精品解析：辽宁省葫芦岛市兴城市2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度（下）阶段练习（二） 八年级数学 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 ※注意事项： 考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列交通标识的图案中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称的定义，注意掌握好轴对称图形的概念．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图形折叠后可重合． 【详解】A、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，故该选项符合题意； D、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 在中，，，则两个锐角的度数为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 以上说法都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形中两锐角互余等知识点，掌握直角三角形两锐角互余成为解题的关键． 由，则，然后按比例分配即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3. 点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标为， 故选：C． 4. 如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 3.2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，再根据即可求解． 【详解】解：平分，，， ， ， ， 解得， 故选B． 5. 小红有两根木棒长分别为和，她想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根木棒的长度应为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键；当是腰长时，是底边时，分类讨论． 【详解】是腰长时，三角形的三边长分别为，， ∵ ∴，，不能组成三角形； 是底边时，三角形的三边长分别为，， 能够组成三角形， 综上所述，还需再选一根长的木棒. 故选：C． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的角平分线是射线 B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 C. 三角形的高线交于一点，这点是三角形的重心 D. 三角形的三条中线交于一点，这一点有可能在三角形外 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、垂直平分线的性质、三角形的中线、高线等知识点，理解相关性质成为解题的关键． 根据三角形的角平分线、垂直平分线的性质、三角形的中线、高线逐项判断即可． 【详解】解：A．三角形的角平分线是射线是线段，故本选项错误，不符合题意； B．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，说法正确，符合题意； C．三角形的高线交于一点，这点是三角形的垂心，故本选项错误，不符合题意； D．三角形的三条中线交于一点，这一点不可能在三角形外，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 7. 如图，在等边中，BD平分，，则的度数是（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的每一个角都是60°求出∠DBC，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠BDF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得BD⊥AC，然后根据∠CDF=∠BDC-∠BDF计算即可得解． 【详解】解：在等边△ABC中，∠ABC=60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=×60°=30°， ∵BD=BF， ∴∠BDF=（180°-∠DBC）=（180°-30°）=75°， 又∵等边△ABC中，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC， ∴∠BDC=90°， ∴∠CDF=∠BDC-∠BDF=90°-75°=15°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的每一个角都是60°的性质，等腰三角形两底角相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键． 8. 如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点G，交于点H，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，中位线性质，等腰三角形的判定与性质，根据三角形的角平分线、中线和高的概念、直角三角形的性质、三角形中位线定理判断即可． 【详解】解：A、， ， ，故本选项说法错误，不符合题意； B、当为等腰直角三角形时， 是中线， 不是角平分线， ， 为角平分线， ，故本选项说法错误，不符合题意； C、是的中线， 当时，是的中位线， 则，故本选项说法错误，不符合题意； D、，，， ，故本选项说法正确，符合题意， 故选：D． 9. 如图，在中，，按如下步骤作图：以点为圆心，小于的长为半径作弧交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，平行线的判定及性质，垂线定义，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 由直角三角形的性质得，由作图知平分，， 进而证明，得，，从而得． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图知平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 如图，，平分，，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识点，理解题意、结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出，再由角平分线及等量代换可判断①；根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，最后统计即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ∵平分， ， ， ∴平分，故①正确； 如图：在上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， ∴ ， ， 在和中， ， ， ， ，即②不正确，④正确； ∵，， ， ， ， ∴，即③正确． 综上，正确的有①③④． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和． 设这个多边形的边数为n，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， 故答案为：6． 12. 如图，在中，是的垂直平分线，若，的周长为14，则的周长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到，，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 又的周长， ， 即， 的周长． 故答案为：20． 13. 如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是_______． 【答案】70° 【解析】 【分析】在中，根据∠D=90°，∠C=55°，求出∠CBD=35°，再由角平分线的定义求解． 【详解】解：在中，有 ∠D=90°，∠C=55° ∴∠CBD=180°-∠D-∠C=180°-90°-55°=35° 又∵BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠CBD ∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠CBD=70° 故答案为：70°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理（任何一个三角形的三个内角的和都为180°），角平分线的定义（以已知角的顶点为端点将已知角分为两个相等的角的射线），熟记并灵活运用它们是解本题的关键． 14. 如图，在中，，点在上，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握等边对等角成为解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得、，再根据可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，是的角平分线，，，，点，分别是，上的动点，当有最小值时，则的长是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、含的直角三角形的性质，正确画出辅助线并掌握以上知识点是解答本题的关键． 如图，作点关于的对称点，连接，，根据轴对称确定最短路线问题，的长度即为的最小值，再过点作于，则当点和点重合时，为最小值；然后再根据直角三角形的性质求得的长，进而求得的长，最后再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， ，点在边上， ， 过点作于， 当点和点重合时，为最小值， ， ， ， ， 是的角平分线，点关于的对称点， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 如图，在中，点，分别在，上． （1）请用尺规作图法，画出的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据作垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）先根据三角形内角和定理可得，再根据垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，最后根据角的和差即可解答． 【小问1详解】 解：如图：为的垂直平分线． 【小问2详解】 解：如图：∵，， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，直线经过点，直线． （1）如图①，若，．则_______°；________°； （2）如图②，若是等边三角形，过点作，交于点，交直线于点，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）45，80 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等和三角形的内角和定理即可求解； （2）由等边三角形得到，由三线合一得到，由平行以及等量代换出，继而，即可求证． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45，80； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （3）请说明点和点的坐标之间有哪些关系．（写出一个即可）． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析， （3）点和点的横、纵坐标均互为相反数． 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图、坐标与图形等知识点，掌握轴对称的性质成为解题的关键． （1）根据轴对称的性质确定的位置，然后顺次连接即可完成作图，最后确定点的坐标即可； （2）根据轴对称的性质确定的位置，然后顺次连接即可完成作图，最后确定点的坐标即可； （3）根据点B和点进行归纳即可解答． 【小问1详解】 解：如图：即为所求，． 【小问2详解】 解：如图：即为所求，． 【小问3详解】 解：∵，， ∴点和点的横、纵坐标均互为相反数． 19. 如图，明明同学用10块形状相同的长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，每个小木块的高度都是，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，其中，，点在上，点和点分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ （2）两堵木墙之间的距离是 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质． （1）利用直角三角形两锐角互余先证明，再利用证明即可． （2）利用全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴ 答：两堵木墙之间的距离是． 20. 如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式求出，根据角平分线的定义求出，再根据四边形的内角和为可求得；再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，最后根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵五边形的每个内角都相等，且五边形的内角和为， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴． ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明见解析； （2）四边形的周长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （）由等腰三角形的性质可得，又，从而可证是等边三角形； （）由是等边三角形，则，所以，通过角度和差可得，证明，所以，，又是等边三角形，，则，得，最后通过四边形的周长为即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为 ． 22. 如图，在中，，，为的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点． （1）求证：点在的垂直平分线上； （2）在上确定一点，使得，连接，求证：．（利用尺规作图将图形补充完整，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． （1）如图：延长交于点H，根据等腰三角形三线合一的性质可知是的垂直平分线，据此即可证明结论； （2）先根据要求补全图形，然后可得，进而证得，再证明可得，最后根据等量代换即可证明结论． 【小问1详解】 证明∶如图：延长交于点H， ∵，平分， ∴．， ∴是的垂直平分线， ∴点在的垂直平分线上． 【小问2详解】 解：补全图形如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵CG平分， ∴， ∴ 在ABCG和ACAF中 ， ∴， ∴， ， ∴． 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：． 【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）分别根据平行线的性质以及全等三角形的判定与性质即可证明结论； （2）过D作，则，先说明是等边三角形，再结合三线合一的性质可得，再证明得到即可证明结论； （3）过A作交于G，连接，先证明可得，再证明可得，然后证明 可得，即是直角三角形；由勾股定理可得，再根据题意可得，进而完成解答． 【详解】解：（1）证明：①如图①：选择丞丞同学的解题思路： ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②选择霖霖同学的解题思路： 如图②：同①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图④：过D作，则， ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴． （3）如图⑤：过A作交于G，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（下）阶段练习（二） 八年级数学 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 ※注意事项： 考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列交通标识的图案中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，则两个锐角的度数为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 以上说法都不对 3. 点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 3.2 D. 4 5. 小红有两根木棒长分别为和，她想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根木棒的长度应为（ ） A. B. C. D. 或 6. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的角平分线是射线 B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 C. 三角形的高线交于一点，这点是三角形的重心 D. 三角形的三条中线交于一点，这一点有可能在三角形外 7. 如图，在等边中，BD平分，，则的度数是（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 8. 如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点G，交于点H，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，按如下步骤作图：以点为圆心，小于的长为半径作弧交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 10. 如图，，平分，，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 12. 如图，在中，是的垂直平分线，若，的周长为14，则的周长为______． 13. 如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是_______． 14. 如图，在中，，点在上，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的度数是_______． 15. 如图，是的角平分线，，，，点，分别是，上的动点，当有最小值时，则的长是_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 如图，在中，点，分别在，上． （1）请用尺规作图法，画出的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，若，，求的度数． 17. 如图，直线经过点，直线． （1）如图①，若，．则_______°；________°； （2）如图②，若是等边三角形，过点作，交于点，交直线于点，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （3）请说明点和点的坐标之间有哪些关系．（写出一个即可）． 19. 如图，明明同学用10块形状相同的长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，每个小木块的高度都是，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，其中，，点在上，点和点分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 20. 如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 21. 如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求四边形的周长． 22. 如图，在中，，，为的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点． （1）求证：点在的垂直平分线上； （2）在上确定一点，使得，连接，求证：．（利用尺规作图将图形补充完整，保留作图痕迹，不写作法） 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：． 【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $