第02讲 三角形中的中位线（知识解读+题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

第02讲 三角形中的中位线 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 【题型2三角形中位线与三角形面积问题】 【题型3与三角形中位线有关的证明】 【题型4 三角形中位线的实际应用】 考点：三角形的中位线 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 【典例1】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，中，，，，，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D．8 【变式1-1】（24-25九年级上·云南文山·期末）如图，是的中位线，若的周长为14，则的周长为 ．    【变式1-2】（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1-3】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在周长为2的三角形中，，，分别是，，的中点，则的周长是 ． 【题型2三角形中位线与三角形面积问题】 【典例2】（21-22七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知D、E分别是的边、的中点，是的中线，连接、、，若的面积为40，则阴影部分的面积为（    ） A．10 B．5 C．8 D．4 【变式2-1】（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，的面积是，点，，，分别是，，，的中点，则的面积是 【变式2-2】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18 cm，则△DEF的面积是 cm 【变式2-3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，、分别为、的中点，连接、，交点为，若，，则点到的距离为 ． 【题型3与三角形中位线有关的证明】 【典例3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 【变式3-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，M、N分别是的中点，延长与分别交于点E、F．求证：． 【变式3-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，对角线、交于点O，E，F分别是、的中点，且．求证：． 【题型4 三角形中位线的实际应用】 【典例4】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·湖南益阳·开学考试）如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和．分别取，的中点D，E，测得D，E两点间的距离为，则A，B两点间的距离为 ． 【变式4-2】（2015·云南昆明·二模）如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为 ．    【变式4-3】（24-25九年级上·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，分别是，的中点，的平分线交于点，则（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．4 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 4．（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）如图，在中，点在上，，于点，是的中点，连接，若，，则的长为（　　） A．6 B．3 C．1.5 D．1 5．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，平行四边形 的对角线相交于点O，M为边上一点，且，N为的中点，连接，若平分，则平行四边形的周长为（   ） A．18 B．24 C．20 D．22 6．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，连接、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知中，，平分，是的中点，若，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得米，则的长是 米．    9.（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为 ． 10．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中．，D，E，F分别是各边上的中点，则的周长为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，和的角平分线，交于边上的点． (1)求证：E为的中点； (2)若点F为的中点，连接交于点G．写出与间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 三角形中的中位线 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 【题型2三角形中位线与三角形面积问题】 【题型3与三角形中位线有关的证明】 【题型4 三角形中位线的实际应用】 考点：三角形的中位线 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 【典例1】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，中，，，，，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴是的中位线， ， ， 故选：C． 【变式1-1】（24-25九年级上·云南文山·期末）如图，是的中位线，若的周长为14，则的周长为 ．    【答案】7 【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 利用三角形中位线定理得的周长为的周长的一半，即可求解． 【详解】解：∵是的中位线， ， ∴的周长为； 故答案为：7． 【变式1-2】（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-3】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在周长为2的三角形中，，，分别是，，的中点，则的周长是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵点分别为三边的中点， 是周长为2的三角形， ， 的周长， 故答案为1． 【题型2三角形中位线与三角形面积问题】 【典例2】（21-22七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知D、E分别是的边、的中点，是的中线，连接、、，若的面积为40，则阴影部分的面积为（    ） A．10 B．5 C．8 D．4 【答案】B 【分析】连接DE，如图，先判断DG为△BCE的中位线，则DG∥AC，根据平行线之间的距离和三角形面积公式得到S△ADG=S△EDG，然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：连接DE，如图， ∵D为BC的中点，G为BE的中点， ∴DG为△BCE的中位线， ∴DG∥AC， ∴S△ADG=S△EDG， ∵E点为AC的中点， ∴S△BCE=S△ABC=×40=20， ∵D点为BC的中点， ∴S△BDE=S△EBC=×20=10， ∵G点为BE的中点， ∴S△EDG=S△BDE=×10=5． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=×底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．也考查了三角形中位线性质． 【变式2-1】（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，的面积是，点，，，分别是，，，的中点，则的面积是 【答案】4.5// 【分析】先根据等底同高可得，，再根据三角形中位线定理可得，然后根据即可得． 【详解】解：的面积是12，点D是的中点， 由等底同高得：， 同理可得：， ， ， ， ， 点F是的中点，点G是的中点， 是的中位线， ， 则． 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查了三角形中线的应用、三角形中位线定理等知识点，根据三角形中位线定理求出的面积，是解题关键． 【变式2-2】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18 cm，则△DEF的面积是 cm 【答案】4.5// 【分析】连接BE，根据△ABC的面积求出△AEB的面积，进而求出△DEB的面积，根据三角形中位线定理得到DEBC，得到△DEF的面积＝△DEB的面积，得出答案． 【详解】解：连接BE， ∵点E是AC的中点，△ABC的面积的为18 cm， ∴△AEB的面积△ABC的面积＝9（cm）， ∵点D是AB的中点， ∴△DEB的面积△AEB的面积＝4.5（cm）， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DEBC， ∴△DEF的面积＝△DEB的面积＝4.5（cm）， 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、三角形的面积、三角形中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【变式2-3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，、分别为、的中点，连接、，交点为，若，，则点到的距离为 ． 