6.4.3 (第2课时)正弦定理（教学设计) -【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.4.3　第2课时　正弦定理 教学设计 1、 教学目标 1. 掌握正弦定理的概念与公式，理解正弦定理的推导过程，学会正弦定理在实际生活中的应用； 2. 通过观察，讨论，概括总结等活动，提高推理论证、运算求解等能力，感受数形结合等数学思想，培养数学抽象，空间想象，数学运算等数学学科核心素养。 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理． 2、 重点难点 教学重点： 1.用向量的方法推导正弦定理.2.用正弦定理解三角形． 教学难点： 正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用． 3、 学情分析&教材分析 余弦定理与正弦定理是解决有关斜三角形问题的两个重要定理，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它们是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体应用，是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，也因此成为高考的必考内容之一，主要以选择题和解答题形式出现.因此，余弦定理的知识非常重要. 本节所涉及的核心素养有：数学抽象、逻辑推理、数学运算等. 学情分析 本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识等有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识.在此基础上利用向量方法探求余弦定理、正弦定理，进而学习余弦、正弦定理的应用，学生已有一定的学习基础 4、 学习目标 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理，用向量的方法推导正弦定理. 3.能利用正弦定理解三角形； 4.正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用． 5、 导入新知 1.创设情境，引发思考 【实际情境】小明的家坐落在河岸的一侧A处，河的对岸B处有一座电视塔，现在小明想测量他的家与电视塔的距离。但是他没有办法渡河，他的手边只有测角仪与皮尺，那么他有办法利用手边的工具测得A与B之间的距离么？ 问题1：（1）在测量之前应该借助什么图形来研究？（2）在上一堂课中学习的余弦定理是否可以应用在解决此类问题？（3）在构造出的三角形中，哪些条件是已知条件？ 【预设的答案】三角形；不能；AC边长，角A与角C是已知的。 【设计意图】利用求河的两岸两点距离这一实例以及复习余弦定理，让学生感受余弦定理的局限性以及引入新的定理的必要性，同时调动学生学习的兴趣。 2.探究典例，形成概念 问题2：在初中阶段，怎样描述三角形中角与对边的关系？如何用符号语言表示？可以在直角三角形中加以证明么？ 探究 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式．如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢? 在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论．实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系．从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为： 在中，设的对边为，的对边为，求，，，之间的定量关系．如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在中，已知，，，求”的问题． 我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手．根据锐角三角函数，在中(如图6.4-9)，有 显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立．观察发现， 它们有一个共同元素，利用它把两个式子联系起来，可得 又因为， 所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式， 即 【活动预设】回顾初中阶段的知识“大边对大角，小边对小角”，并利用直角三角形初步得出的结论。 【设计意图】通过回顾初中的知识引出正弦定理，初步了解正弦定理的含义。 问题3：此结论在一般的三角形中仍适用么？可以用什么方法进行证明？ 对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立? 【活动预设】 （1） 利用定义法，通过作垂线将锐角三角形分解为两个直角三角形； （2） 利用向量法，通过作垂直的单位向量构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系； （3） 利用外接圆法，通过同一弦对应角的大小相同的关系，得出的结论。 【设计意图】运用不同方法进行正弦定理的证明，拓宽思路，同时明了正弦定理与外接圆的关系。 因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究． 我们希望获得中的边，，与它们所对角，，的正弦之间的关系式，在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究． 思考 向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦．如何实现转化? 由诱导公式可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系． 下面先研究锐角三角形的情形． 如图6.4-10，在锐角中，过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与 的夹角为． 因为，所以 由分配律，得 即 也即，所以 同理，过点作与垂直的单位向量，可得 因此 当是钝角三角形时，不妨设为钝角(如图6. 4-11)． 过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与 的夹角为． 仿照上述方法，同样可得． 综上，我们得到下面的定理： 正弦定理(law of sines)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即． 这个公式表达形式的统一性、对称性，不仅使结果更和谐优美，而且更突显了三角形边角关系的本质． 问题4：如何用文字语言与符号语言描述正弦定理？ 【教师讲授】符号语言：；文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 追问：正弦定理有哪些变形呢？ 【教师讲授】 【设计意图】在探究特例的基础上，遵循从特殊到一般的思路，形成正弦定理的概念，并了解正弦定理的变形。 正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系．利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题． 以上我们利用向量方法获得了正弦定理、余弦定理事实上，探索和证明这两个定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加简洁你还能想到其他方法吗? 问题5：回顾问题1中的题目，假设测得AC=20m，角A为60度，角C为45度，如何利用正弦定理求AB之间的距离? 【预设答案】根据角B与AC的长度列出等式即可。 【设计意图】回归情景导入问题，通过新授知识解决问题，感受正弦定理在实际生活中的应用。 如图，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600 m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA的距离，如果船上有测角仪，我们能否计算出A，B的距离？ 问题6：余弦定理适用于解决已知三边求三角等问题，那么正弦定理适用于哪些类型的解三角形问题？ [点拨]　(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立； (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对的角的正弦； (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与所对角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系． 【预设答案】已知两边与其中一个边的对角；已知两角与一边等问题。 【设计意图】通过类比余弦定理，得到正弦定理的适用范围，方便进行区分。 6、 应用新知 例7 在中， 已知，，，解这个三角形． 解：由三角形内角和定理，得 由正弦定理，得 【变式】在中，若，，，则（    ） A．5 B． C． D．3 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】使用正弦定理求解即可． 【详解】由正弦定理得：，即， 故，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了正弦定理得使用，正确代入相关数值进行计算是关键． 例8 在中， 已知，，，解这个三角形． 分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理． 解：由正弦定理，得 因为， 所以 于是 或 为什么角有两个值？ （1）当时， 此时 （2）当时， 此时 由三角函数的性质可知，在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解． 【变式】在三角形中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由得，再由正弦定理计算即可. 【详解】由题意，, 因为，所以, 由正弦定理得, 即， 因为, 所以或. 故选：C. 【设计意图】加深对正弦定理的理解，了解正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：既可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；也可以化角为边，转化为代数问题来解决，同时学会将正弦定理与余弦定理的结合运用。 7、 能力提升 题型一、已知两边及其中一边的对角解三角形 【练习1】中，角所对的边分别为.若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形 【分析】先利用正弦定理求出，再利用同角三角函数的关系求出 【详解】因为，， 所以由正弦定理得，， 得， 因为，所以角为锐角， 所以， 故选：C 【感悟提升】　已知两边及一边的对角解三角形的方法 (1)首先用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角． (2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角(唯一)． (3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论． 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值． 题型二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 【练习2】在中，角，，所对的边分别为，，．且，（其中． （1）若时，判断为的形状． （2）若，且，求的值． .【答案】（1）直角三角形；（2）. 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由已知利用正弦定理得，利用三角函数恒等变换的应用可求，进而可求的值，利用三角形的内角和定理求得，即可判断三角形的形状． （2）由平面向量数量积的运算可求，结合，由余弦定理可解得的值． 【详解】解：（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 因为， 所以，， 所以，则， 从而或， 所以，或． 若，则，为直角三角形； （2）若，则， 所以． 又，由余弦定理知， 即，即， 故，，，即． 【感悟提升】　判断三角形形状的方法 (1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断． (2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． (3)判断三角形的形状，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别． 题型三、正弦、余弦定理的综合应用 【练习3】在中，，，________，求边上的高.从①②③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】答案见详解. 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【解析】选择①，利用正弦定理求出，再利用余弦定理即可求解；选择②：利用余弦定理求出即可求解；选择③：利用三角形的面积公式可得，再利用余弦定理即可求解. 【详解】选择①： 在中，由正弦定理， 得，所以， 由余弦定理， 得， ，解得， 边上的高. 选择②：在中，由，得， 由余弦定理， 得， 化简，解得， 边上的高. 选择③： 在中，由， 得，所以， 由余弦定理， 得， ， 解得， 所以或， 边上的高. 【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 反思感悟　利用正弦、余弦定理解三角形的注意点 正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键． 题型四、有关三角形面积的计算 【练习4】在中，，，，则的面积为（    ） A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】根据平方关系求出，再由面积公式计算可得. 【详解】，，， 又，， ． 故选：C． 三角形面积计算的依据和解题策略 (1)依据：一般用公式S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B进行求解； (2)解题策略：①若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积；②若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．　　 题型五、已知两角及一边解三角形 【练习5】记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】先求得，再由正弦定理求解即可. 【详解】由，，可得，由正弦定理可得，即. 故选：D. 【感悟提升】　已知两角及一边解三角形的基本思路 (1)当所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边． (2)当所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． 注意：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的转化，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解． 8、 课堂总结 1．知识清单： (1)正弦定理． (2)利用正弦定理解三角形． (3)三角形解的个数的判断． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论． 9、 作业设计 教材第48页第1，2，3题 10、 板书设计 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 第2课时正弦定理 一、情境引入 二、概念形成 三、概念深化 正弦定理 正弦定理可以解决的三角形的类型： ①已知两角一边； ②已知两边及其中一边的对角 四、例题剖析 例1 例2 五、总结提升 六、作业设计 练习（第48页） 1．完成下列解三角形问题(角度精确到，边长精确到)： （1）在中，已知，，； （2）在中，已知，，． 1．解析：（1），由正弦定理， 可得，． （2）由正弦定理，得，或， 当时，，由，得． 当时，，由，得． 2．（1）在中，已知，，，求和； （2）在中，已知，， ，求． 2．解析：（1）由正弦定理，得，因为，所以，于是．所以． （2）． 由正弦定理，得． 3．在中，已知，，，求，． 3．解析：因为，所以，于是． 又，所以，于是， 因此． $$