精品解析：福建省 福州市2024-2025学年 九年级上学期期末适应性数学试卷

2024—2025学年第一学期福州市九年级适应性练习 数学 本练习卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分． 注意事项： 1.答题前，学生务必在本练习卷及答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本练习卷上答题无效． 3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4.结束时，学生必须将本练习卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心，中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形，常见的中心对称图形有：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等． 根据中心对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A. 是中心对称图形，故选项符合题意； B. 不是中心对称图形，故选项不符合题意； C. 不是中心对称图形，故选项不符合题意； D. 不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 2. 任意画一个三角形，下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 这个三角形有两条边相等 B. 这个三角形有一个内角是直角 C. 这个三角形三个内角的和是 D. 这个三角形两条边的和等于第三条边 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的三边关系、必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、这个三角形有两条边相等是随机事件，不符合题意； B、这个三角形有一个内角是直角是随机事件，不符合题意； C、这个三角形三个内角的和是是必然事件，符合题意； D、这个三角形两条边的和等于第三条边是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 3. 反比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，掌握在中，当时，图象在第一、三象限，当时，图象在第二、四象限是解题的关键． 由反比例函数所在的象限可得到关于k的不等式，可求得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴． 故选：C． 4. 如图，四边形四边形，则的长度和角的大小分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，因为四边形四边形，则，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5. 某种药品经过两次降价，单价由100元降为81元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用该种药品经过两次降价后的价格=原价每次降价的百分率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 6. 将抛物线沿轴翻折，则变换后抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，点关于x轴对称的特点：两点x坐标相同，y坐标互为相反数是解题的关键． 先由抛物线解析式得到抛物线开口方向和顶点坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征求得翻折后的抛物线顶点坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标， ∴抛物线沿轴翻折后，开口向上，顶点坐标为 ∴抛物线沿轴翻折后解析式为， 故选：D． 7. 如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转的定义，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】解：将绕点C旋转，得到，且点A的对应点D恰好在的延长线上， ， 旋转方向为顺时针时,旋转角度为； 旋转方向为逆时针时,旋转角度为． 故选：A． 8. 如图，四边形内接于，延长交于点，连接．下列四个角中，与一定相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质得到，根据邻补角的概念得到，得到． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 则与一定相等的是， 故选：D． 9. 下列函数中，当时，随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数、二次函数的增减性，根据反比例函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； B、∵，∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而增大，故该选项不符合题意； C、∵，∴开口方向向上，对称轴为，则当时，随的增大而增大，故该选项符合题意； D、∵，∴开口方向向上，对称轴为，则当时，随的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C． 10. 已知是一元二次方程的实数根，，设，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是一元二次方程的实数根，即可得出，代入变形后的得出． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ， ， ， ， ． 故选：C． 第II卷 注意事项： 1.用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本练习卷上作答，答案无效． 2.作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，即可得解． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为； 故答案为：． 12. 如图，为上两点，于点，且，则的长是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，先根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：5． 13. 