1.3线段垂直平分线（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

1. 3线段垂直平分线 类型一、线段垂直平分线的性质 1．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 2．如图，在中，，，垂足为点，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 3．如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交BC于点E，若周长为16，，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 6．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，中，边、的垂直平分线分别交于点、，若，则的度数（  ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．如图，直线，垂足为点，且．若，则的度数为 ． 10．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 11．如图，，在内有一点，，垂直于点，垂直于点，且，，连接，，则 ． 12．如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是 ． 13．如图，在中，，直线，分别是、的垂直平分线，，交于点，连接．若，则的度数为 ． 14．如图，，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)求的度数； (2)若，的周长为19，求的长． 15．如图，是等边三角形，在直线的下方有一点D，且，连接交于点E． (1)求证：垂直平分； (2)过点D作，交于点F，若，，求的长． 16．阅读与理解 下面是小丽同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格和无刻度直尺作图 正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的线段叫做格点线段．利用正方形网格和无刻度直尺可以做格点线段的中点和垂线．如图，正方形网格是由边长为1的小正方形组成，已知是格点线段，可以用如以下方法构造的中点和垂线． 构造中点：如图1，在网格上取格点，使得，且，连接交的于点．点即为的中点．理由如下： ∵，， 在和中，， （依据1） （依据2）， 即点是的中点． 构造垂线：如图2，在网格上取格点，使得，且，连接即为的垂线．理由如下：… 任务： (1)上述材料中的依据1是指___________，依据2是指___________． (2)请你帮小丽将“构造垂线”中的理由补充完整． (3)如图3，在给定的网格区域内，利用网格和无刻度直尺构造，使得． 类型二、最小值问题 17．如图，等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交，边于点，，点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．6 18．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点E，F，若D，M分别为线段，上的动点，则的最小值为 ． 19．如图，是的中线，且，，为的中点，为的垂直平分线上一点，若的面积为，则周长的最小值为 ． 20．如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是 ． 21．如图，在中，，D为的中点，P为上一动点，连接，则的最小值是 ． 22．如图，在等腰中，于D，点M、N分别是线段上的动点，则的最小值是 ． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接，点D为的中点，在点C运动过程中，长的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 24．如图，在中，，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点F为上一动点，则的周长最小值为 ． 类型三、线段垂直平分线的判定 25．如图，已知，与交于点F，连接．下列结论： ①；②；③直线垂直平分；④图中有5对三角形全等．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 26．如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点作的平分线，分别交于点．若，，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 27．如图，D为等边内一点，连接、、，，点P为右侧一点，连接、，，，则的度数为 ． 28．如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)试猜想直线与线段有什么关系？并证明你的猜想； (2)过点D作交于点E，若，，求的长． 29．已知，是从点D出发的三条线段，且． (1)如图①，若点D在线段上，连接，试判断的形状，并说明理由． (2)如图②，连接，且与相交于点E，若，求的长． 30．如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，． (1)若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 31．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 32．如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 33．如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．过作于点，于点    (1)求证： (2)证明：为的平分线． (3)求证： 34．如图，在中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)求证： (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 35．如图，已知是等腰三角形，，． 问题初探    （1）如图①，分别以，为边作等边和等边，与相交于点，则和的数量关系为_______，和的数量关系为_______． 引导发现 （2）如图②，连接并延长，交于点，求证：． 拓展延伸 （3）如图③，作射线交的延长线于点，请直接写出的度数． 类型四、线段垂直平分线的尺规作图 36．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ） A． B． C． D． 37．如图，数轴上点分别对应1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（    ） A． B． C． D． 38．如图，在长方形中，在线段上取一点M，使得，以点M为圆心，为半径作弧，交于点N，分别以点A、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，连接、，若，则等于（    ） A． B． C． D． 39．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，，则的周长为 ． 40．如图，、两村在一条小河的同一侧，要在河边建一自来水厂向两村供水．若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置 （不写作法，保留作图痕迹）    41．如图，现要求找一点，使其到三个顶点的距离相等． (1)该点是三条______的交点；（选填“中线”“高线”“角平分线”或“垂直平分线”） (2)请用无刻度的直尺和圆规作出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 42．请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹） (1)如图1，在中，，点、分别是边、上的两点，且，请作出线段的垂直平分线． (2)如图2，和都是等边三角形且边长相等，点是边上的点，请在边上找出点，使得． 43．如图中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点D，交于点E．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：平分． 44．已知：如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P和点Q，过P、Q两点作直线分别交于点D、E． (1)根据作图过程判断：直线是线段的_______； (2)当时，求的度数； (3)若，，求的周长． 45．如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．        (1)为方便村民出行，计划在公路l上新建一个公交站点 P，要求该站到村庄、的距离相等，在图1中用直尺和圆规作出点 P （不写作法． 保留作图痕迹）； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路l上建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄、的距离之和最小． ①在图2中作出点 ； ②该垃圾中转站建成后， ． 46．如图，在等腰三角形纸片中，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）． 小文解决这一问题的思路如下： 根据“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”，可分别作，的垂直平分线交于点；连接，，．沿线段，，剪开，即可得到三个等腰三角形小纸片． 任务： (1)请根据小文的思路作，的垂直平分线交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，，，直接写出得到的三个等腰三角形相应顶角的度数． 47．如图，在中，，点E，F分别是的边、的中点，边分别与、相交于点H，G，且，，连接、、，下列四个结论；①，②平分，③，④．则其中正确的结论有 （填序号）． 48．如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、，交于，为上一点，连接；在下列结论中： ①；②若垂直平分，则；③若垂直平分，则；④若，则； 其中正确的结论有 ．（填写正确结论的序号） 49．如图，在一条笔直的马路同侧有两个小区，小区到马路的垂直距离为10千米，小区到马路的垂直距离为2千米，的长度为15千米． (1)求小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到两小区的距离相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中确定车站的位置．（保留作图痕迹，不写画法） 50．如图，在等腰中，，，在边上取一点D，连接，点E为线段上一点，以为斜边作等腰，连接交于 (1)如图1，若垂直平分， ①求证：； ②判断与的关系，并说明理由； (2)如图2，M是线段CE上一点，若，求证： 51．如图1，在等腰中，，，点D是边上一点（不与点A、C重合），连接，将沿翻折得，连接． (1)若，解决下列问题： ①当点E落在边上时，与的位置关系是__________； ②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点D的位置（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)如图2， ①当点E落在边上，且为等腰三角形时，求的值； ②当点D在边上运动时，存在点E落在边上，则的取值范围是__________． 52．如图1，在和中，，，且，我们把和称为“等腰相伴”三角形，点和点为对应顶点． (1)求证：； (2)如图2，在四边形中，，为对角线，，，．若，求证：和是“等腰相伴”三角形； (3)在中，，，在平面内是否存在点（，两点位于直线同侧），使和是“等腰相伴”三角形，且点和点为对应顶点．若存在，请画出图形，并求的度数；若不存在，请说明理由． 53．如图，等边中，过点在边的右侧作射线，点与点关于射线对称，连接，，且交射线于点，过两点的直线交射线于点，连接． (1)当时，求的度数； (2)求证：； (3)如图，点为射线上的一动点，过点做于点，连接，当的值最小时，请直接写出的大小（用含的代数式表示）． 54．在长方形中，，，分别是，边上的动点．在长方形的内部（包含边界），以为直角边作等腰直角三角形，且．过点作，垂足为． (1)如图①，当时，设，求与之间的函数表达式； (2)当点的位置如图②所示时，点在边上运动，用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)当点，分别在，边上运动时，满足条件的点所形成的区域的面积随着的长度变化而变化，设点所形成的区域的面积为，的长度为．请直接写出与的函数表达式及对应的取值范围． 55．如图，在中，，作的中点，过作，分别交、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，． (1)如图①，当时，若，时，求内接直角三角形的斜边的长； (2)如图②，当时，若、分别在、的延长线上，则内接直角三角形的斜边满足：　 ；（用含a，b的式子表示） (3)拓展延伸：如图③，当时，与a，b还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与a，b满足的数量关系式，并证明你的结论． 56．如图，是等边三角形，且边长为，点是边上一点，连接． (1)如图1，在边上取点，使，连接，交于点．求证：； (2)如图2，，为中点，是在上一点，且，连接，连接并延长交于，求的度数． (3)如图3，当点与点不重合，点在上，且，以为边向左作等边，连接，求线段的最小值． 57．如图1，是等腰直角三角形，D是中点，交于点G． (1)求证：； (2)若平分，求证：； (3)如图2，若F是中点，且，请直接写出k值． 58．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第二象限，为等边三角形，点的横坐标为，过点作交轴于点． (1)如图（），求线段的长； (2)如图（），点为轴正半轴上一点，点在上，连接，，使．设点的横坐标为，线段的长为，用含的式子表示； (3)如图（），在（）的条件下，连接，当取最小值时，在平面直角坐标系中取一点，连接，，使，且，请直接写出此时的值及点的坐标． 试卷第2页，共86页 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1. 3线段垂直平分线 类型一、线段垂直平分线的性质 1．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行作答即可． 【详解】解：∵现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点， 故选：C 2．如图，在中，，，垂足为点，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得出，由，，得到，进而得出，即可求解． 【详解】解：直线恰好垂直平分线段，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： B． 3．如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交BC于点E，若周长为16，，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判断与性质，垂直平分线的性质以及三角形周长，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． 根据等腰三角形性质得到，根据垂直平分线的性质得到，利用三角形公式即可计算长． 【详解】∵周长为16， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的判定及性质，掌握勾股定理求出线段的长，垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 连接，，，，，，，，结合网格的特点，根据勾股定理求出各线段的长，得到，，根据线段的垂直平分线的判定及性质即可解答． 【详解】解：连接，，，，，，，， ∵每个小正方形的边长都为1， ∴，，，， ，，，， ∴，， ∴直线是的垂直平分线， ∴和线段两个端点距离相等的点的轨迹是直线． 故选：C 5．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．首先连接，由在中，，可求得，又由的垂直平分线交于点E，交于点D，的垂直平分线交于点G，交于点F，易得是等边三角形，继而求得答案． 【详解】解：连接， ∵在中，，， ∴， ∵的垂直平分线交于点E，交于点D，的垂直平分线交于点G，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到该线段两端的距离相等，据此可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， 故选：A． 7．如图，中，边、的垂直平分线分别交于点、，若，则的度数（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．首先根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得、，根据等边对等角可证、，所以可证，根据三角形内角和定理可以求出． 【详解】解：如下图所示， 是的垂直平分线， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ,， ． 故选： C． 8．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质以及翻折变换及其应用；连接，先根据线段垂直平分线的性质得到，则，利用等边对等角和三角形内角和定理以及角平分线的性质得到，，据此可得，证明，得到，则，再由对称性得到，，则，由三角形内角和定理得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图，直线，垂足为点，且．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，先证明，，结合等腰三角形的性质可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵直线，垂足为点，且． ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 10．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/49度 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，根据角平分线的性质可得，然后再计算出的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，然后可算出的度数． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，，在内有一点，，垂直于点，垂直于点，且，，连接，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．连接、，证是的垂直平分线，是的垂直平分线，得出，，则是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵垂直于，垂直于，且，， ∴是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，，，， ，， 是等边三角形， ， 故答案为： 12．如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得，，根据翻折的性质求得，进而求得的度数． 【详解】解：点是的垂直平分线与的交点， ， ， ，， 将沿着翻折得到， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质． 13．如图，在中，，直线，分别是、的垂直平分线，，交于点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，连接，设，交于点，根据题意得出，设，则，进而得出，根据得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设，交于点 ∵， ∴， ∵直线，分别是、的垂直平分线 ∴ ∴ ∴ ∴，即 设，则 ∴，则 ∴ 又∵ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 14．如图，，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)求的度数； (2)若，的周长为19，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，然后由的垂直平分线可得，继而求得的度数，则可求得的度数； （）由是的垂直平分线，，则，，的周长为，从而得，从而求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 垂直平分， ， ， ． （2）解：垂直平分， ，． ， ， ， ． 15．如图，是等边三角形，在直线的下方有一点D，且，连接交于点E． (1)求证：垂直平分； (2)过点D作，交于点F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键. （1）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）（1）知垂直平分，求出，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 点A在线段的垂直平分线上． ， 点D在线段的垂直平分线上， 垂直平分． （2）解：是等边三角形， 又由（1）知垂直平分，∴． ， ， ， ， ． ． 16．阅读与理解 下面是小丽同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格和无刻度直尺作图 正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的线段叫做格点线段．利用正方形网格和无刻度直尺可以做格点线段的中点和垂线．如图，正方形网格是由边长为1的小正方形组成，已知是格点线段，可以用如以下方法构造的中点和垂线． 构造中点：如图1，在网格上取格点，使得，且，连接交的于点．点即为的中点．理由如下： ∵，， 在和中，， （依据1） （依据2）， 即点是的中点． 构造垂线：如图2，在网格上取格点，使得，且，连接即为的垂线．理由如下：… 任务： (1)上述材料中的依据1是指___________，依据2是指___________． (2)请你帮小丽将“构造垂线”中的理由补充完整． (3)如图3，在给定的网格区域内，利用网格和无刻度直尺构造，使得． 【答案】(1)角边角 （ASA）；全等三角形的对应边相等 (2)详见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）根据全等三角形的判定方法与全等三角形的性质可得答案； （2）令 与 交于点 ，证明 ，可得 ，再进一步可得结论； （3）如图，取格点，连接，，交于点，作射线，则 即为所求； 【详解】（1）解：上述材料中的依据1是指角边角 （）， 依据2是指全等三角形的对应边相等 （2）解：令 与 交于点 ， 在 和 中 ， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：如图，取格点，连接，，交于点，作射线，则 即为所求； 理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的画图是解本题的关键. 类型二、最小值问题 17．如图，等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交，边于点，，点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，将求的最小值转化为求的长是解题关键．连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． ∵是等腰三角形，点是边的中点， ， ∴，解得， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为的最小值， 的最小值为6． 故选：C． 18．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点E，F，若D，M分别为线段，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．读懂题意，过点作，交于一点，再连接，得，则的最小值为，再运用三角形的面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作，交于点，再连接， ∵的垂直平分线分别交，于点E，F， ∴， ∵D，M分别为线段，上的动点， 则的最小值为， ∵，， ∴， 解得， 即的最小值为． 故答案为： 19．如图，是的中线，且，，为的中点，为的垂直平分线上一点，若的面积为，则周长的最小值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质是解题的关键．如图，连接，由题意知，，，，由，可求，周长为，当三点共线时，的值最小，然后求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，为的中点，为的垂直平分线上一点， ∴，， ∵是的中线，，为的中点， ∴， ∵， ∴， 周长为， 当三点共线时，的值最小，为， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 20．如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是 ． 【答案】11 【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 【详解】解：设直线交于，连接，如图所示： ∵直线是的垂直平分线， 关于直线对称，， ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长，且的最小值等于， ∴周长的最小值是， 故答案为：11． 21．如图，在中，，D为的中点，P为上一动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】12 【分析】作关于的对称点，连接，，，由，可得，，根据轴对称的性质可得，是的垂直平分线，进而可得，于是证得是等边三角形，则，由三线合一可得，进而利用三角形的面积公式可得，由垂直平分线的性质可得，于是可得，根据垂线段最短可知，于是可得答案． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，，， ，， ， ∴， 是关于的对称点， 根据轴对称的性质可知，，是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ， 为的中点， ， ，且， ， 是的垂直平分线， ， ， 垂线段最短， ， 即：， 的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三线合一，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键． 22．如图，在等腰中，于D，点M、N分别是线段上的动点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质．过点C作，垂足为H，连接，根据等腰三角形三线合一性质可得是边上的中线，则垂直平分，得到，则线段的长为的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，连接， ∵， ∴是边上的中线， ∴垂直平分，直线是等腰的对称轴， ∴， ∵点M、N分别是线段上的动点， ∴， ∴当点M、N、C三点共线且点M与点H重合时，取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是4． 故答案为：4． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接，点D为的中点，在点C运动过程中，长的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与x轴、y轴分别交于A，B两点即可求出A、B点的坐标，进而求出，分析出当时，的长最小，由已知条件可得出为的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得出，，根据勾股定理求出，即可求出，再利用勾股定理即可得出． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， ∴， ∴， 当时，长的最小， ∵点D为的中点， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短以及垂直平分线的性质，勾股定理等知识．掌握时，的长最小是解题的关键． 24．如图，在中，，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点F为上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称-最短路线问题，连接，，根据折叠得出C和E关于对称，，当F和D重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是，先求出长，代入求出即可． 【详解】解：连接，， ∵沿折叠C和E重合， ∴，，， ∴，垂直平分， ∴C和E关于对称， ∴，， ∴的周长， ∴当F和D重合时，的值最小，此时的周长最小，最小值是． 故答案为：6． 类型三、线段垂直平分线的判定 25．如图，已知，与交于点F，连接．下列结论： ①；②；③直线垂直平分；④图中有5对三角形全等．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平直平分线的判定等知识，根据全等三角形的判定以及性质以及平直平分线的判定一一判定以及可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，， 即，故①正确． 又，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即F在的垂直平分线上， 又，A在的垂直平分线上， 故是的垂直平分线，故③正确， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 又，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 一共有5对全等三角形，故④正确． ∵和是同高不同底的三角形， ∴若，只需证明， 而已知条件无法证明，故②错误， 综上，①③④正确． 故选：B 26．如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点作的平分线，分别交于点．若，，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了最短距离问题，等腰三角形的性质．根据点A与点C关于对称，即可得出，当点P与点E重合时，，此时的周长最小，据此求解即可得到周长的最小值． 【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形，平分， ∴垂直平分， ∴点A与点C关于对称， ∴， 如图所示，当点P与点E重合时，， 此时的周长最小， ∵，，， ∴周长的最小值为：， 故选：B． 27．如图，D为等边内一点，连接、、，，点P为右侧一点，连接、，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形性质及垂直平分线的判定与性质，根据等边三角形的性质以及已知条件可得是的垂直平分线，根据三线合一可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵ ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 28．如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)试猜想直线与线段有什么关系？并证明你的猜想； (2)过点D作交于点E，若，，求的长． 【答案】(1)直线垂直平分，见解析 (2)6 【分析】此题考查了垂直平分线的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识． （1）根据垂直平分线的判定求解即可； （2）由，得，而，所以，则． 【详解】（1）直线垂直平分 证明：∵ ∴点D在的垂直平分线上 又∵ ∴点B在的垂直平分线上 ∴是的垂直平分线； （2）解：， ． 由（1）知，， ， ． ， ， ． 29．已知，是从点D出发的三条线段，且． (1)如图①，若点D在线段上，连接，试判断的形状，并说明理由． (2)如图②，连接，且与相交于点E，若，求的长． 【答案】(1)直角三角形，见解析； (2)4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定定理，勾股定理： （1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，于是得出是直角三角形； （2）根据线段垂直平分线的判定定理得到垂直平分，再根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，． (1)若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的“三线合一”等知识点，熟记相关几何结论即可． （1）由题意得，根据推出，即可求证； （2）连接，可推出垂直平分得；进而得， ，，即可求解； 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵． ∴，即， ∴是等边三角形， （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ 31．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 设，， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，等腰三角形的性质，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 32．如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 【答案】(1)见解析 (2)点P在边的垂直平分线上，理由见解析 (3)①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等．③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型． （1）运用垂直平分线的性质可得，，进而证明结论； （2）运用垂直平分线的判定定理即可解答； （3）运用(1)中的结论以及确定圆的条件，综合(1)(2)的结论，即可得到相应的结论． 【详解】（1）证明：∵点P是的垂直平分线上的点， ∴． 同理． ∴； （2）解：点P在边的垂直平分线上． 理由：， ∴点P在边的垂直平分线上； （3）解：由（1）、（2）可得： ①三角形三边的垂直平分线相交于一点． ②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等． ③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 33．如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．过作于点，于点    (1)求证： (2)证明：为的平分线． (3)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （3）先根据全等三角形的性质可得，，再根据线段和差、等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的平分线． （3）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴． 34．如图，在中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)求证： (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)等腰三角形，见解析 【分析】（1）由平行可求得，再结合等腰三角形的判定和性质可求得； （2）结合（1）的结论，可证明，从而证明； （3）由（2）可得，又证明垂直平分，可得，可证明，可知为等腰三角形． 【详解】（1）证明：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； （2）证明：由（1）可知， 为的中点， 在和中， ， （3）解：由（）可知， ， 由（）可知，， ∴垂直平分， ， ， 为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 35．如图，已知是等腰三角形，，． 问题初探    （1）如图①，分别以，为边作等边和等边，与相交于点，则和的数量关系为_______，和的数量关系为_______． 引导发现 （2）如图②，连接并延长，交于点，求证：． 拓展延伸 （3）如图③，作射线交的延长线于点，请直接写出的度数． 【答案】【小问1】， 【小问2】见解析 【小问3】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，等式性质解答即可． （2）根据线段垂直平分线的判定和性质证明即可． （3）利用等腰三角形的三线合一性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解答即可． 【详解】（1）解：依题得：等边和等边， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：；． （2）证明：由（1）得，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∵点在的延长线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴． （3）解：如图，设，，， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ．    【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 类型四、线段垂直平分线的尺规作图 36．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是解题的关键．根据，结合图形分析可得，只需作线段的垂直平分线，分析选项即可得出结论． 【详解】解：根据题意，， 由图可知，， ， 故符合要求的作图是作线段的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有B选项符合题意． 故选：B． 37．如图，数轴上点分别对应1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的作图和性质、实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意得：，，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴点M对应的数是， 故选：B． 38．如图，在长方形中，在线段上取一点M，使得，以点M为圆心，为半径作弧，交于点N，分别以点A、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，连接、，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图及其性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由长方形和可得，再根据作图可得直线是线段的垂直平分线，得出的度数，再利用求出的度数，最后在利用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，连接， 长方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由作图可得，直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ． 故选：A． 39．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，，则的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：17． 40．如图，、两村在一条小河的同一侧，要在河边建一自来水厂向两村供水．若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置 （不写作法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据题意作出的垂直平分线，即可求解． 【详解】解：如图所示，点即为所求．    41．如图，现要求找一点，使其到三个顶点的距离相等． (1)该点是三条______的交点；（选填“中线”“高线”“角平分线”或“垂直平分线”） (2)请用无刻度的直尺和圆规作出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)垂直平分线 (2)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质． （1）由点到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可解答． （2）作线段的垂直平分线交于点P即可． 【详解】（1）解：内一点，到三个顶点的距离相等，即， 点是三条垂直平分线的交点； （2）解：如图所示，点P为所求： 42．请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹） (1)如图1，在中，，点、分别是边、上的两点，且，请作出线段的垂直平分线． (2)如图2，和都是等边三角形且边长相等，点是边上的点，请在边上找出点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，解题关键是掌握等腰三角形的性质，熟练应用它的性质进行作图； （1）连接、交于点P，作直线即可； （2）延长、交于点Q，连接，再连接，过与交点和B点作直线，与交点就是点． 【详解】（1）如图1，连接、交于点P，直线即为所求； （2）如图2，延长、交于点Q，连接，再连接，过与交点和B点作直线，与交点就是点． 43．如图中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点D，交于点E．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以、为圆心，以大于的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，于点，直线就是所要作的边上的中垂线； （2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据等边对等角的性质求出，然后求出，从而得到平分． 【详解】（1）解：如图所示，就是要求作的边上的中垂线； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 是边上的中垂线， ， ， ， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查了尺规基本作图-作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，难度不大，需熟练掌握． 44．已知：如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P和点Q，过P、Q两点作直线分别交于点D、E． (1)根据作图过程判断：直线是线段的_______； (2)当时，求的度数； (3)若，，求的周长． 【答案】(1)垂直平分线 (2)； (3)的周长为． 【分析】本题考查了垂直平分线作图和垂直平分线的性质，三角形的外角性质以及三角形内角和定理． （1）利用作已知线段的垂直平分线的方法进行判断； （2）根据线段垂直平分线的性质得，再得到，利用三角形的外角性质结合三角形内角和定理得，据此即可求得答案； （3）根据垂直平分线性质求解即可． 【详解】（1）解：由作图痕迹可知，直线是线段的垂直平分线； 故答案为：垂直平分线； （2）解：根据（1）得，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴的周长 ， 即：的周长为． 45．如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．        (1)为方便村民出行，计划在公路l上新建一个公交站点 P，要求该站到村庄、的距离相等，在图1中用直尺和圆规作出点 P （不写作法． 保留作图痕迹）； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路l上建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄、的距离之和最小． ①在图2中作出点 ； ②该垃圾中转站建成后， ． 【答案】(1)图见解析； (2)①图见解析；②5 【分析】本题考查作图应用与设计作图，设计勾股定理及应用． （1）连接，作的垂直平分线交于，点即为所求； （2）①作关于直线的对称点，连接交直线于，此时，因，，共线，故最小，点即为所求； ②过作交延长线于，求出，，得，用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于，如图： 点即为所求； （2）解：①作关于直线的对称点，连接交直线于，此时，因，，共线，故最小，如图： 点即为所求； ②过作交延长线于，则四边形是矩形， ，，， ， ， 的最小值为， 46．如图，在等腰三角形纸片中，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）． 小文解决这一问题的思路如下： 根据“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”，可分别作，的垂直平分线交于点；连接，，．沿线段，，剪开，即可得到三个等腰三角形小纸片． 任务： (1)请根据小文的思路作，的垂直平分线交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，，，直接写出得到的三个等腰三角形相应顶角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)等腰的顶角度数为，等腰的顶角度数为，等腰的顶角度数为． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法画出，的垂直平分线，即可解题； （2）结合线段垂直平分线性质，证明，结合全等三角形性质，等腰三角形性质，以及三角形内角和求出，，，即可解题． 【详解】（1）解：所作图形如下图所示： （2）解：，的垂直平分线交于点，连接，，， 有， ， ， ， ， ， ， ， 等腰的顶角度数为，等腰的顶角度数为，等腰的顶角度数为． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的作图和性质定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等，全等三角形性质和判定，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 47．如图，在中，，点E，F分别是的边、的中点，边分别与、相交于点H，G，且，，连接、、，下列四个结论；①，②平分，③，④．则其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】 【分析】由，可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，进而可得，由此即可判断结论①；连接、，由线段垂直平分线的性质可得，，，，进而可得，由等边对等角可得，，，，，进而可得，，即，，于是可得，由此即可判断结论②；以现有条件无法推出，由此即可判断结论③；由三角形的内角和定理可得，由平分可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由此即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：，， ， ，， ， 故结论①正确； 如图，连接、， 垂直平分，垂直平分， ，，，， ，，，，， ，，， ，， ， 平分， 故结论②正确； 以现有条件无法推出，故结论③错误； ， ， ， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 48．如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、，交于，为上一点，连接；在下列结论中： ①；②若垂直平分，则；③若垂直平分，则；④若，则； 其中正确的结论有 ．（填写正确结论的序号） 【答案】②③④ 【分析】对于①，由于点的位置不确定，无法说明，故①错误；对于② ，过点作于点，由，知，显然，由得到，故，显然，故，故②正确；对于③，先证明，则，故，即，故③正确；对于④，过点作的垂线交延长线于点，连接，先证明，则，再证明，则，继而，故④正确． 【详解】解：对于①，由于点的位置不确定，无法说明，故①错误； 对于② ，过点作于点， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵等腰，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵等腰， ∴， ∵ ∴， ∴，故②正确； 对于③，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 对于④，过点作的垂线交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，垂直平分线的性质，解题的关键在于添加辅助线构造全等三角形，难度较大． 49．如图，在一条笔直的马路同侧有两个小区，小区到马路的垂直距离为10千米，小区到马路的垂直距离为2千米，的长度为15千米． (1)求小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到两小区的距离相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中确定车站的位置．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】(1)17千米 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，平行线间间距线段，线段垂直平分线的尺规作图和线段垂直平分线的性质． （）过点作于，由平行线间间距相等得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解； （2）如图所示，作线段的垂直平分线交于P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ∵，， ∴，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：，小区之间的距离为千米； （2）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于P，点P即为所求． 50．如图，在等腰中，，，在边上取一点D，连接，点E为线段上一点，以为斜边作等腰，连接交于 (1)如图1，若垂直平分， ①求证：； ②判断与的关系，并说明理由； (2)如图2，M是线段CE上一点，若，求证： 【答案】(1)①见解析；②，，理由见解析 (2)见解析 【分析】（）①过作于点，则，由是等腰直角三角形，则，得到即，同理，由垂直平分线的性质得，，则，，再证明，又可证则，从而求解； ②过作于点，则，根据等腰直角三角形的性质得，通过角度和差得，则，从而证明，再证明，根据性质得出，，从而得出，最后由角度和差即可求出，从而证明； （）过点作的垂线交延长线于点，连接，通过角度和差得出，证明，则，，由，，则，，从而得出，再证明 ，然后根据性质即可求证． 【详解】（1）证明：①如图，过作于点，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 同理：， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 解：② ，，理由如下： 如图，过作于点，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由①得：，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作的垂线交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定，角度和差，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 51．如图1，在等腰中，，，点D是边上一点（不与点A、C重合），连接，将沿翻折得，连接． (1)若，解决下列问题： ①当点E落在边上时，与的位置关系是__________； ②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点D的位置（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)如图2， ①当点E落在边上，且为等腰三角形时，求的值； ②当点D在边上运动时，存在点E落在边上，则的取值范围是__________． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①或；② 【分析】（1）①根据题意得，，可得，得出； ②当时，利用平行线和等腰三角形的性质和判定，可得，结合已知可得为的中点，画出的垂直平分线，则垂足即可点D； （2）①当为等腰三角形时，可分为三种情况，从而根据等腰三角形的性质讨论即可； ②当存在点E落在边上，，即，可得，点E可与点C重合，不与点D重合，即可求解． 【详解】（1）解：①， ， 当点E落在上时，， 可得， ， ，即； ② ， ， ， ， ， 故是的中点，即点D的位置如图所示： （2）①当为等腰三角形时，可分为三种情况， 当时， ， ， ， ， 解得：， 当时， ， ， 解得：（不符合题意）， 当时， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 综上：或． 故或． ②当存在点E落在边上，， 即， ， ，点E可与点C重合，不与点D重合， ， ， 解得：， 综上所述：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，折叠，三角形内角和定理，平行线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键． 52．如图1，在和中，，，且，我们把和称为“等腰相伴”三角形，点和点为对应顶点． (1)求证：； (2)如图2，在四边形中，，为对角线，，，．若，求证：和是“等腰相伴”三角形； (3)在中，，，在平面内是否存在点（，两点位于直线同侧），使和是“等腰相伴”三角形，且点和点为对应顶点．若存在，请画出图形，并求的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)存在，的度数为或 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解答； （2）作交的延长线于Q，作于点M，证明得，从而，求出即可； （3）分点C和点D在的同侧、点C和点D在的异侧两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作交的延长线于Q，作于点M，则． ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴和是“等腰相伴”三角形； （3）解：当点C和点D在的同侧时，如图，，，， 把沿翻折得，D的对应点为，延长交于H， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，． ∵， ∴垂直平分， ∴； 当点C和点D在的异侧时，如图，，，， 把沿翻折得，D的对应点为，延长交于H， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，． ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴． 综上可知，的度数为或． 【点睛】本题考查了新定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和折叠的性质，等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，理解新定义是解答本题的关键． 53．如图，等边中，过点在边的右侧作射线，点与点关于射线对称，连接，，且交射线于点，过两点的直线交射线于点，连接． (1)当时，求的度数； (2)求证：； (3)如图，点为射线上的一动点，过点做于点，连接，当的值最小时，请直接写出的大小（用含的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）由是等边三角形，则，，根据点与点关于射线对称，故有垂直平分，所以，，然后根据等腰三角形的性质和角度和差即可求解； （）在上截取，连接，通过角度和差，等腰三角形的性质可得出，然后证明，则，又，则是等边三角形，故有，然后由线段和差即可求证； （）连接，由（）得垂直平分，则，所以当点三点共线时，的值最小，通过三角形的外角性质，等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点与点关于射线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， （2）解：如图，在上截取，连接， 由（）得垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，连接， 由（）得垂直平分， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 54．在长方形中，，，分别是，边上的动点．在长方形的内部（包含边界），以为直角边作等腰直角三角形，且．过点作，垂足为． (1)如图①，当时，设，求与之间的函数表达式； (2)当点的位置如图②所示时，点在边上运动，用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)当点，分别在，边上运动时，满足条件的点所形成的区域的面积随着的长度变化而变化，设点所形成的区域的面积为，的长度为．请直接写出与的函数表达式及对应的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明得出，根据题意，即可列出函数关系式； （2）在上截取点，使得，在上任取一点，过点作，连接交于点，连接，则为所有满足条件的点的轨迹 （3）根据（2）的结论，分类讨论，得出点所形成的区域，进而得出与的函数表达式及对应的取值范围． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， 又∵ ∴ ∴， 在中， ∴ ∴，则 ∵， ∴ （2）解：如图所示，在上截取点，使得，在上任取一点，过点作，连接交于点，连接，则为所有满足条件的点的轨迹 （3）解：长方形中，， 分四种情况讨论， ①当时，如图所示， 当点与点重合，点在上运动时，点的轨迹为线段， 当点与点重合，点在上运动时，点的轨迹为线段， 当、点运动时，点所形成的区域等腰直角， ∴ ②当时，如图所示，同理可得，点所形成的区域为多边形， 由（1）可得， 同理可得，是等腰直角三角形， ∴ ③当时， ∴ ④当时，如图所示 综上所述， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，函数表达式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 55．如图，在中，，作的中点，过作，分别交、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，． (1)如图①，当时，若，时，求内接直角三角形的斜边的长； (2)如图②，当时，若、分别在、的延长线上，则内接直角三角形的斜边满足：　 ；（用含a，b的式子表示） (3)拓展延伸：如图③，当时，与a，b还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与a，b满足的数量关系式，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)不满足，关系式为 【分析】（1）过点作的垂线交的延长线于点，连接，根据平行线的性质，则，根据对顶角相等，全等三角形的判定和性质，则，得，，根据勾股定理的应用，即可； （2）过点作的垂线交的延长线于点，连接，根据平行线的性质，则，根据对顶角相等，全等三角形的判定和性质，则，根据勾股定理，则，进行解答，即可； （3）过点作的平行线交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，根据等腰三角形的性质，则，根据全等三角形的判定和性质，则，，，根据勾股定理，则，即可． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； （2）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 即， 故答案为：； （3）解：与a，b不满足（2）的关系式，存在新的数量关系式为：， 证明：如图，过点作的平行线交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴， 在中，， 即． 【点睛】本题是三角形的全等综合问题，考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是遇中点作辅助线构建全等三角形解决问题． 56．如图，是等边三角形，且边长为，点是边上一点，连接． (1)如图1，在边上取点，使，连接，交于点．求证：； (2)如图2，，为中点，是在上一点，且，连接，连接并延长交于，求的度数． (3)如图3，当点与点不重合，点在上，且，以为边向左作等边，连接，求线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，即可由定理得出结论； （2）延长交于N，同（1）证明，得到，根据为中点，可得，，根据垂直平分线的性质得到，然后证明，得到，从而得出，最后利用等腰三角形与三角形内角和定理求解即可； （3）延长至，使得，则，连接交的延长线于点，证明得出，，是等边三角形，取的中点，连接，证明是等边三角形，则，进而证明，根据垂线段最短，当时，取得最小值，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ （2）解：延长交于N，如图2， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ， ， ∵为中点， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图所示，延长至，使得，则，连接交的延长线于点， ∵， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， 设 ∴， ∴ 在与中， ∴ ∴， ∴是等边三角形，则，， 设，则，， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∴， 又∵ ∴是等边三角形，则 ∴， ∴ ∴， ∴ ∴当时，取得最小值， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴当时，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 57．如图1，是等腰直角三角形，D是中点，交于点G． (1)求证：； (2)若平分，求证：； (3)如图2，若F是中点，且，请直接写出k值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证出，根据可证明； （2）证明，得出，证明，得出，，由（1）知，得出，则可得出结论； （3）过点C作，交的延长线于点M，证明，得出．证明，得出，由勾股定理证出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴； （3）解：过点C作，交的延长线于点M， ∵， ∴， ∴． ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线判定和性质，勾股定理解直角三角形，构建全等三角形，是解决本题的关键． 58．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第二象限，为等边三角形，点的横坐标为，过点作交轴于点． (1)如图（），求线段的长； (2)如图（），点为轴正半轴上一点，点在上，连接，，使．设点的横坐标为，线段的长为，用含的式子表示； (3)如图（），在（）的条件下，连接，当取最小值时，在平面直角坐标系中取一点，连接，，使，且，请直接写出此时的值及点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)，点坐标为或． 【分析】（）过点作轴于点，则，然后由等边三角形的性质可得，故有，再根据所对直角边是斜边是斜边的一半即可求解； （）先证明，根据性质可得，再利用线段和差即可求解； （）延长交轴于点，连接，，先证明垂直平分，则有，故，即，当点三点共线时，有最小值，然后求出，，再证明是等边三角形，则，再通过等面积法得出，从而求出的值，由，且，得知点在轴上，且，再利用等腰三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∵点的横坐标为， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点 的横坐标为， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴垂直平分， ∴， ∴，即， ∴当点三点共线时，如图，有最小值， ∴， ∴， 由上可知：，， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∵， ∴点在轴上，且，如图， ∴， ∴， ∴， 同理：， 综上可知：，点坐标为或． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定与性质，所对直角边是斜边是斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 试卷第2页，共86页 1 / 83 学科网（北京）股份有限公司 $$