重难点专题训练一 二元一次方程组（专题训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（华东师大版2024）

重难点专题训练一 二元一次方程组思维导图 专题训练01二元一次方程的整数解 1．若整数，使成立，则满足条件的，的值有（    ） A．4对 B．6对 C．8对 D．无数对 2．一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“博雅数”．将“博雅数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数N．若N能被9整除，则 ．在此条件下，若为整数，则满足条件的M的最大值为 ． 3．材料一：如果四位数满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“等和数”，例如：3425，因为，所以3425是一个“等和数”． 材料二：对于一个四位数，将这个四位数千位上的数字与十位上的数字对调、百位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数，记．例如，对调千位上数字与十位上数字及百位上数字个位上数字得到2514，所以． （1）判断是否是“等和数”，并求出的值； （2）若，都是“等和数”，其中，，（，，，、、都是整数），若，求的值． 专题训练02二元一次方程组的整数解 1．若关于x，y的二元一次方程组有整数解，则满足要求的所有整数a的个数为（　　） A．0 B．4 C．8 D．12 2．若方程组有正整数解，则整数k的值是 ． 3．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解 ； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 专题训练03二元一次方程(组)的新定义运算 1．对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 2．对于有理数x，y定义一种新运算“”：，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知，则的值为 ． 3．对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 专题训练04二元一次方程组中的整体换元 1．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2024 2．若方程组的解是，则方程组的解是 ． 3．学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 专题训练05二元一次方程组中的误解 1．张亮在解方程组时，因看错了，结果解得，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ． 3．在解方程组时，由于粗心，甲同学看错了方程组中的，而得到解为，乙同学看错了方程组中的，而得到解为，求原方程组的解． 专题训练06二元一次方程组中的有、无解 1．若方程组无解，则值是（   ） A． B．1 C． D．2 2．如果关于x、y的方程组无解，那么满足 ． 3．已知是一个非零常数，且关于，的方程组有解，求的值． 专题训练07二元一次方程组的相反数求参 1．方程组解互为相反数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．0 2．若关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数，则的值是 3．解答下列各题 (1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值． (2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 专题训练08二元一次方程组两解加减关系求参 1．若关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x，y的方程组且，则k的值为 ． 3．若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 专题训练09二元一次方程组的相同解 1．已知方程组的解和方程组的解相同，则的值为（   ）． A． B．4 C．1 D． 2．已知关于，的方程组和． 有相同的解，那么值是 ． 3．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 专题训练10二元一次方程组的新定义应用 1．定义：关于，的二元一次方程与互为“共轭二元一次方程”，例如：与互为“共轭二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“共轭二元一次方程”； (2)二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解，求，的值． 2．定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 3．定义：若，则称x与y是关于m的好数． (1)若5与a是关于2的好数，则_____； (2)若，，判断b与c是否是关于3的好数，并说明理由： (3)若，，且e与d是关于3的好数，若x为正整数，求非负整数k的值． 专题训练11二元一次方程组的规律 1．两个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；参考他们的讨论，谈谈你的看法． 2．我们把按照某种规律排列的一列数，称为数列，我们规定：如果对于一个数列中任意相邻有序的三个数a，b，c，总满足，则称这个数列为好运数列． (1)在数列①，，；②，，3中，是好运数列的是____；（填序号） (2)如果数列…，2，x，，…，是好运数列，求x的值； (3)若数列…，m，n，3，…，是好运数列，且m，n都是正整数，直接写出所有符合条件的m，n的值． 3．按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ，，，．…… ，，，．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律． 专题训练12二元一次方程组的阅读理解 1．【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得 所以方程组的解为 （2）已知，求的值， 解：①+②，得，③ ③，得． 【类比迁移】 （1）求方程组的解． （2）若，求的值． 【实际应用】 （3）打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 2．【阅读理解】 我们把形如（a、b均为整数，且．）的方程称为二元一次整系数方程．若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如．，则，∵，∴，∵y为正整数， 1，2，3，故原方程的正整数解有3个，分别为 ，，； 若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如，则 ，设（k为正整数），则 ，，，，故原方程的正整数解有1个，为 ． 【问题解决】 （1）结合上述内容，请直接写出的所有正整数解； （2）若关于x和y的二元一次方程有且只有一个正整数解，请求出m的值； 【应用迁移】 （3）假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品．组长小丽汇报称：“我们购买了两种类型的笔记本，其中A 类型笔记本7本，B类型笔记本12本，总计花费84元，由于未索取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价．”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不可能同时为整数．请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确． 3．阅读理解． 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值； (3)若矩阵对应的二元一次方程组的解为，求出的值． 专题训练13二元一次方程组的迁移探究 1．阅读下列材料，并回答问题： 【方法体验】已知方程组求的值．小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦，后来他将两个方程直接相加便迅速解决了此问题．请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程. 【方法迁移】根据上面的体验，填空： 已知方程组，则_______； 【探究升级】已知方程组求的值． 小明凑出“”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦．所以他来请教王老师有没有不用凑数字的方法，王老师提示道： 假设， 则 对照方程两边各项的系数可列出方程组，它的解就是你凑的数！ 根据王老师的提示，完成填空：已知方程组，则________________ ________. 2．【方法感语】 阅读材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为．如图1，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是1，4，则或． 【归纳】 若点A，B表示的数分别是则或． 【知识迁移】 （1）若点A表示的数是最大的负整数，点B表示的数为b，且，则___________． （2）如图2，点A，B表示的数分别是，若把AB向左平移个单位长度，则点A与数重合，若把AB向右平移个单位长度，则点B与70重合，___________，___________． 【拓展应用】 （3）一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，123岁了，哈哈！”小红纳闷，爷爷现在到底是多少岁？小红现在又是几岁？请写出解题思路． 3．【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒乓球和纸杯的单个质量？ 【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程： 准备物品：①15个大小相同的乒乓球（质量相同）②15个大小相同的纸杯（质量相同）． （1）探究过程： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅰ 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 记录Ⅱ 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 【解决问题】 通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量． 【拓展设计】 （2）“实践小组”继续探究，得到下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅲ 乒乓球个和一次性纸杯2个 一次性纸杯个和2个10克砝码 平衡 请你探究，的值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题训练一 二元一次方程组思维导图 专题训练01二元一次方程的整数解 1．若整数，使成立，则满足条件的，的值有（    ） A．4对 B．6对 C．8对 D．无数对 【答案】C 【分析】先化简可得，设，则；然后求得a的值，最后列举出符合题意的，的整数值即可解答． 【详解】解：由，设，则， ∴，即，解得：或（舍弃）， ∴． ∴满足条件的，的整数值有： ，，，，，，，，共8对． 故选C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知识点，掌握二元一次方程的解是解答本题的关键． 2．一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“博雅数”．将“博雅数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数N．若N能被9整除，则 ．在此条件下，若为整数，则满足条件的M的最大值为 ． 【答案】 9 8631 【分析】由题意可得，，再表示出和，根据N能被9整除和为整数来确定，，，的值，从而可得结论． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∵N能被9整除， ∴能被9整除， 又∵，，，互不相等且均不为0， ∴； ∵为整数， ∴能被整除， 又∵， ∴能被整除， ∴ ∴当，，，时，M的最大值为， 故答案为：9，． 【点睛】本题考查了数字问题，新定义，四位数的表示，整式的加减，整数被某数整除时求字母的值，难度比较大，能够理解新定义并熟练掌握所学知识是解题的关键． 3．材料一：如果四位数满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“等和数”，例如：3425，因为，所以3425是一个“等和数”． 材料二：对于一个四位数，将这个四位数千位上的数字与十位上的数字对调、百位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数，记．例如，对调千位上数字与十位上数字及百位上数字个位上数字得到2514，所以． （1）判断是否是“等和数”，并求出的值； （2）若，都是“等和数”，其中，，（，，，、、都是整数），若，求的值． 【答案】（1）是，-9；（2）4536或2534 【分析】（1）根据“等和数”的概念列算式求解，并根据新定义公式计算求解； （2）根据等和数定义得到，然后根据定义中的公式列方程求解． 【详解】解：（1）6372的千位数字与百位数字的和为：6+3=9，十位数字与个位数字的和为7+2=9 ∴6372是一个“等和数”， （2）由题意：，即 ∴ ∴ ∴ 将代入， 解得： ∵，，，、、都是整数 ∴或 ∴t=4536或2534． 【点睛】本题考查整式的混合运算及二元一次方程的解，理解题意，正确列式计算是解题关键． 专题训练02二元一次方程组的整数解 1．若关于x，y的二元一次方程组有整数解，则满足要求的所有整数a的个数为（　　） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】两方程相减消去x表示出y，根据方程组有整数解确定出整数a的个数即可． 【详解】解：消去x得：（a+1）y=12， 当a+1≠0，即a≠-1时，y=， 可得x=， 由方程组有整数解，得到a+1=±1，±2，±3，±6 解得：a=0，-2，1，-3，2，-4，5，-7， 故选C． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程左右两边相等的未知数的值． 2．若方程组有正整数解，则整数k的值是 ． 【答案】－3，－1，±2 【详解】试题分析：由②得，再代入①得，即可得到，最后根据方程组有正整数解即可得到整数k的值. 由②得，再代入①得，解得 ∵方程组有正整数解 ∴－3，－1，±2. 考点：解方程组 点评：解题的关键是根据代入法把方程组转化为方程，再根据方程组有正整数解解题. 3．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解 ； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． （1）将做已知数求出，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ∴， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：，． （2）解：， ∴， ∴当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴是的约数， ∴或， 故或． 专题训练03二元一次方程(组)的新定义运算 1．对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入得：， ∴， 则， 故选：C． 2．对于有理数x，y定义一种新运算“”：，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确理解新运算，并准确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据新的运算列出方程组，解关于a、b的方程组，然后根据新的运算的算法求解即可． 【详解】解：新运算“”：， ∵， ∴ 解得， ∴． 故答案为：． 3．对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)0 (2)． 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义得到二元一次方程组，计算即可求出所求． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：； （2）解：∵， ∴①， ∵， ∴②， 得 ∴． 专题训练04二元一次方程组中的整体换元 1．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2024 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．利用关于，的二元一次方程组的解为得到，，据此求解即可． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解为， ， ，即， ， 故选：A． 2．若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把看作一个整体是解题的关键． 把看作一个整体，可得到是方程组的解，进而得到，解之即可求解． 【详解】解：∵方程组的解是， ， 解得：， 故答案为：． 3．学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【答案】 【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 专题训练05二元一次方程组中的误解 1．张亮在解方程组时，因看错了，结果解得，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是理解题意． 根据题意将代入方程组，得到即可求解； 【详解】解：张亮看错了，所以是第二个方程的解，不是第一个方程的解． 因此代入方程组中，得到， 解得，A选项符合题意． 故选：A． 2．在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ． 【答案】7 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：把把代入得：， 得：， 把代入①得：， 把代入得：， 解得：， ， 故答案为：7． 3．在解方程组时，由于粗心，甲同学看错了方程组中的，而得到解为，乙同学看错了方程组中的，而得到解为，求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组；把 代入方程组的第二个方程，把 代入方程组的第一个方程，即可得到一个关于，的方程组，解方程得出，的值，然后代入原方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：将代入得，， 解得： 将代入得，， 解得： ∴， ∴原方程组为： 得： ③ 得， ∴ 将代入②得， 所以原方程组的解为 专题训练06二元一次方程组中的有、无解 1．若方程组无解，则值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】把第二个方程整理得到，然后利用代入消元法消掉未知数x得到关于y的一元一次方程，再根据方程组无解，未知数的系数等于0列式计算即可得． 【详解】解： 由②得：③， 把③代入①得：， 整理得：， 方程组无解， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于x的方程是解题的关键，难点在于明确方程组无解未知数的系数等于0． 2．如果关于x、y的方程组无解，那么满足 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于x的方程是解题的关键，难点在于明确方程组无解，未知数的系数等于0，这是解此题的关键． 通过消元得到关于的一元一次方程，当的系数为0时，方程无解，据此求解即可． 【详解】 由②得：③ 把③代入①，得， 整理，得 ， 当，即时，此方程无解，原方程组也无解， 故答案为：． 3．已知是一个非零常数，且关于，的方程组有解，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用代入消元法消去即可求解，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解：， 由得：， 把代入得：， 则， ∴． 专题训练07二元一次方程组的相反数求参 1．方程组解互为相反数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程的应用，解此题的关键是能根据题意得出一个关于的一元一次方程，把代入方程组，把a看成已知数求出y，即可得出一个关于a的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：互为相反数， ， 则，即， 解得：， ，即， 解得：， 故选：A． 2．若关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数，则的值是 【答案】 【分析】本题考查由含参数的二元一次方程组解的情况求参数，根据题意得到，联立求解得到，进而代入得，解方程即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数， ， 联立，解得， 将代入得，解得， 故答案为：． 3．解答下列各题 (1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值． (2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组； （1）依题意，，由①可得，代入②得，，即可求解． （2）依题意，③，代入②得，，，将代入①得，，即可求解． 【详解】（1）解： 依题意， 由①可得， 解得： ∴，代入②得， 解得： （2）解： 依题意，③ 将③代入②得，， 解得： ∴ 将代入①得， 解得： 专题训练08二元一次方程组两解加减关系求参 1．若关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组；根据方程组中两个方程的特点，两个方程相加可得的值，由已知即可求得k的值． 【详解】解：， 两个方程相加得：，即； 由于，即， 解得：； 故选：D． 2．已知关于x，y的方程组且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 由得，，即 解得： 故答案为：． 3．若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解方程组求出，，然后代入，再解关于p的一元一次方程即可． 【详解】解： ，得， ． ，得， ． ， ， 解得． 专题训练09二元一次方程组的相同解 1．已知方程组的解和方程组的解相同，则的值为（   ）． A． B．4 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程的运算法则是解题的关键．重新组合方程组，得到关于的方程组，求出的值，得到关于的方程组，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：方程组的解和方程组的解相同， 与上述方程组有相同的解， 解得， 将其代入， 得， 解得， ． 故选：C． 2．已知关于，的方程组和． 有相同的解，那么值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到，．先根据关于，的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】∵关于，的方程组和有相同的解， ∴，， 解得， 将代入得： ， 解得， ∴， 故答案为：4． 3．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，求代数式的值； （1）根据已知条件，重新把不含有的两个方程联立成方程组，利用加减消元法，求出的值即可； （2）把（1）中所求的分别代入和得关于的方程组，解方程组求出，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程组和有相同的解， ∴， 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程组的解为：， ∴它们的相同解为； （2）解：把分别代入和，得， 得：， 把代入①得：， ∴． 专题训练10二元一次方程组的新定义应用 1．定义：关于，的二元一次方程与互为“共轭二元一次方程”，例如：与互为“共轭二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“共轭二元一次方程”； (2)二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解，求，的值． 【答案】(1)． (2)，． 【分析】（1）本题考查对题干中“共轭二元一次方程”的理解，理解概念即可解题． （2）本题考查对题干中“共轭二元一次方程”的理解和解二元一次方程，根据概率得出的“共轭二元一次方程”，再将，代入这两个二元一次方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，二元一次方程的“共轭二元一次方程”是， （2）解：二元一次方程的“共轭二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解， ， 解得， ，． 2．定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】此题考查的是新定义，二元一次方程组的应用，方和的解，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）根据“反对方程”的定义建立方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程” 与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ． （2）解：将写成的形式， ∵关于的方程与方程互为“反对方程”， ∴ ∴ （3）解：的“反对方程”为， 由得，， 当，得， 与的解均为整数， 与都为整数， 也为整数， 当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， 的值为． 