1.2直角三角形（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

1. 2直角三角形 类型一、直角三角形的构成造 1．的三边分别为a，b，c，下列选项中不能判定是直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 2．在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．由线段、、组成的三角形是直角三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知的，和的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出是直角三角形的有（   ）个 ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 5．下列命题中，正确的是（   ） A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．在中，的对边分别是，若，则 C．在中，的对边分别是，若，则 D．如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 6．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 7．的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 8．中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（    ） A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形 C．如果，则是直角三角形 D．如果，则是直角 类型二、在图形中构造直角三角形 9．如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 10．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 11．如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 12．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 13．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 14．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图①中，以点B为直角顶点，作直角三角形，面积为5； (2)在图②中，以为底边，作等腰三角形，面积为10． 15．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由． 16．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是点，，，与关于x轴对称，其中，，分别是点A，B，C的对应点． (1)画出； (2)已知点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由． 17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中，画线段，且使，连结； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______； (3)为______三角形，点A到的距离为______． 18．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)填空：______，______，______． (2)是直角吗？请说明理由． (3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标． 19．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点均在格点上. (1)是直角三角形吗?请说明理由； (2)求四边形的面积. 20．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 21．在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 类型三、勾股定理逆定理的实际应用 22．教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动． 【解析】 (1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？ (2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉． 23．某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，点在点的正东方米处，点在点的正北方米处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由： (2)通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：） 24．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试判断与的位置关系，并说明． 25．随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 26．已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由： (2)若的长度为，，求购物车把手到的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：） 27．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． (1)求四边形的面积； (2)小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 28．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 29．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．    （1）下列四边形是勾股四边形的有　 　．（填序号） ①长方形；②平行四边形；③正方形； （2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（0，4），B（3，0），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标____________ （3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB＝30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形． 类型四、利用勾股定理的逆定理求解 30．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 31．已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 32．如图，在中，，，，点是外一点，连接，且．求的度数． 33．如图，四边形中，，连接． (1)求的长； (2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积． 34．如图，点、是直线上两点，且，在线段上取一点，经测量，． (1)长是否为点到直线的最短距离？请说明理由； (2)求点和点的距离． 35．如图，在中，，是上一点，且，． (1)求证：； (2)求的长． 36．如图， 和中，． (1)求证：； (2)若 ，求证： ． 37．已知：如图，在中，，，的周长为30． (1)证明：是直角三角形； (2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②求线段的长． 38．