1.4角平分线（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

1. 4角平分线 类型一、角平分线的性质定理 1．三角形的三个角平分线相交于一点，这一点到（ ） A．三角形三个顶点的距离相等 B．三边中点的距离相等 C．三边距离相等 D．都有可能 2．如图，中，是边上的高，平分，交于点E，，则点E到的距离为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 3．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，平分，若，，则点到的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．在直角中，平分，于，于，已知，，，则的周长（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 6．如图，在中，平分，，若，，则等于（   ）    A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 8．如图：在中，，，，是的角平分线． （1）则 ；（2）若点E是线段上的一个动点，从点B以每秒的速度向A运动， 秒钟后是直角三角形． 9．如图，的平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别是、． (1)求证：； (2)若在中，，，求的长． 10．如图，在中，垂直平分边，交于点，平分的外角，，垂足为点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，求证：． 11．如图，在中，直线l是边的垂直平分线，l与边交于点D，与的平分线交于点E，连接、，延长至点F． (1)求证：； (2)连接，若，则______°． 12．如图，平分，点是射线上任一点，过点作于点，点在线段上，点在射线上，且． (1)如图，当点与点重合时，猜想此时与有什么数量关系，并说明理由； (2)如图，当点与点不重合时，（）中的猜想还成立吗？为什么？ (3)如图，当时，若，直接写出此时四边形的面积． 类型二、角平分线的尺规作图 13．图的尺规作图中，可以确定为等腰三角形的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．角平分线的作法（尺规作图） ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线，射线即为所求．    角平分线的作法依据的是（   ） A． B． C． D． 15．下面是“作的平分线”的尺规作图方法： （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； （3）作射线． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（   ） A．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 16．如图，在中，，，．根据尺规作图的痕迹，图中的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．如图，已知，点C，D分别在上，．进行如下操作：①分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧交于点P；②点E在上，以E为圆心，为半径画弧，交射线于点 F，连接．则的度数为（      ）   A． B． C． D． 18．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，则点G到的距离为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 19．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，得，则证明这两个角所在的三角形全等的依据是 ． 20．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，与边分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点；④过点作，垂足为点．若的面积为9，，，则的长为 ． 21．如图所示，直线，直线分别与，相交于点．小雪同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则线段的长为 ． 22．如图，已知与给出部分尺规作图痕迹如图所示（无需补全作图痕迹），尺规作图过程如下： (1)以为圆心，适当长为半径做弧（弧足够长），交射线，分别于，两点，连结； (2)以为圆心，长为半径作弧（弧足够长），交于点； (3)以为圆心，长为半径作弧，交弧于点，作射线；若，，当为的平分线时，的度数为 ． 23．如图，在中，，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线． (1)根据图中尺规作图的痕迹推断出 （填“=”或“>”或“<”）； (2)求的度数； (3)若，点M是直线上一动点，求线段的最小值． 类型三、角平分线的性质定理的逆定理 24．如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 25．如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 26．如图，在中，是中点，，垂足分别是、，，求证：是的角平分线 27．如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 28．如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确有 ．（写序号） 29．【课本再现】在冀教版八年级上册数学教材第十七章《特殊三角形》中，我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）． (1)以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．如图，在中，，作平分，交于点．求证：，且．证明： 【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题： (2)如图，在中，，为边上一点，过点分别作，，垂足分别是点，． 若，则下列结论错误的是_____．①，②，③，④ 30．如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 31．如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 32．如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点． (1)求证：； (2)求的大小． (3)连接，求证：平分． 33．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分． (2)求证：平分． (3)若，，，，求的面积． 类型四、角平分线的实际应用 34．某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 35．某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 36．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 37．如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 38．如图，道路的交叉区域（的内部）为东山公园，C、D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点M，使M到两条道路的距离相等，且，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点（保留作图痕迹，不写作法） 39．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)在图①中，已知线段、，画线段使它与、组成轴对称图形（画出所有符合题意的线段）； (2)在图②中，找一格点D，使它到、的距离相等，到点A、C的距离也相等．（找到D点即可，不写过程） 40．如图中，，和的平分线分别为和，和相交于点P，连接，则有以下结论： ①； ②； ③． 其中正确的结论为（   ） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 41．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①当AB=BC时，AF=CF；②∠AOB＝90°+∠C；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①④ C．③④ D．①②③④ 42．如图，是的角平分线，，分别是，的高，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 43．如图，在平面直角坐标系中，，已知． (1)如图，点C在第二象限，且，． ①如图（1），求点C的坐标； ②如图（2），的平分线交射线于点P，连接，求点P的坐标； (2)如图（3），点D，E分别在x轴，y轴上，若，点I是内角平分线的交点，分别交坐标轴于点F，G，直接写出的周长． 44．已知：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，且满足；    (1)求、两点坐标； (2)如图2，点在边上，点纵坐标为，点E纵坐标为，且，求与的关系式； (3)如图3，作的平分线，交轴于点，当、、时，求点的坐标． 45．如图1，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC上一点，BE交AD于点F，∠ABC＝45°，FD＝CD． （1）请写出BE与AC的位置关系，并说明理由； （2）如图2，连接DE，求证：∠BED＝∠DEC； （3）若AD＝4，CD＝2，在直线BC上方的平面内是否存在点P，使得△BFP为等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P到直线BC的距离． 46．（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：． （2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：． （3）类比应用：如图3，平分，，，求证：． 47．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC=3，BC=4，求CD的长； （2）如图③．在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点P在AD上，点M在AC上．若AC=6，BC=8，则PC+PM的最小值为　　． 试卷第2页，共62页 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1. 4角平分线 类型一、角平分线的性质定理 1．三角形的三个角平分线相交于一点，这一点到（ ） A．三角形三个顶点的距离相等 B．三边中点的距离相等 C．三边距离相等 D．都有可能 【答案】C 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，根据三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等判定即可． 【详解】解：∵三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等， 故选：C． 2．如图，中，是边上的高，平分，交于点E，，则点E到的距离为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点E作于F，根据角平分线的性质求出即可． 【详解】解：如图，过点E作于F， ∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵平分， ∴， 即点E到的距离为2． 故选：A． 3．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由尺规作图的痕迹可得，，是的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得可判定D，由于不是的垂直平分线，不能证明． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得，可以理解成是平角的角平分线， ∴，是的平分线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵不是的垂直平分线，故不能证明， 综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出，是的平分线． 4．如图，在中，，平分，若，，则点到的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离．作于，根据与得到的长，由平分，根据角平分线的性到即可得到答案． 【详解】解：如图，作于， ，， ， 平分， 而， ， 点到的距离是3． 故选：D． 5．在直角中，平分，于，于，已知，，，则的周长（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定和性质．根据题意得，证即可求解． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 的周长为：． 故选：B． 6．如图，在中，平分，，若，，则等于（   ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据平分，得到，结合得到，得到继而得到，结合计算，选择即可． 本题考查了平行线的性质，角的平分线，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据题意，连接，由垂直平分得到平分，，则，即可证明，则，即可得到的长． ，通过等边代换计算即可． 【详解】连接，如图： ∵垂直平分， ∴ 又∵平分，， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为： 8．如图：在中，，，，是的角平分线． （1）则 ；（2）若点E是线段上的一个动点，从点B以每秒的速度向A运动， 秒钟后是直角三角形． 【答案】 6或 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）过点作于，利用角平分线的性质得，再根据面积法可得答案； （2）分或两种情形，分别画出图形，利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，由勾股定理得， ， ，，是的角平分线， ， 设， 则， 解得， 即， 故答案为：； （2）如图，当时， 则， ， ， ， 设秒后是直角三角形， 则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 当时，由（1）得， ， ， ， ， 故答案为：6或． 9．如图，的平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别是、． (1)求证：； (2)若在中，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接，， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．如图，在中，垂直平分边，交于点，平分的外角，，垂足为点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）通过证明，即可求证； （2）证明为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，得到即可得证． 【详解】（1）证明：∵垂直平分边， ∴， ∵平分的外角，，， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分边， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 11．如图，在中，直线l是边的垂直平分线，l与边交于点D，与的平分线交于点E，连接、，延长至点F． (1)求证：； (2)连接，若，则______°． 【答案】(1)见解析 (2)75 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质． （1）作，垂足为点G，，垂足为H，证明即可得到； （2）利用线段的垂直平分线可推导出，再利用（1）的结论得到继而求出结果． 【详解】（1）证明：如图，作，垂足为点G，，垂足为H， ∴， ∵直线l是边的垂直平分线， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线l是边的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， 由（1）可知． ∴． 故答案为：75． 12．如图，平分，点是射线上任一点，过点作于点，点在线段上，点在射线上，且． (1)如图，当点与点重合时，猜想此时与有什么数量关系，并说明理由； (2)如图，当点与点不重合时，（）中的猜想还成立吗？为什么？ (3)如图，当时，若，直接写出此时四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)． 【分析】（）先由，则有，又，所以，故有，然后根据角平分线的性质即可求解； （）过点作，交于点，同（）证明，再证明，然后根据全等三角形的性质即可求解； （）过点作，交于点，证明，则，故，所以，然后由勾股定理求出，∴，则，再通过即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：成立，理由如下： 过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 类型二、角平分线的尺规作图 13．图的尺规作图中，可以确定为等腰三角形的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了基本作图，垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定方法．直接根据作图可以判断①符合题意；根据作图先确定平分，，根据平行线的判定和角平分线定义，证明，即可判断②符合题意；根据垂直平分线的性质可以判断③符合题意． 【详解】解：图①中以点A、C为圆心，相同的长度为半径画弧，两弧交于点B，则，因此为等腰三角形，故①符合题意； 图②中，根据作图可知：平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形，故②符合题意； 图③中，根据作图可知：垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形，故③符合题意； 综上分析可知：可以确定为等腰三角形的有3个， 故选：D． 14．角平分线的作法（尺规作图） ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线，射线即为所求．    角平分线的作法依据的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，角平分线的作图，连接、，由作图可证，则，而证明的条件就是作图的依据． 【详解】解：连接，，    则，，， ∴， ∴， 故选：A． 15．下面是“作的平分线”的尺规作图方法： （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； （3）作射线． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（   ） A．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键． 由作图过程可知，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，， ， ， ∴判定的依据是三边分别相等的两个三角形全等． 故选：D． 16．如图，在中，，，．根据尺规作图的痕迹，图中的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质得出，证明，得出，根据勾股定理得出，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：根据作图过程可知：，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为5． 故选：C． 【点睛】本题考查了基本作图-作线段垂直平分线，角平分线，勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线和角平分线的作法． 17．如图，已知，点C，D分别在上，．进行如下操作：①分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧交于点P；②点E在上，以E为圆心，为半径画弧，交射线于点 F，连接．则的度数为（      ）   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作图及等腰三角形的判定与性质，根据作图可知，再根据即可求出结论． 【详解】解：由题意得：平分， ， ， ， 故选：B． 18．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，则点G到的距离为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 过点G作于点H，由作图过程可知，射线为的平分线，可得，则点G到的距离为6． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图过程可知，射线为的平分线， ∵，， ∴， ∴点G到的距离为6． 故选：A． 19．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，得，则证明这两个角所在的三角形全等的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图．也考查了全等三角形的判定与性质．先利用基本作图得到，，由于为公共边，则利用可判断，从而得到． 【详解】解：由作图痕迹得，， 因为为公共边， 所以， 所以． 故答案为：． 20．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，与边分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点；④过点作，垂足为点．若的面积为9，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查基本作图-尺规作角平分线、角平分线的性质、三角形的面积，得到是的平分线是解答的关键．根据作图过程得到是的平分线，过F作于H，根据角平分线的性质得到，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过F作于H，如图， 由作图过程得到是的平分线，又，， ∴， ∵，的面积为9， ∴， 解得， 故答案为：4． 21．如图所示，直线，直线分别与，相交于点．小雪同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的基本作图，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由得到，根据作图步骤得到，进而得到，即可得到． 【详解】解：， ， 根据作图步骤可知平分， ， ， ， 故答案为： ． 22．如图，已知与给出部分尺规作图痕迹如图所示（无需补全作图痕迹），尺规作图过程如下： (1)以为圆心，适当长为半径做弧（弧足够长），交射线，分别于，两点，连结； (2)以为圆心，长为半径作弧（弧足够长），交于点； (3)以为圆心，长为半径作弧，交弧于点，作射线；若，，当为的平分线时，的度数为 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，角的和差，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线；分射线在的内部和外部两个情况求解即可． 【详解】（1） 解：． （2） 解：． （3）解：由作图可知，， 当射线在的内部时，如图： ， ∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴； 如图，当射线在的外部时， ， ∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴． 故答案为：或． 23．如图，在中，，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线． (1)根据图中尺规作图的痕迹推断出 （填“=”或“>”或“<”）； (2)求的度数； (3)若，点M是直线上一动点，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题主要考查角平分线的作法，直角三角形内角性质，含30°直角三角形性质．熟练掌握是解题的关键． （1）根据作图得，得； （2）根据已知条件得，根据角平分线定义得，，根据高线可得，即得； （3）当时，最小，根据，得线段的最小值为． 【详解】（1）解：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：=； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为高， ∴， ∴， ∴， 故的度数为． （3）解：当时，最小，， ∵， ∴， 故线段的最小值为4． 类型三、角平分线的性质定理的逆定理 24．如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，平行线的判定与性质，根据作图得到，等边对等角，推出，进而得到，根据点在边上且到边和边的距离相等，得到平分，推出为等腰三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在边上且到边和边的距离相等， ∴平分， ∴， ∴， ∴，；故选项A，C正确，不符合题意； ∵， ∴（平行线间的距离处处相等）；故选项D正确，不符合题意； 无法得到； 故选：B． 25．如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定及性质，三角形的内角和定理，三角形的面积公式． 过点P作于点M，作于点N，作于点H，根据角平分线的性质及判定可证明选项A；根据三角形的面积公式可证明选项B，根据三角形的内角和定理可证明选项D，据此即可解答． 【详解】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴．故选项A的结论一定成立； ．故选项B的结论一定成立； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴．故选项D的结论一定成立． 根据题意无法证明选项C的结论一定成立． 故选：C 26．如图，在中，是中点，，垂足分别是、，，求证：是的角平分线 【答案】见解析 【分析】本题主要考查学生对角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识点的灵活运用，关键是证明．先证明，再根据全等三角形的性质可得，证明，得到，最后根据角平分线的判定即可求解． 【详解】证明：是中点， ， ， ， 在和中 ， ， 即是的角平分线． 27．如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 【答案】/29度 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和定理，求出的度数，证明平分，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，，， ∴平分， ∴； 故答案为：． 28．如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确有 ．（写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的判定定理等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．①先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可判断①正确；②设与交于点，先根据全等三角形的性质可得，再根据对顶角相等、三角形的内角和定理即可判断②正确；③假设，从而可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据角的和差可得，由此即可判断③错误；④过点作于点，于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可判断④正确． 【详解】解：①∵， ，即， 在和中， ， ∴， ∴，结论①正确； ②如图1，设与交于点， ∵， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， ，结论②正确； ③假设， ， ∴， ∴， ∵， ∴，根据已知条件无法得出这个结论， 即假设不成立，结论③错误； ④如图2，过点作于点，于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，，且点在的内部， ∴平分，结论④正确； 综上，结论正确有①②④， 故答案为：①②④． 29．【课本再现】在冀教版八年级上册数学教材第十七章《特殊三角形》中，我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）． (1)以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．如图，在中，，作平分，交于点．求证：，且．证明： 【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题： (2)如图，在中，，为边上一点，过点分别作，，垂足分别是点，． 若，则下列结论错误的是_____．①，②，③，④ 【答案】(1)见解析 (2)③ 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，得出，，根据，得出，即可证明结论； （2）根据角平分线的判定得出平分，根据等腰三角形“三线合一”得出，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴是底边上的中线，底边上的高线， ∴，， 无法证明，故①②④正确，③错误． 故答案为：③． 30．如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为9． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于G，于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线， 又， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的面积为9． 31．如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）由，，则，证明，再由角平分线的判定定理即可求证； （）先证明，则，所以，又，然后代入求证即可； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点． (1)求证：； (2)求的大小． (3)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质得到，，，进而得到，即可证明出； （2）首先根据全等三角形的性质得到，然后根据对顶角相等得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）首先根据全等三角形的性质得到，然后利用角平分线的判定定理求解即可． 【详解】（1）∵与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∴ ∴； （2）设与交于点B， ∵ ∴ 又∵ ∴； （3）如图所示，连接，过点D作，， ∵，，，， ∴ ∴平分． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的判定定理，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 33．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分． (2)求证：平分． (3)若，，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由角的和差关系可得，进而可得，于是结论得证； （2）过点作于点，于点，由（1）可得是的平分线，同时是的平分线，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，然后由角平分线的判定定理即可得出结论； （3）设，由（2）可得，由已知条件可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的长，然后利用三角形的面积公式可得，据此即可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明：如图，过点作于点，于点， 由（1）可得：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分； （3）解：设， 由（2）可得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的性质定理，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解一元一次方程等知识点，添加适当辅助线并熟练掌握角平分线的判定与性质定理是解题的关键． 类型四、角平分线的实际应用 34．某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质．解答此题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 利用角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，所以是三个内角平分线的交点有个，所以只有三个内角平分线的交点符合要求． 【详解】解：解：∵砂石场到三条公路的距离相等， ∴该点应该是三个角的角平分线的交点， ∵要求砂石场要在三条公路围成的一块平地上修建， ∴满足条件的只有一处，即为三个内角的角平分线的交点． 故选：A 35．某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上． 故选A． 36．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 37．如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 38．如图，道路的交叉区域（的内部）为东山公园，C、D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点M，使M到两条道路的距离相等，且，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质．分别作的平分线与的垂直平分线交于点M，即可，熟练掌握线段垂直平分线的性质，角平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，点M即为所求． 39．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)在图①中，已知线段、，画线段使它与、组成轴对称图形（画出所有符合题意的线段）； (2)在图②中，找一格点D，使它到、的距离相等，到点A、C的距离也相等．（找到D点即可，不写过程） 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及线段垂直平分线的性质等知识，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）利用轴对称图形的性质得出答案； （2）直接利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得出答案． 【详解】（1）解：以为对称轴，则为所求的线段，如图： 以为对称轴，则为所求的线段，如图： （2）解：做的角平分线，线段的垂直平分线，两线交于点，则点就是所求的点，如图：    40．如图中，，和的平分线分别为和，和相交于点P，连接，则有以下结论： ①； ②； ③． 其中正确的结论为（   ） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的定义与性质，全等三角形的判定与性质，由角平分线的定义可得，进一步可判断①，过点P作，证明是的平分线，可判断③，假设，通过三角形全等证明可判断②． 【详解】解：∵、分别是与的角平分线，， ∴， ∴，①符合题意； 过点P作，    ∵、分别是与的角平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵， ∴，故③符合题意； 若，而，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，与题干条件矛盾，故②不符合题意； 故选：A． 41．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①当AB=BC时，AF=CF；②∠AOB＝90°+∠C；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①④ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由等腰三角形的性质与全等三角形可判断①正确；由角平分线的定义结合三角形的内角和可求解与的关系，判断②正确；在上取一点，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于点，于点，根据三角形的面积可得④正确． 【详解】解：当时，为等腰三角形 ∵BF平分 ∴ ， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴①正确． 和的平分线相交于点， ，， ∴②正确； ， ， ，分别是与的平分线， ， ， ， ， 如图，在上取一点，使， 是的角平分线， ， 在和中，， ∴ ， ， ， 在和中，， ∴ ， ，故③正确； 如图，作于点，于点 和的平分线相交于点， 点在的平分线上， ∴ ∴ ∴④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质与三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线是解题关键． 42．如图，是的角平分线，，分别是，的高，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质定理，得到PM=PN，由HL证明△APM≌△APN，即可判断A；由三角形的面积公式，得到，即可判断B；由三角形的面积公式，得到，即可判断C；由，即可判断D． 【详解】解：如图：作AD⊥BC与点D， ∵是的角平分线，，分别是，的高， ∴PM=PN， ∵∠AMP=∠ANP=90°，AP为公共边， ∴△APM≌△APN， ∴；故A正确； ∵，， ∴， ∵PM=PN， ∴， ∴，故B正确； ∵，故C正确； ∵， ∴，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定，三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理和三角形的面积公式进行解题． 43．如图，在平面直角坐标系中，，已知． (1)如图，点C在第二象限，且，． ①如图（1），求点C的坐标； ②如图（2），的平分线交射线于点P，连接，求点P的坐标； (2)如图（3），点D，E分别在x轴，y轴上，若，点I是内角平分线的交点，分别交坐标轴于点F，G，直接写出的周长． 【答案】(1)①；② (2)4 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，角平分线性质定理等知识，正确作出辅助构造全等三角形是解题的关键． （1）过点C作轴于点E，轴于点F，证明，得到，继而得，根据得，可得点C的坐标；②过点O作，连接，根据角平分线的性质易得，由，得，同理可得，设，则,继而得解； （2）过点I作于点M，于点N，于点K，连接得，，证明，，同理可得，求出，在线段上截取，使得，证明，得，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点E，轴于点F， ∵， 轴 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点O作，连接 , 平分， 又的平分线交射线于点P， , 又在和中 同理可证： 设，则 , , ， 又 ， ， 即, （2）解：如下图中，过点I作于点M，于点N，于点K，连接 ∵I是的三个内角平分线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∵I是三个内角平分线的交点， , ∴， ∴， 在线段上截取，使得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长 44．已知：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，且满足；    (1)求、两点坐标； (2)如图2，点在边上，点纵坐标为，点E纵坐标为，且，求与的关系式； (3)如图3，作的平分线，交轴于点，当、、时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）解二元一次方程组即可求出、两点坐标； （2）已知，可知，进而得出和的面积比为，从而得出与的数量关系式； （3）延长、交于点，延长、交于点，作交于，在上取点，使，连接．由平分可得，化简得到,转化得：，由，得出，由，得出，从而得到，即可求点的坐标． 【详解】（1）解：， 解得：， ，； （2）， ， ， 即； （3）如图，延长、交于点，延长、交于点，作交于，在上取点，使，连接． 平分， ， ， ， ， ，   是的外角， ， ， ，即， 又，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， ，， 又，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形，全等三角形，角平分线，三角形的内角和，直角坐标系等知识，把握各个知识点在题目中的内在联系是解题的关键． 45．如图1，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC上一点，BE交AD于点F，∠ABC＝45°，FD＝CD． （1）请写出BE与AC的位置关系，并说明理由； （2）如图2，连接DE，求证：∠BED＝∠DEC； （3）若AD＝4，CD＝2，在直线BC上方的平面内是否存在点P，使得△BFP为等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P到直线BC的距离． 【答案】（1）BE⊥AC，见解析；（2）见解析；（3）存在，4或6或3 【分析】（1）证明△BDF≌△ADC，得到∠DBF＝∠DAC，由∠BFD＝∠AFE证得∠BDF＝∠AEF＝90°，即可得到结论； （2）过点D作DM⊥AC，DN⊥BE，根据△BDF≌△ADC，得到BF=AC，，推出DM=DN，证得ED平分∠BEC，由此得到结论； （3）根据勾股定理求出AC＝， 由△BDF≌△ADC，得到BF＝AC＝，DF＝DC＝2，BD＝AD＝4，分三种情况：当∠PBF＝90°，BP＝BF时， 当∠P′FB＝90°，P′F＝BF时， 当∠BP″F＝90°，BP″＝FP″时， 根据等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：如图①中， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ABD＝∠BAD＝45°， ∴BD＝DA， ∵DF＝DC，∠BDF＝∠ADC＝90°， ∴△BDF≌△ADC（SAS）． ∴∠DAC=∠CBE， ∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠BDF＝∠AEF＝90°， ∴BE⊥AC． （2）解：如图，过点D作DM⊥AC，DN⊥BE， ∵△BDF≌△ADC， ∴BF=AC，， ∴DM=DN， ∴ED平分∠BEC， ∴∠BED＝∠DEC； （3）解：如图2－1中，满足条件的点P有3个． 在Rt△ADC中， ∵AD＝4，CD＝2， ∴AC＝， ∵△BDF≌△ADC， ∴BF＝AC＝，DF＝DC＝2，BD＝AD＝4， 当∠PBF＝90°，BP＝BF时，作PM⊥CB交CB的延长线于M． 易证△PMB≌△BDF， ∴PM＝BD＝4， ∴点P到直线BC的距离为4； 当∠P′FB＝90°，P′F＝BF时，作P′H⊥BC于H，FG⊥P′H于G． 易证：P′G＝BD＝4，GH＝DF＝2， ∴P′H＝4＋2＝6， ∴P′到直线BC的距离为6； 当∠BP″F＝90°，BP″＝FP″时，作P″N⊥BC于N． 易证P″N＝＝3， ∴P″到直线BC的距离为3， 综上所述，满足条件的点P到直线BC的距离为4或6或3． 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的判定及性质，熟记各定理并熟练应用解决问题是解题的关键． 46．（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：． （2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：． （3）类比应用：如图3，平分，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析； 【分析】（1）由题意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC； （2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证△ACD≌△AED，从而可求出，，即可求解； （3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据题意可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即，即可得出答案； 【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC， ∴DE=DF， ∵ ，， ∴：=AB：AC； （2）如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE 又∵ AD平分∠CAE， ∴ ∠CAD=∠DAE， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴CD=DE且∠ADC=∠ADE， ∴ ， ∴ ， ∴AB：AC=BD：CD； （3）如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM， ∵ ∠D+∠AEB=180°， 又∵∠AEB+∠AEM=180°， ∴∠D=∠AEM， 在△ADC与△AEM中， ， ∴△ADC≌△AEM（SAS）， ∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM， ∴AE为∠BAM的角平分线， 故 ， ∴BE：CD=AB：AC； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用，正确掌握知识点是解题的关键； 47．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC=3，BC=4，求CD的长； （2）如图③．在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点P在AD上，点M在AC上．若AC=6，BC=8，则PC+PM的最小值为　　． 【答案】教材呈现：证明见解析；定理应用：（1）；（2）． 【分析】教材呈现：先根据角平分线的定义可得，再根据垂直的定义可得，然后利用三角形全等的判定定理与性质即可得证； 定理应用：（1）如图（见解析），先根据勾股定理可得，再根据角平分线的性质可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得； （2）如图（见解析），先根据等腰三角形的三线合一可得AD垂直平分MN，再根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当点在同一条直线上，且时，取得最小值CN，最后根据直角三角形的面积公式、勾股定理即可得． 【详解】教材呈现：是的平分线， ， ， ， 在和中，， ， ； 定理应用：（1）如图，过点D作于点E， 在中，， ， AD平分，且， ， 在和中，， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得， 即CD的长为； （2）如图，过点M作，交AB于点N，连接PN， AD平分， 垂直平分MN（等腰三角形的三线合一）， ， ， 由两点之间线段最短得：当点在同一条直线上时，取得最小值，最小值为CN， 又由垂线段最短得：当时，CN取得最小值， 在中，， ， 又， ， 解得， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），正确找出取得最小值时，点P的位置是解题关键． 试卷第2页，共62页 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $$