第03讲 矩形的性质和判定（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

第03讲 矩形的性质和判定 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2根据矩形的性质求线段长】 【题型3根据矩形的性质求面积】 【题型4矩形与折叠问题】 【题型5直角三角形斜边上的中线】 【题型6矩形的判定】 【题型7 矩形的性质与判定综合】 考点 1：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【典例1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式1-2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，矩形的顶点A，C分别在直线a，b上．若且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 【题型2根据矩形的性质求线段长】 【典例2】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在矩形中，若对角线，则 ． 【变式2-1】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，矩形的对角线相交于点O，若，，则的周长是 cm． 【变式2-2】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 【变式2-3】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线分别与，，交于点，，，若，，则 ． 【题型3根据矩形的性质求面积】 【典例3】（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，矩形面积为40，点在边上，，，垂足分别为．若，则（    ）． A．4 B．2.5 C．5 D．10 【变式3-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形，并使其最小内角为，则这个四边形周长不变，面积变为原来的 ． 【变式3-3】（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在矩形中，过对角线上一点分别作，，其中点，，、分别在边、、、上，记四边形的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是 ． 【题型4矩形与折叠问题】 【典例4】（23-24八年级下·山西·期末）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处，则的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将一个边长分别为的矩形纸片折叠，使点与重合，点翻折到点处，则折痕的长是（    ）    A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E，则线段的长为 ． 考点2：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 【题型5直角三角形斜边上的中线】 【典例5】（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，在中，点分别是边、的中点，点F是线段上的一点，连接若，则线段的长为 ．    【变式5-1】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，是的平分线，且，，点E是的中点，则的值为 ． 【变式5-2】（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为 ． 【变式5-3】（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为 ； 考点3：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【题型6矩形的判定】 【典例6】（2024·四川内江·二模）在中，于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若平分，且，，判断四边形的形状，并求其面积． 【变式6-1】（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，的对角线，相交于O，将平移到，若，，，求证：四边形是矩形． 【变式6-2】（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，四边形为平行四边形，，点E在的延长线上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【变式6-3】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，O是的中点，连接，的延长线相交于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求证：四边形是矩形． 【题型7 矩形的性质与判定综合】 【典例7】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点分别是的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【变式7-1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，对角线，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，求的长． 【变式7-2】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，D是上一点，，平分交于点E，平分交于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，连接，求的长． 【变式7-3】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在四边形中，已知，点为边的中点，点为边的中点，延长交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求四边形的面积． 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，，点D为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 3．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期末）矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·广东韶关·期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．4.8 D．5 二、填空题 5．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，，点在上，四边形是矩形，且，连接交于点，连接．则 ． 6．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使、；然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学原理是： ． 7．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，点E恰好为的中点，，则矩形的面积为 ． 8．（2022·青海·中考真题）如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为 ． 三、解答题 10．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F．求证：． 11．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，已知点E、F在的对角线上，且于点E，． 求证： (1)； (2)四边形为矩形． 12．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 矩形的性质和判定 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2根据矩形的性质求线段长】 【题型3根据矩形的性质求面积】 【题型4矩形与折叠问题】 【题型5直角三角形斜边上的中线】 【题型6矩形的判定】 【题型7 矩形的性质与判定综合】 考点 1：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【典例1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质得出：，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【变式1-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由四边形是矩形，则，，，，根据，得，，又，则，然后由三角形内角和定理得，最后由角度和差即可求解，熟练掌握矩形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式1-2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，矩形的顶点A，C分别在直线a，b上．若且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查平行线的性质，矩形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解． 作，证明，根据平行线的性质与矩形性质即可求解． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【变式1-3】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 【答案】/34度 【分析】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则．结合矩形的性质可得，再根据即可解答． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型2根据矩形的性质求线段长】 【典例2】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在矩形中，若对角线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，由矩形的对角线相等即可得解，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在矩形中，对角线， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，矩形的对角线相交于点O，若，，则的周长是 cm． 