如图，在中，，分别是，边上的点，若，则的面积与的面积的比是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由且即可证得，然后利用相似三角形的性质即可得出，于是得解． 【详解】解：，且， ， ， 即：的面积与的面积的比是， 故答案为：． 14. 现实生活中二维码随处可见，其中码眼用于帮助识别二维码的方向和位置．如图所示的二维码中有三个码眼，某小组同学为了解该二维码中码眼面积在二维码面积中的占比，利用计算机编程做了随机点生成实验，实验数据如下表所示，则估计“一个点生成在码眼区域”的概率是_____（精确到0.01）． 在二维码内生成的点数 100 200 300 500 700 800 900 1000 在码眼区域内生成的点数 16 15 52 85 120 136 153 170 （结果保留小数点后三位） 0.160 0.175 0.173 0.170 0.171 0.170 0.170 0.170 【答案】0.17 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，“一个点生成在码眼区域”的频率逐渐稳定到0.17附近， ∴估计“一个点生成在码眼区域”概率为0.17， 故答案为：0.17． 15. 如图，是反比例函数的图象上的两点，若是等腰三角形，且，，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形是关键． 作第一象限的角平分线，根据图象对称性得到点、关于直线对称，作轴，垂足为点，可得到，利用解直角三角形得到点坐标，继而求出值． 【详解】解：如图，作第一象限的角平分线，则反比例函数在第一象限分支关于直线对称， ， 点、关于直线对称， ， 作轴，垂足为点， ， ， ，， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：． 16. 二次函数可以写成的形式，其能与函数建立联系，发现当时，，当时，．我们把上述现象称为函数参照取值延后，延后值为．若函数参照取值延后，延后值为3，则的值是_____． 【答案】39 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值，理解新定义是解决本题的关键． 根据取值延后的含义可得，则，即可求得的值． 【详解】解：函数参照取值延后，延后值为3， ∴， ， ， 故答案为：39． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）将方程的左边利用提公因式法进行因式分解，再解一元一次方程即可； （2）将方程的左边利用平方差进行因式分解，再解一元一次方程即可； 解题的关键是掌握解一元二次方程的方法（直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法），能根据方程的特点选择合适的方法解方程． 【小问1详解】 解：∵， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 ∵， ∴或， 解得：，． 18. 已知关于的方程有实数根，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ． 该方程有实数根， ，即， ． 19. 如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，，连接FE． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=，求得∠ABF=，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到∠BAF=∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE=2DE=4，于是得到结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=， ∴∠ABF=， 在△ABF与△ADE中，， ∴△ABF≌△ADE（SAS）， ∴AF=AE； 【小问2详解】 解：由（1）知，△ABF≌△ADE， ∴∠BAF=∠DAE， ∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=， ∴∠FAE=， ∴△AEF是等腰直角三角形， 在Rt△ADE中，∠D=，∠DAE=，DE=2， ∴AE=2DE=4， ∴△AEF的面积=． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键． 20. 已知与相似，点分别对应于点，其中． （1）求的长； （2）如图，将放置在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，的三个顶点均在格点上，请在给出的格点图中画出（仅用无刻度直尺画图，并标明点的位置）． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用网格作相似三角形，掌握相似三角形的性质和网格线的特征是解题的关键． （1）根据相似三角形的性质求解； （2）先根据相似三角形的性质得出为直角三角形，再根据网格的特点作图． 【小问1详解】 解：∵与相似，点分别对应于点， ∴， ． 又， ， ． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 21. 2024世界航海装备大会，以“承载人类梦想驶向星辰大海”为主题，于2024年11月15日至18日在福州海峡国际会展中心举办．为进一步提升学生对航海知识的了解，学校精心组织了一场航海知识竞赛，竞赛设置了A，B，C，D四个赛道．甲，乙两名同学被随机安排参加其中一个赛道，每名同学被安排到各赛道的可能性相同． （1）求甲同学参加A赛道的概率； （2）求甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）直接利用概率公式解答即可； （2）通过画树状图法得出所有等可能的结果数和甲、乙两名同学至少有一人参加A赛道的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得甲同学可能被安排赛道共有4个，分别为A，B，C，D， 并且甲同学被安排到每个赛道的可能性相等， 因此甲同学参加A赛道的概率是． 小问2详解】 解：根据题意，可以画出如下的树状图： 由树状图（表），可以看出甲，乙两名同学分别被安排赛道，可能出现的结果共有16种，且这些结果出现的可能性相等． 其中他们至少有一个人被安排到赛道的结果有7种． 甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率是． 22. 