精品解析：广东省惠州市惠东县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024－2025学年第一学期期中教学质量检查 九年级数学试题 一、选择题．（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线的图象向下平移个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 3. 设方程的两根分别是，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 点是二次函数的图象上两点，则与的大小系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，是惠东县南湖公园喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为，则水柱的最大高度是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 6. 如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k＜﹣1或k=0 9. 在某次会议中，每两人都握了一次手，共握手10次，设有人参加会议，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 二、填空题．（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若关于的方程的其中一个根是，则另一个根______． 12. 在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以______（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着______（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转______度． 13. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 14. 如图，二次函数的图象如图所示，当______时，． 15. 如图，抛物线交轴于，两点；将绕点旋转得到抛物线，交轴于；将绕点旋转得到抛物线，交轴于，，如此进行下去，则抛物线的解析式是_________ 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 解一元二次方程：． 17. 如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）判断点是否在该二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，试说明理由． 18. 如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答： （1）若苗圃园的面积为，求x的值； （2）苗圃园的面积能达到吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于原点成中心对称的． （2）画出绕原点顺时针旋转度的． （3）请直接写出：以、、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的所有可能坐标． 20. “筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． （1）求该圆的半径． （2）若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 21. 综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面． 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 （1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； （2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标的取值范围； （3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标的值． 五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 综合探究 【问题背景】在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【探究发现】 （1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后证明，从而得出、、之间的数量关系：____________； 【拓展延伸】 （2）如图②，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 【尝试应用】 （3）在（2）的条件下，若，，求正方形的边长． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点． （1）求这条抛物线的解析式： （2）如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（乙），动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点的坐标和面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期期中教学质量检查 九年级数学试题 一、选择题．（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形； C．是轴对称图形，不是中心对称图形； D．是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选：B． 2. 将抛物线的图象向下平移个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的图象向下平移个单位长度， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得平移后抛物线的解析式是， 故选：． 3. 设方程的两根分别是，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可． 【详解】由可知，其二次项系数，一次项系数， 由韦达定理：， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率． 4. 点是二次函数的图象上两点，则与的大小系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先得到该抛物线开口向上，且对称轴为直线，再由开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线． ∵点是二次函数的图象上两点，且， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大是解题的关键． 5. 如图，是惠东县南湖公园喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为，则水柱的最大高度是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可． 【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为， 当时，水柱的最大高度是， 故选：B． 6. 如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理可得：，，进而得到，无法得到，即可得到答案． 【详解】解：是的直径，为弦，于点E， ，， B、D选项结论成立，不符合题意； ， ， A选项结论成立，不符合题意； 无法判断， C选项结论不成立，符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题关键． 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．根据旋转的性质可得，，证明是等边三角形，即可得的长． 【详解】解：连接，如图所示： 将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， 则， 故选：A． 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k＜﹣1或k=0 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0， 解得k＞﹣1且k≠0． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 9. 在某次会议中，每两人都握了一次手，共握手10次，设有人参加会议，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，如果有人参加聚会，则每个人需要握手次，人共需要握手次，又因为每两个人都握了一次手，因此需要将重复的部分除去，即共握次，之后根据题意列出方程即可 【详解】解：设人参加这次聚会，则每个人需握手：次； 依题意，可列方程为：； 故选：D． 10. 二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线的开口方向，对称轴以及图象与轴的交点判断、、的符号即可求解． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ，则， 图象与轴的交于负半轴， ， ，，， 故选：C． 二、填空题．（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若关于的方程的其中一个根是，则另一个根______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，求出另外一个根即可． 【详解】解：∵关于的方程的其中一个根是，两根之积为 ∴， 故答案为：． 12. 在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以______（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着______（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转______度． 【答案】 ①. 脚跟 ②. 逆时针 ③. 【解析】 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着逆时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；逆时针；． 13. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，二次函数的图象如图所示，当______时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用二次函数的图象确定不等式的解集，根据，可得抛物线的图象在轴的下方，从而可得答案． 【详解】解：当时，抛物线的图象在轴的下方，此时， 故答案为：． 15. 如图，抛物线交轴于，两点；将绕点旋转得到抛物线，交轴于；将绕点旋转得到抛物线，交轴于，，如此进行下去，则抛物线的解析式是_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象与几何变化．将这段抛物线通过配方法求出顶点坐标及抛物线与轴的交点，由旋转的性质可以知道与的顶点到轴的距离相等，且，照此类推可以推导知道抛物线的顶点，即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：， 配方可得， 顶点坐标为， 坐标为 由旋转得到， ，即顶点坐标为，； 照此类推可得，顶点坐标为，； 顶点坐标为，； ， 抛物线的顶点坐标是，，． 抛物线的解析式是． 故答案为：． 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 解一元二次方程：． 【答案】 【解析】 【分析】利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， 即，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程的方法是解题的关键． 17. 如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）判断点是否在该二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，试说明理由． 【答案】（1） （2）点在二次函数图象上，6 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）写出两点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入，进行判断，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过， ∴抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴点在二次函数图象上， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答： （1）若苗圃园的面积为，求x的值； （2）苗圃园的面积能达到吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）x的值为9 （2）苗圃园的面积不能达到，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据苗圃园的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为，即可确定结论； （2）假设苗圃园的面积能达到，根据苗圃园的面积为，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即苗圃园的面积不能达到． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：x的值为9； 【小问2详解】 解：苗圃园的面积不能达到，理由如下： 假设苗圃园的面积能达到， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即苗圃园的面积不能达到． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于原点成中心对称的． （2）画出绕原点顺时针旋转度的． （3）请直接写出：以、、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的所有可能坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求， （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了画关于原点对称的图形、作旋转图形、平行四边形的性质． （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到、、对应点的位置，再顺次连接即可； （2）先找到、、对应点的位置，再顺次连接，再写出点运动的路径长即可． （3）根据平行四边形的性质，结合坐标系，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，以、、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的所有可能坐标为：或或 20. “筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． （1）求该圆的半径． （2）若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 【答案】（1）该圆的半径为米 （2）1米 【解析】 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过作于点，交于点，根据垂径定理有米，设圆的半径为米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 过作于点，交于点，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； 【小问2详解】 如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面下盛水桶的最大深度为（米）． 21. 综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面． 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 （1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； （2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标的取值范围； （3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标的值． 【答案】（1） （2） （3）18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标的值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）如图（见解析），先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）求出当时，的值，再结合函数图象即可得； （3）根据种植苗木的要求可得在距离轴的两侧开始种植，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图，由题意得：，，，， ∴， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，则， 解得或， 在图象中标出如下： 结合函数图象可知，当时，种植点的横坐标的取值范围为． 【小问3详解】 解：∵为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）， ∴在距离轴的两侧开始种植，最前排可种植的数量为（棵）， ∴最左边一棵苗木种植点的横坐标， 答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标的值为． 五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 综合探究 【问题背景】在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【探究发现】 （1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后证明，从而得出、、之间的数量关系：____________； 【拓展延伸】 （2）如图②，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 【尝试应用】 （3）在（2）的条件下，若，，求正方形的边长． 【答案】（1）； （2）（1）中的结论仍然成立，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 如图②，将绕点顺时针旋转至的位置，使得与重合， ∴， ∴， ∴点在一条直线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （3）6 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，从而可得点在一条直线上，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得； （2）先根据正方形的性质可得，再将绕点顺时针旋转至的位置，使得与重合，根据旋转的性质可得，从而可得点在一条直线上，然后利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得； （3）设正方形的边长为，则，在中，利用勾股定理可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）如图①，将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合， ∴， ∵， ∴， ∴点在一条直线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2） 略 （3）设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， 由（2）已证：， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以正方形的边长为6． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点． （1）求这条抛物线的解析式： （2）如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（乙），动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点的坐标和面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3）点P的坐标为时，面积最大，最大面积为8 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，求解二次函数解析式，勾股定理，涉及到面积的计算、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）当是斜边时，根据勾股定理列出等式即可求解当，或为斜边时，同理可解； （3）由，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于两点， 设抛物线的表达式为：， 又， ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 存在，理由： 有抛物线的表达式可知，点， 设点， 则， ， 当是斜边时， 则， 解得：或4， 即点或（舍去）， 当或是斜边时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或， 综上，点或； 【小问3详解】 如图，过点P作轴交于点H 设直线的表达式为：， ，， ，解得： 则直线的表达式为：， 故当时，的最大值为8，此时，点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $