第01讲 平行四边形的性质和判定（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

第01讲 平行四边形的性质和判定 【题型1 根据平行四边形的性质求边长】 【题型2根据平行四边形的性质求角度】 【题型3根据平行四边形的性质求周长】 【题型4 平行四边形的判定】 【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】 【题型6 平行四边形的性质与判定综合】 考点1：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【题型1 根据平行四边形的性质求边长】 【典例1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，平分，交边于点E，则线段的长度分别是（   ） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 【变式1-1】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式1-2】（2023·广东阳江·一模）如图，在中，已知，是的平分线，且与交于点，，则的长为 ． 【变式1-3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，．则 ． 【题型2根据平行四边形的性质求角度】 【典例2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点在边上，以为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，平行四边形中，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，，于，则 ． 【题型3根据平行四边形的性质求周长】 【典例3】（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 【变式3-1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，点E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得四边形，交于点G，则的周长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【变式3-2】（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，在中，平分，平分，若，，则的周长是（    ） A．24 B．26 C．28 D．32 【变式3-3】（24-25八年级上·全国·期末）如图， 的对角线相交于点O， 且， 过点O作， 交于点M．如果的周长为18， 那么的周长是 ． 考点2：平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【题型4 平行四边形的判定】 【典例4】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（2024·广东·模拟预测）如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D． 【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】 【典例5】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【变式5-1】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知（如图），在四边形中，过A作交于点E，过C作交于F，且．求证：四边形是平行四边形． 【变式5-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【变式5-3】（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，． (1)求证： (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【题型6 平行四边形的性质与判定综合】 【典例6】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【变式6-1】（23-24八年级下·重庆永川·期中）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若四边形的周长为12，，，求平行四边形的周长． 【变式6-2】（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在平行四边形中，F是的中点，延长到点E．使，连接、． (1)求证：； (2)若，，．求的长． 【变式6-3】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O．已知两条对角线长的和为，长为．则的周长为 ． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）平行四边形中，对角线和相交于点O，若，，，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24八年级下·青海玉树·期末）如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 5．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的的周长为 ． 6．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，由平行四边形的顶点、向及其延长线作垂线、，、为垂足，如果向右平移后能与重合，已知，则 ． 7．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，的平分线交于点，若，则 ． 8．（24-25七年级上·辽宁大连·开学考试）如图，平行四边形的面积是16平方厘米，边长5厘米，那么高长 厘米．    三、解答题 9．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，E、F分别是、边上的一点（不与端点重合），．求证：． 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形 中， 是它的一条对角线，过 ， 两点作 ，，垂足分别为 ，，延长 ， 分别交 ， 于点 ，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)当 ， 时，求 的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平行四边形的性质和判定 【题型1 根据平行四边形的性质求边长】 【题型2根据平行四边形的性质求角度】 【题型3根据平行四边形的性质求周长】 【题型4 平行四边形的判定】 【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】 【题型6 平行四边形的性质与判定综合】 考点1：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【题型1 根据平行四边形的性质求边长】 【典例1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，平分，交边于点E，则线段的长度分别是（   ） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键． 先根据角平分线及平行线的性质得出，再由等角对等边得出，从而求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-1】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质可得，，再由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-2】（2023·广东阳江·一模）如图，在中，已知，是的平分线，且与交于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分可推出，再根据等腰三角形三线合一性质得，即可得解．掌握平行四边形的性质和等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 【变式1-3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，先根据平行四边形的性质得出，，，根据勾股定理求出，得出，再根据勾股定理得出，再求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ， ∴ ， ∴在中，由勾股定理得： ， ∴． 【题型2根据平行四边形的性质求角度】 【典例2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点在边上，以为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等，平行四边形的对角相等是解本题的关键．根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：． 【变式2-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，平行四边形中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质可得即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 故选：B ． 【变式2-2】（22-23八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，，于，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形性质，平行四边形性质，三角形内角和定理，利用等腰三角形性质得到，进而利用平行四边形性质得到，最后结合三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】解： ，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 于， ， ， 故答案为：． 【题型3根据平行四边形的性质求周长】 【典例3】（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，还涉及了平行线的性质，等角对等边，应熟练掌握．根据平行四边形的性质得到，，利用平行线的性质和角平分线推出，从而得到，求出，即可得到周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长， 故选：D． 【变式3-1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，点E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得四边形，交于点G，则的周长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定，根据平行四边形的性质得到，由平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，推出是等边三角形，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，得到，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长， 故选：D． 【变式3-2】（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，在中，平分，平分，若，，则的周长是（    ） A．24 B．26 C．28 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，得出，同理可证，再由的长求出的长，据此根据平行四边形周长计算公式即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， ， 同理可证． ， ， 解得， ， ∴的周长， 故选：D． 【变式3-3】（24-25八年级上·全国·期末）如图， 的对角线相交于点O， 且， 过点O作， 交于点M．如果的周长为18， 那么的周长是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形与线段垂直平分线的性质． 由四边形是平行四边形，可得，又由，可得，然后由的周长为18，求得平行四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∵的周长为18， ∴， ∴平行四边形的周长是：． 故答案为：36． 考点2：平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【题型4 平行四边形的判定】 【典例4】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；     B. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；         C. ，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，能判定四边形为平行四边形，故该选项符合题意；     D. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；     故选：C． 【变式4-1】（2024·广东·模拟预测）如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】选项A，B中的条件都只能证得，不能判定四边形是平行四边形．选项C中的条件，不能判定四边形是平行四边形．对于选项D提供两组对边分别平行，能判定四边形为平行四边形，本题考查了平行四边形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ 选项A不能判定四边形是平行四边形． ∵ ∴ 选项B不能判定四边形是平行四边形． ∵， ∴不能判定四边形ABCD是平行四边形． 选项C不能判定四边形是平行四边形． ∵， ∴． 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 故选：D 【变式4-2】（23-24九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：． 故选：A． 【变式4-3】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； ，，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； 由，结合，可得，则，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 由，则四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意； 故选：D． 【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】 【典例5】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是要掌握判定方法． （1）由全等三角形的判定定理SAS证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则，所以根据平行线的判定可以证得．由全等三角形的对应边相等证得，则易证得结论． 【详解】（1）解： ， ， 又 ， ， ， 在与中， ， ； （2）连接、． 由(1)知，， ，， ， ， 又 ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【变式5-1】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知（如图），在四边形中，过A作交于点E，过C作交于F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出，主要考查学生运用性质进行推理的能力． 由垂直得到，然后可证明，得到，然后证明，再根据平行四边形的判定判断即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式5-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查对平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质和判定等知识点． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据证出； （2）根据题意求得平行且相等即可证得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【变式5-3】（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，． (1)求证： (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定， （1）根据题意可得和即可判定即可； （2）由（1），则即可证明平行四边形． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 即， 在和中， ． ． （2）证明：如图， ∵， ， 四边形是平行四边形． 【题型6 平行四边形的性质与判定综合】 【典例6】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理： （1）利用勾股定理求出，则，据此可证明四边形是平行四边形，则； （2）根据平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是平行四边形，且． ． 【变式6-1】（23-24八年级下·重庆永川·期中）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若四边形的周长为12，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的周长，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明且得到四边形为平行四边形，继而得证； （2）利用四边形的周长为12，，求出，继而求出，从而得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即，， 又∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， 又∵四边形的周长为12，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴平行四边形ABCD的周长． 【变式6-2】（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在平行四边形中，F是的中点，延长到点E．使，连接、． (1)求证：； (2)若，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，平行线的性质以及勾股定理解三角形等知识点． （1）由平行四边形的性质得出，且，由中点的定义得出，结合已知条件即可得出，进一步证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质可得出． （2）过点C作于点H．由平行线的性质得出，则，由勾股定理求出，由平行四边形的性质得出，即可求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）如图，过点C作于点H． 在中，，， ∴． ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在，根据勾股定理得： ． 【变式6-3】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定： （1）根据平行四边形的性质可得，根据E、F分别是的中点，可得，即可得结论； （2）利用角平分线的定义、平行线的性质可得到，进而利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段和差求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O．已知两条对角线长的和为，长为．则的周长为 ． 【答案】/15厘米 【分析】此题考查了平行四边形的性质，注意平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 的周长为， 故答案为∶． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）平行四边形中，对角线和相交于点O，若，，，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和三角形三边关系的运用，属于基础题，注意掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据平行四边形的性质，在中，可根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行求解． 【详解】解：，， 在中，， 即， ． 故选：A． 二、填空题 4．（23-24八年级下·青海玉树·期末）如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 5．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的的周长为 ． 【答案】/16厘米 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得到，求出，再结合即可解答． 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴的的周长为， 故答案为：． 6．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，由平行四边形的顶点、向及其延长线作垂线、，、为垂足，如果向右平移后能与重合，已知，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平移的性质，主要利用了对应点间的距离等于平移距离的性质，根据平移的性质，对应点的连线的长度等于平移的距离可得，然后解答即可． 【详解】解：向右平移后能与重合， 、是对应点，、是对应点， ， ， ． 故答案为：5． 7．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，的平分线交于点，若，则 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，三角形内角和定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，角平分线，三角形内角和定理是解题的关键． 由中，平分，，可得，，则，计算求解，进而可得结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·辽宁大连·开学考试）如图，平行四边形的面积是16平方厘米，边长5厘米，那么高长 厘米．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的面积公式，根据平行四边形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：∵由平行四边形面积公式可得：， ∴， ∴（厘米）， 故答案为： 三、解答题 9．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，E、F分别是、边上的一点（不与端点重合），．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由平行四边形得到，，，结合，根据平行线的性质得到，即可证明全等． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形 中， 是它的一条对角线，过 ， 两点作 ，，垂足分别为 ，，延长 ， 分别交 ， 于点 ，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)当 ， 时，求 的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键； （1）只要证明，即可． （2）先证明得，再在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）四边形是平行四边形， ， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）∵四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ∴， 在和中， ， ， 在中， ，，， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$