3．定义：若，则称x与y是关于m的好数． (1)若5与a是关于2的好数，则_____； (2)若，，判断b与c是否是关于3的好数，并说明理由： (3)若，，且e与d是关于3的好数，若x为正整数，求非负整数k的值． 【答案】(1) (2)b与c是关于3的好数； (3)k的值为0或1或3或7． 【分析】本题考查整式的加减，涉及新定义和一元一次方程． （1）根据“关于2的好数”定义列式计算即可； （2）求出，再根据“关于3的好数”的定义判断； （3）根据已知列出方程，由x为正整数即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 故答案为：； （2）解： ， ∴b与c是关于3的好数； （3）解：∵e与d是关于3的好数， ∴， ∴， ∴， ∵x为正整数，k是非负整数， ∴或或或， ∴k的值为0或1或3或7． 专题训练11二元一次方程组的规律 1．两个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；参考他们的讨论，谈谈你的看法． 【答案】见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．先将第二个方程组变形为第一个方程组的格式，设，，第一个方程组即可变形为关于，的方程组，解出，的值；然后把，的值代入，，即可解出、的解集． 【详解】解：可变形为①， 设，， 所以方程组①可变为②， 又因为的解是， 所以方程组②的解是，所以，， 所以，． 故方程组的解是． 2．我们把按照某种规律排列的一列数，称为数列，我们规定：如果对于一个数列中任意相邻有序的三个数a，b，c，总满足，则称这个数列为好运数列． (1)在数列①，，；②，，3中，是好运数列的是____；（填序号） (2)如果数列…，2，x，，…，是好运数列，求x的值； (3)若数列…，m，n，3，…，是好运数列，且m，n都是正整数，直接写出所有符合条件的m，n的值． 【答案】(1)① (2) (3)或或 【分析】本题考查新定义，一元一次方程的应用，求二元一次方程的正整数解，根据新定义列出相应方程是解题的关键． （1）根据好运数列的定义对①②进行分析即可； （2）根据好运数列的定义列出相应的方程，解方程即可； （3）根据好运数列的定义列出相应的二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：①，故①是好运数列； ②，故②不是好运数列； 故答案为：①． （2）解：∵数列…，2，x，，…，是好运数列， ∴， 解得：． （3）解：∵数列…，m，n，3，…，是好运数列， ∴， 又∵m，n都是正整数， ∴或或． 3．按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ，，，．…… ，，，．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，它不符合（1）中的规律 【分析】本题考查规律探索，观察方程组，探索出方程未知数系数、常数与解的关系是解题的关键． （1）根据已知的方程组，观察方程未知数系数、常数与解的关系，确定第4个方程组，求解即可； （2）通过观察，知第n个方程组及其解，将解代入方程组验证； （3）将解代入方程求得参数值，故可知本方程组不符合规律． 【详解】（1）解：解方程组，得； （2）解：猜想第n个方程组为，解为， 验证如下： 把代入得，， 所以成立； （3）解：将代入，解得， 即方程组为，所以它不符合（1）中的规律． 专题训练12二元一次方程组的阅读理解 1．【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得 所以方程组的解为 （2）已知，求的值， 解：①+②，得，③ ③，得． 【类比迁移】 （1）求方程组的解． （2）若，求的值． 【实际应用】 （3）打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 【答案】（1）  （2）  （3）比不打折少花了元 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法、应用，三元一次方程组，根据题意类比迁移，找准等量关系是重点． （1）把②代入①中即可求出答案； （2）用①②即可得出答案； （3）设打折前商品每件元，商品每件元，由题意可得关于，的二元一次方程，变形可得，用原价减现价即可得少花钱数． 【详解】解：（1）， 把②代入①中，得：， 解得：， 把代入②中，得， ∴方程组的解为； （2）， ①②得： ； （3）设打折前商品每件元，商品每件元， 根据题意得：， 两边同时乘以，得：， ∴(元)， 答：比不打折少花了元． 2．【阅读理解】 我们把形如（a、b均为整数，且．）的方程称为二元一次整系数方程．若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如．，则，∵，∴，∵y为正整数， 1，2，3，故原方程的正整数解有3个，分别为 ，，； 若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如，则 ，设（k为正整数），则 ，，，，故原方程的正整数解有1个，为 ． 【问题解决】 （1）结合上述内容，请直接写出的所有正整数解； （2）若关于x和y的二元一次方程有且只有一个正整数解，请求出m的值； 【应用迁移】 （3）假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品．组长小丽汇报称：“我们购买了两种类型的笔记本，其中A 类型笔记本7本，B类型笔记本12本，总计花费84元，由于未索取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价．”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不可能同时为整数．请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确． 【答案】（1），  （2）  （3）吴老师的判断正确 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，根据题意，找到解题思路. （1）根据题意, 可得, 根据均为正整数, 即可求解; （2）根据正整数解的解法计算即可； （3）设类型笔记本的单价为元，类型笔记本的单价为元，根据题意，可得根据均为正整数，即可求解. 【详解】（1）∵, ∴, ∵均为正整数, ∴，； （2）解：∵， ∵, ， 又∵ ∴, ∴, ∵二元一次方程有且只有一个正整数解， ∴； 设类型笔记本的单价为元，类型笔记本的单价为元，根据题意， 可得即， ∵均为正整数, 设（k为正整数），则 ， ， ， 不能为整数， 故原方程无正整数解． ∴吴老师的判断正确． 3．阅读理解． 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值； (3)若矩阵对应的二元一次方程组的解为，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题主要考查了矩阵的定义，二元一次方程组的解，以及代数式求值等知识，理解矩阵的定义是解题的关键． （1）根据矩阵的定义即可得出答案． （2）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，即可得出a，b的值． （3）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，然后得出，，然后代入式子求值即可． 【详解】（1）解：二元一次方程组写成矩阵形式为：， 故答案为：． （2）∵矩阵所对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：． 解得：． （3）∵矩阵对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：， 则， ∴． 专题训练13二元一次方程组的迁移探究 1．阅读下列材料，并回答问题： 【方法体验】已知方程组求的值．小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦，后来他将两个方程直接相加便迅速解决了此问题．请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程. 【方法迁移】根据上面的体验，填空： 已知方程组，则_______； 【探究升级】已知方程组求的值． 小明凑出“”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦．所以他来请教王老师有没有不用凑数字的方法，王老师提示道： 假设， 则 对照方程两边各项的系数可列出方程组，它的解就是你凑的数！ 根据王老师的提示，完成填空：已知方程组，则________________ ________. 【答案】【方法迁移】5；【探究升级】，（-）；25 【分析】方法迁移：用第二个方程减第一个方程可直接得出结果； 探究升级：根据提示，对照方程两边各项的系数列出方程组，解答即可. 【详解】解：方法迁移：， ②-①得：， 故答案为5； 探究升级：设2x＋5y＋8z＝m（x＋2y＋3z）＋n（4x＋3y＋2z） 由题意得：， 解得：m＝，n＝， ∴2x＋5y＋8z＝（x＋2y＋3z）（4x＋3y＋2z）=28-3=25， 故答案为，，25. 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，二元一次方程组的解法，学会使用题目中的方法进行消元是解题的关键． 2．【方法感语】 阅读材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为．如图1，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是1，4，则或． 【归纳】 若点A，B表示的数分别是则或． 【知识迁移】 （1）若点A表示的数是最大的负整数，点B表示的数为b，且，则___________． （2）如图2，点A，B表示的数分别是，若把AB向左平移个单位长度，则点A与数重合，若把AB向右平移个单位长度，则点B与70重合，___________，___________． 【拓展应用】 （3）一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，123岁了，哈哈！”小红纳闷，爷爷现在到底是多少岁？小红现在又是几岁？请写出解题思路． 【答案】（1）1或；（2）；（3）爷爷现在的年龄是67岁，小红现在的年龄是11岁 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和解二元一次方程组， 根据题意得到a，结合已知得距离即可求得b的值； 根据题列出关系式，化简解二元一次方程组即可； 根据题意先求得年龄差，进一步求的各自的年龄即可． 【详解】解：（1）∵点A表示的数是最大的负整数， ∴， ∵点B表示的数为b，且， ∴，化简得，，解得或， 故答案为：1或． （2）∵， ∴解得 故答案为：． （3）如图． 由题意得，爷爷比小红大（岁）， 所以小红的年龄为（岁）， 所以爷爷的年龄为（岁）． 答：爷爷现在的年龄是67岁，小红现在的年龄是11岁． 3．【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒乓球和纸杯的单个质量？ 【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程： 准备物品：①15个大小相同的乒乓球（质量相同）②15个大小相同的纸杯（质量相同）． （1）探究过程： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅰ 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 记录Ⅱ 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 【解决问题】 通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量． 【拓展设计】 （2）“实践小组”继续探究，得到下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅲ 乒乓球个和一次性纸杯2个 一次性纸杯个和2个10克砝码 平衡 请你探究，的值． 【答案】[解决问题]：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克；[拓展设计]：①当时，；②当时，；③当时，． 【分析】本题主要考查一元一次方程和二元一次方程的整数解， [解决问题]设每个乒乓球的质量是克，根据题意列出方程求解即可； [拓展设计]根据题意可知，化简得，找到满足条件得解即可． 【详解】解：[解决问题]： 设每个乒乓球的质量是克，则 依题意得：，解得：， 或 答：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克． [拓展设计] ①当时， ②当时， ③当时，． 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$