专题08 解三角形中面积、周长、边的最值（范围）问题（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题08 解三角形中面积、周长、边的最值（范围）问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、面积的最值（范围）问题 2 题型二、周长的最值（范围）问题 3 题型三、边长的最值（范围）问题 4 压轴能力测评（14题） 5 一、三角形面积和周长的最值、范围问题 （1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） （3）求周长的模型： （4）基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) （5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 二、解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 【题型一 面积的最值（范围）问题】 一、单选题 1．（2024·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（    ） A． B． C．12 D．15. 2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面四边形中，，则四边形的面积的最大值为 ． 三、解答题 4．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 5．（23-24高一下·全国·阶段练习）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若，求△ABC的面积S的最小值． 6．（23-24高一下·江苏扬州·期中）如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m. (1)求两区域边界的长度； (2)区域为锐角三角形. ①若，求面积的最大值； ②若，求面积的取值范围. 【题型二 周长的最值（范围）问题】 一、单选题 1．（23-24高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 二、填空题 2．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）已知的外接圆的半径为，的长为周长的最大值为 . 三、解答题 3．（23-24高一下·广东惠州·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 4．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为 (1)求A； (2)求周长的最大值. 5．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【题型三 边长的最值（范围）问题】 一、单选题 1．（2024·江苏连云港·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南株洲·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高一下·湖南永州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是 . 三、解答题 4．（24-25高一上·全国·期中）已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 5．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，分别为内角的对边，已知， (1)求的大小； (2)求的取值范围. 6．（23-24高一下·河北沧州·期末）在中，内角所对的边分别是，． (1)求角； (2)若为边上一点，且满足，， ①求的值； ②求的取值范围． 一、单选题 1．（23-24高一下·山东青岛·期中）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C．6 D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）记的内角的对边分别为．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在中，的平分线交AC于点D，，则周长的最小值为 ． 三、解答题 5．（2024·新疆喀什·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求∠C. (2)若，求面积的最小值. 6．（2024·安徽淮北·二模）记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 7．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，，. (1)求的值； (2)求面积的最大值. 8．（23-24高一上·广东·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，设， (1)求角； (2)若，且，求面积的最大值. 9．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，. (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围. 10．（23-24高一下·广东茂名·期中）设内角的对边分别为，已知，． (1)求角； (2)若，求的面积； (3)求的周长的取值范围． 11．（23-24高一下·福建三明·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上，并加以解答． 在中，角，，的对边分别为，，，______． (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 12．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求锐角的面积的取值范围． 13．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为已知． (1)证明:． (2)证明:． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 14．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．    (1)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求； (2)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 解三角形中面积、周长、边的最值（范围）问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、面积的最值（范围）问题 2 题型二、周长的最值（范围）问题 8 题型三、边长的最值（范围）问题 13 压轴能力测评（14题） 19 一、三角形面积和周长的最值、范围问题 （1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） （3）求周长的模型： （4）基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) （5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 二、解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 【题型一 面积的最值（范围）问题】 一、单选题 1．