确到1 n mile)? 分析：首先应根据“正东方向”“南偏西”“目标方向线”等信息，画出示意图． 由于题目中没有给出图形，因此正确理解题意、画出示意图，是解决问题的重要环节． 解：根据题意，画出示意图(图6.4-16)．由余弦定理，得 ． 于是．由正弦定理，得，于是． 由于，所以． 因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东，大约需要航行． 【变式】某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇. 【答案】(1)海里/时 (2)航行方向为北偏东，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇 【知识点】角度测量问题、距离测量问题、余弦定理解三角形、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据小艇与轮船的方位关系，应用余弦定理确定小艇航行的距离与航行的时间的函数关系，进而求小艇的航行距离最小时小艇航行速度； （2）由余弦定理得，结合题设列不等式求小艇最快方式与轮船相遇时所用的时间，进而设计航行方案. 【详解】（1）设相遇时小艇航行的距离为海里，则 ， 当时，（海里），此时（海里/时）. ∴小艇以海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. （2）设小艇与轮船在处相遇，则， 故，又， ∴，即，解得. 又时，海里/时，即海里/时时，取得最小值为. 此时，在△中，有海里， 故可设计航行方案：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇. 【感悟提升】　测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 7、 能力提升 题型一、三角形面积公式 【练习1】在△ABC中，点D为边AB上一点，若，则△ABC的面积是 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何图形中的计算 【分析】先用余弦定理求出CD，进而求AB，BC，再根据三角形面积公式即得． 【详解】由题在中，，， ， 代入可得，舍掉负根有.. .于是根据三角形面积公式有： .故选A. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于中档题. 反思感悟　求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用． 知识点一　三角形的面积公式 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为 (1)S＝absinC＝bcsinA＝acsinB； (2)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc表示a，b，c边上的高)． 知识点二　△ABC中的常用结论 (1)A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC； (2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sinA>sinB； (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． [提示]　三角形的其他面积公式 (1)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r为△ABC内切圆的半径，l为△ABC的周长． (2)S△ABC＝a2，S△ABC＝b2· ，S△ABC＝c2. (3)S△ABC＝2R2sinAsinBsinC＝，其中R为△ABC外接圆的半径． (4)海伦公式：S△ABC＝，其中p＝(a＋b＋c)． (5)S△ABC＝，其中b＝，a＝. (6)S△ABC＝|a1b2－a2b1|，其中＝(a1，a2)，＝(b1，b2)． 题型二、余弦、正弦定理在平面几何中的应用 【练习2】如图，在中，，点在边上，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中的计算 【分析】在中，由余弦定理求得，在中，利用正弦定理求得BD，则可得CD. 【详解】在中，由余弦定理可得. 又，故为直角三角形，故. 因为，且为锐角，故. 由 利用正弦定理可得，代值可得， 故. 故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦定理以及余弦定理解三角形，属于综合基础题. 【感悟提升】　与几何图形有关的解三角形问题的思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理求解． (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． （3）在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角． 题型三、余弦、正弦定理与三角函数的综合应用 【练习3】已知的内角所对的边分别为，满足. (1)若，求角； (2)若，试判断的形状. 【答案】(1) (2)为正三角形 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】（1）根据三角函数的余弦定理公式得到，结合题干中的 公式可得，进而可求. (2)由正弦定理得到，化简后得到，结合第一问得到为正三角形. （1） 由余弦定理知：， ∴， ∵，∴. （2） ， 由正弦定理：， 而，∴ ， 即，而， ∴，∴，∵，∴， 又由（1）知，∵及，∴，从而， 因此为正三角形. 反思感悟 常见的综合问题有：正弦定理和余弦定理与平面向量、三角函数、三角恒等变换的综合交汇问题． 余弦定理、正弦定理与三角函数的交汇问题，其考查核心是三角函数的有关知识，因此应以余弦定理、正弦定理为工具，将问题转化为三角函数问题．其中涉及平面向量问题，应充分利用向量的几何特征，将向量问题转化为三角形的问题． 正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式： 一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值； 二是利用三角函数的性质，一般把求边的范围转化成求角的范围，解与三角形有关的问题． 　 应用余弦定理、正弦定理解决三角形的综合问题的关键是充分应用余弦定理、正弦定理中的边角关系可以相互转化这一功能． 题型四、测量角度问题 【练习4】瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布中》写道：日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺，疑是银河落九天.为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿山道继续走20，测得瀑布顶端的仰角为.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为.根据这位同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 ；若第二次测量后，继续行进的山道有坡度，坡角大小为，且两段山道位于同一平面内，若继续沿山道行进，则该同学望向瀑布顶端与底端的视角正切值为 .（此人身高忽略不计） 【答案】 60 3 【知识点】高度测量问题、角度测量问题 【分析】根据题意画出图形，设高度为，则可表示出，在中利用余弦 定理即可求出的值；由已知数据易知，则，则可得到 ，再由两角和的正切公式计算出结果. 【详解】如图，设瀑布顶端为，底端为，高为， 该同学第一次测量的位置为，第二次测量的位置为， 则，, 所以， 在中由余弦定理可知： 即， 解得：; 如图，两段山道为,过作于点， 由题意知：，， 所以， 在中，即， 所以， 所以， 所以， 又， 所以， ， 所以. 故答案为：60；3. 测量角度问题画示意图的基本步骤 　　 题型五、测量高度问题 【练习5】如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（    ） A．5m B．15m C．5m D．15m 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】在中，由正弦定理，求得，再在中，即求. 【详解】在△BCD中，， 由正弦定理得， 解得(m）， 在Rt△ABC中，(m). 故选：D 测量高度的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠ACB＝C，AB＝a·tan C 底 部 不 可 达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数． 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 题型六、测量距离问题 【练习6】设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（    ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】距离测量问题 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】 由正弦定理可知 ， 故选：B 【感悟提升】　三角形中与距离有关问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解． (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决． 测量距离的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再利用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 8、 课堂总结 1．知识清单： (1)三角形的面积公式． (2)利用余弦、正弦定理解决平面几何问题． (3)余弦、正弦定理与三角函数的综合应用． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：利用余弦、正弦定理求值时会出现增根，易忽略检验． 9、 作业设计 教材第 51，52 页练习第 1，3题. 10、 板书设计 第 3 课时 余弦定理、正弦定理应用举例 三、测量高度 五、归纳总结 一、情境引入 例 2 六、课后作业 二、测量距离 仰角、俯角 例 1 四、测量角度 在测量过程中,我们根据测量的需要而确定 例 3 的线段叫做基线 方位角、方向角 练习（第51页） 1．如图，一艘船向正北航行，航行速度的大小为，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上．已知距离此灯塔以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？ 1．解析：在中，， 根据正弦定理，得， 所以． 因此，到直线的距离 因为，所以这艘船可以继续沿正北方向航行． 2．如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走，到达处，在处测得山顶的仰角为．求证：山高． 2．解析：在中，，． 在中，根据正弦定理，得，所以． 所以，山高． 3．如图，一艘海轮从出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛，然后从出发，沿北偏东32°的方向航行后到达海岛．如果下次航行直接从出发到达，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少? (角度精确到，距离精确到) 3．解析：在中，．根据余弦定理，得 ． 根据正弦定理，得， 于是．所以，． 所以，此船应该沿北偏东约的方向航行，需要航行大约． 习题6.4（第52页） 1．若非零向量与满足，且， 则为（ ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 1．答案：D 解析：已知非零向量与满足，即角的平分线垂直于，所以．又 故．因此为等边三角形． 2．已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（ ） A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 备注：垂心是三角形三条高所在直线的交点． 2．答案：C 解析：由，知为的外心，由， 知为的重心． 因为，所以， 即，故， 同理，．所以为的垂心，因此选C． 3．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角． 3．证明：如图，为圆的直径．设圆的半径为，则 ． ．即直径所对的圆周角是直角． 4．两个粒子， 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为， （1）写出此时粒子相对粒子的位移； （2）计算在上的投影向量． 4． （1） （2）设向量与的夹角为，则，与方向相同的单位向量为， 则， 在上的投影向量为． 5．一个人在静水中游泳时，速度的大小为．当他在水流速度的大小为的河中游泳时， （1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进(角度精确到)？实际前进速度的大小为多少？ （2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进(角度精确到)？实际前进速度的大小为多少？ 5．