【答案】3 【分析】过点作，垂足为，连接，由、分别为、的中点，得出是的中位线，然后得出，继而得出，得出，代入数据求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为，连接， ∵、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即点到的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了中位线定理，根据题意得出是解本题的关键． 【题型3与三角形中位线有关的证明】 【典例3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，根据题意可推出点是的中点，结合点F是的中点可得是的中位线，据此即可求证． 【详解】证明：∵ ∴点是的中点． ∵点F是的中点． ∴是的中位线， ∴ 【变式3-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，M、N分别是的中点，延长与分别交于点E、F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了三角形中位线的性质．熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是解决问题的关键． 取中点G，连接，根据三角形中位线定理可得到，由平行线的性质可得，从而可推出为等腰三角形，从而证得． 【详解】证明：连接，取中点G，连接， ∵点M，N分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，对角线、交于点O，E，F分别是、的中点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线性质定理，取的中点，连接，，构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明即可．解题的关键是构造三角形的中位线．运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明． 【详解】证明：如图所示，取的中点，连接，，   、分别为、的中点， 是的中位线， ，， 同理可得，，， ， ． ， 又，， ， ． 【题型4 三角形中位线的实际应用】 【典例4】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 利用三角形的中位线定理即可直接得出答案． 【详解】解：∵D，分别是，的中点， ， ， 故选：． 【变式4-1】（24-25九年级上·湖南益阳·开学考试）如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和．分别取，的中点D，E，测得D，E两点间的距离为，则A，B两点间的距离为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．根据三角形的中位线定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，点分别为，的中点，且， ∴， 故答案为：40． 【变式4-2】（2015·云南昆明·二模）如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的判定与性质，先判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得即可解答，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：，两点分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 故答案为： 【变式4-3】（24-25九年级上·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，分别是，的中点，的平分线交于点，则（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线和角平分线．熟练掌握三角形中位线的判定和性质，角平分线性质；等腰三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 根据中点性质得到，，根据的中位线性质得到，，，得到，根据角平分线定义得到，得到，得到，即得． 【详解】解：，分别是，的中点， 为的中位线， ，，， ． 的平分线交于点， ， ， ， ． 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据平行四边形得到为的中点，继而得到为的中位线，为的中位线，即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴为的中点， ∵点为的四等分点，的中点， ∴点为的中点， ∵为的中点， ∴， ∵的中点，为的中点， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出的最小值是解题的关键．过点B作于H，连接；当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于H，连接；    ∵F，M分别是的中点， ∴， 当取最小值时，的值最小， 由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）如图，在中，点在上，，于点，是的中点，连接，若，，则的长为（　　） A．6 B．3 C．1.5 D．1 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， ， ，， 是的中位线， ． 故选：C． 5．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，平行四边形 的对角线相交于点O，M为边上一点，且，N为的中点，连接，若平分，则平行四边形的周长为（   ） A．18 B．24 C．20 D．22 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线性质定理、平行四边形的性质、等角对等边等知识，根据平行线性质得到，，证明是的中位线，则,由得到，，证明，则即可得到答案. 【详解】解：∵平行四边形 的对角线相交于点O， ∴， ∵N为的中点， ∴是的中位线， ∴, ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴平行四边形的周长为， 故选：C 6．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，连接、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形中位线定理等知识，由等边对等角的性质，得到，进而得到，根据三角形中位线定理，可得，，从而推出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 点D、E分别是边、的中点， 是的中位线， ，， ， ，， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知中，，平分，是的中点，若，则的长为 ． 【答案】3.5 【分析】本题主要考查了三线合一，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握三线合一是解题的关键：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 由三线合一可得是的中点，再根据三角形的中位线定理即可得解． 【详解】解：，平分， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得米，则的长是 米．    【答案】120 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质， 根据题意可知是的中位线，再根据三角形中位线的性质得出，进而得出答案即可． 【详解】解：∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴． 故答案为：120． 9.（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为 ． 【答案】 【分析】由“”可证，可得，由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 10．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中．，D，E，F分别是各边上的中点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理求得斜边长，然后利用三角形中位线定理求得答案即可． 本题考查了勾股定理，三角形的中位线定定理，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在中．， ∴， ∵D，E，F分别是各边上的中点， ∴，，， ∴的周长为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，和的角平分线，交于边上的点． (1)求证：E为的中点； (2)若点F为的中点，连接交于点G．写出与间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，，而，，所以，，则，，所以，则为的中点； （2）取的中点，连接，由三角形的中位线定理得，，即可证明，，推导出，则，得，由，，得，则． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 点在边上，且平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． （2）解：，理由如下： 取的中点，连接， 点为的中点， ，， ∵，，且， ，， ， 在和， ， ， ， ， ∵， ， ，且， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$