【答案】16 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．由矩形的性质可得，，，，由勾股定理可求，进一步计算即可求的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，． ∵，， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为：16． 【变式2-2】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，利用勾股定理解得的值，然后根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴在中，， ∵分别是的中点， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线分别与，，交于点，，，若，，则 ． 【答案】 【分析】如图，连接，由作图可知垂直平分线段，由垂直平分线的性质，矩形的性质勾股定理可得，再证，得到，由此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知垂直平分线段， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，尺规作垂直平分线及其性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质的综合．掌握垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质是解题的关键． 【题型3根据矩形的性质求面积】 【典例3】（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，矩形面积为40，点在边上，，，垂足分别为．若，则（    ）． A．4 B．2.5 C．5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积公式，令与相交于点，连接，由矩形的性质得出，，结合，计算即可得出答案，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，令与相交于点，连接， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形面积为40， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， 故选：C． 【变式3-2】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形，并使其最小内角为，则这个四边形周长不变，面积变为原来的 ． 【答案】一半//0.5 【分析】主要考查了平行四边形的面积公式和基本性质，直角三角形中，的角对的直角边等于斜边的一半．作出高构造含有的直角三角形是解题关键． 过点作于点，在直角三角形中，，可得，再由平行四边形面积公式可得面积为矩形面积的一半． 【详解】解：如图，过点作于点， 在直角三角形中， ∵ ∴， ． 故答案为：一半． 【变式3-3】（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在矩形中，过对角线上一点分别作，，其中点，，、分别在边、、、上，记四边形的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质．由矩形的性质可得，，，由题意可证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，可得，，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，， ∵，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ，， ， 故答案为：． 【题型4矩形与折叠问题】 【典例4】（23-24八年级下·山西·期末）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理，由矩形性质得，，再根据折叠的性质得，，证明，设，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得：，， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 【变式4-1】（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处，则的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）与矩形的性质，根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得，设，则在中，利用勾股定理可求出x的值． 【详解】解：∵在长方形中，、， ∴，， 又∵将沿直线折叠， ∴，，， 在中，， ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得， 即的长为5． 故选：C． 【变式4-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将一个边长分别为的矩形纸片折叠，使点与重合，点翻折到点处，则折痕的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由折叠的性质可得，，证明得到，由勾股定理得到，则，设，则，由勾股定理得：，解方程得到，则，弧． 【详解】解：如图所示，连接交于点，    由折叠可知，垂直平分， ∴， 在矩形纸片中，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， 在中，， ∴， 故选：D． 【变式4-3】（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，平行线的性质；解题的关键是根据翻折变换的性质，勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．首先根据题意得到，然后根据勾股定理得到关于线段的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解： ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， 设，则， 根据折叠可知：， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 考点2：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 【题型5直角三角形斜边上的中线】 【典例5】（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，在中，点分别是边、的中点，点F是线段上的一点，连接若，则线段的长为 ．    【答案】3 【分析】根据三角形中位线的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，由此可解． 【详解】解：因为：点分别是边请、的中点， 所以：为中位线， 所以：， 因为：， 所以：D为直角三角形斜边中线， 所以：， 由此可解． 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半；直角三角形斜边中线等于斜边的一半． 【变式5-1】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，是的平分线，且，，点E是的中点，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质． 根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，根据勾股定理求出的长度，最后根据直角三角形斜边上是中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴，， 根据勾股定理可得：， ∵点E为中点， ∴， 故答案为：5． 【变式5-2】（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论． 【详解】解：∵公路互相垂直， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 故答案为：． 【变式5-3】（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为 ； 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的三边关系，根据题意作出辅助线判定出当、、三点共线时，最长是解题的关键．取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度，再根据等边三角形的性质求出的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得，判定当、、三点共线时，最长，然后求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ，点为的中点， ， 等边三角形的边长为2，为中线， ， ， 在中，， 当、、三点共线时，最长，最大值为， 的最大值为：， 故答案为： 考点3：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【题型6矩形的判定】 【典例6】（2024·四川内江·二模）在中，于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若平分，且，，判断四边形的形状，并求其面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是矩形，32 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，属于中考常考题型． （1）由平行四边形的性质得到，结合即可证明； （2）证明四边形是平矩形，由矩形的性质得，由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，证出 ，进而解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，即， ， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； ∵平分， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 又， ， ． 【变式6-1】（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，的对角线，相交于O，将平移到，若，，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质可得出， ，由勾股定理逆定理可得出，由对顶角相等可得出，由平行的性质可得出四边形是平行四边形， 进而可得出是矩形． 