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点坐标为，直线与交于点    (1)求直线的表达式； (2)求证： (3)直线，且，，不能围成三角形，直接写出所有满足条件的的值． 类型五、全等三角形的性质与HL的应用 39．如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 40．如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④平分； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．如图，已知在和中，，，，如果，那么的大小为 ．    42．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等． 43．如图，与中，，是直角，边，在一条直线上，且，． 求证： (1)； (2)． 44．综合与探究 【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ∴（______） ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴______． ∴． ∴． ∴______． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，运用转化思想，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 45．小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的．如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得，．（图中的、、、在同一平面上），求证此时．    46．等边，D是边上任意一点（不与端点重合），连接，在下方作，再作于点M． (1)当点D是的中点时，如图1，则_______；和的数量关系是_______； (2)当点D在边上运动时， ①证明：； ②直接写出线段、、之间的数量关系式． 47．如图①，四边形中，，连接，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 48．教科书第39页有下面一段文字： 思考： 如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到．这个实验说明了什么？ 图1中的与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，，，但与不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 小明通过对上述问题的再思考，提出：两边和其中一边的对角（这个角是钝角）分别相等的两个三角形全等．即在和中，若，，（，为钝角），则．对于小明的结论，阿强和阿芳分别提出了验证方案． (1)阿强的验证方案：根据教科书中探究三角形全等判定方法的经验，利用尺规作图验证小明提出的结论．即先画一个，使为钝角，如图2，再画一个，使，，．把画好的剪下来，放到上，看它们是否重合． 请利用直尺和圆规画出符合条件的（不写画法，保留作图痕迹）； (2)阿芳的验证方案：利用三角形全等的判定方法证明小明提出的结论．即：在和中，已知，，（，为钝角），如图3． 求证：．请写出证明过程． 49．如图，已知中，，点为外一点，连接、，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)已知，请直接写出的度数______． 50．如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 51．如图，在中，，D为边的中点，分别为边上的点，且．若，则 °．线段的长度= ．    52．在中，，，C为直线上一点（点C不与点O，点B重合），点C关于点B的对称点为点D，连接，在直线上取一点E，使，直线交直线于点． (1)当点C在如图1所在位置时，请补全图形． ①若，求的度数（用含的式子表示）； ②写出此时，，之间的数量关系，并证明； (2)当点C不在如图1所在位置时，请你确定一个满足题意的点C的位置，在图2中补全图形，直接写出一个，，之间的数量关系．（要求：和（1）中，，之间的数量关系不同） 53．【问题提出】（1）如图1，在中，，，，则的长为__________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，点为上方一点，连接，的垂直平分线分别交、于点、，点为上一动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，对角线、为两条走廊，，．随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新扩建规划，过点作交的延长线于点，发现与恰好相等，将区域规划为功能训练区，并在线段、上分别取点、，并沿线段、摆放某种小型健身器材，请你计算当最小时，与的数量关系． 54．如图，在中，，，P为线段上一点，点Q，P关于直线对称，于点D，与交于点E，连结，设． (1)若，求的长，并用含m的代数式表示的长； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)连结，若，与的面积之比为，求m的值． 55．【综合与探究】 【问题情境】如图，在中，，，点D在直线上运动，连接，作射线，点E在射线上，并且在点D动动的过程中始终保持，过点E作，垂足为点F． 【探究发现】 （1）如图1，当点D在线段上（不含点C）时． ①直接写出与的数量关系； ②求证：； 【拓展思考】 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时．求证：； （3）当点D在直线上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由． 56．如图，已知在中，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当__________时，平分的面积； (2)当__________时，为以为腰的等腰三角形； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 57．定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“完美分割线”． (1)下列三角形中，不存在“完美分割线”的是 （只填写序号）． ①等边三角形；②顶角为的等腰三角形；③等腰直角三角形． (2)在中，，，．如图1，已知的一条完美分割线交边于点，且，请求出的长度； (3)如图2，在中，，，直接写出被“完美分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数； (4)如图3，中，，为边上的高，，为的中点，过点作直线交于点，作于，于．若射线为的“完美分割线”．求的最大值． 58．探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 59．（1）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，，且于点，．则点的坐标为________： （2）如图2，在平面直角坐标系中，于点，，点的坐标为，则点的坐标为________； （3）如图3，点A在轴上，点在轴上，且，点在轴的负半轴上，连接，作于点，并且，连接交轴于点，请猜想线段与线段的数量关系，并进行证明； （4）如图4，点的坐标为，轴于点，在直线上有一动点，连接，在轴上方作于点，并且，连接，线段平行于轴，连接，线段交坐标轴于点，当时，直接写出点的坐标． 试卷第2页，共83页 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1. 2直角三角形 类型一、直角三角形的构成造 1．的三边分别为a，b，c，下列选项中不能判定是直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理判断即可． 【详解】解：A、， 三边分别为a，b，c的不是直角三角形，符合题意； B、，， ， 是直角三角形，不符合题意； C、， ∴， 三边分别为a，b，c的△ABC是直角三角形，不符合题意； D、， ， 三边分别为a，b，c的是直角三角形，不符合题意； 故答案选：A． 