（2024·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（    ） A． B． C．12 D．15. 【答案】C 【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出的关系，再利用余弦定理求出，进而可得出，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由，由正弦定理得，即， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以， 当，即时，取得最大值. 故选：C. 2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可. 【详解】且，, 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ，，，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形，，， ，， ， . 故选：C. 二、填空题 3．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面四边形中，，则四边形的面积的最大值为 ． 【答案】6 【分析】在中，利用正弦定理可得，进而可求得的面积，在中，由余弦定理可得，进而可得的面积，即可得结果. 【详解】在中，由正弦定理，可得， 所以的面积； 在中，由余弦定理， 当且仅当时，等号成立， 即，且，则， 所以的面积； 显然当B、D位于直线AC的两侧时，四边形ABCD的面积较大， 此时四边形的面积. 所以四边形的面积的最大值为. 故答案为：6. 【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点 （1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化； （2）结合三角恒等变换、三角函数以及基本不等式分析运算． 三、解答题 4．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过正弦定理进行边化角，再结合两角和差的正弦公式公式以及辅助角公式可求解出的值； （2）先通过余弦定理结合基本不等式求解出的最大值，然后根据面积公式可求面积的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以. （2）因为，所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 5．（23-24高一下·全国·阶段练习）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若，求△ABC的面积S的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）结合已知条件，先利用进行化简，再利用二倍角公式即可求，从而可求A； （2）结合三角形面积公式、基本不等式、余弦定理即可得到答案. 【详解】（1）由题意可得， 因为， 所以． 因为，所以， 即， 因为， 所以， 所以， 所以， 可得， 即． （2）由（1）知；且， 由余弦定理得， 整理得， 解得或（当时，，故舍去），（当且仅当时取等号）． 从而， 即△ABC面积S的最小值为． 6．（23-24高一下·江苏扬州·期中）如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m. (1)求两区域边界的长度； (2)区域为锐角三角形. ①若，求面积的最大值； ②若，求面积的取值范围. 【答案】(1). (2)①；② 【分析】（1）根据平面几何的知识求解即可； （2）①利用余弦定理及基本不等式求解面积的最大值即可；②运用正弦定理将表示出来，求其范围，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）（1）在 中, , 所以 ， 因为 , 所以 即 是直角三角形, 所以 （2）①在 中, 由余弦定理知, 所以 即 ，当且仅当 时，等号成立, 所以 面积 故 面积的最大值为 . ②在 中, 由正弦定理知 所以 因为 为锐角三角形, 所以 , 解得 , 所以 , 所以 , 所以 面积 故 面积的取值范围为 【题型二 周长的最值（范围）问题】 一、单选题 1．（23-24高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB，利用余弦定理和基本不等式求出和的范围判断CD即可. 【详解】选项A，由可得， 又是的内角，， 所以，由正弦定理得， 因为中，所以，即， 所以，A说法错误； 选项B，设的外接圆半径为，因为， 所以由正弦定理得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由正弦定理可得，解得， 由余弦定理得，即，解得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积，C说法错误； 选项D，由C知， 解得，当且仅当时等号成立， 由三角形的性质知， 所以，D说法正确； 故选：D 二、填空题 2．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）已知的外接圆的半径为，的长为周长的最大值为 . 【答案】21 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出角，再利用余弦定理结合基本不等式求解即得. 【详解】由的外接圆的半径为且，得， 而，则或，由余弦定理得， 当时， ，当且仅当时取等号， 因此当时，，的周长最大值为21； 当时， ，当且仅当时取等号， 因此当时，，的周长最大值为， 而，所以的周长最大值为21. 故答案为：21 三、解答题 3．（23-24高一下·广东惠州·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 【答案】(1). (2)6 【分析】（1）分别选三个条件，结合三角恒等变换，以及边角互化，化简后即可求解； （2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积 【详解】（1）选①， 由正弦定理可得，即得， 即有，由于，可得，即. 选②， 由正弦定理可得， 因为，，所以，即. 由于，可得. 选③， 由正弦定理和诱导公式可得，即为， 由余弦定理可得. 由于，可得. （2）由（1）知，由余弦定理可得， 即为，而，即. 若，则，可得（当且仅当时取得等号）， 则，所以周长的最小值为6. 4．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为 (1)求A； (2)求周长的最大值. 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示得，代入已知等式，结合正余弦边角关系得，最后由三角形内角性质求角的大小； （2）由（1）得，，再由正弦定理可得，结合基本不等式求周长最大值，注意取值条件. 【详解】（1）已知向量， 则， 则， 所以， 则， 所以， 又， 故且， 所以， 又， 则； （2）由（1）知：， 则， 由正弦定理可得：的外接圆半径为， 则， 即， 所以， 则，当且仅当且，即时等号成立， 故三角形周长的最大值为 5．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求周长的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理得， 故， 在中，，，所以， 可得，而，故即. （2）由正弦定理的得，， 因为，则， 所以， 因为为锐角三角形，则，，，故， 所以周长的取值范围. 【题型三 边长的最值（范围）问题】 一、单选题 1．（2024·江苏连云港·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦推理得，又由正弦定理得，根据角A的范围利用余弦函数性质求解值域即可求解. 【详解】由，得，， 由正弦定理可得，即， 所以，所以或（舍去），所以， 由正弦定理得,， 而，，所以， 所以，所以，所以的取值范围为. 故选：B 2．（23-24高一下·湖南株洲·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理可得，再根据三角恒等变换可得，由三角形形状得出角的取值范围可得结果. 【详解】由及正弦定理得， 所以，得， 所以或（舍去），所以， 因为是锐角三角形，故，解得， 故，， . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二倍角公式将化简得出对应表达式，由得出取值范围. 二、填空题 3．（23-24高一下·湖南永州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】由明确边上的高等于边的一半，做出边上的高，设，用表示出，再结合换元法和基本不等式，求的最大值. 【详解】如图： 过作于. 因为，所以. 设，则 设，则 若，则；若，则； 当时， （当且仅当即时取“”）. 所以 故答案为： 【点睛】方法点睛：求取值范围得问题，常用的方法有： （1）结合二次函数的单调性，求二次函数在给定区间上的最值； （2）利用基本不等式，求最值； （3）利用三角函数的有界性求最值； （4）判断函数的单调性，求最值. 三、解答题 4．（24-25高一上·全国·期中）已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式求解即可； （2）先利用三角形的面积公式求出，再根据余弦定理结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以， 因为，所以， 所以，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 5．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，分别为内角的对边，已知， (1)求的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）利用正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 整理得， 所以， 又，所以； （2）由正弦定理得 ， 因为，所以， 所以，所以， 而， 所以，则， 所以. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 6．（23-24高一下·河北沧州·期末）在中，内角所对的边分别是，． (1)求角； (2)若为边上一点，且满足，， ①求的值； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）先利用余弦定理把等式的左边进行化简为，然后利用三角形的性质把左边继续化简为，然后再利用正弦定理即可求解. （2）根据，判断出AD是的平分线，然后利用等面积法得到，即可求解；根据正弦定理进行边化角把表示出来即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，等式左边， 因为，所以，所以等式左边． 所以，化简得， 由正弦定理得， 因为，所以， 代入上式化简得． 因为，所以，所以， 即，因为，所以． （2）①，所以AD是的平分线， 由（1）知，，所以， 在中，， 即， 化简得，则． ②在中，由正弦定理得． 即， 在中，由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以． 因为．所以，所以， 所以的取值范围为． 一、单选题 1．（23-24高一下·山东青岛·期中）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理及两角和的正弦公式得，代入“三斜求积”公式，利用二次函数求解最值. 【详解】因为，所以， 所以， 由正弦定理得，又，所以 ， 所以当即时，面积的最大值为. 故选：B 2．（2024·四川成都·模拟预测）记的内角的对边分别为．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据边的关系求出的范围，然后表示出，求出其范围，进而可得的范围i，则的范围可求. 【详解】根据三角形三边关系可得，即， 又， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以， 所以，又为三角形的内角， 所以， 所以. 故选：C. 3．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得，借助两边的和大于第三边得，再将所求消去a，借助不等式性质求出范围. 【详解】由，得，， 在中，由，得，于是，即， 因此， 所以的取值范围为. 故选：C 二、填空题 4．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在中，的平分线交AC于点D，，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据等面积法得，进而结合基本不等式得，，当且仅当时等号成立，再结合余弦定理得，当且仅当时等号成立，进而得周长最小值. 【详解】根据题意，设，， 因为，，，， 所以，即， 所以， 因为根据基本不等式有， 所以，，当且仅当时等号成立， 由余弦定理得 ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 所以周长的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 三、解答题 5．（2024·新疆喀什·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求∠C. (2)若，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合正余弦定理分析运算； （2）根据题意利用正弦定理可得，结合基本不等式解得，进而可得结果. 【详解】（1）因为， 即， 整理得， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 且，可得 （2）因为，由正弦定理可得， 整理得，当且仅当时，等号成立， 解得， 则面积， 所以面积的最小值为. 6．（2024·安徽淮北·二模）记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】（1）根据题意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解； （2）由（1）和，得到，则周长为，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得，所以， 即，所以， 又由余弦定理得，可得，所以， 所以是直角三角形 （2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得， 所以周长为， 因为，可得， 所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为. 7．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，，. (1)求的值； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理角换边可得，进而利用正弦定理可得； （2）根据余弦定理和三角形面积公式得，进而可得最大值为. 【详解】（1）由题意： 则， 则， 则， 又由余弦定理得得， 所以 （2）由余弦定理得，又，所以 当即时取得最大值，即， 此时，又，满足构成三角形的条件， 故的最大值为. 8．（23-24高一上·广东·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，设， (1)求角； (2)若，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理，化简得到，得到，进而求得的大小； （2）解法一：由余弦定理化简得到，再根据，化简得到，两式联立，结合基本不等式，求得，进而的面积的最大值； 解法二：延长至，使，连，在中，由余弦定理和基本不等式求得，结合，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 整理得， 可得， 即， 因为，则，所以， 可得，即， 又因为，可得，所以，所以. （2）解法一：在中，由余弦定理得，即，① 因为，所以且，即， 在和中，由余弦定理可得， 即，即，② 联立①②消去，可得， 因为，当且仅时，等号成立，所以，即， 所以的面积. 故面积最大值为. 解法二：延长至，使，连，则且， 可得， 在中，由余弦定理得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，所以的面积. 故面积最大值为.    9．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，. (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得到，由余弦定理得到； （2）由正弦定理得到，，故，由得到，进而得到，求出答案. 【详解】（1）因为，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）由正弦定理得， 所以， 由（1）得， 故 因为，所以，故， 所以，， 故， 则. 10．（23-24高一下·广东茂名·期中）设内角的对边分别为，已知，． (1)求角； (2)若，求的面积； (3)求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式计算可得； （2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得； （3）由正弦定理将边化角，再化简得，再由求得的取值范围，即可得周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 即， 所以， 又，所以，则， 又，所以. （2）因为，，， 由余弦定理得， 即， 解得， 所以的面积. （3）因为，， 由正弦定理得， 因为， 所以 ， 因为， 所以，， 所以， 即， 所以周长的取值范围为. 11．（23-24高一下·福建三明·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上，并加以解答． 在中，角，，的对边分别为，，，______． (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，选择①②③用正弦定理或余弦定理求得； （2）根据是锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦定理建立边与角的式子即可. 【详解】（1）若选条件①，由正弦定理得， 所以， 即， 因为，所以． 若选条件②，由余弦定理， 所以， 即，， 所以， 因为，所以． 若选条件③，由正弦定理得， 所以， 又因为, 所以，又， 所以，因为，所以． （2）因为是锐角三角形，， 所以，所以， 由正弦定理可得， ， 因为，所以， 所以，即的取值范围为． 12．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求锐角的面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的和差公式求得的值，从而得解； （2）利用正弦定理和三角形面积公式，结合三角函数恒等变换得到关于的表达式，再由锐角得到的取值范围，从而得解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理，得． 又在中，， 所以，则， 又，则，所以， 又，所以. （2）因为，则， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 故，则. 13．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为已知． (1)证明:． (2)证明:． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）用余弦定理化简即可证明； （2）结合(1)根据正弦定理得到，三角恒等变换得到，根据范围得到证明； （3）由，根据锐角三角形确定，得到范围. 【详解】（1）由余弦定理结合， 可得， 化简得：，证毕； （2）由(1) 结合正弦定理可得：， 即， 即， 即， 因为，，故或(舍去)， 则，证毕. （3）由(2)可得， 因为为锐角三角形， 可得，即， 解得：，即有， 所以， 即的取值范围为 14．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．    (1)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求； (2)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】(1) (2)时，的面积取最小值为 【分析】（1）设（），则由与面积关系得，再在中由正弦定理得，进而建立等量关系即可求解. （2）在中由正弦定理得，再在中得，接着由面积公式结合三角恒等变换公式进行转换即可研究求解最值. 【详解】（1）设（），则， 因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍， 所以，即， 中，由三角形外角定理可得， 在中，由，得， 从而，即， 由，得， 所以，即. （2）∵，，， ∴，∴，∴，∴， 设（），则，， 又由（1）， 且在中，由，得， 所以 ， 又，所以当且仅当时，即时， 的面积取最小值为. 【点睛】思路点睛：求解鱼塘的面积最小值可根据问题确定变量为，面积公式为，再将统一用来表示即可结合三角恒等变换公式求解.. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$