解析：（1）实际前进速度大小为，沿与水流方向成的方向前进． （2）实际前进的速度的大小为． 设此人游泳的方向和与水流垂直的方向的夹角为，则，．所以此人游泳的方向与水流方向的夹角约为时，才能沿与水流垂直的方向前进． 6．在中，分别根据下列条件解三角形(角度精确到，边长精确到)： （1）， ，； （2），，． 6．解析：（1），． 又由正弦定理，，得，． ． （2），， ，，． 7．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形(角度精确到，边长精确到)： （1），，； （2），，． 7．解析：（1），由正弦定理，， 得，． （2）由正弦定理，，得，或， 当时，， 由正弦定理，，得． 当时，， 由正弦定理，，得． 8．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，求塔高． 8．解析：在中，．由正弦定理，得， 所以，因此，在中，． 9．在气象台正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响? 如果会，大约多长时间后受到影响?持续时间有多长(精确到1 min)? 9．解析：以气象台为坐标原点，正东方向为轴正方向，建立直角坐标系，现在台风中心的坐标为 ，设小时后台风中心移到，则的坐标为， 即． 因为以台风中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将受台风影响，所以，即 ，整理得， 解得 ，即， 故大约2小时后气象台所在地将遭受台风影响，大约持续6小时37分钟． 10．你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗? 10．如图，过点作，垂足为，则． ． 同理可得，． 由此得任意三角形的面积． 这是由SAS求三角形面积的公式． 11．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点 沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标． 11．解析：设，则． 将绕点沿顺时针方向旋转到，相当于沿逆时针方向旋转到，于是 ， 所以，解得．因此点的坐标是． 12．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，求的余弦值． 12．解析：解法一：设，，则与的夹角为，，因为，分别是中，边上中线，所以，． 于是，所以 同理，， ，所以． 解法二：以为原点建立如图所示平面直角坐标系，则， ，，． 13．一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小．此时我们分三种情况讨论： （1）当船逆流行驶，与水流成钝角时； （2）当船顺流行驶，与水流成锐角时； （3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时． 请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短． 13．解析：设与的夹角为，合速度为，与的夹角为，行驶距离为，时间为， 则，于是．因此． 所以当，即船垂直于对岸行驶时，所用时间最短． 14．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东． 一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸 (与河的方向垂直)的正西方向并且与相距m的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小． 14．解析：设水流的速度，小货船的航行速度为与，它们的合速度为，航行时间为． 如图，，，，此时小货船航程最短，在中，，所以，即合速度的方向是北偏西． 由得，注意到，即与的夹角为，所以，因此． 即小货船的航行速度的大小为． 15．的三边分别为，，，边，，上的中线分别记为，，利用余弦定理证明： ， ， ． 15．解析：在中，，在中，， ，． 同理， ， ． 16． 在中，求证： 16．解析：由余弦定理的推论，得， ． 17．证明：设三角形的外接圆的半径是，则，， 17．解析：如图（1），当是直角三角形，时，的外接圆的圆心在的斜边上．在中，，即，，所以，． 又，所以，，． 如图（2）， 当是锐角三角形时，它的外接圆的圆心在内，作过点，的直径，连接，则是直角三角形，，． 在中，，即，所以． 同理，，． 如图(3)， 当是钝角三角形时，不妨设为钝角，它的外接圆的圆心在外．作过点， 的直径，连接．则是直角三角形，，．在中，，即，即． 类似可证，，． 综上，对任意三角形，如果它的外接圆半径等于，那么，， 18．利用第10题的结论，证明三角形的面积公式 18．解析：由正弦定理，得所以，代人三角形面积公式，得 ． 19．如图，在平行四边形中，点，分别是，边的中点，，分别与交于，两点，你能发现，，之间的关系吗？用向量方法证明你的结论． 19．解析：由于，是对角线上的两点，要判断，，之间的关系，只需分别判断，，与的关系即可， 设，，，则． 由与共线，得．又，由与共线，得． 因为，所以，因此，即 ，由于向量，不共线，要使上式为，必须， 解得．所以， 同理可得．于是．所以． 20．已知的三个角，，的对边分别为，，，设，求证： （1）三角形的面积； （2）若为三角形的内切圆半径，则 （3）把边，，上的高分别记为，，则 ， ， ． 20．解析：（1） （2）三角形的面积与三角形内切圆半径之间有关系． 所以 （3）根据三角形面积公式．，所以 同理， ． 21．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．请设计一个测量方案，包括： （1）指出要测量的数据(用字母表示，并标示在图中)； （2）用文字和公式写出计算，间的距离的步骤． 21．解法1：如图，测量下列数据：由点观测点，的俯角为，；由点观测，的俯角为，；，的距离为． 第一步，在中，计算，由正弦定理，得； 第二步，在中，计算，由正弦定理，得； 第三步，在中，计算，由余弦定理，得． 解法2：如图，测量下列数据：由点观测点，的俯角为 ，；由点观测，的俯角为，；，的距离为． 第一步，在中，计算，由正弦定理，得； 第二步，在中，计算，由正弦定理，得； 第三步，在中，计算，由余弦定理，得． 22．已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，则的面积为，求，． 22．解析：（1）根据正弦定理，条件式即为，也即 ， 所以． 整理，得，即．又， ， ． （2）由，，得． 由余弦定理，得，所以． 由，解得． 23．根据实际需要，利用本节所学的知识完成一次有关测量的实习作业，并写出实习报告(包括测量问题、测量工具、测得数据和计算过程及结论)． 23．略 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$