【详解】证明：∵是平行四边形 ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 由平移知：，， ∴四边形是平行四边形 ∴是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，矩形的判定，勾股定理逆定理的应用，以及平移的性质，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 【变式6-2】（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，四边形为平行四边形，，点E在的延长线上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，证明四边形是矩形是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，证明四边形是平行四边形，又由即可证明四边形是矩形； （2）求出，求出，，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形是矩形； （2）∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴四边形的面积 【变式6-3】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，O是的中点，连接，的延长线相交于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，得到．又根据，即可证明； （2）利用平行四边形的性质结合，证明，得到，进而推出．再根据四边形为平行四边形，即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵O是的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 【题型7 矩形的性质与判定综合】 【典例7】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点分别是的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理和勾股定理， （1）根据题意得．由三角形中位线定理得是的中位线，则，那么，四边形是平行四边形，结合垂直得，即四边形是矩形． （2）由（1）可知则，．在中求得，则，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． 又点分别是的中点， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：由（1）可知 ∵ ∴， ． ． 在中，， ， ， 四边形的面积是． 【变式7-1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，对角线，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）结合四边形是平行四边形，知道，，通过，先证明四边形是平行四边形，结合，证明出来四边形为矩形； （2）通过30度所对的直角边等于斜边的一半，计算出的长度，再证明，从而推出的长度． 【详解】（1）四边形是平行四边形 ， 又 四边形是平行四边形 四边形是矩形 （2） ，， ，， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式7-2】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，D是上一点，，平分交于点E，平分交于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形以及勾股定理： （1）先证明，根据三个角是直角的四边形是矩形即可得证； （2）先求出，推出为等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵平分交于点E，平分交于点F， ∴， ∵， ∴即， ∵，， ∴四边形是矩形； （2）连接， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【变式7-3】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在四边形中，已知，点为边的中点，点为边的中点，延长交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据判定四边形为平行四边形，，结合，得到，继而得证四边形为矩形． （2）先证明，得到，结合点为边的中点，可以得到，继而得到，结合，，，可证，继而得到，利用勾股定理，得，根据矩形的面积公式计算四边形的面积即可． 【详解】（1）∵， ∴四边形为平行四边形，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． （2）∵四边形为矩形， ∴，，， ∴； ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和勾股定理是解题的关键． 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，，点D为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， 故选A． 2．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等； 【详解】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，，， ∴四边形为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，， ∴平行四边形为矩形． 故选择B． 3．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期末）矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质证得，根据三角形的内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，掌握矩形的性质是解题的关键． 4．（22-23八年级下·广东韶关·期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】D 【分析】根据长方形的性质得出，，由折叠的性质可得：，设，则，根据勾股定理得出：，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵长方形中，， ∴，， 由折叠的性质可得：， 设，则， 根据勾股定理得出：， 解得：，即， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 二、填空题 5．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，，点在上，四边形是矩形，且，连接交于点，连接．则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据矩形性质得，根据得为等边三角形，则，由此为等边三角形，则，进而得，然后在中由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形，对角线，交于点， ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ． 故答案：． 6．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使、；然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学原理是： ． 【答案】 矩 有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】本题考查的是平行四边形和矩形的判定，根据两组对边相等的四边形是平行四边形和有一个角是直角的平行四边形是矩形，作答即可． 【详解】因为、， 所以窗框是平行四边形， 当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，即有一个角是直角的平行四边形是矩形． 故答案为：矩，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 7．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，点E恰好为的中点，，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握矩形的对角线相等且平分，是解题的关键．先证明是等边三角形，求出，进而求出，利用即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，点E恰好为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴，， ∴矩形的面积为； 故答案为：． 8．（2022·青海·中考真题）如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴ , 又 ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】由矩形，可得，由勾股定理得，，则，，由，可得，则，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边对等角，等角对等边．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等边对等角，等角对等边是解题的关键． 三、解答题 10．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解决问题的关键． 根据矩形的性质求出，根据推出即可证得结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ． ，， ．． ， ， ． 11．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，已知点E、F在的对角线上，且于点E，． 求证： (1)； (2)四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质． （1）利用平行四边形的性质得到，，再利用即可证明； （2）由，推出，，由邻补角的性质求得，得到，据此即可证明四边形为矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 12．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理： （1）利用平行四边形的性质和平行线的性质分析可得，从而求证四边形是矩形； （2）利用勾股定理求得的长度，从而利用矩形和平行四边形的性质求出的长度，再根据梯形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：在中，， 在平行四边形中，， 在矩形中，， ∴四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$