第6章 一次方程组 单元测试卷-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（华东师大版2024）

第6章 一次方程组 单元测试卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下面二元一次方程的解为的是（    ） A． B． C． D． 3．用加减消元法将方程组中的未知数消去，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 4．若是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A．， B．， C．， D．， 5．某工厂有26名工人，一个工人每天可加800个螺栓或1000个螺帽，1个螺栓与2个螺帽配套．现要求工人每天加工的螺栓和螺帽完整配套且没有剩余．若设安排个工人加工螺栓，个工人加工螺帽，则列出正确的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 6．已知方程组，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．若与互补，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．若关于、的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 9．老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（   ） A．65 B．70 C．72 D．75 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．已知方程，用含x的式子表示y，则 ． 12．如果与是同类项，那么 ． 13．若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 14．已知和都是方程的解，则 ． 15．一个长方形的周长是，宽比长少，如果设长为，宽为，根据题意，可列方程组为 ． 16．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 ． 17．已知关于x，y的方程组的解为整数，则满足条件的a的所有整数值的和为 ． 18．已知，则的值为 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．解方程组 (1) (2) 20．下面是小华同学解二元一次方程组的过程，请仔细观察回答下面问题． 解：，得（1） ，得（2） 将代入，得（3） 所以原方程组的解是（4） (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在 步（填序号），第二次出错在 步（填序号）； (2)请你帮小华同学写出正确的解题过程． 21．在课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人各投4次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是分和分．求小丽的4次飞镖总分． 22．某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______， 根据题意，得 请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两个工程队分别整治河道多少米．请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 23．关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 24．随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． (3)若该汽车销售公司销售一辆A型汽车可获利4000元，销售一辆B型汽车可获利7000元，在（2）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 25．如图，在长方形中，厘米，厘米，为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为2厘米/秒，设点的运动时间为秒. (1)当点在边上运动时，请用含，的代数式表示的长； (2)若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成2:3两部分； (3)连结，，，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，需要满足的条件. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 一次方程组 单元测试卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，含有2个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程叫做二元一次方程，据此进行判断即可，掌握该知识点是解题的关键． 【详解】解：A、是二元一次方程，故符合题意； B、含有未知数的项的次数为2，不是二元一次方程，故不符合题意； C、不是整式方程，不是二元一次方程，故不符合题意； D、是一元一次方程，不是二元一次方程，故不符合题意； 故选：A． 2．下面二元一次方程的解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，掌握该知识点是解决本题的关键．将解逐一代入方程，能够使方程成立的，即为该方程的解． 【详解】解：将代入A，，不成立，故A不符合题意； 将代入B，，不成立，故B不符合题意； 将代入C，，不成立，故C不符合题意； 将代入D，，成立，故D符合题意； 故选：D． 3．用加减消元法将方程组中的未知数消去，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了加减消元法．根据加减消元法的步骤进行解答即可． 【详解】解： 得到，， 故选：B 4．若是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程， 解得：， 故选：C 5．某工厂有26名工人，一个工人每天可加800个螺栓或1000个螺帽，1个螺栓与2个螺帽配套．现要求工人每天加工的螺栓和螺帽完整配套且没有剩余．若设安排个工人加工螺栓，个工人加工螺帽，则列出正确的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．根据“工厂现有26个工人”和“1个螺栓与2个螺帽配套，每天做的螺杆和螺母完整配套且没有剩余”分别列二元一次方程即可． 【详解】解：设安排个工人加工螺栓，个工人加工螺帽， 根据“工厂现有26个工人”可得：， 根据“1个螺栓与2个螺帽配套，每天做的螺杆和螺母完整配套且没有剩余”可得：，即， 因此列二元一次方程组为：． 故选A． 6．已知方程组，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组．利用加减消元法两个方程相加，再利用整体法求解即可． 【详解】解：， ①+②得：， 两边同时除以4得：， 故选：B． 7．若与互补，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是补角定义及二元一次方程组的应用，根据补角定义得出方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：与互补， ， ， 由题意得：， 解得：， 故选：B． 8．若关于、的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题关键在于利用等式性质变形．将方程组两方程相减表示出，即可求出的值． 【详解】解：， 得：， 即， ， ， ， 解得：， 故选：A． 9．老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组．解二元一次方程组的关键思想是消元，把二元一次方程转化为一元一次方程，解决本题的关键是注意在去分线、移项、合并同类项的、系数化为的过程中是否出现错误． 【详解】解：由， 移项可得：， 方程两边同时乘以可得：， 故甲计算正确， A选项不符合题意； 把代入得：， 故乙计算正确， B选项不符合题意； 去分母可得：， 去括号可得：， 故丙计算错误， C选项符合题意； 丁看到的是， 移项可得：， 合并同类项得：， 解得：， 把代入可得：， 故丁计算正确， D选项不符合题意． 故应选：C． 10．如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（   ） A．65 B．70 C．72 D．75 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．先根据图形可得，将两个方程相加求解即可得． 【详解】解：由图可知，， ①②得：， 则， 解得， 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．已知方程，用含x的式子表示y，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握等式的性质．将x看作已知数，y看作未知数，求出y即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．如果与是同类项，那么 ． 【答案】0 【分析】本题考查同类项及二元一次方程组的应用，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项”，求出a，b的值即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ， 解得， ， 故答案为：0． 