专项训练04：因数和倍数（培优专练）（解析版+学生版）-2024-2025学年五年级数学下册（人教版）

2024-2025学年人教版五年级数学下册第二单元：因数和倍数 专项训练04：因数和倍数（培优专练） 一、选择题 1．哥德巴赫猜想被称为“数学皇冠上的明珠”，其内容为“任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”。下面的算式中，（    ）符合这个猜想。 A． B． C． D． 2．57□2是3的倍数，□中的数可能是（    ）。 A．3 B．5 C．7 D．0 3．下面各组数中，三个连续自然数都是合数的是（    ）。 A．13、14、15 B．7、8、9 C．14、15、16 D．21、22、23 4．要使四位数□105是3的倍数，□能填数字（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．5 5．王老师买了相同支数的钢笔和圆珠笔，钢笔每支5元，圆珠笔每支2元。那么王老师可能花了（    ）元钱。 A．28 B．38 C．48 D．无法确定 6．下列说法中正确的是（    ）。 A．质数没有因数 B．1既不是质数也不是合数 C．两个奇数的和还是奇数 D．6是倍数，2是因数 二、填空题 7．3512至少加上（ ）才是5的倍数；1024至少减去（ ）才是3的倍数。 8．三个连续的偶数，中间的一个是n，其他两个分别是（ ）和（ ），它们三个的和是（ ）。 9．两个质数的和是16，这两个质数是（ ）和（ ）时，它们的积是（ ）。 10．《水浒传》是我国四大著名之一，书中描述写了108位梁山好汉，“108”的最小倍数是（ ），108的所有因数中，质数有（ ）个，合数有（ ）个。 11．从0、4、5、6、7、8中选出四个数字，排成能被2、3、5整除的四位数，其中最大的是（ ），最小的是（ ）。 12．在括号内填入适当的质数。 （1）8＝（ ）＋（ ）。 （2）10＝（ ）＋（ ）。 （3）14＝（ ）＋（ ）＋（ ）。 （4）30＝（ ）×（ ）×（ ）。 13．在7633125中，最大的奇数在（ ）位上，表示（ ）；最小的质数在（ ）位上。 14．一个两位数，既是3的倍数又是5的倍数，还是偶数，这个两位数最小是（ ），最大是（ ）。 15．已知m、n、p是三个不同的质数，且，那么的值一定是（ ）的倍数。 16．在0、1、7、8中选3个数字，组成一个三位数，它既是2和5的倍数，而且还是3的倍数，那么这个数最大是（ ）。 17．一个数是2和3的倍数，还是60的因数，这个数最大是（ ），最小是（ ）。 18．从0，3，4，8这四个数字中，选择合适的数字，组成符合要求的数。 （1）既是2的倍数，又是5的倍数的最大三位数（ ），最小四位数（ ）。 （2）既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数（ ），最小四位数（ ）。 （3）既是2和3的倍数，又是5的倍数的最大四位数（ ）。 19．同时是2和5的倍数的最小三位数是（ ），最大四位数是（ ）。 20．下面这些数中。 （1）既是偶数又是质数的是（ ）。 （2）既是奇数又是合数的一位数是（ ）。 （3）既是3的倍数又是5的倍数的是（ ）。 三、判断题 21．由1、2、3三个数字组成的所有三位数，一定都是3的倍数。（ ） 22．一个非零自然数的最大因数就是它的最小倍数。（ ） 23．用6、2、3这三个数字，组成的三位数一定是2的倍数。（ ） 24．如果a和b都是7的倍数，那么a与b的和也一定是7的倍数。（ ） 25．把10以内所有的质数相乘，所得的积一定是合数。（ ） 四、解答题 26．一种游戏棒每盒60根。如果用3根、4根、5根、6根小棒，分别能搭成正三角形、正方形、正五边形和正六边形。小明用一盒小棒搭了一些正方形和正六边形后，剩下了5根小棒。小红认为小明一定做错了。你的观点呢？请说明理由。 27．小明家无线网络的密码是一个六位数。从左数第一位既是偶数又是质数。第二位数既是4的倍数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数不是0，且既不是质数也不是合数，第五位数是8的最小因数，最后一位数是最大的一位数。小明家无线网络的密码是多少？ 28．五年级学生参加舞蹈队队员选拔。演出时需要两次队形变换，一次3人一组，一次5人一组，要求不能有剩余，已经有26人选上，至少再选多少人刚好合适？ 29．食品店运来65个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 30．小梅、小兰、小菊3人的年龄和是39岁，并且她们的年龄是相邻的奇数，已知小梅最小，小菊最大，请问小菊多少岁？