2．在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：∵，则 ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴, ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 3．由线段、、组成的三角形是直角三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，别计算各选项中较短的两边的平方和是否等于最长边的平方，再根据勾股定理的逆定理可得答案． 【详解】解：A、， 、、组成的三角形是直角三角形； B、， 、、组成的三角形不是直角三角形； C、， 、、组成的三角形不是直角三角形； D、， 、、组成的三角形不是直角三角形． 故选：A． 4．已知的，和的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出是直角三角形的有（   ）个 ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和、直角三角形的性质、三角形三边关系，根据三角形内角和可以判断①和④；根据三角形三边关系可以判断②；根据勾股定理的逆定理可以判断③． 【详解】解：∵ ∴最大的，故①不符合题意； ∵， ∴，该a、b、c三条线段构不成三角形，故②不符合题意； ∵， ∴， ∴，则该是直角三角形，故③符合题意； ∵， ∴，则该是直角三角形，故④符合题意； 故选：C． 5．下列命题中，正确的是（   ） A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．在中，的对边分别是，若，则 C．在中，的对边分别是，若，则 D．如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，熟悉勾股定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，A错误； 在中，的对边分别是，若，则错误； 在中，的对边分别是，若，则错误； 如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，D正确， 故选：D． 6．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，涉及到偶次方、算术平方根、绝对值的非负性，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性得出，求出的值，求出，再根据勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解：， 三角形的形状是直角三角形， 故选：B． 7．的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．由，根据勾股定理可知是直角三角形，即可判断选项A；结合，可设，易得，根据勾股定理可知是直角三角形，即可判断选项B；由，可得，结合三角形内角和定理可解得，可知是直角三角形，即可判断选项C；结合，可设，结合三角形内角和定理可解得，易得，可知不是直角三角形，即可判断选项D． 【详解】解：A.因为的三条边分别为，结合，可知是直角三角形，本选项不符合题意； B.因为，可设，则，可知是直角三角形，本选项不符合题意； C.因为，可得，结合可得，解得，即是直角三角形，本选项不符合题意； D. 因为，可设，结合，可得，解得，所以，所以不是直角三角形，本选项符合题意． 故选：D． 8．中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（    ） A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形 C．如果，则是直角三角形 D．如果，则是直角 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，据三角形内角和定理可得是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出是否是直角三角形，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴是等边三角形，原选项不符合题意； 、由， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴是锐角三角形，原选项不符合题意； 、由， 设，，， ∴， ∴是直角三角形，原选项符合题意； 、∵， ∴，即， ∴是直角，原选项不符合题意； 故选：． 类型二、在图形中构造直角三角形 9．如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点．取格点，连接，利用证明，推出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据可得，进而可得，再利用等量代换即可解答． 【详解】解：如图：取格点，连接，    ∵，，， ∴， ∴， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 11．如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答． 【详解】解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图 符合条件的格点C的个数是6个 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 12．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】7或17 【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可． 【详解】解：当E在线段AD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEC=∠FEC==135°， ∴∠CED=45°， ∴CD=ED=5， ∴AE=AD-ED=12-5=7； 当E在线段BD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF， ∵∠AEF=90°， ∴∠CEF=∠CEA=45°， ∴ED=CD=5， ∴AE=AD+DE=17， 故答案为：7或17． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． 13．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 14．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图①中，以点B为直角顶点，作直角三角形，面积为5； (2)在图②中，以为底边，作等腰三角形，面积为10． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形等知识． （1）根据题意利用勾股定理及其逆定理，进行作图即可； （2）根据题意利用勾股定理及其逆定理，进行作图即可． 【详解】（1）解：如图，直角三角形即为所求， （2）如图，等腰三角形即为所求， 15．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)的形状是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和勾股定理可以求得、和的值； （2）先判断，然后根据（1）中的结果和勾股定理的逆定理，即可说明理由； 【详解】（1）解：、，，， 故答案为：，，； （2）解：的形状是直角三角形； 理由如下： ∵ ，，；且 ∴的形状是直角三角形． 16．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是点，，，与关于x轴对称，其中，，分别是点A，B，C的对应点． (1)画出； (2)已知点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为直角三角形．理由见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：为直角三角形．理由如下， 理由：由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中，画线段，且使，连结； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______； (3)为______三角形，点A到的距离为______． 【答案】(1)图见详解 (2)，，5 (3)直角， 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用网格，结合平行线的判定与性质按要求画图即可． （2）利用勾股定理分别计算即可． （3）由勾股定理的逆定理可得，则为直角三角形，然后根据等积法可得点A到的距离． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：由勾股定理可得：，，； 故答案为，，5； （3）解：由（2）可知：， ∴， ∴是直角三角形， ∴点A到的距离为； 故答案为：直角，2 18．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)填空：______，______，______． (2)是直角吗？请说明理由． (3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标． 【答案】(1)；；5 (2)是直角，理由见解析 (3)图见解析，， ，（答案不唯一） 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，用坐标表示点的位置，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用勾股定理计算求解，即可解题； （2）利用勾股定理逆定理进行判断，即可解题； （3）结合图形建立平面直角坐标系，再根据坐标系写出，，三点的坐标，即可解题（答案不唯一）． 【详解】（1）解：正方形网格的每个小方格边长均为1， ，，． 故答案为：，，5； （2）解：是直角，理由如下： ， 为直角三角形， 是直角． （3）解：以为原点，建立如下所示的平面直角坐标系， 由图知，， ，． 19．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点均在格点上. (1)是直角三角形吗?请说明理由； (2)求四边形的面积. 【答案】(1)是，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得出，，,再根据勾股定理的逆定理，即可得到结论； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， ， , ， ， ， 是直角三角形； （2）解：四边形的面积 ． 20．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可． （1）根据题意作符合要求的直角三角形即可； （2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：即为所求（答案不唯一）； （2）解：即为所求（答案不唯一）． 21．在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分类讨论分别为直角边和斜边时，共3种情况； （2）根据点Q的横纵坐标相等，可得点Q在第一象限的角平分线上，选择合适的点即可； 【详解】（1）解：如图，当分别为直角边和斜边时， （2）解：如图： 点Q的横纵坐标相等， 点Q在直线上， 根据割补法依次计算可得：点Q的位置如上图． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，割补法求面积，根据面积确定点坐标等知识点，直角坐标系性质的熟练运用是解题关键． 类型三、勾股定理逆定理的实际应用 22．教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形空地改造为“劳动乐园”．经测量，米，米，米，米，．该“劳动乐园”即将迎来盛大的劳动成果展示活动． 【解析】 (1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的、两点连接起来，求至少需要多少米装饰彩带？ (2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉． 【答案】(1)米 (2)株 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出的长即可； （2）先根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，分别求出的面积，计算即可得到答案． 【详解】（1）解如图，连接 ， （米） 至少需要米装饰彩带； （2）解：，，， ， 是直角三角形， （平方米）， （平方米）， （株）， 共需要种植株花卉． 23．某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，点在点的正东方米处，点在点的正北方米处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由： (2)通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：） 【答案】(1)，理由见解析 (2)路线更短 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，，即可得到结论； （2）利用勾股定理求出，分别计算两条路线的长度，即可得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意可知，米，米，点在点的正东方米处，即米 ∵， ∴是直角三角形，， 即； （2）由题意可知，， ∴（米）， ∴（米） 而（米） ∵， ∴路线更短 24．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试判断与的位置关系，并说明． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的长为，的长为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 25．随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 【答案】(1)能，理由见详解 (2)秒 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积． （1）过点C作于点D，根据，，的长，可得出，进而可得出，再结合三角形的面积公式，即可求出的长，再和相比即可得出答案． （2）设点E，F在直线上，且利用勾股定理，可求出长，进而可得出，的长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论 【详解】（1）解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号，理由如下∶ 过点C作于点D，如下图1所示： ∵，，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号 （2）解：设点E，F在直线上，且，如图2所示． 在中，，， ∴， 同理∶， ∴， ∴(秒)． 答∶有秒可以接收到信号 26．已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由： (2)若的长度为，，求购物车把手到的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：） 【答案】(1)两支架与为垂直的位置关系，理由见解析 (2)购物车把手到的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质； （1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）解：两支架与为垂直的位置关系，理由如下： 在中． ∵，，，且， ∴ ∴， 答：两支架与为垂直的位置关系； （2）解：如图所所示，过点作的垂线，分别交的延长线于点，设点C到的距离为h， ∴ ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：购物车把手到的距离为． 27．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． (1)求四边形的面积； (2)小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 【答案】(1)平方米 (2)线段的长度为米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据题意得出米，设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵米，米 ∴米 ∵ ∴是直角三角形，且 ∴四边形的面积为平方米 （2）解：由（1）可得是直角三角形， 依题意，米， 设米，则米 在中， ∴ 解得：，即线段的长度为米． 28．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 29．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．    （1）下列四边形是勾股四边形的有　 　．（填序号） ①长方形；②平行四边形；③正方形； （2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（0，4），B（3，0），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标____________ （3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB＝30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】（1）①③；（2）（3，4）或（4，3）；（3）见解析 【分析】（1）根据定义和勾股四边形的性质，有矩形或正方形或直角梯形满足题意； （2）OM＝AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案； （3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形． 【详解】（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：矩形，正方形 故答案为：①③； （2）如图1所示：M（3，4）或（4，3）； 故答案为（3，4）或（4，3）；    （3）证明：如图2，连接CE，由旋转得：△ABC≌△DBE， ∴AC＝DE，BC＝BE， ∵∠CBE＝60， ∴△CBE为等边三角形， ∴BC＝CE，∠BCE＝60°， ∵∠DCB＝30°， ∴∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝30°+60°＝90°， ∴DC2+EC2＝DE2， ∴DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．    【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 类型四、利用勾股定理的逆定理求解 30．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． 先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ∴是直角三角形，， ， ， 解得：， ∴， 故选：B． 31．已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 【详解】解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 32．如图，在中，，，，点是外一点，连接，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．在 中，先利用三角形内角和得出，再利用勾股定理得出，进而勾股定理的逆定理得出，即可得出的度数． 【详解】解： ， ， 在 中， ， ， ． 33．如图，四边形中，，连接． (1)求的长； (2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形，四边形的面积为 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴四边形的面积为． 34．如图，点、是直线上两点，且，在线段上取一点，经测量，． (1)长是否为点到直线的最短距离？请说明理由； (2)求点和点的距离． 【答案】(1)是；见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及勾股定理等知识；掌握这两个定理是解题的关键； （1）由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，则得长是点到直线的最短距离； （2）在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：长是点到直线的最短距离； 理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， 即， ∴长是点到直线的最短距离； （2）解：由（1）知，， 在中，， 由勾股定理得：； ∴点和点的距离为． 35．如图，在中，，是上一点，且，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查勾股定理以及其逆定理的应用，解题的关键是熟知直角三角形的性质及勾股定理的内容． （1）根据勾股定理的逆定理得到； （2）根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴； （2）解：在中，，，， 由勾股定理得：， 即的长是． 36．如图， 和中，． (1)求证：； (2)若 ，求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理，等腰三角形的性质． （1）证明即可得出结论； （2）由（1）可得，根据 ，得到，推出，结合可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1 ）知， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 37．已知：如图，在中，，，的周长为30． (1)证明：是直角三角形； (2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】此题重点考查勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地求出的长，并且推导出是解题的关键． （1）由，，的周长为30，求得，则，所以是直角三角形； （2）①由，得，由于点，得，则，由，得，所以，而，则，所以； ②由，，且，得，则，由，，证明，则，所以． 【详解】（1）证明：，，的周长为30， ， ，， ， 是直角三角形． （2）①证明：， ， 于点， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， ． ②解：，，且， ， ， ，， ， ， ， ， ， 线段的长为． 38．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点坐标为，直线与交于点    (1)求直线的表达式； (2)求证： (3)直线，且，，不能围成三角形，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）将点代入，求出的值，再利用待定系数法求出的表达式即可； （2）求出即可证明结论； （3）分过点，，，三种情况求出的值即可． 【详解】（1）解：∵与交于点， ∴把代入， ∴， ∴， ∴， ∴把代入， 得：， 解得： ∴的表达式为：； （2）解：， ，， ， 是直角三角形，， ； （3）解：∵三条直线不能围成三角形， ①当过点时，三条直线交于一点，满足题意， 此时：，解得：； ②当时，满足题意，此时； ③当时，满足题意，此时； 综上：或或． 类型五、全等三角形的性质与HL的应用 39．如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意证明，可得，根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 解得： 故选：B． 40．如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④平分； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质（和）等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接，由、可得，进而可证得，于是可得，故结论①正确；根据已知条件不能推出，故结论②错误；延长到，使，连接，利用可证得，于是可得，，，根据角的和差关系可得，进而可证得，于是可得，故结论③正确，可得，即平分，故结论④正确；综上所述，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； 根据已知条件不能推出， 故结论②错误； 如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，故结论③正确； ，即平分，故结论④正确； 综上所述，正确的结论有，共个， 故选：． 41．如图，已知在和中，，，，如果，那么的大小为 ．    【答案】/55度 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，由，，，根据证明，则，，所以，，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 42．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等． 【答案】2或6/6或2 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，分两种情况讨论：当时，可得，当时，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵， 当时， ∴， 设运动时间为， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得： 故答案为：2或6． 43．如图，与中，，是直角，边，在一条直线上，且，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定和性质 （1）证明，根据即可证明； （2）根据得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵，是直角， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴． （2）∵ ∴， ∴ 44．综合与探究 【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ∴（______） ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴______． ∴． ∴． ∴______． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，运用转化思想，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 【答案】（1），，10；（2）．理由见解析；（3）的长度为． 【分析】（1）延长中线至点，使得，连接．证明，利用勾股定理的逆定理求得，再利用勾股定理求解即可； （2）延长，交于点F，证明，推出，再证明即可解决问题； （3）设，过点作交的延长线于点，连接，证明，推出，，再证明，推出，得到，求得，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴； （2）解：．理由如下， 理由：如图中，延长，交于点F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵将沿折叠到， ∴，，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得， ∴的长度为． 【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 45．小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的．如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得，．（图中的、、、在同一平面上），求证此时．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．证明，得出，根据，求出，即可证明结论； 【详解】证明：∵于D，于E， ∴， 又∵根据题意得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴． 46．等边，D是边上任意一点（不与端点重合），连接，在下方作，再作于点M． (1)当点D是的中点时，如图1，则_______；和的数量关系是_______； (2)当点D在边上运动时， ①证明：； ②直接写出线段、、之间的数量关系式． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，证明，，得出，，再证明，得出，，最后由直角三角形的性质即可得解； （2）①作于，证明，得出，，证明，即可得证；②由全等三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，点D是的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图，作于， ， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． 47．如图①，四边形中，，连接，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解； （2）连接，由（1）证明可得，，证明，得出，进而即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ． ∴； （2）证明：连接， 由（1）证明可得， ， 在和中， ． ， ， ． 48．教科书第39页有下面一段文字： 思考： 如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到．这个实验说明了什么？ 图1中的与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，，，但与不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 小明通过对上述问题的再思考，提出：两边和其中一边的对角（这个角是钝角）分别相等的两个三角形全等．即在和中，若，，（，为钝角），则．对于小明的结论，阿强和阿芳分别提出了验证方案． (1)阿强的验证方案：根据教科书中探究三角形全等判定方法的经验，利用尺规作图验证小明提出的结论．即先画一个，使为钝角，如图2，再画一个，使，，．把画好的剪下来，放到上，看它们是否重合． 请利用直尺和圆规画出符合条件的（不写画法，保留作图痕迹）； (2)阿芳的验证方案：利用三角形全等的判定方法证明小明提出的结论．即：在和中，已知，，（，为钝角），如图3． 求证：．请写出证明过程． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定和性质， （1）作，作，即可； （2）过作，垂足为，过作，垂足为，证明得，证明得，最后利用即可得证； 解题的关键是掌握五个基本作图，全等三角形的判定和性质． 【详解】（1）解：如图， 则即为所作； （2）证明：过作，垂足为，过作，垂足为， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 49．如图，已知中，，点为外一点，连接、，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)已知，请直接写出的度数______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，得出即可； （2）根据，得出，求出，证明，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 50．如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当时，由三线合一可得，由勾股定理可得，由轴对称的性质可得，，进而可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长；当时，作于点，利用邻补角互补可得，由轴对称的性质可得，利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，根据即可求出的长；综上，即可得出答案． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时， 如图， ， ，， ， ， ， 由轴对称的性质可得：，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ； 当时， 如图，作于点， ， ， ， 由轴对称的性质可得： ， ， ， ， ， ； 综上，的长是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三线合一，勾股定理，轴对称的性质，线段的和与差，解一元一次方程，垂线的性质，利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 51．如图，在中，，D为边的中点，分别为边上的点，且．若，则 °．线段的长度= ．    【答案】 【分析】延长到使得，连接，过E作于，由，，可得，即可求出，在中求出，再证明是等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到使得，连接，过E作于．    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，角的和差，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 52．在中，，，C为直线上一点（点C不与点O，点B重合），点C关于点B的对称点为点D，连接，在直线上取一点E，使，直线交直线于点． (1)当点C在如图1所在位置时，请补全图形． ①若，求的度数（用含的式子表示）； ②写出此时，，之间的数量关系，并证明； (2)当点C不在如图1所在位置时，请你确定一个满足题意的点C的位置，在图2中补全图形，直接写出一个，，之间的数量关系．（要求：和（1）中，，之间的数量关系不同） 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2) 【分析】①可得出，，从而得出，进而得出，进一得出结果； ②作于G，在中得出，可推出，进一步得出结果即可． 当点C在上时，作于G，同样得：，，，进一步得出结果． 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，利用直角三角形的性质． 【详解】（1）①根据题意，补图如下： ，， ， ， ， 点C和点D关于点B对称， ， ， ， ； ， ． ②如图1， ，理由如下： 作于G， ， ， ， ， ， ， ． （2）如图2， 当点C在上时，作于G， 由②知，，， ． 53．【问题提出】（1）如图1，在中，，，，则的长为__________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，点为上方一点，连接，的垂直平分线分别交、于点、，点为上一动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，对角线、为两条走廊，，．随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新扩建规划，过点作交的延长线于点，发现与恰好相等，将区域规划为功能训练区，并在线段、上分别取点、，并沿线段、摆放某种小型健身器材，请你计算当最小时，与的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，结合已知条件可得，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）连接，根据垂直平分线的性质可得，进而根据两点之间线段最短可得的最小值为的长，即可求解； （3）根据等角对等边得到，证明，得到，继而得到垂直平分，设，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，根据等腰三角形三线合一性质得到，继而得到，，，可得，，即可得是等边三角形；②如图，延长至点，使，则点与点关于直线轴对称，过点作于点，交于点，连接，则，此时的值最小，最后在中，由，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵在中，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）如图所示，连接， ∵是的垂直平分线，点为上一动点， ∴ ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， 故答案为：；； 设， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 如图，延长至点，使， ∵， ∴点与点关于直线轴对称，过点作于点，交于点，连接， ∴， ∴，此时的值最小， 又，即， ∵，即， ∴在中，， ∴， ∴当的值最小时，点的位置如图所示，与的数量关系是． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定，角的直角三角形，垂线段最短等知识点．掌握等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，角的直角三角形是解题的关键． 54．如图，在中，，，P为线段上一点，点Q，P关于直线对称，于点D，与交于点E，连结，设． (1)若，求的长，并用含m的代数式表示的长； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)连结，若，与的面积之比为，求m的值． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再利用和轴对称的性质，可求出； （2）通过和，可得，进而即可列方程求解； （3）根据已知得，得，得，设，根据，得，根据，得，根据，得，得，得． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵点Q，P 关于直线对称， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查直角三角形与轴对称综合．熟练掌握勾股定理，轴对称的性质，等腰直角三角形性质，等腰三角形判定和性质，三角形面积公式，是解题的关键． 55．【综合与探究】 【问题情境】如图，在中，，，点D在直线上运动，连接，作射线，点E在射线上，并且在点D动动的过程中始终保持，过点E作，垂足为点F． 【探究发现】 （1）如图1，当点D在线段上（不含点C）时． ①直接写出与的数量关系； ②求证：； 【拓展思考】 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时．求证：； （3）当点D在直线上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由． 【答案】（1）①；②详见解析 （2）详见解析 （3）不变，理由见解析 【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，灵活掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． （1）①根据直角三角形的性质进行证明即可； ②根据证明即可得出结论； （2）根据直角三角形的性质可得，再根据证明得； （3）分点在上，的延长线上，的延长线上三种情况讨论，进行求解即可． 【详解】解：（1）①， ， 又， ， ， ， ②证明：在和中， ， ； （2）证明：， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）线段的长度不变，理由如下： 当点D在线段上时， 由（1）得， ； 当点D在线段的延长线上时， 由（2）得； 当点D在线段的延长线上时，如图， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ； 综上所述，线段的长度不变，总等于的长． 56．如图，已知在中，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当__________时，平分的面积； (2)当__________时，为以为腰的等腰三角形； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 【答案】(1)4 (2)5或16 (3)5或11 【分析】（1）根据题意，，由平分的面积，得结合，解答即可； （2）分和两种情况求解即可． （3）根据勾股定理，得，分点P在上和在的延长线上，两种情况解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，，， 由平分的面积， 得， ∴， ∵， ∴， 解得． （2）解：∵为以为腰的等腰三角形， 当时， 根据题意，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 当时，设， ∵， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， 解得． 故当或时，为以为腰的等腰三角形． （3）解：∵，，，，， ∴， 根据勾股定理，得， 当点P在上时， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． 当点P在的延长线上， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． ∴， 解得． 故当或时，． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，一元一次方程，等腰三角形的判定和性质，分类思想，三角形面积的性质，熟练掌握勾股定理和三角形全等的判定是解题的关键． 57．定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“完美分割线”． (1)下列三角形中，不存在“完美分割线”的是 （只填写序号）． ①等边三角形；②顶角为的等腰三角形；③等腰直角三角形． (2)在中，，，．如图1，已知的一条完美分割线交边于点，且，请求出的长度； (3)如图2，在中，，，直接写出被“完美分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数； (4)如图3，中，，为边上的高，，为的中点，过点作直线交于点，作于，于．若射线为的“完美分割线”．求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，，，或 (4) 【分析】（1）根据“完美分割线”的定义以及等腰直角三角形、顶角为的等腰三角形、等边三角形各自的特点即可直接得出答案； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长度； （3）分三种情况讨论：①当“完美分割线”经过点时；②当“完美分割线”经过点时；③当“完美分割线”经过点时；分别画出图形求解即可； （4）先证明，推出，在和中，由推出，，进而推出，即，由此可得结论． 【详解】（1）解：根据“完美分割线”的定义可知，等腰直角三角形、顶角为的等腰三角形存在“完美分割线”，等边三角形不存在“完美分割线”， 故答案为：； （2）解：设，则， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， 的长度为； （3）解：分三种情况讨论： ①当“完美分割线”经过点时， 如图， 当时，， 当时，， 当时，； ②当“完美分割线”经过点时， 如图， 当时，， 当时，； ③当“完美分割线”经过点时， 如图， 当时，； 综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：，，，或； （4）解：如图，过点作于点， ， 为边上的高， ， ， 不是等腰三角形， 为的“完美分割线”， 和中至少有一个是等腰三角形， 是等腰三角形，且， ， ， 于， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 即：， ， 的最大值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了新定义的“完美分割线”的理解和运用，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，含度角的直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，解一元一次方程，线段中点的有关计算，不等式的性质，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形并运用分类讨论思想是解题的关键． 58．探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（）；（）直角；（）；（） 【分析】（）根据正方形的面积公式结合勾股定理可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，可以得到其中两条边平方的和等于第三条边的平方，进而由勾股定理的逆定理即可判断求解； （）设直角三角形的三边分别为，根据半圆的面积公式以及勾股定理可发现，两个小半圆的面积和等于大半圆的面积； （）根据（）可得阴影部分的面积直角三角形的面积，据此解答即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）由题意得，， ∴， 故答案为：； （）∵的面积为，的面积为，同时的面积为， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （），理由如下： 设直角三角形的三边分别为， 则，，， ∵， ∴； （）由图②可得，． 59．（1）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，，且于点，．则点的坐标为________： （2）如图2，在平面直角坐标系中，于点，，点的坐标为，则点的坐标为________； （3）如图3，点A在轴上，点在轴上，且，点在轴的负半轴上，连接，作于点，并且，连接交轴于点，请猜想线段与线段的数量关系，并进行证明； （4）如图4，点的坐标为，轴于点，在直线上有一动点，连接，在轴上方作于点，并且，连接，线段平行于轴，连接，线段交坐标轴于点，当时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、一次函数的应用等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． （1）根据点A、B的坐标可得，然后证明可得，即，然后确定点C的坐标即可； （2）如图：过B作轴，过C作，垂足为D，则，然后证明可得，即点C的横坐标为5，进而确定点C的纵坐标为1，最后确定点C的坐标即可； （3）如图：过点C作轴于点F，证明可得，进而得到，再证明，得到即可解答； （4）当点M在x轴上方和下方两种情况，作图并运用全等三角形的判定与性质确定点N的坐标，再求出直线的解析式，最后确定与坐标轴的交点即可． 【详解】解：（1）如图1：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； （2）如图：过B作轴，过C作，垂足为D，则， ∵点的坐标为， ∴，点D的纵坐标为3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点C的横坐标为5， ∵点D的纵坐标为3，， ∴点C的纵坐标为1， ∴点C的坐标为； （3），理由如下： 如图：过点C作轴于点F， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （4）如图：当点M在x轴上方时，点M的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∵线段平行于轴， ∴，点N的纵坐标为3， ∵， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即点P的坐标为． 同理可得：如图：当点M在x轴下方时，点P的坐标为． 综上，点P的坐标为或． 试卷第2页，共83页 1 / 79 学科网（北京）股份有限公司 $$