重难点专题训练二 二元一次方程组的应用（专题训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（华东师大版2024）

重难点专题训练二 二元一次方程组的应用思维导图 专题训练01二元一次方程组的应用——古代问题 1．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中有这样的问题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人6两少6两，每人半斤多半斤；试问各位善算者，有 人分银（注：1斤=10两）． 3．《九章算术》中记载“今有牛五、羊二，置金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问：牛、羊每头各值金多少两． 专题训练02二元一次方程组的应用——数字问题 1．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 2．佳佳和亮亮做加法游戏，佳佳在一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为234，而亮亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为63．这两个数相加的正确的和应该是 ． 3．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 专题训练03二元一次方程组的应用——年龄问题 1．六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是(　　)． A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁 2．小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁． 3．小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差．他们三人的年龄分别是多少？ 专题训练04二元一次方程组的应用——和差倍分问题 1．如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 2．已知两个角的和是，差是，则这两个角的度数分别是 ． 3．杨老师在“双十一”期间买了一件毛衣，通过研究缝在衣服内部标签上的内容，得到了以下结论： ①毛衣的总质量为； ②毛衣的成分：绵羊毛、腈纶、锦纶、聚酯纤维； ③绵羊毛和腈纶的含量占，锦纶的含量是绵羊毛含量的5倍，聚酯纤维的含量比腈纶含量的2倍少． 请你求出绵羊毛和腈纶的质量． 专题训练05二元一次方程组的应用——分配问题 1．某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示： 甲食材 乙食材 每克所含蛋白质 0.3单位 0.7单位 每克所含碳水化合物 0.6单位 0.4单位 若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．一批书分给一组学生，每人6本则少6本，每人5本则多5本，这批书共有 本． 3．某工厂生产两种产品，每块甲种板材可生产3件产品和1件产品；每块乙种板材可生产2件产品和2件产品，现要生产46件产品，26件产品，恰好需要甲、乙两种板材各多少块？ 专题训练06二元一次方程组的应用——配套问题 1．某种仪器由1个部件和2个部件配套构成，每名工人每天可以加工50个部件或60个部件，现有72名工人，应怎样安排人力，才能使每天加工的部件和部件配套？设安排名工人加工部件，安排y名工人加工部件，则可列出方程组（　　） A． B． C． D． 2．某车间有名工人，每人平均每天可加工螺栓个或螺母个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），设应分配x人生产螺母，y人生产螺栓，依题意列方程组得 ． 3．某眼镜生产车间有18名工人，若每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片．为使每天生产的镜框和镜片刚好配套，生产车间应该安排生产镜框和镜片的工人各多少名？ 专题训练07二元一次方程组的应用——幻方问题 1．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为（    ） A．0 B． C．或9 D．9 2．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是 ． 3．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 专题训练08二元一次方程组的应用——行程问题专 1．甲、乙两列火车分别在两条平行的车轨上行驶，甲车长a米，乙车长b米（）．若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需要；若甲车从后面追赶乙车，从车头追上乙车的车尾并完全超过乙车共需要．下列结论正确的是（     ） A．快车速度 B．慢车速度 C．快车速度 D．慢车速度 2．自行车轮胎安装在后轮上只能行驶就要报废，安转在前轮上，则可以行驶才报废．为使一对轮胎能够行驶尽可能多的路程后报废，在自行车行驶一段路程后，将前后轮胎进行调换，这样安转在自行车上的一对轮胎最多可以行驶多少 千米． 3．从A地到B地全程，前一路段为国道，其余路段为高速公路．一辆汽车从A地开往B地一共行驶了．已知汽车在国道上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，则A，B两地间国道和高速公路各多少千米？ 题训练09二元一次方程组的应用——工程问题 1．甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（    ） A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380 2．甲、乙两队筑一条路，甲队每天筑千米，乙队每天筑千米，甲队筑5天和乙队筑4天共完成110千米，甲队筑3天的路正好是乙队筑2天的路，可列方程组 ． 3．风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天，再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7200元．若先请甲施工队单独做9天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7600元． (1)甲、乙两施工队工作1天，风味美饭店老板应各付多少工钱？ (2)若甲、乙两施工队合作，则需要同时做几天才能完成施工任务？ 专题训练10二元一次方程组的应用——利润问题 1．小明在学习之余去买文具，打算购买2支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下： 小明：您好，我要买2支签字笔和3本笔记本． 售货员：好的，那你应付18元． 小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付22元． 若小明买1支签字笔和1本笔记本，则应付的钱数为（    ） A．7元 B．8元 C．9元 D．10元 2．某学校去商场购买办公用品，买50件A商品和30件B商品用了920元，买60件A商品和10件B商品用了1000元．问：购买一件A商品和一件B商品需要 元． 3．某一天，蔬菜经营户花元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共千克，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元千克） 零售价（元千克） (1)蔬菜经营户批发了黄瓜和茄子各多少千克？ (2)当天上午在卖两种蔬菜各一半后，为尽快售完，再进新菜，决定对剩下的蔬菜降价出售，黄瓜和茄子均打九折销售，蔬菜经营户卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？ 专题训练11二元一次方程组的应用——方案问题 1．年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 2．“我在闽江源头有棵树”，某市黄花梨果大皮薄、果肉洁白、质地细腻、汁多味甜、富含维生素，现欲将一批黄花梨运往外地销售，若用1辆型车和2辆型车载满黄花梨一次可运走11吨；用2辆型车和1辆型车载满黄花梨一次可运走13吨．现有黄花梨32吨，计划同时租用型、型车，一次运完，且恰好每辆车都载满黄花梨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车载满黄花梨一次可分别运送多少吨？ (2)若1辆型车的租金为200元/次，1辆型车的租金为150元/次，请问有几种租车方案？选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费． 3．为开设艺体素养提升课程，志远学校从商店购买篮球和足球，若购买12个篮球和10个足球共需1220元；购买6个篮球和14个足球共需1060元． (1)篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校去商店购买时，恰逢商店打八折促销，购买这两种球共花费960元，该学校有哪几种购买方案？ 专题训练12二元一次方程组的应用——几何问题 1．如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 2．某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 3．如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求小长方形的长和宽． 专题训练13二元一次方程组的应用——图表信息问题 1．一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 2．太原五中计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小琪在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示． 货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额 价税合计（大写）   玖佰元整                               （小写）900.00 请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 3．根据以下素材，探索完成任务． “同城跑腿急送”，让你的生活更便利 素材1 “同城跑腿急送”送件费用为起送费用、里程费用与重量费用的和，具体计费方式如右． 起送费用 若送件重量不超过5千克，送件里程不超过5千米时，按单收费，每单10元． 里程费用 若送件的里程大于5千米，超出5千米且不超过10千米部分的里程费用为每千米元，超出10千米部分的里程费用为每千米3元．（实际里程不足1千米，按1千米计算．例如送件实际里程为7.3千米，按8千米算，即计价里程为8千米） 重量费用 若送件的重量大于5千克，超出5千克且不超过10千克部分的重量费用为每千克b元，超出10千克部分的重量费用为每千克5元．（实际重量不足1千克，按1千克计算．例如送件实际重量为6.4千克，按7千克算，即计价重量为7千克） 素材2 甲、乙、丙三人都使用素材1中的“同城跑腿急送”服务： 甲：送件里程6千米，送件重量8千克，费用21元；送件里程10千米，送件重量7千克，费用26元． 乙：送件里程12.5千米，送件重量14.3千克． 丙：送件里程与送件重量都已经记不清了，只记得送件里程超过了5千米，送件重量超过了5千克，总费用是25元． 解决问题 任务1 请你确定a，b的值． 任务2 帮助乙计算这单跑腿需要的费用． 任务3 确定丙这单跑腿的计价里程以及计价重量． 专题训练14二元一次方程组的应用——收费问题 1．为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式，当每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过时，超过部分按二级单价收费，已知王阿姨家六月份用水量为，缴纳水费29元，七月份因孩子放假在家，用水量为，缴纳水费元． (1)问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？ (2)某户某月缴纳水费为元时，用水量为多少？ 2．本地某快递公司规定：寄件不超过千克的部分按起步价计费；寄件超过千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过千克的部分（元千克） 上海 北京 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 上海 北京 (1)求，的值； (2)若小丽寄10千克的快递到北京，则小丽需要付多少钱的快递费？ 3．北海某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费，寄件超过1千克的部分按千克计费．张丽分别寄快递到广州和上海，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 起步价/元 超过1千克的部分（元/千克） 广州 x y 上海 实际收费 目的地 质量/千克 费用/元 广州 3 10 上海 4 23 (1)求x，y的值； (2)李乐寄5千克北海特产给广州的朋友，需付费多少元？ 专题训练15二元一次方程组的应用——整体思想问题 1．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是先解方程组得出x、y的值，再代入要求代数式的值，从而得到问题的答案，这样常规思路的运算量有时比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ (3)某社交平台上有这样的一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 ． 2．【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 3．数学课上，张老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值．小红发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由可得，由可得．小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考她的做法，解决下面的问题： (1)已知二元一次方程，求和的值； (2)八（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元；若买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需多少元？ 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题训练二 二元一次方程组的应用思维导图 专题训练01二元一次方程组的应用——古代问题 1．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案． 【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为： ． 故选：B． 2．《九章算术》中有这样的问题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人6两少6两，每人半斤多半斤；试问各位善算者，有 人分银（注：1斤=10两）． 【答案】11 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意“每人6两少6两，每人半斤多半斤”可以列出相应的方程组，从而得出答案． 【详解】解：设共有x人，y两银子，则可列方程组为： ， 解得： 故答案为：11． 3．《九章算术》中记载“今有牛五、羊二，置金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问：牛、羊每头各值金多少两． 【答案】牛、羊每头各值金两，两 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设牛、羊每头各值金两，两，根据牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两；列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设牛、羊每头各值金两，两，由题意，得： ，解得：， 答：牛、羊每头各值金两，两． 专题训练02二元一次方程组的应用——数字问题 1．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 2．佳佳和亮亮做加法游戏，佳佳在一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为234，而亮亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为63．这两个数相加的正确的和应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找准等量关系是解题的关键．根据题意可得：第一个加数第二个加数，第一个加数第二个加数，根据等量关系列出方程组，求解即可． 【详解】解：设一个加数为，另一个加数为，由题意得： ， 两式相加得：， 则， 故答案为：． 3．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？ 【答案】49 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找出等量关系、列出方程组是解题的关键． 设原来的两位数的个位数字为，十位数字为，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为，十位数字为， 根据题意，得，解得． 所以，原来的两位数为． 专题训练03二元一次方程组的应用——年龄问题 1．六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是(　　)． A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁 【答案】C 【详解】解：设A现在的年龄是x岁，B是y岁．根据题意得： ，解得：．故选C． 2．小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁． 【答案】29 【分析】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的年龄−学生今年的年龄=学生今年的年龄；老师42岁−老师今年的年龄=老师今年的年龄−学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答． 【详解】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁， 由题意得：， 解得：， 故数学老师今年的年龄是29岁， 故答案为：29． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 3．小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差．他们三人的年龄分别是多少？ 【答案】小亮的年龄为14岁，爸爸的年龄为40岁，爷爷的年龄为66岁． 【分析】设小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁，则爷爷的年龄为（120-x-y）岁，根据“爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁，则爷爷的年龄为（120–x–y）岁， 根据题意得，， 解得， ∴120–x–y=66． 答：小亮的年龄为14岁，爸爸的年龄为40岁，爷爷的年龄为66岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 专题训练04二元一次方程组的应用——和差倍分问题 1．如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的运用，设黑色的有x块，白色的有y块，根据数量关系列二元一次方程组求解即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：设黑色的有块，白色的有块， ∴， 解得，， ∴白色皮块的块数为， 故选：B ． 2．已知两个角的和是，差是，则这两个角的度数分别是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，角的计算，角的单位（度分秒）之间的换算等知识点，根据题意列出方程组是解题的关键． 设这两个角的度数分别是，，根据题意列出方程组，求解即可． 【详解】解：设这两个角的度数分别是，，则有： ， 解得：， 故答案为：，． 3．杨老师在“双十一”期间买了一件毛衣，通过研究缝在衣服内部标签上的内容，得到了以下结论： ①毛衣的总质量为； ②毛衣的成分：绵羊毛、腈纶、锦纶、聚酯纤维； ③绵羊毛和腈纶的含量占，锦纶的含量是绵羊毛含量的5倍，聚酯纤维的含量比腈纶含量的2倍少． 请你求出绵羊毛和腈纶的质量． 【答案】绵羊毛的质量为，腈纶的质量为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设绵羊毛的质量为，腈纶的质量为，根据题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设绵羊毛的质量为，腈纶的质量为，根据题意可得： ， 解得：； 答：绵羊毛的质量为，腈纶的质量为． 专题训练05二元一次方程组的应用——分配问题 1．某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示： 甲食材 乙食材 每克所含蛋白质 0.3单位 0.7单位 每克所含碳水化合物 0.6单位 0.4单位 若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出列方程组所需的等量关系．根据题意和表格中的数据，列出方程组即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 2．一批书分给一组学生，每人6本则少6本，每人5本则多5本，这批书共有 本． 【答案】60 【分析】可设书有x本，学生有y人，根据总本数相等和每人分6本，那么还差6本，如果每个学生分5本，那么还多5本可列出方程组，求解即可． 【详解】解：设书有x本，学生有y人， 根据题意得， 解得， 答：这批书共有60本， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解.利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 3．某工厂生产两种产品，每块甲种板材可生产3件产品和1件产品；每块乙种板材可生产2件产品和2件产品，现要生产46件产品，26件产品，恰好需要甲、乙两种板材各多少块？ 【答案】需甲种钢板10块，乙种钢板8块． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设需甲种钢板x块，乙种钢板y块，每块甲种板材可生产3件产品和1件产品；每块乙种板材可生产2件产品和2件产品，根据要生产46件产品，26件产品，据此列出二元一次方程组，解出甲、乙两种钢板的数量即可． 【详解】解：设需甲种钢板x块，乙种钢板y块， 根据题意得 解得， ∴需甲种钢板10块，乙种钢板8块． 专题训练06二元一次方程组的应用——配套问题 1．某种仪器由1个部件和2个部件配套构成，每名工人每天可以加工50个部件或60个部件，现有72名工人，应怎样安排人力，才能使每天加工的部件和部件配套？设安排名工人加工部件，安排y名工人加工部件，则可列出方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设安排名工人加工部件，安排y名工人加工部件，根据“仪器由1个部件和2个部件配套构成，每名工人每天可以加工50个部件或60个部件，现有72名工人”，即可列出二元一次方程组． 【详解】解：设安排名工人加工部件，安排y名工人加工部件， 根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．某车间有名工人，每人平均每天可加工螺栓个或螺母个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），设应分配x人生产螺母，y人生产螺栓，依题意列方程组得 ． 【答案】 【分析】根据车间有名工人，每人平均每天可加工螺栓个或螺母个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），即可列出二元一次方程组． 【详解】解：设应分配x人生产螺母，y人生产螺栓， 依题意，得． 故答案是：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组是解决本题的关键． 3．某眼镜生产车间有18名工人，若每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片．为使每天生产的镜框和镜片刚好配套，生产车间应该安排生产镜框和镜片的工人各多少名？ 【答案】安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名，根据生产车间有18名工人，每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名，由题意，得： ， 解得：； 答：安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名． 专题训练07二元一次方程组的应用——幻方问题 1．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为（    ） A．0 B． C．或9 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据九宫图的填法，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列出方程组，即可得到答案． 【详解】根据题意得： ， 解得：， ， 故选择：A 2．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴最左下角的数为：， 则最中间的数为： 或， 最右下角的数为：或， ∴， 解得：， ∴与的积为， 故答案为：． 3．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)一共有3种填法；填写见解析 【分析】（1）根据题意列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据题意列出关于a、b的方程组，解方程组即可； （3）根据题意列出关于m、n的二元一次方程，求出整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：根据题意得：， 即， ∵m，n为正整数， ∴，，， ∴共有3种填法；    【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程或方程组． 专题训练08二元一次方程组的应用——行程问题专 1．甲、乙两列火车分别在两条平行的车轨上行驶，甲车长a米，乙车长b米（）．若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需要；若甲车从后面追赶乙车，从车头追上乙车的车尾并完全超过乙车共需要．下列结论正确的是（     ） A．快车速度 B．慢车速度 C．快车速度 D．慢车速度 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．设快车速度为米/秒，慢车速度为米/秒根据题意和题目中的数据，可知，然后即可列出相应的方程组并解出，本题得以解决． 【详解】解：设快车速度为米/秒，慢车速度为米/秒， 由题意可得， ， 解得：， 则快车速度为米/秒， 故选：A． 2．自行车轮胎安装在后轮上只能行驶就要报废，安转在前轮上，则可以行驶才报废．为使一对轮胎能够行驶尽可能多的路程后报废，在自行车行驶一段路程后，将前后轮胎进行调换，这样安转在自行车上的一对轮胎最多可以行驶多少 千米． 【答案】 【分析】本题考查了应用类问题．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，一对新轮胎交换位置前走了，交换位置后走了，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶的磨损量为， 又设一对新轮胎交换位置前走了，交换位置后走了．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有 ， 两式相加，得， 则， ∴安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶千米． 故答案为：． 3．从A地到B地全程，前一路段为国道，其余路段为高速公路．一辆汽车从A地开往B地一共行驶了．已知汽车在国道上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，则A，B两地间国道和高速公路各多少千米？ 【答案】，两地间国道和高速公路分别是千米，千米 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组； 首先设，两地间国道和高速公路分别是、千米，根据题意可得等量关系：国道路程高速路程，在国道上行驶的时间在高速公路上行驶的时间，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设，两地间国道和高速公路分别是千米，千米， 根据题意，得， 解得， 答：，两地间国道和高速公路分别是千米，千米． 题训练09二元一次方程组的应用——工程问题 1．甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（    ） A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380 【答案】A 【分析】根据题意设原计划甲生产x个零件，乙生产y个零件，根据甲、乙两个工人，按计划本月应共生产680个零件，实际甲超额20%、乙超额15%，因此两人一共多生产118个零件列出方程组，求出方程组的解即可得到结果． 【详解】解：设原计划甲生产x个零件，乙生产y个零件， 根据题意得：， 解得：，即原计划甲生产320个零件，乙生产360个零件． 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意设未知数并找出题中的等量关系是解答本题的关键． 2．甲、乙两队筑一条路，甲队每天筑千米，乙队每天筑千米，甲队筑5天和乙队筑4天共完成110千米，甲队筑3天的路正好是乙队筑2天的路，可列方程组 ． 【答案】 【分析】根据题意列出二元一次方程组即可； 【详解】由题意可得：； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键． 3．风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天，再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7200元．若先请甲施工队单独做9天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7600元． (1)甲、乙两施工队工作1天，风味美饭店老板应各付多少工钱？ (2)若甲、乙两施工队合作，则需要同时做几天才能完成施工任务？ 【答案】(1)甲施工队工作1天，老板应付400元，乙施工队工作1天，老板应付250元 (2)天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系是解题的关键． （1）设甲施工队工作1天，老板付元，乙施工队工作1天，老板付元，根据题意列方程组，求解即可． （2）设甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为，根据题意列方程组，求出甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为，继而可求出甲、乙两施工队同时做需要的天数． 【详解】（1）解：设甲施工队工作1天，老板付元，乙施工队工作1天，老板付元， 根据题意，得， 解得， ∴甲施工队工作1天，老板应付400元，乙施工队工作1天，老板应付250元． （2）设甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为， 根据题意，得， 解得， ∴甲，乙两施工队同时做需（天）能完成施工任务． 专题训练10二元一次方程组的应用——利润问题 1．小明在学习之余去买文具，打算购买2支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下： 小明：您好，我要买2支签字笔和3本笔记本． 售货员：好的，那你应付18元． 小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付22元． 若小明买1支签字笔和1本笔记本，则应付的钱数为（    ） A．7元 B．8元 C．9元 D．10元 【答案】B 【解析】略 2．某学校去商场购买办公用品，买50件A商品和30件B商品用了920元，买60件A商品和10件B商品用了1000元．问：购买一件A商品和一件B商品需要 元． 【答案】20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，根据“买50件A商品和30件B商品用了920元，买60件A商品和10件B商品用了1000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）， ∴购买一件A商品和一件B商品需要20元． 故答案为：20． 3．某一天，蔬菜经营户花元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共千克，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元千克） 零售价（元千克） (1)蔬菜经营户批发了黄瓜和茄子各多少千克？ (2)当天上午在卖两种蔬菜各一半后，为尽快售完，再进新菜，决定对剩下的蔬菜降价出售，黄瓜和茄子均打九折销售，蔬菜经营户卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？ 【答案】(1)他批发了黄瓜和茄子分别是千克，千克； (2)卖完这些黄瓜和茄子共赚了元． 【分析】（）设他批发了黄瓜千克，茄子千克，根据题意列出方程，然后解方程即可； （）根据题意列出算式即可求解； 本题主要考查了二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设他批发了黄瓜千克，茄子千克， 根据题意，得 ， 解得： ， 答：他批发了黄瓜和茄子分别是千克，千克； （2）解：由题意得：（元）， （元）， ∴（元）， 答：卖完这些黄瓜和茄子共赚了元． 专题训练11二元一次方程组的应用——方案问题 1．年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每件A型航模元，每件B型航模元 (2)张老师共有2种购买方案：方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；方案2：购买1件A型航模，3件B型航模 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每件A型航模x元，每件B型航模y元，根据“购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元．”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m件A型航模，n件B型航模，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每件A型航模x元，每件B型航模y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件A型航模元，每件B型航模元． （2）解：设购买m件A型航模，n件B型航模， 根据题意得：， ． 又∵m，n均为正整数， 或． ∴张老师共有2种购买方案， 方案1：购买4件A型航模，1件B型航模； 方案2：购买1件A型航模，3件B型航模． 2．“我在闽江源头有棵树”，某市黄花梨果大皮薄、果肉洁白、质地细腻、汁多味甜、富含维生素，现欲将一批黄花梨运往外地销售，若用1辆型车和2辆型车载满黄花梨一次可运走11吨；用2辆型车和1辆型车载满黄花梨一次可运走13吨．现有黄花梨32吨，计划同时租用型、型车，一次运完，且恰好每辆车都载满黄花梨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车载满黄花梨一次可分别运送多少吨？ (2)若1辆型车的租金为200元/次，1辆型车的租金为150元/次，请问有几种租车方案？选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费． 【答案】(1)1辆型车载满黄花梨一次可运送5吨，1辆型车载满黄花梨一次可运送3吨 (2)一共有2种租车方案，方案一：租型车1辆，型车9辆；方案二：租型车4辆，型车4辆．最省钱的方案是：方案二：租型车4辆，型车4，最少租车费为1400元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设1辆型车载满黄花梨一次可运送吨，1辆型车载满黄花梨一次可运送吨，根据用1辆型车和2辆型车载满黄花梨一次可运走11吨；用2辆型车和1辆型车载满黄花梨一次可运走13吨，列出方程组，解方程组即可； （2）设租用车辆，车辆，根据有黄花梨32吨，列出方程，根据，都是正整数，解方程得出答案即可． 【详解】（1）解：设1辆型车载满黄花梨一次可运送吨，1辆型车载满黄花梨一次可运送吨． 由题意，得：， 解得：， 答：1辆型车载满黄花梨一次可运送5吨，1辆型车载满黄花梨一次可运送3吨． （2）解：由题意，设租用车辆，车辆，得：， ，都是正整数， 或， 一共有2种租车方案，方案一：租型车1辆，型车9辆；方案二：租型车4辆，型车4辆． 方案一的租金为：（元）， 方案二的租金为：（元）． 最省钱的方案是：方案二：租型车4辆，型车4，最少租车费为1400元． 3．为开设艺体素养提升课程，志远学校从商店购买篮球和足球，若购买12个篮球和10个足球共需1220元；购买6个篮球和14个足球共需1060元． (1)篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校去商店购买时，恰逢商店打八折促销，购买这两种球共花费960元，该学校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)篮球的单价是60元，足球的单价是50元 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用． （1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据“购买12个篮球和10个足球共需1220元；购买6个篮球和14个足球共需1060元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个篮球，n个足球，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：篮球的单价是60元，足球的单价是50元； （2）解：设购买m个篮球，n个足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴该学校共有3种购买方案， 方案1：购买15个篮球，6个足球； 方案2：购买10个篮球，12个足球； 方案3：购买5个篮球，18个足球． 专题训练12二元一次方程组的应用——几何问题 1．如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 【答案】该茶叶盒的容积是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴该茶叶盒的容积是． 2．某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 【答案】(1)小长方形的长和宽分别为45米，15米 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、长方形的面积等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键． （1）设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出x、y的值即可； （2）先求出大长方形的长与宽，然后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x米，宽为y米， 由题意得：， 解得． 答：小长方形的长和宽分别为45米，15米． （2）解：大长方形的长为米，宽为60米， 所以大长方形的面积． 答：该实践基地的面积为． 3．如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】长为，宽为 【分析】设小长方形的长为，宽为，由图可得，解二元一次方程组即可得到答案，读懂题意，由图中长和宽建立等式列出方程组是解决问题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为，宽为． 专题训练13二元一次方程组的应用——图表信息问题 1．一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 【答案】(1)大球为2个，小球为4个 (2)三种，当大球6个，小球2个，或大球3个，小球6个，或只放10个小球，过程见解析 【分析】本题考查了列二元一次方程组和列二元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程组及二元一次方程的解法的运用，解答时理解图画含义是解答本题的关键． （1）由图得出一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度．设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设此时需a个大球，个小球，根据题意列出方程，由、均为正整数列出所有符合条件的a、b的值即可． 【详解】（1）解：（1）由题意可得：一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度． 设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度． 解得： 答∶需放入大球为2个，小球为4个时，水面上升到40个单位的高度． （2）解：容器恰好装满时，水位需上涨30个单位高度，设此时需a个大球，个小球，则： ． 所以 因为、均为正整数，所以有以下三种情况， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件． 即：当大球6个，小球2个或大球3个，小球6个或只放10个小球时，容器恰好装满． 2．太原五中计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小琪在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示． 货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额 价税合计（大写）   玖佰元整                               （小写）900.00 请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 3．根据以下素材，探索完成任务． “同城跑腿急送”，让你的生活更便利 素材1 “同城跑腿急送”送件费用为起送费用、里程费用与重量费用的和，具体计费方式如右． 起送费用 若送件重量不超过5千克，送件里程不超过5千米时，按单收费，每单10元． 里程费用 若送件的里程大于5千米，超出5千米且不超过10千米部分的里程费用为每千米元，超出10千米部分的里程费用为每千米3元．（实际里程不足1千米，按1千米计算．例如送件实际里程为7.3千米，按8千米算，即计价里程为8千米） 重量费用 若送件的重量大于5千克，超出5千克且不超过10千克部分的重量费用为每千克b元，超出10千克部分的重量费用为每千克5元．（实际重量不足1千克，按1千克计算．例如送件实际重量为6.4千克，按7千克算，即计价重量为7千克） 素材2 甲、乙、丙三人都使用素材1中的“同城跑腿急送”服务： 甲：送件里程6千米，送件重量8千克，费用21元；送件里程10千米，送件重量7千克，费用26元． 乙：送件里程12.5千米，送件重量14.3千克． 丙：送件里程与送件重量都已经记不清了，只记得送件里程超过了5千米，送件重量超过了5千克，总费用是25元． 解决问题 任务1 请你确定a，b的值． 任务2 帮助乙计算这单跑腿需要的费用． 任务3 确定丙这单跑腿的计价里程以及计价重量． 【答案】【任务1】； 【任务2】69元； 【任务3】丙这单跑腿的计价里程为8千米，计价重量为8千克． 【分析】本题考查了的二元一次方程的实际应用，处理表格所给的信息列出方程是解题的关键． （1）根据甲的配送信息列出二元一次方程组运算求解即可； （2）根据乙的计价里程和计价重量列式运算即可； （3）设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克，分类讨论列式运算即可． 【详解】【任务1】 解：由题意可以列出方程组， 解得：； 【任务2】 由题意可知乙的计价里程和计价重量分别为千米，千克， ∴乙的这单跑腿费用为（元）； 【任务3】 设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克（，）， ①若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意； ②若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意； ③若，时，跑腿费用为， 整理得，即， ∵为偶数， ∴代入验证可得， 即丙这单跑腿的计价里程为8千米，计价重量为8千克． 专题训练14二元一次方程组的应用——收费问题 1．为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式，当每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过时，超过部分按二级单价收费，已知王阿姨家六月份用水量为，缴纳水费29元，七月份因孩子放假在家，用水量为，缴纳水费元． (1)问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？ (2)某户某月缴纳水费为元时，用水量为多少？ 【答案】(1)该市一级水费的单价为元，二级水费的单价为元 (2)当缴纳水费为元，时，用水量为 【分析】本题主要考查二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，找准等量关系，列出方程（组），是解题的关键． （1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，根据题意，列出二元一次方程组，即可求解； （2）先判断水量超过，设用水量为，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，依题意， 得： 解得： 答：该市一级水费的单价为元，二级水费的单价为元 （2）∵（元），． ∴用水量超过． 设用水量为，依题意，得： ， 解得： 答：当缴纳水费为元，时，用水量为． 2．本地某快递公司规定：寄件不超过千克的部分按起步价计费；寄件超过千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过千克的部分（元千克） 上海 北京 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 上海 北京 (1)求，的值； (2)若小丽寄10千克的快递到北京，则小丽需要付多少钱的快递费？ 【答案】(1)， (2)64元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，代数式求值，解题的关键是根据题意列出方程组，求出a、b的值． （1）根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）根据题意列出算式，进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴，． （2）解：由（1）得，，， （元）， 答：小丽需要付64元钱的快递费． 3．北海某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费，寄件超过1千克的部分按千克计费．张丽分别寄快递到广州和上海，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 起步价/元 超过1千克的部分（元/千克） 广州 x y 上海 实际收费 目的地 质量/千克 费用/元 广州 3 10 上海 4 23 (1)求x，y的值； (2)李乐寄5千克北海特产给广州的朋友，需付费多少元？ 【答案】(1) (2)需付费14元 【分析】（1）根据所给的收费标准和实际收费列出方程组求解即可； （2）根据（1）所求结合收费标准进行列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得 答：x，y的值分别为6，2． （2）解：（元） 答：需付费14元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组求解是解题的关键． 专题训练15二元一次方程组的应用——整体思想问题 1．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是先解方程组得出x、y的值，再代入要求代数式的值，从而得到问题的答案，这样常规思路的运算量有时比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ (3)某社交平台上有这样的一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 ． 【答案】(1)；5 (2)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元 (3)130 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的应用，掌握加减消元法是解题的关键． （1）根据整体代入的思想，即可求得的值，由即可求得的值，进而求得的值； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据题意列出方程组，根据整体的思想由可得，即可求解； （3）设桌子的高度为，蹲着的猫高度为，睡着的猫高度为，由题意可得：，由，即可求解． 【详解】（1）解：， 由可得：， 由可得：，即：． 故答案为：，5； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意得：， 由可得， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元； （3）解：设桌子的高度为，蹲着的猫高度为，睡着的猫高度为， 由题意可得：， 由，可得：，解得：， 即：桌子的高度为， 故答案为：130． 2．【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）分别①②，①②即可求出； （2）设一张过江船票为元，一张观光船票为元，根据题意列出方程组即可得到答案； （3）根据题意列出三元一次方程组，计算即可． 【详解】（1）解：， ①②：， 解得； ①②：， 解得， 故； （2）解：设一张过江船票为元，一张观光船票为元， 依题意得：， 则购买15张过江船票，7张观光船票即为， ，得：， 解得， 故购买15张过江船票，7张观光船票共需元； （3）解：由题意得：①， ②， ， 可得， 解得． 故 3．数学课上，张老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值．小红发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由可得，由可得．小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考她的做法，解决下面的问题： (1)已知二元一次方程，求和的值； (2)八（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元；若买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需多少元？ 【答案】(1)，； (2)购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元． 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组，解题的关键在于正确理解题意，熟练运用整体化思想． （1）将两个方程相加或相减，即可求解； （2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，笔记本的单价为元，根据题意列出方程组，利用整体化思想，即可求解． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，得， ∴； 由，得， ∴． （2）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，笔记本的单价为元， 根据题意，得 则，得， ∴购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元． 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$