6.4.3 (第1课时)余弦定理（教学设计) -【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.4.3 第1课时 余弦定理 教学设计 1、 教学目标 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理； 2.掌握余弦定理的几种变形公式及应用； 3.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题. 4.能用余弦定理解决简单的实际问题． 2、 重点难点 教学重点： 1.探究和证明余弦定理的过程. 2.用余弦定理求解三角形的边、角． 教学难点： 1.利用向量法证明余弦定理的思路. 2.对余弦定理的熟练应用，会利用公式解三角形. 3、 学情分析&教材分析 余弦定理与正弦定理是解决有关斜三角形问题的两个重要定理，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它们是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体应用，是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，也因此成为高考的必考内容之一，主要以选择题和解答题形式出现.因此，余弦定理的知识非常重要. 本节所涉及的核心素养有：数学抽象、逻辑推理、数学运算等. 学情分析 本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识等有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识.在此基础上利用向量方法探求余弦定理、正弦定理，进而学习余弦、正弦定理的应用，学生已有一定的学习基础 4、 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 3.掌握余弦定理的几种变形公式及应用； 4.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题. 5、 导入新知 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系．例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系．对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS， SAS， ASA， AAS等判定三角形全等的方法．这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的．那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系? 下面我们利用向量方法研究这个问题． 1．余弦定理 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的．也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示．那么，表示的公式是什么? 探究 在中，三个角，，所对的边分别是，，，怎样用，和表示? 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究． 如图6.4-8，设， ，，那么 ① 我们的研究目标是用，和表示，联想到数量积的性质，可以考虑用向量（即）与其自身作数量积运算． 由①得． 所以 同理可得 于是，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理： 余弦定理(law of cosines)三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即 利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边． 思考 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢? 由余弦定理，可以得到如下推论： 余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画． 利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角．从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式． 思考 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗? 如果中有一个角是直角，例如，，这时．由余弦定理可得，这就是勾股定理．由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例． 一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形(solving triangles)． 6、 应用新知 例5 在中，已知，，，解这个三角形(角度精确到，边长精确到)． 解：由余弦定理，得 所以 由余弦定理的推论，得 ， 利用计算器，可得． 所以． 【变式】已知的内角所对的边分别为，则边长（    ） A． B． C．或 D．4或 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理列式计算，即可求得答案. 【详解】由中，， 可得，即， 即，解得或， 经验证或适合题意， 故选：C 【感悟提升】　 1.已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角． (2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长． 2. 解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤 (1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．　 例6 在中，，，锐角满足，求（精确到）． 分析：由条件可求，再利用余弦定理及其推论可求出的值． 解：因为，且为锐角，所以． 由余弦定理，得 所以． 进而．利用计算器，可得． 【变式】在中，若，则最大角的余弦是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】运用余弦定理求出，再根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 因此， 故选：C 反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边． 7、 能力提升 题型一、已知两边及一角解三角形 【练习1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】先求得B的余弦值，再根据余弦定理可求得b的值. 【详解】，∴， ∴. 故选：A. 【感悟提升】　已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角． (2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长． 题型二、已知三边解三角形 【练习2】在中，已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理求出的余弦值，从而可求其大小. 【详解】由余弦定理可得， 而为三角形内角，故， 故选：C. 反思感悟　已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角． 利用余弦定理求角的基本步骤 　　 【感悟提升】　已知三边(三边关系)求解三角形的方法 (1)已知三角形的三边求角时，可利用余弦定理的推论求解出各角的大小． (2)若已知三角形的三边关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质转化为已知三边求解． 注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角． 题型三、利用余弦定理判断三角形形状 【练习3】在中，内角所对的边分别为，若，则一定是（    ） A． 直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用余弦定理得到，即可得到，从而得解. 【详解】因为，又由余弦定理得， 所以，即，即， 所以， 所以为等腰三角形. 故选：C 【感悟提升】　利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． (3)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2； ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2； ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 8、 课堂总结 1．知识清单： (1)余弦定理． (2)余弦定理解决的两类问题． (3)余弦定理的简单应用． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：易忽略三角形中的隐含条件． 9、 作业设计 教材第44页练习第1〜3题. 练习（第44页） 1．（1）在中，已知，，，解这个三角形(角度精确到，边长精确到)； （2）在中，已知，， ，求． 1．解析：（1）， ．，， ． （2）由余弦定理得，． 2．在中，已知，，，解这个三角形． 2．解析：根据余弦定理的推论，得 ，所以． ，所以．因此． 3．在中，已知，，锐角满足，求 (精确到)． 3．解析：因为，且为锐角，所以，由余弦定理，得，所以，所以，利用计算器可得． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$