已知锐角三角形内接于为上一点，为上一点，连接，，，与关于直线对称，且． （1）当时，如图1，求证：为的直径； （2）当为的切线时，如图2，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先利用轴对称的性质得到，又由，则，再由圆周角定理得出，然后利用三角形内角和定理即可证得，即可得出结论； （2）作的直径，连接，同（1）可证得，，再根据切线的性质与圆周角定理可证得，从而得出，即可由等角对等边得出结论． 【小问1详解】 证明：与关于直线对称， ， ． ， ． ， ， ，即． ， ， ， 为的直径． 【小问2详解】 证明：作的直径，连接，如图， 与关于直线对称， ， ．， ， ． ， ， ，即． ∴， ∵为的切线，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，圆周角定理及其推论，切线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理及其推论、切线的性质是解题的关键． 23. 如图1所示，一位小朋友在一个半径（内径）为的圆柱形水泥管道内踢球．某次操作时，球沿管壁上升一定高度后脱离管壁到再次触壁前，在管道内的运动轨迹（球心轨迹）是一条抛物线，且在该管道的某一横截面上．如图2所示，在该横截面上，以水泥管道内壁（圆）的最低点为原点，以过点的直径所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系．已知小球从管壁脱离时球心的坐标为，小球球心经过的最高点坐标为． （1）求小球球心轨迹对应抛物线的解析式； （2）当小球的球心落在书包开口中心时，小球恰好落入书包中．若小球在此次运动中恰好落入小朋友的书包内，且此时书包开口的中心到轴所在的水平线距离为，求书包开口中心处的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由于小球脱离管道落入书包的轨迹可以近似看作抛物线，且小球球心经过的最高点坐标是，因而可设该抛物线的顶点式为，将小球从管道脱离时球心的坐标代入，得，解方程即可求出的值，进而可得出小球球心轨迹对应抛物线的解析式； （2）根据题意，将代入，得，解方程即可求出书包开口中心处的坐标． 【小问1详解】 解：小球脱离管道落入书包的轨迹可以近似看作抛物线， 且小球球心经过的最高点坐标是， 设该抛物线的顶点式为， 小球从管道脱离时球心的坐标为， 将代入，得： ， 解得：， 小球球心轨迹对应抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意，将代入，得： ， 解得：，， ， 此时小球的球心在点左侧，与实际不符，故舍去， ，即小球在水泥管道内部， 书包开口中心处的坐标为． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（投球问题），一元二次方程的应用（其他问题），待定系数法求二次函数解析式，解一元一次方程，有理数大小比较的实际应用，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，读懂题意，学会用二次函数及一元二次方程解决实际问题是解题的关键． 24. 在中，为边上一点，连接，点在的延长线上，，连接，过点作于点，交于点，且． （1）当是中点时，如图1，求的度数； （2）当时，如图2． ①求的值； ②若，求的长． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先证明，，再利用三角形内角和定理求解； （2）①，则，再设，则，利用勾股定理求出，即可得求解； ②先证明，得出，即，从而求得，．再过点作，证得，然后利用平行线分线段成比例可求解． 【小问1详解】 解： 为中点， ． ， ， ， ． ， ． ， ， ，即， ． 【小问2详解】 解：①， 设，则． 在中，， ． 设，则， ， 解得， 即， ． ②， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 过点作， ， ， ． ， ， ， ， ，解得， ． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题． 25. 一款多功能桌子，若将4张此款桌子无缝拼接，恰好可以形成中间有圆形镂空的大圆桌，俯视图（从上面看物体，所得图形的形状）如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，大圆的半径为，小圆的半径为，相邻两张桌子接缝的延长线皆过圆心．现将2张此款桌子先后按图2，图3的方式进行无缝拼接． （1）将拼成桌子俯视图的外围周长的值称为桌子的功能值，图2的功能值记为，图3的功能值记为． ①判断大小：_____（填“＞”，“＝”，“＜”）； ②求的大小； （2）如果一个矩形能把一个图形完全覆盖，且每条边与该图形至少有一个公共点，我们称这个矩形为该图形的占地区域．例如，若矩形能把图2完全覆盖，且边是图2大半圆的直径，其余三边与大半圆都只有一个公共点，则矩形为图2的其中一个占地区域（如图4所示）． ①请通过运算说明图4中的矩形不能是图3的占地区域； ②在图4中的矩形中，若只改变该矩形的长，宽不变，或者只改变该矩形的宽，长不变，使得调整后的矩形是图3的占地区域，请画出示意图，并写出调整后的矩形的边长（要求：画出两种符合题意的示意图并写出正确的边长，即可得满分） 【答案】（1）①＝；② （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）①利用弧长公式分别计算，，再比较即可；②直接运用弧长公式计算即可； （2）①先由勾股定理求得矩形的对角线长为，补全两个圆心，连接交于点，根据勾股定理得，可得，再比较即可得出结论；②根据题意设计出方案并画出示意图即可． 【小问1详解】 解：①∵， ， ∴ 故答案为：=； ②； 【小问2详解】 解：①根据题意，得矩形的边长分别为，， 根据勾股定理可得矩形的对角线长为． 如图补全两个圆心，连接交于点， ． 又， ， ． 根据勾股定理得， ． ，即无法在矩形内部， 矩形无法完全覆盖图3， 矩形不能是图3的占地区域． ②方案一：如图， 由题意，得，由①， ∴ ∴调整后的矩形的长为，宽为． 方案二：如图， 设矩形长与弧相切于E、F， 由题意，得，，，， ∴ ∴四边形、四边形都是矩形， ∴矩形的宽为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，， 同理可得， ∴ ∴调整后的矩形的长为，宽为. 方案三： 此时，长为，宽为 方案四： 此时，宽为，长为 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，弧长公式，勾股定理，矩形的性质等知识，关键是要熟练掌握相似三角形的判定与性质，弧长公式，勾股定理，矩形的性质，并学会进行方案设计． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期福州市九年级适应性练习 数学 本练习卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分． 注意事项： 1.答题前，学生务必在本练习卷及答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本练习卷上答题无效． 3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4.结束时，学生必须将本练习卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 任意画一个三角形，下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 这个三角形有两条边相等 B. 这个三角形有一个内角是直角 C. 这个三角形三个内角的和是 D. 这个三角形两条边的和等于第三条边 3. 反比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形四边形，则的长度和角的大小分别是（ ） A. B. C. D. 5. 某种药品经过两次降价，单价由100元降为81元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线沿轴翻折，则变换后抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 8. 如图，四边形内接于，延长交于点，连接．下列四个角中，与一定相等的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列函数中，当时，随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是一元二次方程的实数根，，设，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷 注意事项： 1.用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本练习卷上作答，答案无效． 2.作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为_________． 12. 如图，为上两点，于点，且，则的长是_____． 13. 如图，在中，，分别是，边上的点，若，则的面积与的面积的比是_____． 14. 现实生活中二维码随处可见，其中码眼用于帮助识别二维码的方向和位置．如图所示的二维码中有三个码眼，某小组同学为了解该二维码中码眼面积在二维码面积中的占比，利用计算机编程做了随机点生成实验，实验数据如下表所示，则估计“一个点生成在码眼区域”的概率是_____（精确到0.01）． 在二维码内生成的点数 100 200 300 500 700 800 900 1000 在码眼区域内生成的点数 16 15 52 85 120 136 153 170 （结果保留小数点后三位） 0.160 0.175 0.173 0.170 0.171 0.170 0.170 0170 15. 如图，是反比例函数的图象上的两点，若是等腰三角形，且，，则的值是_____． 16. 二次函数可以写成的形式，其能与函数建立联系，发现当时，，当时，．我们把上述现象称为函数参照取值延后，延后值为．若函数参照取值延后，延后值为3，则的值是_____． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的方程有实数根，求的取值范围． 19. 如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，，连接FE． （1）求证：； （2）若，，求面积． 20 已知与相似，点分别对应于点，其中． （1）求的长； （2）如图，将放置在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，的三个顶点均在格点上，请在给出的格点图中画出（仅用无刻度直尺画图，并标明点的位置）． 21. 2024世界航海装备大会，以“承载人类梦想驶向星辰大海”为主题，于2024年11月15日至18日在福州海峡国际会展中心举办．为进一步提升学生对航海知识的了解，学校精心组织了一场航海知识竞赛，竞赛设置了A，B，C，D四个赛道．甲，乙两名同学被随机安排参加其中一个赛道，每名同学被安排到各赛道的可能性相同． （1）求甲同学参加A赛道的概率； （2）求甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率． 22. 已知锐角三角形内接于为上一点，为上一点，连接，，，与关于直线对称，且． （1）当时，如图1，求证：为的直径； （2）当为的切线时，如图2，求证：． 23. 如图1所示，一位小朋友在一个半径（内径）为的圆柱形水泥管道内踢球．某次操作时，球沿管壁上升一定高度后脱离管壁到再次触壁前，在管道内的运动轨迹（球心轨迹）是一条抛物线，且在该管道的某一横截面上．如图2所示，在该横截面上，以水泥管道内壁（圆）的最低点为原点，以过点的直径所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系．已知小球从管壁脱离时球心的坐标为，小球球心经过的最高点坐标为． （1）求小球球心轨迹对应抛物线解析式； （2）当小球球心落在书包开口中心时，小球恰好落入书包中．若小球在此次运动中恰好落入小朋友的书包内，且此时书包开口的中心到轴所在的水平线距离为，求书包开口中心处的坐标． 24. 在中，为边上一点，连接，点在的延长线上，，连接，过点作于点，交于点，且． （1）当是中点时，如图1，求的度数； （2）当时，如图2． ①求的值； ②若，求的长． 25. 一款多功能桌子，若将4张此款桌子无缝拼接，恰好可以形成中间有圆形镂空的大圆桌，俯视图（从上面看物体，所得图形的形状）如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，大圆的半径为，小圆的半径为，相邻两张桌子接缝的延长线皆过圆心．现将2张此款桌子先后按图2，图3的方式进行无缝拼接． （1）将拼成桌子俯视图的外围周长的值称为桌子的功能值，图2的功能值记为，图3的功能值记为． ①判断大小：_____（填“＞”，“＝”，“＜”）； ②求的大小； （2）如果一个矩形能把一个图形完全覆盖，且每条边与该图形至少有一个公共点，我们称这个矩形为该图形的占地区域．例如，若矩形能把图2完全覆盖，且边是图2大半圆的直径，其余三边与大半圆都只有一个公共点，则矩形为图2的其中一个占地区域（如图4所示）． ①请通过运算说明图4中的矩形不能是图3的占地区域； ②在图4中的矩形中，若只改变该矩形的长，宽不变，或者只改变该矩形的宽，长不变，使得调整后的矩形是图3的占地区域，请画出示意图，并写出调整后的矩形的边长（要求：画出两种符合题意的示意图并写出正确的边长，即可得满分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$