6.1 二元一次方程组和它的解-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（华东师大版2024）

6.1 二元一次方程组和它的解 课程标准 学习目标 ①二元一次方程组 ②二元一次方程组的解 1. 掌握二元一次方程和二元一次方程组的定义； 2. 能够判断二元一次方程组的解． 知识点01 二元一次方程组 1、二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义 把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 知识点02 二元一次方程组的解 一般地，使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 题型01 二元一次方程的定义 【典例1】下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键； 根据含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，逐项判断即可， 【详解】解： A、含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，是二元一次方程，符合题意， B、未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，不符合题意， C、含有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意， D、分母中含有未知数，是分式方程，不是二元一次方程，不符合题意， 故选：A． 【变式1】下列算式中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义含有两个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是二元一次方程．根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是二元一次方程；即可进行解答． 【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、，整理得：， 不是二元一次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 【变式2】若方程是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，求代数式的值，根据二元一次方程的定义可求出，，再代入计算即可得解，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：是关于，的二元一次方程， ，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】已知是关于，的二元一次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，由二元一次方程的定义可得，求解即可，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式4】已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ． （2）解：由（1）知，， ∴原方程可化为． 当时，， 解得． 题型02 二元一次方程组的定义 【典例1】下列各方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义“二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程；两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程．”判断即可． 本题考查了二元一次方程组的定义，熟记定义是解题关键． 【详解】解：A、是二元一次方程组，此项符合题意； B、方程组中的第二个方程不是整式方程，此项不符合题意； C、是二元一次方程组，此项符合题意； D、是二元一次方程组，此项符合题意； 故选：B． 【变式1】下列方程组中属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，如果方程组中含有两个未知数，且含未知数项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组，据此可得答案． 【详解】解：由二元一次方程组的定义可知，四个选项中只有C选项中的方程组是二元一次方程组， 故选：C． 【变式2】已知方程组 ，则的值是 ． 【答案】34 【分析】把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：34． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，整体代入法求代数式的值，运用|整体思想是解答本题的关键． 【变式3】请任写一个方程与方程组成一个二元一次方程组： ． 【答案】 【解析】略 【变式4】判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断． 【详解】解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 题型03 二元一次方程的解 【典例1】若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A．2 B． C．8 D．1 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程两边都相等的未知数的值，理解解的定义是关键． 把与的值代入方程计算求出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：把代入方程得：，即， 则， 故选：A． 【变式1】已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解是解题的关键． 根据方程的解的定义把代入二元一次方程中，再解关于a的方程，即可求出a的值． 【详解】解：代入二元一次方程，得 ， 解得：， 故选：C． 【变式2】若是方程的一个解，则m的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二元一次方程的解的含义及解一元一次方程，掌握方程的解的含义是解题的关键． 使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于的一元一次方程，从而可求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ， ， 故答案为：8． 【变式3】若是二元一次方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，解题的关键是掌握整体思想的运用． 将代入方程，得到，将所求式子变形为，整体代入计算即可． 【详解】解：由于是方程的解， ， ， 故答案为：． 【变式4】已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，先将分别代入方程与方程，求出，，然后再代入求值即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 把代入方程， 得， 解得， ． 题型04 二元一次方程组的解 【典例1】解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 【详解】解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 【变式1】观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解是能使得等式成立的值，观察表格得知能使得两个方程都成了，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故选：A． 【变式2】已知关于x，y的二元一次方程的部分解如表1，关于x，y的二元一次方程的部分解如表2： 表1 x … 2 5 8 … y … 2 … 表2 x … 2 5 8 11 … y … 2 26 … 则关于x，y的二元一次方程组的解 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解答的关键是明确二元一次方程组的解是满足两个方程的解．根据二元一次方程组的解，从而表格中可找到答案． 【详解】解：由表1可知，是的解， 由表2可知是的解， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是：． 故答案为：． 【变式3】下列说法：①二元一次方程组的解都是唯一的；②含有两个未知数的方程一定是二元一次方程；③方程的解有无数个；④解为的方程组是唯一的；其中正确是 ． 【答案】③ 【分析】根据二元一次方程组解得情况可以分析出二元一次方程组的解不都是唯一的．可以是唯一的，也可以是无限个，也可以为无解，故判断①、④错误；由二元一次方程的定义可知②错误；由二元一次方程的解的情况得出③正确． 【详解】①二元一次方程组的解不都是唯一的．可以是唯一的，也可以是无限个，也可以为无解． ①不正确 ②二元一次方程的定义是含有两个未知数，且未知数的指数是的整式方程．而②中未知数的指数不一定为． ②不正确 ③适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．每个二元一次方程都有无数对方程的解． 方程是二元一次方程，故它的解有无数个． ③正确． ④解为的方程组不是唯一的，有无数个． ④正确． 【点睛】本题考查二元一次方程的概念．以及二元一次方程解得情况以及二元一次方程组解得情况．判断是有唯一解还是无解还是无穷多解． 【变式4】已知下列四对数值：①②③④ (1)哪几对是方程的解？ (2)哪几对是方程的解？ (3)哪几对是方程组的解？ 【答案】(1)②④是方程的解． (2)③④是方程的解． (3)④是方程组的解． 【分析】本题考查二元一次方程的解和二元一次方程组的解，方程（组）的解是满足方程（组）的未知数的值，掌握该知识点是解题的关键． （1）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （2）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （3）两方程的公共解即为方程组的解，据此即可解答题目. 【详解】（1）解：将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 故②④是方程的解． （2）解：将代入，不成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，成立； ③④是方程的解． （3）解：由（1）（2），可知，④是两个方程公共解 所以④是方程组的解． 题型05 二元一次方程组求参 【典例1】已知二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组，将代入二元一次方程组得到的值，再代入式子求解即可． 【详解】解：将代入中，得： 根据，解得 根据，解得： 故选：C． 【变式1】若关于、的方程组的解为，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入方程组第二个方程求出的值，再将，的值代入中，进而求出的值即可．正确求出的值是解题关键． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：， 故选：A． 【变式2】已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把x与y的值代入方程，再相减即可求出值． 【详解】解：把代入方程组得：， 由得：， 故答案为：1 【变式3】已知方程组解是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程租的求解以及二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解方法．将代入方程组，得到关于的方程组，然后求解即可． 【详解】解：将代入方程组，得 ①②，得，解得 将代入得，，解得 ∴ 故答案为： 【变式4】对于题目：“若方程组的解为，且整式，求：整式A的值．” 小明化简求值时，将系数□看错了，他求的A的值为0； 小宇求的结果，与题的正确答案一样，A的值为6． (1)小明将系数□看成的数是多少？ (2)化简整式A． 【答案】(1)小明将系数□看成的数是 (2) 【分析】（1）先求出，设小明将系数□看成了m，则，根据小明求的A的值，得到关于m的方程，解方程即可得到； （2）设正确的□为n，则，根据小宇求的A的值为6得到，解得：，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵方程组的解为 ∴，解得． 设小明将系数□看成了m，则， ∵小明求的A的值为0， ∴， 解得：，即小明将系数□看成的数是； （2）设正确的□为n， 则， ∵小宇求的A的值为6 ∴，解得：， ∴． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解、一元一次方程的应用、整式的加减等知识，熟练掌握一元一次方程的解法和整式的加减法则是解题的关键 题型06 设未知数列二元一次方程(组) 【典例1】“大运成都，青春无限”，成都向世界呈现了一场精彩纷呈的体育赛事，展示一个古蜀文化与现代文明交相辉映的现代化新城．某环保部门组织发动全区开展卫生大扫除活动，小明和小峰积极响应参与其中，某天他们相约去奥体中心附近捡拾白色垃圾，小明捡拾垃圾总重量的3倍比小峰捡拾垃圾总重量的5倍少，小峰捡拾垃圾总重量是小明捡拾垃圾总重量的2倍少，设小明，小峰捡拾垃圾的总重量分别为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设小明，小峰捡拾垃圾的总重量分别为，根据小明捡拾垃圾总重量的3倍比小峰捡拾垃圾总重量的5倍少可得方程，根据小峰捡拾垃圾总重量是小明捡拾垃圾总重量的2倍少可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 【变式1】现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式，正确用两种方式表示出大长方形的长是解题的关键． 设小长方形的长和宽分别为x，y，大长方形的长为，分别根据两种摆放方式表示出总高度，进而得到对应的等式，从而得到答案． 【详解】设小长方形的长为、宽为，大长方形的长为， 则，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故选C． 【变式2】“学习强国”平台提供权威，准确，详尽，丰富的学习资源，通过学习课程可以获得积分奖励，若小华的积分是三位数，将最左边的数字移到最右边，则比原来的积分少45，又知原来积分百位上数的9倍比十位上数与个位上数组成的两位数小3，设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意知：百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y，根据百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，由此可列方程组． 【详解】解：设百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y，由题意得， ， 故答案为：． 【变式3】如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，可列出不同的方程组为 ． 【答案】，， 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系.分三种情况找到等量关系，再列出二元一次方程组即可. 【详解】解：设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，就从右边长方形的宽60入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝60；一个小长方形的长＋一个小长方形的宽＝60.可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据2个小长方形的长等于1个小长方形的长加上3个小长方形的宽，一个小长方形的长＋一个小长方形的宽，可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据1个小长方形的长等于3个小长方形的宽，4个小长方形的宽，可得方程组； 故答案为：，， 【变式4】小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【答案】 【分析】设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由图（1），得， 由图（2），得， 所以， 解得， 小正方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 1．下列4组数据中，是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的相关概念是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A．当时，方程左边，方程右边，方程左边方程右边，所以不是二元一次方程的解，故选项A不符合题意； B．当时，方程左边，方程右边，方程左边方程右边，所以是二元一次方程的解，故选项B符合题意； C．当时，方程左边，方程右边，方程左边方程右边，所以不是二元一次方程的解，故选项C不符合题意； D．当时，方程左边，方程右边，方程左边方程右边，所以不是二元一次方程的解，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．已知是方程的一个解，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．根据题意将代入求解即可． 【详解】解：是方程的一个解， ， 解得：， 故选：A． 3．由方程可以得到用x表示y的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看做已知，求出y即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．小明带50元去商店买作业本和笔，作业本的单价为5元，笔的单价为2元．购买作业本a本、笔b支，他的钱刚好够用．a的值可能是（   ） A．7 B．8 C．8.8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意是解题关键．根据购买作业本a本、笔b支，共用50元列出二元一次方程，求整数解即可． 【详解】解：依题意得：， ∴， ∵，均为非负整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故选：B． 5．关于、的二元一次方程的非负整数解有（    ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟知概念、掌握求解的方法是关键．根据二元一次方程的解的定义，结合、均为非负整数解答即可． 【详解】解： ，其中、为非负整数， 那么时，， 时，， 时，， 时，， 共4组， 故选：B． 6．若是二元一次方程，则 ． 【答案】6 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，利用二元一次方程的定义求出m，n的值，然后代入计算即可． 【详解】解∶ 是二元一次方程， ， 解得∶ 故答案为：6． 7．已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴； 故答案为：1． 8．已知是方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，解一元一次方程．根据二元一次方程解的定义把代入方程中得到关于a的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得． 故答案为：． 9．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把x与y的值代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 故答案为：． 10．当时，二元一次方程和关于、的方程有相同的解，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解求参数，熟练掌握该知识点是解题关键．把代入不含参数的方程求出的值，再将和的值代入含有参数的方程求解即可． 【详解】解：将代入，得 ， 解得， 将，代入， 得到， 解得， 故答案为：． 11．已知二元一次方程，先用含的代数式表示，再分别计算当时，的值；当时，的值． 【答案】用含的代数式表示是，当时，；当时， 【分析】把当作已知数，当作未知数，解关于的方程，可得，当时，解关于的一元一次方程；当时，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，， 当时，，解得， ∴用含的代数式表示是，当时，；当时，． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，解一元一次方程．把二元一次方程转化为一元一次方程是解题的关键． 12．已知甲种物品每个重4kg，乙种物品每个重7kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76kg． (1)列出关于x，y的二元一次方程； (2)求当时，y的值； (3)求当时，x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）． （2）当时，则，解得． （3）当时，则，解得． 13．已知和是方程的两个解，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查方程的解及代数式求值，由题意，将和代入方程，求出、，代入即可得到答案，熟记方程解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：当时，得到，解得； 当时，得到，则，解得； ． 14．小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题. 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，设被遮住的y的系数为m，被遮住的x的系数为n，根据二元一次方程组的解为得到，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解： 设第①个方程y的系数为m，第②个方程x的系数为n， ∵ 是方程组的解， ∴ ， 解得 ， ∴原来的方程组为 ． 15．