13．若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的运用，根据题意，把解代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故答案为：2024 ． 14．已知和都是方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义和二元一次方程组的解法，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．把和代入方程可得关于a、b的方程组，解方程组即可求出答案． 【详解】解：把和代入方程， 得， 解得：． ∴； 故答案为：2． 15．一个长方形的周长是，宽比长少，如果设长为，宽为，根据题意，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系．设长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设长为，宽为， 根据题意得，． 故答案为：． 16．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据方程组的特点，①+②得，得出，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：， ①+②得，，即， 又因为， 所以， 解得． 故答案为：． 17．已知关于x，y的方程组的解为整数，则满足条件的a的所有整数值的和为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，利用加减消元法得到，再根据x、y都是整数，得到a是整数，即是整数，据此求出符合题意的整数a，再求和即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， ∵x、y都是整数， ∴a是整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或， ∴满足条件的a的所有整数值的和为， 故答案为：8． 18．已知，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查解二元一次方程组的拓展，把代入原方程组，化简后，利用加减消元法求解． 【详解】解：把代入原方程组，得： ， 化简，得， ，得． 故答案为：2023． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，灵活运用加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）直接用代入消元法求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 把②代入①，得，解得 把代入②得= 所以，方程组的解是； （2） ，得， 把代入①，得 ， 解得， 所以，方程组的解是． 20．下面是小华同学解二元一次方程组的过程，请仔细观察回答下面问题． 解：，得（1） ，得（2） 将代入，得（3） 所以原方程组的解是（4） (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在 步（填序号），第二次出错在 步（填序号）； (2)请你帮小华同学写出正确的解题过程． 【答案】(1)（1），（2） (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的求解，关键是键是能熟练运用加减消元法． （1）根据加减消元法的步骤判断即可； （2）利用加减消元法正确求解即可． 【详解】（1）解：第一次出错在（1）步， 第二次出错在（2）步， 故答案为：（1），（2）； （2）解：正确的过程为： 解方程组：， ，得， ，得， 解得：， 将代入，得， 所以原方程组的解为． 21．在课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人各投4次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是分和分．求小丽的4次飞镖总分． 【答案】小丽的4次飞镖总分为分． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设A区域所得分值为x分，B区域所得分值为y分，根据小杰及小明的总分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设A区域所得分值为x分，B区域所得分值为y分，依题意得： ， 解得：， ． 答：小丽的4次飞镖总分为分． 22．某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______， 根据题意，得 请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两个工程队分别整治河道多少米．请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数， 根据题意，得 故答案为，，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，，． （2）解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 ②，得．③ ①，得．④ ③－④，得．把代入①，得． 答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 选小华同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得 ． ①，得．③ ②－③，得， ．把代入①，得， ，． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 23．关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)与具有“邻好关系”，理由见解析 (2)2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的计算，理解“邻好关系”的计算，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）运用代入法解二元一次方程组得到，根据“邻好关系”的定义即可求解； （2）根据题意，运用得，，再根据“邻好关系”的定义即可求解． 【详解】（1）解：与具有“邻好关系”，理由如下； ，将①代入②得，， 解得，，将代入①得，， ， ， 与具有“邻好关系”； （2）解：，得，， 与具有“邻好关系”， ， 解得，， k的值为2． 24．随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． (3)若该汽车销售公司销售一辆A型汽车可获利4000元，销售一辆B型汽车可获利7000元，在（2）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为10万元，型汽车每辆的进价为25万元； (2)共3种购买方案，方案一：购进型车15辆，型车2辆；方案二：购进型车10辆，型车4辆；方案三：购进型车5辆，型车6辆； (3)购进型车15辆，型车2辆获利最大，最大利润是74000元． 【分析】（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为10万元，型汽车每辆的进价为25万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，，， 共3种购买方案，方案一：购进型车15辆，型车2辆；方案二：购进型车10辆，型车4辆；方案三：购进型车5辆，型车6辆； （3）解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元． ， 购进型车15辆，型车2辆获利最大，最大利润是74000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润． 25．如图，在长方形中，厘米，厘米，为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为2厘米/秒，设点的运动时间为秒. (1)当点在边上运动时，请用含，的代数式表示的长； (2)若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成2:3两部分； (3)连结，，，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，需要满足的条件. 【答案】(1) (2)2秒或4秒 (3)或 【分析】（1）根据即可求出； （2）分两种情况讨论：当点在边上运动时和当点在边上运动时，根据“直线把长方形的周长分成2:3两部分”列出方程，解方程即可求解； （3）分点在边上、点在边上、点在边上、点在边上四种情况分类讨论，列出关系式即可求解． 【详解】（1）解：当点在边上运动时，，， ； （2）解：当点在边上运动时，， 即， ； 当点在边上运动时，， 即， ； 秒或4秒时，直线把长方形的周长分成两部分． （3）解：当点在边上时， ， 整理得， ，故不成立； 当点在边上时， 由， 得； 当点在边上时， 由， 得； 综上，，之间的关系式为或． 【点睛】本题为动点问题，考查了代数式的表示，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识，理解题意，注意分类讨论是解题关键． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$