第03讲 平面向量基本定理及坐标表示（春季讲义）-2024-2025学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第03讲 平面向量基本定理及坐标表示 【人教A版2019】 模块一 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【题型1 用基底表示向量】 【例1.1】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在平行四边形中，点是的中点，且，设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1.1】（2024·福建福州·模拟预测）如图，梯形的腰的中点为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知六边形ABCDEF为正六边形，且，，以下不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【题型2 利用平面向量基本定理求参数】 【例2.1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，在中，已知，P为上一点，且满足，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一下·河北·期末）在中，为线段上（不包含端点）不同的两个动点．若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【变式2.2】（23-24高一下·浙江·期中）如图，在四边形中，，，为线段上一个动点（含端点），，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 平面向量基本定理的应用】 【例3.1】（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）在中，点O满足，过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N．设，，则的最小值是（    ） A．3 B．1 C． D． 【例3.2】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C．3 D． 【变式3.1】（23-24高一下·河南商丘·期末）已知所在平面内一点满足（为非零实数），且的面积为12，则的面积为（    ） A．12 B．9 C．6 D．4 【变式3.2】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），若，，记的最小值为m，的最小值为n，则（    ） A．， B．， C．， D．， 模块二 平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，，，. (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 4．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果 用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 5．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【题型4 平面向量线性运算的坐标表示】 【例4.1】（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【例4.2】（24-25高三·江西·阶段练习）已知向量，满足，，，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式4.1】（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式4.2】（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【题型5 平面向量数量积的坐标表示】 【例5.1】（23-24高一下·广西河池·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C．2 D． 【例5.2】（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）在中，，设点D为的中点，点在上，且，则（    ） A．16 B．12 C．8 D． 【变式5.1】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）菱形边长为，为平面内一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 向量夹角的坐标表示】 【例6.1】（23-24高一下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（2024高三·全国·专题练习）平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则（　） A． B． C．1 D．2 【变式6.1】（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（2024·湖北·二模）已知平面向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【题型7 坐标计算向量的模】 【例7.1】（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知平面向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例7.2】（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式7.1】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，满足，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（23-24高一下·福建·阶段练习）已知向量，满足，，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．向量，的夹角是 D． 【题型8 向量共线、垂直的坐标表示】 【例8.1】（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【例8.2】（23-24高一下·河北张家口·期末）已知平面向量，若，则（    ） A． B． C．2 D．12 【变式8.1】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量. (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若与垂直，求的值. 【变式8.2】（23-24高一下·安徽六安·期末）已知向量. (1)若，求； (2)若与共线，求的值. 【题型9 向量坐标运算与平面几何的交汇】 【例9.1】（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例9.2】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）在平行四边形中，，边的长分别为. 若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9.1】（23-24高一下·山东潍坊·期末）如图，在直角梯形中，，，，是的中点.    (1)求； (2)连接，交于点，求； (3)若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值. 【变式9.2】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，，. (1)求的值； (2)线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的位置，若不存在，请说明理由； (3)若是内一点，且满足，求的最小值. 一、单选题 1．（23-24高二下·四川德阳·期末）平面向量，，若，则实数（    ） A． B．9 C． D．7 2．（24-25高一上·北京房山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知向量，，且与方向相反，若，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，且是线段的一个三等分点（靠近点），则向量（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河南商丘·三模）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·重庆·期中）已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（    ） A． B． C．1 D． 7．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·北京大兴·期中）在四边形ABCD中， ．若P为线段上一动点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、多选题 9．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）已知，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 10．（23-24高一下·福建漳州·期中）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 11．（24-25高三上·山东菏泽·期中）如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（    ） A． B．最小值为-2 C．在上的投影向量为 D．若的最大值为 三、填空题 12．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ． 13．（2024·四川内江·一模）在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为 ． 14．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ． 四、解答题 15．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 16．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知向量，满足. (1)求向量与的夹角； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)若向量与垂直，求实数的值. 17．（24-25高二上·四川巴中·开学考试）如图所示，在中，，点D，E分别在AB，AC上且满足，P为线段DE上一动点． (1)若，求的值； (2)求的最小值． 18．（23-24高一下·重庆·期中）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线. (1)求实数的值； (2)若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标. 19．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平面向量基本定理及坐标表示 【人教A版2019】 模块一 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【题型1 用基底表示向量】 【例1.1】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在平行四边形中，点是的中点，且，设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】以，表示出，，，设，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【解答过程】因为，， ， 设，则， 即， 又，不共线，所以，解得，所以. 故选：C. 【例1.2】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】由题意，根据相似三角形可得，结合平面向量的线性运算即可求解. 【解答过程】由题意知，， 由，得，所以， 在中，， 即， 即，整理得. 故选：C. 【变式1.1】（2024·福建福州·模拟预测）如图，梯形的腰的中点为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据图形，利用向量的几何运算得到，即可求解. 【解答过程】因为，又，所以， 又为腰的中点，所以， 故选：A. 【变式1.2】（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知六边形ABCDEF为正六边形，且，，以下不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据正六边形的特征求出,，再由向量加法的三角形法则以及向量的减法即可求解. 【解答过程】如图，设    因为六边形ABCDEF为正六边形， 所以，且. 又是等腰三角形，所以， 从而可有， 则， 所以,同理有. 所以，所以选项A不符合题意； ，所以选项B不符合题意； ，所以选项C符合题意； ，所以选项D不符合题意. 故选：C. 【题型2 利用平面向量基本定理求参数】 【例2.1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，在中，已知，P为上一点，且满足，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据三点共线可得，且，结合题意可得，根据平面向量基本定理列式求解即可. 【解答过程】因为三点共线，则，且， 又因为，即，则， 且，则，解得. 故选：A. 【例2.2】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据、三点共线，可得、，利用平面向量线性运算的应用将表示，由此可得方程组求得，进而得到的值. 【解答过程】连接，如图， 因为三点共线，设，则， 所以； 因为三点共线，设，则， 所以， 则，解得，所以， 则，所以. 故选：D. 【变式2.1】（23-24高一下·河北·期末）在中，为线段上（不包含端点）不同的两个动点．若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【解题思路】依题意设，根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理得到方程组，整理得解. 【解答过程】因为，所以， 设， 则 ， 又，且、不共线， 则，所以． 故选：C. 【变式2.2】（23-24高一下·浙江·期中）如图，在四边形中，，，为线段上一个动点（含端点），，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，以为基底表示后可得，求出后结合可求的范围. 【解答过程】设，则， 故， 又，因不共线， 所以，故，所以， 因为，故， 故选：C. 【题型3 平面向量基本定理的应用】 【例3.1】（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）在中，点O满足，过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N．设，，则的最小值是（    ） A．3 B．1 C． D． 【解题思路】利用共线定理的推论可得，然后利用换元法结合二次函数性质求出最值即可. 【解答过程】由题可知，， 因为，，所以，， 因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以，则，则， 所以，当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 【例3.2】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C．3 D． 【解题思路】借助平面向量线性运算与三点共线定理及基本不等式计算即可得. 【解答过程】由点是的重心，，， 故， 由、、三点共线，故， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高一下·河南商丘·期末）已知所在平面内一点满足（为非零实数），且的面积为12，则的面积为（    ） A．12 B．9 C．6 D．4 【解题思路】设的中点为，连接，由得，即点到直线的距离等于点到直线的距离的倍，故. 【解答过程】如图所示，设的中点为，连接， 由条件知， 所以，而为的中点， 所以点到直线的距离等于点到直线的距离的倍， 所以， 故. 故选：C. 【变式3.2】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），若，，记的最小值为m，的最小值为n，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】由四边形ABCD为平行四边形，得及且，再通过二次函数求最小值；由及点Q在对角线BD上，得，再通过基本不等式求最小值. 【解答过程】因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 又点P在对角线AC上（不包括端点A，C），所以且， 则，当时，． 同理，因为点Q在对角线BD上（不包括端点B，D）， 所以且，， 则， 当且仅当，时取得等号，所以． 故选：A． 模块二 平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，，，. (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 4．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果 用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 5．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【题型4 平面向量线性运算的坐标表示】 【例4.1】（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【解答过程】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 【例4.2】（24-25高三·江西·阶段练习）已知向量，满足，，，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【解题思路】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数 【解答过程】设，，所以，且，解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B. 【变式4.1】（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】构建以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求，，得到两个关系式，即可求值； 【解答过程】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 因为， ， 化简，即 化简得，即 所以，即, 故选：B. 【变式4.2】（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【解题思路】建立直角坐标系，求出三点坐标，利用坐标表示向量，然后根据条件求解即可 【解答过程】    如图，，又扇形的半径为，所以， 即， 所以， 由，得， 所以， 故选：B. 【题型5 平面向量数量积的坐标表示】 【例5.1】（23-24高一下·广西河池·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】根据向量的数量积的坐标表示计算即可. 【解答过程】因为， 所以， 所以. 故选：D. 【例5.2】（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）在中，，设点D为的中点，点在上，且，则（    ） A．16 B．12 C．8 D． 【解题思路】以为原点，建立如图坐标系，结合向量的坐标运算即可. 【解答过程】在中，，，，以为原点，建立如图坐标系， 则，，，，设， 则，，， 由题意可知，即，解得. 则，所以. 故选：A. 【变式5.1】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用向量共线的坐标运算，得到，再利用向量数量积的坐标运算，即可求出结果. 【解答过程】因为，，又，所以， 故. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）菱形边长为，为平面内一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，建立平面直解坐标系，设，，则，利用数量积的坐标运算，可得，即可求解. 【解答过程】如图，连接交于，因为为菱形，建立如图所示的平面直角坐标系，    又菱形边长为，设，，则， 所以， 则， 得到， 所以， 故选：D. 【题型6 向量夹角的坐标表示】 【例6.1】（23-24高一下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由向量夹角的余弦的坐标公式直接计算即可得解. 【解答过程】根据题意知O为坐标原点，，， 所以，， 则. 故选：C. 【例6.2】（2024高三·全国·专题练习）平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则（　） A． B． C．1 D．2 【解题思路】首先求出，，，根据夹角公式得到，从而得到，最后由数量积的坐标表示计算可得. 【解答过程】因为，，所以， ，， 因为，，所以， 又，所以， 即，解得. 故选：D. 【变式6.1】（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可得，，四边形为直角梯形，建立平面直角坐标系，利用向量夹角公式运算得解. 【解答过程】，，则且， 又，，所以，则， 所以四边形为直角梯形，如图，以点为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，，所以，， 所以. 故选：B. 【变式6.2】（2024·湖北·二模）已知平面向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得，再由平面向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】， ， ， ，． 故选：B. 【题型7 坐标计算向量的模】 【例7.1】（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知平面向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据模的坐标运算得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解. 【解答过程】因为，所以，， 又因为，所以，则， 所以. 故选：C. 【例7.2】（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】由题意，求出，的坐标，利用向量垂直的坐标表示列示求出，进而求出. 【解答过程】因为，，所以，， 又，所以， 所以， 因为，所以，即， 解得，所以，所以． 故选：A． 【变式7.1】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，满足，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量模长的坐标表示由二次函数最值计算即可得答案. 【解答过程】由条件可知， 则 ， 易知当时，. 故选：B. 【变式7.2】（23-24高一下·福建·阶段练习）已知向量，满足，，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．向量，的夹角是 D． 【解题思路】根据数量积的坐标运算以及模长公式可得或，即可求解A，根据模长公式即可求解CD，利用夹角公式即可求解C. 【解答过程】对于A,设，则，解得， 由于，故或，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，，，故C正确， 对于D，，D正确， 故选：A. 【题型8 向量共线、垂直的坐标表示】 【例8.1】（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用平面向量坐标运算法则求出，再由向量，求出实数值. 【解答过程】因为向量，，可得， 因为，所以，解得：， 故选：C. 【例8.2】（23-24高一下·河北张家口·期末）已知平面向量，若，则（    ） A． B． C．2 D．12 【解题思路】由，列方程可求出，再由，列方程可求出，即可求得. 【解答过程】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以. 故选：C. 【变式8.1】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量. (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若与垂直，求的值. 【解题思路】（1）根据单位向量的定义，结合共线向量的坐标运算公式求解即可； （2）根据向量平方和数量积的坐标运算公式进行计算即可. 【解答过程】（1）因为两向量共线，是单位向量， 所以设， 得到解得或 得或. （2）因为与垂直， 所以，而， 即， 解得. 【变式8.2】（23-24高一下·安徽六安·期末）已知向量. (1)若，求； (2)若与共线，求的值. 【解题思路】（1）根据向量垂直的坐标表示可得，进而可求； （2）根据向量共线的坐标表示求得. 【解答过程】（1）因为，则， 又因为，则， 解得， 则，所以. （2）由题意可得：， 因为∥，则， 解得. 【题型9 向量坐标运算与平面几何的交汇】 【例9.1】（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，可得，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围. 【解答过程】正八边形的每个内角为， 延长交直线于点，延长交直线于点， ，则为等腰直角三角形， 且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、， 设点，则，，， 所以，， 故选：B. 【例9.2】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）在平行四边形中，，边的长分别为. 若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用坐标法，设，可得，然后利用二次函数的性质即得. 【解答过程】建立如图所示的直角坐标系，则，， 设，， 则， 所以， 因为，函数的对称轴为， 所以时，， 故选：B. 【变式9.1】（23-24高一下·山东潍坊·期末）如图，在直角梯形中，，，，是的中点.    (1)求； (2)连接，交于点，求； (3)若，，，…，为边上的等分点，当时，求的值. 【解题思路】（1）建立合适的直角坐标系，再求出相关向量，根据向量数量积的坐标公式即可； （2）设，，根据向量坐标运算得到方程组，解出，最后利用向量模的坐标公式即可； （3）首先证明，最后转化为求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以以为坐标原点，为轴，为轴， 建立如图所示平面直角坐标系，则，，所以.    （2）设，， ，所以， 所以， 所以，解得， 所以. （3）在中，因为为中点，所以， 又因为是边的101等分点， ， 所以， 所以 由（2）得， 所以， 所以. 【变式9.2】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，，. (1)求的值； (2)线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的位置，若不存在，请说明理由； (3)若是内一点，且满足，求的最小值. 【解题思路】（1）应用向量的加减法转化向量的数量积即可； （2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参； （3）先转化表示数量积，再结合基本不等式求出最小值即可. 【解答过程】（1）， ， （2）设， ， ， ， ， ， 解得； （3）， 所以， ， ， ， ， ，，、、三点共线， ， 当且仅当即为中点时取等号， 而， 所以的最小值为. 一、单选题 1．（23-24高二下·四川德阳·期末）平面向量，，若，则实数（    ） A． B．9 C． D．7 【解题思路】由向量的数量积公式结合向量垂直公式得参数. 【解答过程】由，可知， ，即， 故选：B. 2．（24-25高一上·北京房山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【解题思路】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可. 【解答过程】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 3．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知向量，，且与方向相反，若，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由共线反向求出的值，再由在方向上的投影向量的公式求解即可. 【解答过程】由题意知向量，共线， 故，解得或， 又因为与方向相反，所以，所以，而， 则在方向上的投影向量是 ， 即在方向上的投影向量的坐标是. 故选：B. 4．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，且是线段的一个三等分点（靠近点），则向量（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，由题得，解方程组即得解. 【解答过程】设， 由题得， ∴. 故. 故选：A. 5．（2024·河南商丘·三模）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】作出辅助线，得到，，从而，，得到，得到答案. 【解答过程】连接DE， 由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则， 故. 又，所以，则. 故选：A. 6．（24-25高三上·重庆·期中）已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】求与，使之共线并求出的值，即可得解． 【解答过程】因为， ． 假设三点共线，则，即． 所以只要，则三点即可构成三角形. 故选：C. 7．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量的基本定理推导出，即，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解答过程】因为，则，所以，， 因为为的中点，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，， 因为，，则，， 所以，， 因为、不共线，所以，，所以，， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 8．（23-24高一下·北京大兴·期中）在四边形ABCD中， ．若P为线段上一动点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【解题思路】建立平面直角坐标系，表示出，利用二次函数求最值求出最大值. 【解答过程】因为，以为原点，以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，如图， ，，，，设， ，， 所以， 因为，所以当时取得最大值. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）已知，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 【解题思路】根据向量平行的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可判断C；由向量与向量的夹角为钝角，可得且不共线，进而可判断D. 【解答过程】对于A，若，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，， 则， 当时，，故C正确； 对于D，因为向量与向量的夹角为钝角， 所以且不共线， 由，得， 由得， 所以的取值范围为，故D错误. 故选：ABC. 10．（23-24高一下·福建漳州·期中）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 【解题思路】先利用向量的线性运算判断AC，再利用三点共线得到，进而利用基本不等式与“1”的妙用即可得解. 【解答过程】如图所示，因为，则，即， 所以，故A错误； 又因为， 所以，故C正确； 因为三点共线，则， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误； 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确. 故选：BC. 11．（24-25高三上·山东菏泽·期中）如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（    ） A． B．最小值为-2 C．在上的投影向量为 D．若的最大值为 【解题思路】由已知是的中点，易得，可判断A；根据投影向量的定义可判断C；以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系，设，则，写出各点坐标，表示各向量的坐标，用向量的坐标运算及三角恒等变形可判断C、D. 【解答过程】以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系（如图）， 设，则，在中，，，是的中点， 所以， ，则 ，，，， 所以，，， 对于A：因为是的中点，所以，故A正确； 对于B： 因为，所以，当时，取得最小值， 所以最小值为，故B正确； 对于C：在上的投影向量为，故C错误； 对于D：因为所以， 则，当时，取最大值.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ． 【解题思路】用向量表示，再利用点M，O，N共线列式计算作答. 【解答过程】因平行四边形的对角线相交于点，则， 而，于是得， 又点M，O，N共线， 因此，，即，又，解得， 所以. 故答案为：. 13．（2024·四川内江·一模）在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为 ． 【解题思路】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得出，即可得解. 【解答过程】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 在平行四边形中，已知，，，点在边上，， 则、、、，则，， 所以，. 故答案为：. 14．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ． 【解题思路】建系标点，设，根据向量的坐标表示可得，进而可得取值范围. 【解答过程】如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 可得， 若， 则，解得， 可得， 因为，则，可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 【解题思路】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，再由即可得解； （2）利用平面向量的共线定理到，进而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解. 【解答过程】（1）因为，则，所以， 因为为的中点，故. （2）因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 16．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知向量，满足. (1)求向量与的夹角； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)若向量与垂直，求实数的值. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用向量的夹角公式计算即可. （2）利用投影向量的定义求解即得. （3）根据向量垂直关系的坐标表示列式求解即可. 【解答过程】（1）由，得，， 因此，而， 所以向量与的夹角. （2）向量在向量上的投影向量为. （3）依题意，，，由向量与垂直， 得，所以. 17．（24-25高二上·四川巴中·开学考试）如图所示，在中，，点D，E分别在AB，AC上且满足，P为线段DE上一动点． (1)若，求的值； (2)求的最小值． 【解题思路】（1）根据三点共线，可设（），由向量的减法可得，再以为基底表示，结合可得的值. （2）把用表示，可得关于的二次式，再利用二次函数的值域问题求解. 【解答过程】（1）因为 ， . 因为三点共线，可设（）. 所以 ， 又，所以， 所以. （2）由题意知：，，. （）. 当时，取得最小值，为：. 18．（23-24高一下·重庆·期中）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线. (1)求实数的值； (2)若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标. 【解题思路】（1）首先求，再根据向量，列式求解； （2）（ⅰ）根据向量的坐标运算，即可求解；（ⅱ）根据，列式求解. 【解答过程】（1） 则则； （2）（ⅰ），向量的坐标为； （ⅱ）设的坐标为，∵，，，恰好为构成平行四边形 则，， 解得：，∴的坐标为. 19．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【解题思路】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】（1）解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$