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版五年级数学下册第二单元：因数和倍数 专项训练04：因数和倍数（培优专练） 一、选择题 1．哥德巴赫猜想被称为“数学皇冠上的明珠”，其内容为“任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”。下面的算式中，（    ）符合这个猜想。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 据此确定各选项中的加数是否是质数即可。 【详解】A．，2是质数，6是合数，排除； B．，13和11都是质数，符合； C．，3是质数，15是合数，排除； D．，11是质数，25是合数，排除。 符合这个猜想。 故答案为：B 2．57□2是3的倍数，□中的数可能是（    ）。 A．3 B．5 C．7 D．0 【答案】C 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】5＋7＋2＝14、15－14＝1，57□2是3的倍数，□中的数可以是1、4、7，□中的数可能是7。 故答案为：C 3．下面各组数中，三个连续自然数都是合数的是（    ）。 A．13、14、15 B．7、8、9 C．14、15、16 D．21、22、23 【答案】C 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】A．13是质数，排除； B．7是质素，排除； C．14、15、16都是合数，符合； D．23是质数，排除。 三个连续自然数都是合数的是14、15、16。 故答案为：C 4．要使四位数□105是3的倍数，□能填数字（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据3的倍数特征，各个数位上的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；据此解答即可。 【详解】（1＋0＋5）÷3 ＝6÷3 ＝2 所以，要使四位数□105是3的倍数，□能填数字有3、6、9。 故答案为：B 5．王老师买了相同支数的钢笔和圆珠笔，钢笔每支5元，圆珠笔每支2元。那么王老师可能花了（    ）元钱。 A．28 B．38 C．48 D．无法确定 【答案】A 【分析】由题意可知，王老师买了相同支数的钢笔和圆珠笔，则一支钢笔和一支圆珠笔的价格加起来就是2＋5＝7元，王老师花的钱数一定是7的倍数，据此解答即可。 【详解】2＋5＝7（元） 7的倍数有：7、14、21、28、35、42、49⋯，所以王老师花的钱数可能是7元、14元、21元、28元、35元⋯ 故答案为：A 6．下列说法中正确的是（    ）。 A．质数没有因数 B．1既不是质数也不是合数 C．两个奇数的和还是奇数 D．6是倍数，2是因数 【答案】B 【分析】根据题意，A．根据质数的定义解答即可； B．1既不是质数也不是合数； C．举例说明两个奇数的和不是奇数； D．因数是若整数A能被整数B整除，则A称为B的倍数，B称为A的因数；倍数是一个整数能够把另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。 【详解】A．质数是一个自然数，只有1和它本身两个因数。故原说法错误； B．1既不是质数也不是合数； C．3＋5＝8，3和5是奇数，8是偶数，两个奇数的和是偶数，故原说法错误； D．6是2的倍数，2是6的因数，故原说法错误。 故答案为：B 二、填空题 7．3512至少加上（ ）才是5的倍数；1024至少减去（ ）才是3的倍数。 【答案】 3 1 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数；据此解答即可。 【详解】距离3512最近且比3512大的5的倍数是3515，3515－3512＝3，则至少要加上3才是5的倍数； 1＋0＋2＋4＝7，距离7最近且比7小的3的倍数是6，7－6＝1，则1024至少要减去1才是3的倍数。 8．三个连续的偶数，中间的一个是n，其他两个分别是（ ）和（ ），它们三个的和是（ ）。 【答案】 （n－2） （n＋2） 3n 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。相邻的两个偶数之间相差2，中间偶数－2＝较小偶数，中间偶数＋2＝较大偶数，将三个偶数相加即可。 【详解】（n－2）＋n＋（n＋2）＝（3n） 三个连续的偶数，中间的一个是n，其他两个分别是（n－2）和（n＋2），它们三个的和是（3n）。 9．