6.4.1 平面几何中的向量方法 （教学设计) -【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.4.1平面几何中的向量方法 教学设计 1、 教学目标 1.能用向量方法解决简单的平面几何问题； 2.体会向量在解决数学问题中的作用； 3.培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养. 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 2、 重点难点 教学重点：1.用向量方法解决几何问题的基本方法； 2.向量在平面几何及物理学中的实际应用. 教学难点：1.将几何问题转化为平面向量问题. 2.如何将几何问题、物理中的实际问题化归为向量问题.案例 3、 学情分析&教材分析 向量集“数”与“形”于一身,既有代数的抽象性又有几何的直观性,用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合,因而向量是几何研究的一个有效工具.向量与物理学天然相关联,向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰. 本节所涉及的核心素养有:数学运算、逻辑推理、直观想象等. 运用向量知识解决几何问题与物理中的实际问题,需要有一定的知识迁移、语言转换能力,而目前学生的应用意识和应用能力还比较弱.而在思维层面上,学生往往没有想到平面几何与向量之间的密切联系,或是不善于将几何实际问题、物理中的实际问题转化为向量问题来解决，这些都对学生的学习造成了一定的困难,学生学起来没那么容易. 4、 学习目标 1.通过解决平面几何问题的过程,使学生理解。平面几何与向量之间存在着密切的联系,提升学生的逻辑推理、直观想象素养. 2.通过运用向量的有关知识(向量加、减法与向量数量积的运算法则等)解决简单的物理问题的过程,提升学生的逻辑推理和数学运算素养. 3.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 5、 导入新知 1.向量方法解决几何问题的思路形成 1.1创设情境，引发思考 【数学情境】由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决. 问题1：平面几何问题与平面向量之间的对应关系如何？完成下表. 几何元素及其表示 向量及其运算 平行 垂直 长度 夹角 【预设的答案】 几何元素及其表示 向量及其运算 平行 直线 垂直 直线 长度 的长度 夹角 【设计意图】从向量的线性运算和数量积运算具有的几何背景出发，建立平面几何元素与平面向量之间的对应关系. 【数学情境】如图，是的中位线，用向量方法证明：. 【设计意图】创设数学情境，通过线段（直线）平行与向量共线关系的实例，让学生感受在数学学习中，利用平面向量研究平面几何中平行关系这一类问题. 问题2：如果两个向量共线，那么向量所在直线的位置关系是怎样的？如何利用平面向量证明线段（直线）平行？ 【活动预设】启发学生初步感知用平面向量表示几何图形中的元素，并借助向量运算研究图形中的几何元素之间的关系. 1.2探究典例，形成思路 活动：用向量方法证明：. 【活动预设】感受在证明的过程中，如果直接建立两个所求向量之间的关系不好表示，那么需要考虑联系这两个向量的桥梁：基底！因此可以选取一组基底，用分别表示,就建立了二者的关系，从而证明. 【设计意图】让学生感受利用向量解决平面几何问题的思路，用基底法表示所求向量是向量表示的一种方法. 1.3具体感知，理性分析 问题3：如何用向量方法证明三点共线呢？ 【活动预设】 （1）向量共线与线段平行、重合的关系是什么？ （2）类比：向量共线证明线段平行的方法，先证，再说明没有公共点. 【设计意图】从引例中的具体问题入手，进一步让学生体会用向量运算研究图形中的几何元素之间的关系. 问题4：用向量方法解决平面几何问题的基本思路和步骤是什么？ 【预设的答案】几何图形到向量恰当的向量运算向量到几何关系 【设计意图】 在数学实践活动中归纳总结用向量方法解决平面几何问题的基本思路. 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决．下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用． 有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标． 6、 应用新知 例1如图6.4-1，是的中位线，用向量方法证明：， 分析：我们在初中证明过这个结论，证明中要加辅助线，有一定难度．如果用向量方法证明这个结论，可以取为基底，用，表示，，证明即可． 证明：如图6.4-2，因为是的中位线，所以，， 从而， 又，所以．于是，． 平面几何经常涉及距离(线段长度)和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 【变式】在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】由已知平方可得，得出可判断. 【详解】，， 则， ，，则△ABC为直角三角形. 故选：B. 例2如图6.4-3，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗? 分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系． 解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 如图6.4-4，取为基底，设，，则，． 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： ，． 上面两式相加，得． 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：． 你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？ 【变式】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误. 【详解】，即A不正确； 连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如下图示 由其性质有 ∴，即B不正确； ，即C正确； 同理 ，即 ∴，即D不正确； 故选：C. 7、 能力提升 题型一：平面向量在几何证明中的应用 【练习1】已知向量，，满足条件，且，求证：△是正三角形． 【答案】证明见解析 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】由已知结合向量数量积的运算可得，再由等腰三角形的性质有 ，即可证结论. 【详解】由题设，，则，又， ∴，即，而， ∴，同理可得， 又△、△、△都是等腰三角形， ∴，即. ∴△是正三角形． 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目用坐标法更简单．　　 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 题型二：平面向量在几何求值中的应用 【练习2】如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【知识点】坐标计算向量的模、向量与几何最值 【分析】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，所以，，，分别表示出，，再由向量的模长公式代入即可得出答案. 【详解】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设，，因为，， 所以，，，所以，， ，所以， 所以， 所以当，即时，的最小值为7， 故选：D． 1.用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算； (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将长度、垂直、平行等问题转化为代数问题． 2.用向量方法解决平面几何问题的步骤 　　 8、 课堂总结 1. 学生归纳总结本节学习的数学知识: (1) 平行四边形向量加、减法的几何模型, (2) 用向量方法解决平面几何问题的步骤,即“三步曲”. (3) 特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度. 2. 本节学习的数学方法: (1) 向量法, (2) 向量法与几何法、解析法的比较, (3) 将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点. 3.用向量方法解决平面几何问题的步骤(“三步曲”),即: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. [点拨]　向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性．因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作． 4.用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向： （1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算； （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法. 5.用向量解决常见平面几何问题的技巧 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 向量共线定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cosθ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量 9、 作业设计 1.教材第39页练习第1,3题. 2.教材第41页练习第1,2题. 练习（第39页） 1．证明：等腰三角形的两个底角相等． 1．解析：在中，设，，且，由，得，，把上述两式两边分别平方，得，，由于，所以，即，．因此． 2．如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，求的余弦值． 2．解析：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，．于是，，并且的大小等于，的夹角．因为，，． 所以． 3．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，．设，，求的值． 3．解析：因为，，所以，， 注意到点是的中点，所以， 整理得，又，，三点共线，所以， 则有，因为与不共线，所以， 因此． 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $$