专题2.4 探索直线平行的条件（4大知识点5大考点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.4 探索直线平行的条件（4大知识点5大考点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与考点目录】 【知识点归纳】 【知识点1】同位角、内错角、同旁内角的概念 1. “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如图1. 图1 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图1， （1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. （2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角. （3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 【要点提示】巧妙识别三线八角的两种方法： （1）巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨. （2）借助方位来识别 根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2． 【知识点2】平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【要点提示】 （1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； （2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【知识点3】平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【要点提示】 （1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 【知识点4】直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【要点提示】平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【考点与题型目录】 【考点一】三线八角 【题型1】构成同位角、内错角、同旁内角的截线和被截线..........................4 【题型2】同位角、内错角、同旁内角识别........................................5 【题型3】同位角、内错角、同旁内角与对顶角综合................................5 【考点二】平行公理及其推论 【题型4】平行公理的应用......................................................6 【题型5】平行公理推论的应用..................................................7 【题型6】尺规作图——用直尺、三角板画平行线..................................7 【考点三】平行线的判定 【题型7】同位角相等两直线平行................................................8 【题型8】内错角相等两直线平行................................................9 【题型9】同旁内角互补两直线平行.............................................10 【题型10】垂直于同一直线的两直线平行........................................11 【考点四】平行线的判定综合 【题型11】平行线的判定综合..................................................11 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型12】中考链接..........................................................13 【题型13】拓展延伸..........................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】三线八角 【题型1】构成同位角、内错角、同旁内角的截线和被截线 【例1】（2021七年级下·全国·专题练习）（1）图1中，∠1、∠2由直线 被直线 所截而成． （2）图2中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？ 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图， （1）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角； （2）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角； （3）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图， 与是直线与 被直线所截的同位角； 与 是直线与被直线所截的同位角．    【题型2】同位角、内错角、同旁内角识别 【例2】（24-25七年级上·云南昆明·期末）下列判断错误的是（　　） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）社会热点情境•滑雪）中国滑雪天才少女谷爱凌在北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如图；则在下列判断中①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有 ．（只填序号） 【变式2】（23-24七年级下·广东东莞·期末）如图， 直线a，b被直线c所截， 则∠4的同旁内角是 ． 【题型3】同位角、内错角、同旁内角与对顶角综合 【例3】（2023七年级下·全国·专题练习）（1）如图，直线，被所截，则和 是同位角，和 是内错角，和 是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为（ ）， （ ）， 所以（ ）    【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若，则的同位角的大小是 ，的内错角的大小是 ，的同旁内角的大小是 ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线b，c被直线a所截．如果，那么与其内错角之和等于 ． 【考点二】平行公理及其推论 【题型4】平行公理的应用 【例4】（19-20七年级下·辽宁辽阳·阶段练习）直线l的同侧有A，B，C三点，如果A，B两点确定的直线l1与B，C两点确定的直线l2都与l平行，那么A，B，C三点在同一条直线上，理由是 【变式1】（23-24七年级下·全国·假期作业）下面说法中正确的个数为（    ） 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 两条直线没有公共点就平行； 同一平面内不平行的两条直线一定相交． A． B． C． D． 【变式2】（18-19七年级下·全国·单元测试）如图，AD∥BC，E为AB上一点，过E点作EF∥AD交DC于F，问EF与BC的位置关系，并说明理由. 【题型5】平行公理推论的应用 【例5】（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）下列说法正确的有（填序号）： ． ①同位角相等； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式1】（2024七年级下·天津·专题练习）下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【题型6】尺规作图——用直尺、三角板画平行线 【例6】（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【变式1】（2023·云南昆明·模拟预测）如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·河南郑州·期中）如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    【考点7】平行线的判定 【题型7】同位角相等两直线平行 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，D是延长线上一点，平分．试说明：．    【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线a，b被直线c所截，若，当 时，． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由． 补全以下解题过程： 解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以__________=__________°（角平分线的定义） 又因为， 所以____________________， 所以（__________）． 【题型8】内错角相等两直线平行 【例8】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图． （1）已知，，平分，与平行吗？为什么？ 解：．理由如下： 因为，平分（已知）， 所以（__________）， 又因为（已知）， 所以____________________， 所以（__________）． （2）已知，平分，与平行吗？为什么？ 【变式1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，下列条件中：①；②；③，④，能判定的是 ． 【变式2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）将一副直角三角尺和按如图所示方式放置，其中，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【题型9】同旁内角互补两直线平行 【例9】（23-24七年级下·广东广州·期末）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（     ）． 又∵平分（     ）， ∴______（     ）． （     ）． 又∵（已知）， （______）（     ）． ∴（     ）． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①是公园的一个健身器材，如图②是该器材的正面示意图，若该器材的标准为，则在以下三组数据中：①，；②；③，．满足要求的是 ．（请填写序号） 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，平分，平分，且，试说明：． 【题型10】垂直于同一直线的两直线平行 【例10】（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 【变式2】（22-23八年级上·浙江宁波·开学考试）下列尺规作图能得到平行线的是 ．（填序号） ①  ② ③  ④ 【考点三】平行线的判定综合 【题型11】平行线的判定综合 【例11】（2025七年级下·全国·专题练习）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵（已知）， ∴ （ ）． （2）∵（已知）， ∴（ ） （3）∵（已知）， ∴（ ） （4）∵（已知）， ∴ （ ）． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式2】（22-23七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 【考点12】中考链接与拓展延伸 【题型12】中考链接 【例1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）下列尺规作图不能得到平行线的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2022·吉林·中考真题）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【题型13】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知点、、、在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 解：（1），理由如下： （ ）， （已知）， ． （ ）． （2）与的位置关系是：（ ）． 请完成说理过程： 【例2】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 探索直线平行的条件（4大知识点5大考点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与考点目录】 【知识点归纳】 【知识点1】同位角、内错角、同旁内角的概念 1. “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如图1. 图1 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图1， （1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. （2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角. （3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 【要点提示】巧妙识别三线八角的两种方法： （1）巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨. （2）借助方位来识别 根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2． 【知识点2】平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 【要点提示】 （1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； （2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【知识点3】平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【要点提示】 （1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 【知识点4】直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【要点提示】平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【考点与题型目录】 【考点一】三线八角 【题型1】构成同位角、内错角、同旁内角的截线和被截线..........................4 【题型2】同位角、内错角、同旁内角识别........................................6 【题型3】同位角、内错角、同旁内角与对顶角综合................................7 【考点二】平行公理及其推论 【题型4】平行公理的应用......................................................9 【题型5】平行公理推论的应用.................................................10 【题型6】尺规作图——用直尺、三角板画平行线.................................11 【考点三】平行线的判定 【题型7】同位角相等两直线平行...............................................13 【题型8】内错角相等两直线平行...............................................15 【题型9】同旁内角互补两直线平行.............................................17 【题型10】垂直于同一直线的两直线平行........................................19 【考点四】平行线的判定综合 【题型11】平行线的判定综合..................................................21 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型12】中考链接..........................................................24 【题型13】拓展延伸..........................................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】三线八角 【题型1】构成同位角、内错角、同旁内角的截线和被截线 【例1】（2021七年级下·全国·专题练习）（1）图1中，∠1、∠2由直线 被直线 所截而成． （2）图2中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？ 【答案】（1） EF，CD；AB；（2）不是 ． 【分析】（1）根据三线八角的定义求解即可； （2）根据三线八角的定义求解即可； 解：（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线． 所以图1中，∠1、∠2由直线EF，CD被直线AB所截而成． （2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角． 【点拨】此题主要考查了“三线八角”，熟练掌握：“三线八角”的定义是解答此题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图， （1）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角； （2）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角； （3）和是由直线 与直线 被直线 所截形成的 角． 【答案】 内错 内错 同位 【分析】此题考查了同位角、内错角等知识． （1）-（3）根据角的位置关系进行解答即可； 解：（1）和是由直线与直线被直线所截形成的内错角； （2）和是由直线与直线被直线所截形成的内错角； （3）和是由直线与直线被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，内错，，，，内错，，，，同位 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图， 与是直线与 被直线所截的同位角； 与 是直线与被直线所截的同位角．    【答案】 【分析】本题考查了同位角的概念，熟练掌握两个角分别在截线的同侧，且在两条被截直线的同旁，具有这样位置关系的一对角叫做同位角是解题的关键．根据同位角的概念，结合图形中各角的位置即可顺利完成填空． 解：如图，   与是直线与被直线所截的同位角；与是直线与被直线所截的同位角． 故答案为：，，， 【题型2】同位角、内错角、同旁内角识别 【例2】（24-25七年级上·云南昆明·期末）下列判断错误的是（　　） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与是内错角，故此选项不符合题意； C、与不是同旁内角，故此选项符合题意； D、与是同位角，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）社会热点情境•滑雪）中国滑雪天才少女谷爱凌在北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如图；则在下列判断中①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有 ．（只填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查对顶角，三线八角，根据对顶角和三线八角的定义，逐一进行判断即可． 解：由图可知：与是对顶角；故①正确； 与是同旁内角；故②正确； 与是邻补角；故③错误； 与是内错角；故④正确； 故答案为：①②④． 【变式2】（23-24七年级下·广东东莞·期末）如图， 直线a，b被直线c所截， 则∠4的同旁内角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同旁内角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 根据同旁内角的概念即可得到与是同旁内角． 解：与都在直线a、b之间，且它们都在直线c的同旁， 的同旁内角是． 故答案为：． 【题型3】同位角、内错角、同旁内角与对顶角综合 【例3】（2023七年级下·全国·专题练习）（1）如图，直线，被所截，则和 是同位角，和 是内错角，和 是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为（ ）， （ ）， 所以（ ）    【答案】 已知 对顶角相等 等量代换 【分析】根据对顶角、同位角、内错角及同旁内角的定义，解答即可． 解：如图，直线，被所截，则和是同位角，和是内错角，和是同旁内角； （2）在（1）中，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为（已知）， （对顶角相等）， 所以（等量代换） 故答案为：，，，已知，对顶角相等，等量代换． 【点拨】本题考查了对顶角、同位角、内错角及共旁内角的定义，熟记这些概念，并能熟练应用，是解答这类题目的关键，同时还考查了对顶角相等、等量代换等知识． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若，则的同位角的大小是 ，的内错角的大小是 ，的同旁内角的大小是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查内错角、同位角以及同旁内角，观察图形易得的同位角、内错角都为的邻补角，接下来结合的度数计算即可；同样由图可得的同旁内角为的对顶角，与为对顶角，据此解答． 解：由图可得的同位角、内错角都为的邻补角， 又， 则其同位角大小为； 的内错角大小为； 的同旁内角为的对顶角，则大小为； 故答案为：；；． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线b，c被直线a所截．如果，那么与其内错角之和等于 ． 【答案】 解：因为，所以的内错角的度数为． 因为，所以，所以与其内错角之和为． 【考点二】平行公理及其推论 【题型4】平行公理的应用 【例4】（19-20七年级下·辽宁辽阳·阶段练习）直线l的同侧有A，B，C三点，如果A，B两点确定的直线l1与B，C两点确定的直线l2都与l平行，那么A，B，C三点在同一条直线上，理由是 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】根据平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”进行分析． 解：由题意可知，L1∥L2∥L，且直线L1与直线L2都经过点B，所以根据平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”可得A、B、C三点共线． 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【点拨】此题考查平行公理，熟记“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”是解题关键． 【变式1】（23-24七年级下·全国·假期作业）下面说法中正确的个数为（    ） 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 两条直线没有公共点就平行； 同一平面内不平行的两条直线一定相交． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线公理，垂线的性质，两条直线的位置关系，根据平行线公理、垂线的性质及两条直线的位置关系逐一判断即可求解，掌握平行线公理、垂线的性质及两条直线的位置是解题的关键． 解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该说法正确，符合题意； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不合题意； 在同一平面内，两条直线没有公共点就平行，原说法错误，不合题意； 同一平面内不平行的两条直线一定相交，该说法正确，符合题意； ∴说法正确的有个， 故选：． 【变式2】（18-19七年级下·全国·单元测试）如图，AD∥BC，E为AB上一点，过E点作EF∥AD交DC于F，问EF与BC的位置关系，并说明理由. 【答案】EF∥BC，理由详见分析. 【分析】根据平行于同一直线的两直线互相平行解答． 解：EF∥BC. 理由：∵AD∥BC，EF∥AD， ∴EF∥BC. 【点拨】本题考查了平行公理，熟记平行公理是解题的关键． 【题型5】平行公理推论的应用 【例5】（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）下列说法正确的有（填序号）： ． ①同位角相等； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】③④/④③ 【分析】根据平行线的性质、平行公理逐个判断即可． 解：①两直线平行，同位角相等，故①错误；   ②在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故②错误；   ④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，符合平行公理，故③正确；   ⑤在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确． 故答案为③④． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质及平行公理，理解平行的性质是解答本题的关键． 【变式1】（2024七年级下·天津·专题练习）下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的定义、平行公理及推论，逐项判断即可，熟记平行线的定义、平行公理及推论是解题的关键． 解：∵（1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，是平行的定义，故正确； （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条，是平行公理，故正确； （3）如果，，则，是平行公理推论，故正确； （4）两条不平行的射线，在同一平面内也不一定相交，例如“在同一平面内，点在点的正北方向，点向正西方向作射线，点向正南方向作射线”，两射线不平行也不相交，故原说法错误． ∴正确的是（1）（2）（3）共3个， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线的性质和判定、相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可．掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 【题型6】尺规作图——用直尺、三角板画平行线 【例6】（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 【变式1】（2023·云南昆明·模拟预测）如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作平行线，角平分线，根据题意作出图形，再利用量角器即可求解． 解：根据题意作图如下： 再利用量角器量一量的度数，约为， 故选：B． 【变式2】（22-23七年级下·河南郑州·期中）如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行公理可得答案． 解：由图可得，过直线外一点，能且只能画出一条平行线， 这反映了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点拨】本题考查平行公里，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 【考点7】平行线的判定 【题型7】同位角相等两直线平行 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，D是延长线上一点，平分．试说明：．    【答案】见分析 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据已知可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线a，b被直线c所截，若，当 时，． 【答案】/度 【分析】此题考查了平行线的判定和对顶角的性质．根据对顶角的性质得到，根据同位角相等两直线平行得到即可． 解：如图， 当时， ∵， ∴ ∴． 故答案为： 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由． 补全以下解题过程： 解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以__________=__________°（角平分线的定义） 又因为， 所以____________________， 所以（__________）． 【答案】；60；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，先因为，平分，得，结合，则，即可证明． 解：解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以（角平分线的定义） 又因为， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；60；；；同位角相等，两直线平行． 【题型8】内错角相等两直线平行 【例8】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图． （1）已知，，平分，与平行吗？为什么？ 解：．理由如下： 因为，平分（已知）， 所以（__________）， 又因为（已知）， 所以____________________， 所以（__________）． （2）已知，平分，与平行吗？为什么？ 【答案】（1）见分析；（2）平行，理由见分析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，由内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据同位角相等，两直线平行即可求解． 解：（1）解：．理由如下： ∵，平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义，，，内错角相等，两直线平行； （2）解：平行．理由如下： ∵EF平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，下列条件中：①；②；③，④，能判定的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．利用“同旁内角互补，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”依次判断即可． 解：①由，得到； ②由，得到； ③由，得到； ④由，不能判定出平行． 故答案为：①②③． 【变式2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）将一副直角三角尺和按如图所示方式放置，其中，若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见分析 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平角的定义得到，则，根据内错角相等，两直线平行即可得到结论． 解：． 理由：∵点在上， ． ∵， ， ∴（内错角相等，两直线平行）． 【题型9】同旁内角互补两直线平行 【例9】（23-24七年级下·广东广州·期末）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（     ）． 又∵平分（     ）， ∴______（     ）． （     ）． 又∵（已知）， （______）（     ）． ∴（     ）． 【答案】角平分线的定义；已知；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 解：证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①是公园的一个健身器材，如图②是该器材的正面示意图，若该器材的标准为，则在以下三组数据中：①，；②；③，．满足要求的是 ．（请填写序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了平行线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐一判断即可． 解：①，同旁内角互补，两直线平行，则，满足要求； ②，无法判定，不满足要求； ③，同旁内角互补，两直线平行，则，满足要求； 综上所述：①③符合要求； 故答案为：①③． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，平分，平分，且，试说明：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，再根据同旁内角互补两直线平行可得． 解：因为平分，所以． 因为平分，所以， 所以． 又因为， 所以，， 所以． 【题型10】垂直于同一直线的两直线平行 【例10】（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，垂直的定义，平行线的判定，同角的余角相等，等面积公式，根据垂直的定义，平行线的判定，同角的余角相等，等面积公式逐项判断即可． 解：、根据作图可知：，， ∴，故此选项正确，不符合题意； 、根据作图可知：，， ∴，， ∴，， ∴，故此选项正确，不符合题意； 、根据作图可知：， 根据垂线段最短可知：，故此选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，故此选项错误，符合题意； 故选：． 【变式1】（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为：平行． 【变式2】（22-23八年级上·浙江宁波·开学考试）下列尺规作图能得到平行线的是 ．（填序号） ①  ② ③  ④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查平行线的判定、基本尺规作图，根据基本尺规作图和平行线的判定逐个判断即可． 解：①根据同位角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故①符合题意； ②根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，该尺规作图能得到平行线，故②符合题意； ③根据内错角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故③符合题意； ④根据尺规作图不能得到平行线，故④不符合题意， 故答案为：①②③． 【考点三】平行线的判定综合 【题型11】平行线的判定综合 【例11】（2025七年级下·全国·专题练习）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵（已知）， ∴ （ ）． （2）∵（已知）， ∴（ ） （3）∵（已知）， ∴（ ） （4）∵（已知）， ∴ （ ）． 【答案】 内错角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行作答即可，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 解：（1）∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）； （2）∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）； （3）∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； （4）∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）； 故答案为：（1），，内错角相等，两直线平行； （2）同位角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行； （4），，同位角相等，两直线平行． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的性质是解题关键．根据同位角相等两直线平行，即可判断①；根据内错角相等两直线平行，即可判断②；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断③；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断④，综合即可得出答案． 解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴，故④正确， 综上可得：能判断的条件是①②③④． 故选：D． 【变式2】（22-23七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质以及平行公理．根据平行线的性质得出，，即可推出答案． 解：∵， ∴ （内错角相等，两直线平行）， ∵， ∴ （同旁内角互补，两直线平行）， ∴ （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【考点12】中考链接与拓展延伸 【题型12】中考链接 【例1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）下列尺规作图不能得到平行线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本作图，根据同位角相等两直线平行可对A选项进行判断；根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可对B选项进行判断；根据内错角相等两直线平行可对C选项进行判断；根据平行线的判定方法可对D选项进行判断． 解：A.根据同位角相等两直线平行可知，能得到平行线，故A不符合题意； B.根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可知，能得到平行线，故B不符合题意； C.根据内错角相等两直线平行可知，能得到平行线，故C不符合题意； D.作一个角的平分线和这个角一边的垂线，不一定能够得到平行线，故D符合题意． 故选：D． 【点拨】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定． 【例2】（2022·吉林·中考真题）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】根据“同位角相等，两直线平行”即可得． 解：因为与是一对相等的同位角，得出结论是， 所以其依据可以简单说成同位角相等，两直线平行， 故选：D． 【点拨】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键． 【题型13】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知点、、、在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 解：（1），理由如下： （ ）， （已知）， ． （ ）． （2）与的位置关系是：（ ）． 请完成说理过程： 【答案】（1）平角定义；；同位角相等，两直线平行；（2）平行，理由见分析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的判定． （1）根据平角定义可得，从而利用同角的补角相等可得，然后根据同位角相等，两直线平行可得； （2）根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答． 解：（1），理由如下： （平角定义）， （已知）， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：平角定义；；同位角相等，两直线平行； （2）与的位置关系是：（平行），理由如下： 平分， ， ， ， ， 故答案为：平行． 【例2】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 【答案】任务一：A，B，C；任务二：见分析 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判定即可 解：任务一：如图， ∵ ∴ 又 ∴ ∵, ∴， 故选项A正确； ∵ ∴， 故选项B正确； ∵ ∴， 故选项C正确； D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误； E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误； 所以，能作为判定上述材料中的依据的有A，B，C； 故答案为：A，B，C； 任务二：∵ ∴ 由折叠得， ∴ 又 ∴ 由折叠得， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$