两个质数的和是16，这两个质数是（ ）和（ ）时，它们的积是（ ）。 【答案】 3 13 39 【分析】一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；据此找出相加等于16的两个质数，再求出它们的积。 【详解】16＝3＋13 3×13＝39 则这两个质数是3和13时，它们的积是39。 10．《水浒传》是我国四大著名之一，书中描述写了108位梁山好汉，“108”的最小倍数是（ ），108的所有因数中，质数有（ ）个，合数有（ ）个。 【答案】 108 2 9 【分析】一个数的最小倍数是它本身。 运用列乘法算式的方法找108的因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是108的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是108的因数。只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其他因数的数叫做合数。据此解答。 【详解】通过分析可得：“108”的最小倍数是108； 108＝1×108＝2×54＝3×36＝4×27＝6×18＝9×12，则108的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、27、36、54、108，其中2和3是质数；1既不是质数，也不是合数；剩下的因数都是合数。即质数有2个，合数有9个。 11．从0、4、5、6、7、8中选出四个数字，排成能被2、3、5整除的四位数，其中最大的是（ ），最小的是（ ）。 【答案】 8760 4560 【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；所以一个数能同时被2、3、5整除，那么这个数个位是0，各个数位之和是3的倍数。 【详解】因为一个数能同时被2、3、5整除，那么这个数个位是0，且各个数位之和是3的倍数，所以可以判定这个四位数个位是0； 要使这个数最大，那么越高数位上的数要尽可能的大，所以千位为8，百位为7，十位为6， 8＋7＋6＋0＝21 21能被3整除，所以从0、4、5、6、7、8中选出四个数字，排成能被2、3、5整除的四位数，其中最大的是8760； 要使这个数最小，那么越高数位上的数要尽可能的小，所以千位为4，百位为5，十位为6， 4＋5＋6＋0＝15 15能被3整除，所以从0、4、5、6、7、8中选出四个数字，排成能被2、3、5整除的四位数，其中最小的是4560。 12．在括号内填入适当的质数。 （1）8＝（ ）＋（ ）。 （2）10＝（ ）＋（ ）。 （3）14＝（ ）＋（ ）＋（ ）。 （4）30＝（ ）×（ ）×（ ）。 【答案】（1） 3 5 （2） 3 7 （3） 2 5 7 （4） 2 3 5 【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【详解】（1）8＝3＋5 （2）10＝3＋7 （3）14＝2＋5＋7 （4）30＝2×3×5 13．在7633125中，最大的奇数在（ ）位上，表示（ ）；最小的质数在（ ）位上。 【答案】 百万 7个百万/七个百万 十 【分析】奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，又叫做单数，如：1、3、5、7等； 只有1和它本身两个因数的自然数为质数。 【详解】7633125中，奇数有：7、3、1、5；其中最大的奇数是7，在百万位上；表示7个百万； 7633125中，质数有7、3、2、5，其中最小的是2，在十位上。 14．一个两位数，既是3的倍数又是5的倍数，还是偶数，这个两位数最小是（ ），最大是（ ）。 【答案】 30 90 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。因此这个两位数是2、3、5的倍数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】一个两位数，既是3的倍数，又是5的倍数，还是偶数，这个两位数最小是30，最大是90。 15．已知m、n、p是三个不同的质数，且，那么的值一定是（ ）的倍数。 【答案】2 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。据此举例确定三个不同的质数，在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 【详解】已知m、n、p是三个不同的质数，且，2＋3＝5、2＋5＝7、2＋11＝13、2＋17＝19，…，这三个不同的质数一定有2，那么的值一定是2的倍数。 