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为： ； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2)a，b的值分别是和1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，理解题意，根据新定义解答问题是此题的关键． （1）将原方程组变形为，然后根据题意写出矩阵形式即可； （2）根据矩阵写出对应的方程组，然后把方程组的解代入，即可求出a、b的值． 【详解】（1）解：将方程组变形为， 所以，将写成矩阵形式为：， 故答案为：； （2）解：矩阵所对应的关于x，y的二元一次方程组为， ∵此方程组的解为 ∴将代入方程组得： 由①得； 由②得； 所以a，b的值分别是和1 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1 二元一次方程组和它的解 课程标准 学习目标 ①二元一次方程组 ②二元一次方程组的解 1. 掌握二元一次方程和二元一次方程组的定义； 2. 能够判断二元一次方程组的解． 知识点01 二元一次方程组 1、二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义 把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 知识点02 二元一次方程组的解 一般地，使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 题型01 二元一次方程的定义 【典例1】下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列算式中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若方程是关于，的二元一次方程，则 ． 【变式3】已知是关于，的二元一次方程，则的取值范围是 ． 【变式4】已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 题型02 二元一次方程组的定义 【典例1】下列各方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程组中属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知方程组 ，则的值是 ． 【变式3】请任写一个方程与方程组成一个二元一次方程组： ． 【变式4】判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 题型03 二元一次方程的解 【典例1】若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A．2 B． C．8 D．1 【变式1】已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【变式2】若是方程的一个解，则m的值是 ． 【变式3】若是二元一次方程的一个解，则 ． 【变式4】已知关于、的方程与方程有一组相同的解求的值． 题型04 二元一次方程组的解 【典例1】解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【变式1】观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【变式2】已知关于x，y的二元一次方程的部分解如表1，关于x，y的二元一次方程的部分解如表2： 表1 x … 2 5 8 … y … 2 … 表2 x … 2 5 8 11 … y … 2 26 … 则关于x，y的二元一次方程组的解 ． 【变式3】下列说法：①二元一次方程组的解都是唯一的；②含有两个未知数的方程一定是二元一次方程；③方程的解有无数个；④解为的方程组是唯一的；其中正确是 ． 【变式4】已知下列四对数值：①②③④ (1)哪几对是方程的解？ (2)哪几对是方程的解？ (3)哪几对是方程组的解？ 题型05 二元一次方程组求参 【典例1】已知二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若关于、的方程组的解为，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【变式3】已知方程组解是，则 ． 【变式4】对于题目：“若方程组的解为，且整式，求：整式A的值．” 小明化简求值时，将系数□看错了，他求的A的值为0； 小宇求的结果，与题的正确答案一样，A的值为6． (1)小明将系数□看成的数是多少？ (2)化简整式A． 题型06 设未知数列二元一次方程(组) 【典例1】“大运成都，青春无限”，成都向世界呈现了一场精彩纷呈的体育赛事，展示一个古蜀文化与现代文明交相辉映的现代化新城．某环保部门组织发动全区开展卫生大扫除活动，小明和小峰积极响应参与其中，某天他们相约去奥体中心附近捡拾白色垃圾，小明捡拾垃圾总重量的3倍比小峰捡拾垃圾总重量的5倍少，小峰捡拾垃圾总重量是小明捡拾垃圾总重量的2倍少，设小明，小峰捡拾垃圾的总重量分别为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 【变式2】“学习强国”平台提供权威，准确，详尽，丰富的学习资源，通过学习课程可以获得积分奖励，若小华的积分是三位数，将最左边的数字移到最右边，则比原来的积分少45，又知原来积分百位上数的9倍比十位上数与个位上数组成的两位数小3，设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，则可列方程组为 ． 【变式3】如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，可列出不同的方程组为 ． 【变式4】小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 1．下列4组数据中，是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是方程的一个解，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．由方程可以得到用x表示y的式子为（    ） A． B． C． D． 4．小明带50元去商店买作业本和笔，作业本的单价为5元，笔的单价为2元．购买作业本a本、笔b支，他的钱刚好够用．a的值可能是（   ） A．7 B．8 C．8.8 D．9 5．关于、的二元一次方程的非负整数解有（    ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 6．若是二元一次方程，则 ． 7．已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 8．已知是方程的一个解，则 ． 9．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为 ． 10．当时，二元一次方程和关于、的方程有相同的解，则的值为 ． 11．已知二元一次方程，先用含的代数式表示，再分别计算当时，的值；当时，的值． 12．已知甲种物品每个重4kg，乙种物品每个重7kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76kg． (1)列出关于x，y的二元一次方程； (2)求当时，y的值； (3)求当时，x的值． 13．已知和是方程的两个解，求的值． 14．小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题. 15．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为： ； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$