16．在0、1、7、8中选3个数字，组成一个三位数，它既是2和5的倍数，而且还是3的倍数，那么这个数最大是（ ）。 【答案】870 【分析】根据2，3，5倍数的特征可知：个位上是0的数同时是2和5的倍数，所以把0放在个位就可以满足是2和5的倍数，再根据3的倍数特征：各个数位上的和是3的倍数的数就是3的倍数，要使这个三位数最多，就要选7和8，因为0＋7＋8＝15，15是3的倍数，要求最大只要把8放在百位，7放在十位即可，据此求出。 【详解】0放在个位就可以满足是2和5的倍数， 在0、1、7、8中选3个数字，组成一个三位数，它既是2和5的倍数，而且还是3的倍数，那么这个数最大是870。 17．一个数是2和3的倍数，还是60的因数，这个数最大是（ ），最小是（ ）。 【答案】 60 6 【分析】一个数是2和3的倍数，因此这个数是2和3的公倍数；2和3的最小公倍数是2×3＝6，因此2和3的公倍数是6的倍数，据此得到60以内是2和3的倍数的数；接下来，找出60的因数，结合上步结论即可解答。 【详解】根据分析解答可得： 2和3的最小公倍数是6。 60以内2和3的倍数是6，12，18，24，30，36，42，48，54，60。 60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。 这个数可能是6，12，30，60。 这个数最大是60，最小是6。 18．从0，3，4，8这四个数字中，选择合适的数字，组成符合要求的数。 （1）既是2的倍数，又是5的倍数的最大三位数（ ），最小四位数（ ）。 （2）既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数（ ），最小四位数（ ）。 （3）既是2和3的倍数，又是5的倍数的最大四位数（ ）。 【答案】（1） 840 3480 （2） 348 3048 （3）8430 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数； 3的倍数特征：各个数位上的数加起来能被3整除； 5的倍数特征：个位是0或5的数，据此解答。 【详解】（1）8＞4＞3＞0 既是2的倍数，又是5的倍数的最大三位数840，最小四位数3480。 （2）3＋4＋8＝15 15能被3整除。 既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数348，最小四位数3048。 （3）既是2和3的倍数，又是5的倍数的最大四位数8430。 19．同时是2和5的倍数的最小三位数是（ ），最大四位数是（ ）。 【答案】 100 9990 【分析】既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 【详解】同时是2和5的倍数的最小三位数是100，最大四位数是9990。 20．下面这些数中。 （1）既是偶数又是质数的是（ ）。 （2）既是奇数又是合数的一位数是（ ）。 （3）既是3的倍数又是5的倍数的是（ ）。 【答案】（1）2 （2）9 （3）60 【分析】（1）偶数是能够被2所整除的整数。质数是在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。在给出的数中，2既是偶数又是质数。 （2）奇数指不能被2整除的整数。合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。一位数中既是奇数又是合数的是9。 （3）一个数是5的倍数，其个位是0或5。一个数是3的倍数，其各个数位上的数字之和是3的倍数。在这些数中，60个位是0，满足5的倍数特征，6＋0＝6是3的倍数，所以60既是3的倍数又是5的倍数；25的个位上虽然是5，但是，7不是3的倍数。 【详解】（1）2是唯一的偶质数。 （2）9不能被2整除，是奇数，且9的因数有1、3、9，所以9是合数。 （3）60的个位是0，符合5的倍数特征，且数字和6是3的倍数，所以60既是3的倍数又是5的倍数。 三、判断题 21．由1、2、3三个数字组成的所有三位数，一定都是3的倍数。（ ） 【答案】√ 【分析】一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数的数是3的倍数，据此判断。 【详解】1＋2＋3＝6，用1、2、3三个数字组成的所有三位数，无论怎样组合，三个数字的和都是3的倍数，所以一定是3的倍数，原题说法正确。 故答案为：√ 22．一个非零自然数的最大因数就是它的最小倍数。（ ） 【答案】√ 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数； 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，据此判断即可。 【详解】一个非零自然数的最大因数和最小倍数都是它本身，所以一个非零自然数的最大因数就是它的最小倍数。 如：4，是一个非零自然数，4的最小倍数是它本身，即4，4的最大因数也是它本身，即4，4的最大因数和最小倍数都是4。 故答案为：√ 23．用6、2、3这三个数字，组成的三位数一定是2的倍数。（ ） 【答案】× 【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数，据此举例说明即可。 【详解】用6、2、3这三个数字，组成的三位数中，623、263不是2的倍数，所以原题说法错误。 故答案为：× 24．如果a和b都是7的倍数，那么a与b的和也一定是7的倍数。（ ） 【答案】√ 【分析】已知a和b都是7的倍数，可设a＝7m，b＝7n，接着求出a＋b，进而分析解答。 【详解】设a＝7m，b＝7n， 则a＋b＝7m＋7n＝7（m＋n），说明a＋b的和是7的倍数。 原题说法正确。 故答案为：√ 25．把10以内所有的质数相乘，所得的积一定是合数。（ ） 【答案】√ 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；据此找出10以内所有的质数，再把这些质数相乘即可得解。 【详解】10以内的质数有2、3、5、7，2×3×5×7＝210，210的因数除了1和210以外，还有2、3、5、7、105、70、42，所以把10以内所有的质数相乘，所得的积一定是合数的说法正确。 故答案为：√ 四、解答题 26．一种游戏棒每盒60根。如果用3根、4根、5根、6根小棒，分别能搭成正三角形、正方形、正五边形和正六边形。小明用一盒小棒搭了一些正方形和正六边形后，剩下了5根小棒。小红认为小明一定做错了。你的观点呢？请说明理由。 【答案】见详解 【分析】因为游戏棒每盒60根，60是偶数，小明用一盒小棒搭了一些正方形和正六边形，说明用的根数是4和6的倍数，用去的是偶数，剩下的小棒也是偶数，据此解答。 【详解】60是偶数，小明用一盒小棒搭了一些正方形和正六边形，说明用的根数是4和6的倍数，用去的是偶数，剩下的小棒也应该是偶数，所以剩下的不是5根小棒，小明一定做错了。 27．小明家无线网络的密码是一个六位数。从左数第一位既是偶数又是质数。第二位数既是4的倍数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数不是0，且既不是质数也不是合数，第五位数是8的最小因数，最后一位数是最大的一位数。小明家无线网络的密码是多少？ 【答案】249119 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 据此确定每一位上的数，再写出密码即可。 【详解】既是偶数又是质数的数是2，既是4的倍数又是4的因数的数是4，是奇数又是合数的一位数是9，不是0，而且既不是质数也不是合数的是1，8的最小因数是1，最大的一位数是9，所以小明家无线网络的密码是249119。 28．五年级学生参加舞蹈队队员选拔。演出时需要两次队形变换，一次3人一组，一次5人一组，要求不能有剩余，已经有26人选上，至少再选多少人刚好合适？ 【答案】4人 【分析】只要舞蹈队的人数既是3的倍数，也是5的倍数即可，既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数，据此找到比26大，又最小的3和5的倍数，减去已选上人数即可。 【详解】比26大，又是3和5的倍数，最小是30。 30－26＝4（人） 答：至少再选4人刚好合适。 29．食品店运来65个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】如果每2个装一袋，不能正好装完，如果每5个装一袋，能正好装完 【分析】65是5的倍数，但是不是2的倍数，所以5个一袋能正好装完，2个一袋不能正好装完。 【详解】答：如果每2个装一袋，不能正好装完，如果每5个装一袋，能正好装完。因为65的个位是5，65不是2的倍数，65是5的倍数。 30．小梅、小兰、小菊3人的年龄和是39岁，并且她们的年龄是相邻的奇数，已知小梅最小，小菊最大，请问小菊多少岁？ 【答案】15岁 【分析】中间的奇数是三个连续奇数的平均数，由相邻的奇数相差2可知，最大的奇数＝中间的奇数＋2，据此解答。 【详解】39÷3＋2 ＝13＋2 ＝15（岁） 答：小菊15岁。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$