第02讲 平行四边形的判定（2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

第02讲 平行四边形的判定 课程标准 学习目标 ①平行四边形的判定 ②三角形的中位线 1. 掌握平行四边形的判定方法并能够通过题目已知条件选择合适的判定方法判定平行四边形。 2. 掌握三角形的中位线性质与判定，能够熟练的对三角形的中位线进行判断与对性质的熟练应用。 知识点01 平行四边形的判定 1. 平行四边形的判定： 元素 判定方法与文字语言 数学语言 图形 边 一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形 ∵AB CD或AD BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形 ∵AB ∥ CD，AD ∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形 ∵AB ＝ CD，AD ＝ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角 相等 的四边形是平行四边形 ∵∠ABC ＝ ∠ADC， ∠BAD ＝ ∠BCD ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线 相互平分 的四边形是平行四边形 ∵OA ＝ OC，OB ＝ OD ∴四边形ABCD是平行四边形 【即学即练1】 1．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC 【分析】利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可． 【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； B、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意； C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，在四边形ABCD中，若AB∥CD，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　AB＝CD（答案不唯一）　，使四边形ABCD是平行四边形． 【分析】由平行四边形的判定方法即可得出结论． 【解答】解：添加条件AB＝CD，可得四边形ABCD为平行四边形，理由如下： ∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 【即学即练3】 3．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝BF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】先证△AED≌△CFB（AAS），得AD＝BC，又由AD∥BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形． 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AED＝∠CFB＝90°， 在△AED和△CFB中， ， ∴△AED≌△CFB（AAS）， ∴AD＝BC， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【即学即练4】 4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，∠BAC＝∠DCA，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】证△AOB≌△COD（ASA），得OB＝OD，再由平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】证明：在△AOB与△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴OB＝OD， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 知识点02 三角形的中位线 1. 三角形中位线的定义： 连接三角形任意两边的 中点 得到的线段叫做三角形的中位线。 2. 三角形的中位线定理： 三角形的中位线 平行于 第三边，且等于第三边的 一半 。 几何语言：∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC 【即学即练1】 5．如图，DE是△ABC的中位线，若BC＝10，则DE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】已知DE是△ABC的中位线，BC＝10，根据中位线定理即可求得DE的长． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DEBC， ∵BC＝10， ∴DE＝5． 故选：B． 题型01 熟悉平行四边形的判定条件 【典例1】下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．对角线互相垂直 D．一组对边平行，一组对角相等 【分析】利用平行四边形的判定可求解． 【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故该选项符合题意； D、一组对边平行，一组对角相等，可得另一组对角相等，由两组对角相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（　　） A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点 【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法可知，只有选项C不能确定为平行四边形． 【解答】解：根据平行四边形的判定，A、B、D均能确定为是平行四边形，而C则无法确定为平行四边形，故选C． 【变式2】能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．AB＝AD，CB＝CD B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC 【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法，采用排除法，逐项分析判断． 【解答】解：A、若AB＝AD，CB＝CD，无法判定，四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误； B、∠A＝∠B，∠C＝∠D，无法判定，四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误； C、AB＝CD，AD＝BC，可判定是平行四边形的条件，故此选项正确； D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故此选项错误． 故选：C． 【变式3】下列条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，CB＝CD D．AB∥CD，AB＝CD 【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，逐一验证即可得出结论． 【解答】解：如图示，根据平行四边形的判定方法，只有D正确． 故选：D． 题型02 添加平行四边形的判定条件 【典例1】（多选）如图，在四边形ABCD中，若AB∥CD，添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　） A．AB＝CD B．AD＝BC C．∠ADB＝∠DBC D．∠A＝∠C 【分析】由AB∥CD，AB＝CD，证明四边形ABCD为平行四边形，可判断A正确；因为AB∥CD，AD＝BC，所以四边形ABCD为平行四边形或等腰梯形，可判断B不正确；由∠ADB＝∠DBC，得AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可判断C正确；由AB∥CD，得∠ABD＝∠CDB，而∠A＝∠C，BD＝DB，可根据“AAS”证明△ABD≌△CDB，得AB＝CD，则四边形ABCD为平行四边形，可判断D正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故A正确； ∵AB∥CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形或等腰梯形， ∴四边形ABCD不一定为平行四边形， 故B不正确； ∵∠ADB＝∠DBC， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故C正确； ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， 在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CDB（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故D正确， 故选：ACD． 【变式1】在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝∠CDA，添加一个条件，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠C B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠ABD＝∠CDB 【分析】根据题意利用平行四边形的判定定理逐一对选项分析，即可得到答案． 【解答】解：A、已知∠ABC＝∠CDA，若∠A＝∠C，即可证明四边形ABCD为平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形），所以A选项能判定四边形ABCD为平行四边形； B、根据题意若AB＝CD，不能进一步得到AB∥CD，所以B选项不能判定四边形ABCD为平行四边形． C、已知∠ABC＝∠CDA，若AD∥BC，即∠ABD＝∠CDB，∠CBD＝∠ADB，所以AB∥CD，CB∥AD，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以C选项能判定四边形ABCD为平行四边形． D、已知∠ABC＝∠CDA，若∠ABD＝∠CDB，即∠CBD＝∠ADB，所以AB∥CD，CB∥AD，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以D选项能判定四边形ABCD为平行四边形． 故选：B． 【变式2】在四边形ABCD中，AD＝BC，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥CD C．AD∥BC D．∠A+∠B＝180° 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵AD＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB∥CD，AD＝BC，可能是等腰梯形，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意； C、∵AD＝BC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，已知∠1＝∠2，添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD B．∠3＝∠4 C．AD＝BC D．∠1＝∠3 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC， ∵∠3＝∠4， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∠1＝∠3，无法判断四边形ABCD是平行四边形．故选项D符合题意． 故选：D． 题型03 平行四边形的判定证明 【典例1】如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC，求证：四边形BCEF是平行四边形． 【分析】先证△AFB≌DCE（SAS），得FB＝CE，∠AFB＝∠DCE，则∠BFC＝∠ECF，得FB∥CE，即可得出结论． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠BAF＝∠EDC， 在△AFB和△DCE中， ， ∴△AFB≌△DCE（SAS）， ∴FB＝CE，∠AFB＝∠DCE， ∴∠BFC＝∠ECF， ∴FB∥CE， 又∵FB＝CE， ∴四边形BCEF是平行四边形． 【变式1】如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形． 【分析】证出△ABC≌△DEF（ASA），得出AB＝DE，再结合AB∥DE，即可证出四边形ABED是平行四边形． 【解答】证明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F． ∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， ∴BC＝EF． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB＝DE． 又∵AB∥DE， ∴四边形ABED是平行四边形． 【变式2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE． （1）求证：OD＝OB． （2）求证：四边形ABCD是平行四边形．#ZZ01 【分析】（1）由点O是AC中点，得出OA＝OC，因为AE＝CF，则OE＝OF，因为DF∥BE，则∠OEB＝∠OFD， 利用AAS证明△BOE和△DOF全等即可， （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 【解答】（1）证明：∵点O是AC中点， ∴OA＝OC， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， ∵DF∥BE， ∴∠OEB＝∠OFD， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴OD＝OB， （2）证明：∵OA＝OC，OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【变式3】已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，DF∥BE． （1）求证：△AFD≌△CEB． （2）求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】（1）利用DF∥BE证得∠DFA＝∠BEC，再由AE＝CF证得AF＝CE，即可证明△ADF≌△CBE（SAS）； （2）由（1）得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，证出AD∥CB，即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF， 即AF＝CE， ∵DF∥BE， ∴∠DFA＝∠BEC， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）； （2）∵△ADF≌△CBE， ∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE， ∴AD∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【变式4】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）求证：BC＝AF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 【分析】（1）由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案； （2）证明Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），由全等三角形的性质得出AC＝EF，证出EF∥AD，由平行四边形的判定可得出结论． 【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC， 又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB＝2AF， ∴AF＝BC； （2）证明：在Rt△AFE和Rt△BCA中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL）， ∴AC＝EF， ∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC＝60°，AC＝AD， ∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°， 又∵EF⊥AB， ∴EF∥AD， ∵AC＝EF，AC＝AD， ∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形． 题型04 三角形的中位线的性质应用 【典例1】如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（　　） A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA＝OC，又由点E是BC的中点，易得OE是△ABC的中位线，继而求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵点E是BC的中点，OE＝3cm， ∴AB＝2OC＝6cm． 故选：B． 【变式1】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE．若∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．25° 【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案． 【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝80°， ∴∠BCA＝180°﹣50°﹣80°＝50°， ∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点， ∴EO是△DBC的中位线， ∴EO∥BC， ∴∠1＝∠ACB＝50°． 故选：B． 【变式2】如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°．则∠FEG的度数为（　　） A．18° B．23° C．31° D．33° 【分析】根据三角形中位线定理得到EG＝FG，根据平行线的性质得到∠FGC＝∠DAC＝20°，∠EGC＝180°﹣∠ACB＝114°，求出∠EGF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：∵E、F、G分别是AB、CD、AC的中点， ∴EG、FG分别是△ABC和△ADC两个三角形的中位线， ∴EG∥BC，FG∥AD，EGBC，FGAD， ∵AD＝BC， ∴EG＝FG， ∵EG∥BC，FG∥AD， ∴∠FGC＝∠DAC＝20°，∠EGC＝180°﹣∠ACB＝114°， ∴∠EGF＝∠FGC+∠EGC＝134°， ∵EG＝FG， ∴∠FEG（180°﹣134°）＝23°． 故选：B． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（　　） A．3 B．4 C．2 D． 【分析】连接AC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠DAC，结合图形求出∠BAC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：连接AC， ∵DA＝DC，∠D＝100°， ∴∠DAC＝∠DCA＝40°， ∴∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC＝130°﹣40°＝90°， ∴AC8， ∵点E，F分别是边AD，CD的中点， ∴EFAC＝4， 故选：B． 题型03 平行四边形的判定与性质综合 【典例1】如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长． 【分析】（1）先由平行四边形的性质及点G，H分别是AB，CD的中点，得出△AGE和△CHF全等的条件，从而判定△AGE≌△CHF（SAS），然后由全等三角形的性质和角的互补关系得出GE＝HF，GE∥HF，则可得出结论． （2）先由平行四边形的性质及BD＝10，得出OB＝OD＝5，再根据AE＝CF、AE+CF＝EF及OA＝OC得出AE＝OE，从而可得EG是△ABO的中位线，利用中位线定理可得EG的长度． 【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠GAE＝∠HCF， ∵点G，H分别是AB，CD的中点， ∴AG＝CH， ∵AE＝CF， ∴△AGE≌△CHF（SAS）， ∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH， ∴∠GEF＝∠HFE， ∴GE∥HF， 又∵GE＝HF， ∴四边形EGFH是平行四边形； （2）连接BD交AC于点O，如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BD＝10， ∴OB＝OD＝5， ∵AE＝CF，OA＝OC， ∴OE＝OF， ∵AE+CF＝EF， ∴2AE＝EF＝2OE， ∴AE＝OE， 又∵点G是AB的中点， ∴EG是△ABO的中位线， ∴EGOB＝2.5． ∴EG的长为2.5． 【变式1】如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形； （2）已知DM＝2，AN＝3，求AB的长． 【分析】（1）欲证明四边形AMCN是平行四边形，只要证明CM∥AN，AM∥CN即可； （2）根据平行四边形的性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AM∥CN， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CM∥AN ∴四边形CMAN是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB， ∵四边形CMAN是平行四边形， ∴CM＝AN， ∴DM＝BN， ∴AB＝AN+DM＝2+3＝5． 【变式2】如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若M为EF的中点，OM＝2，∠OBC和∠OCB互余，求DG，BC的长度． 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且DGBC，DG∥BC且DGBC，从而得到DE＝EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）先判断出∠BOC＝90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可． 【解答】（1）证明：∵D、G分别是AB、AC的中点， ∴DG∥BC，DGBC， ∵E、F分别是OB、OC的中点， ∴EF∥BC，EFBC， ∴DG＝EF，DG∥EF， ∴四边形DEFG是平行四边形； （2）解：∵∠OBC和∠OCB互余， ∴∠OBC+∠OCB＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∵M为EF的中点，OM＝2， ∴EF＝2OM＝4． 由（1）知四边形DEFG是平行四边形， ∴DG＝EF＝4，BC＝2EF＝8． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数． 【分析】（1）证△AOD≌△COB（ASA），得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论； （2）先根据线段垂直平分线的性质得BE＝DE，则∠EBD＝∠EDB，再证∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，然后由三角形内角和定理得出方程，解方程即可． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠OAD＝∠OCB， 在△AOD和△COB中， ， ∴△AOD≌△COB（ASA）， ∴AD＝CB， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形； （2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x， 由（1）得：四边形ABCD为平行四边形， ∴OB＝OD， ∵EF⊥BD， ∴BE＝DE， ∴∠EBD＝∠EDB， ∵AD∥BC， ∴∠EDB＝∠DBF， ∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x， ∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°， ∴100°+x+2x+2x＝180°， 解得：x＝16°， 即∠ABE＝16°． 1．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD＝BC，OB＝OD B．AB＝CD，AC＝BD C．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，BC∥AD 【分析】由平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】解：A、AB∥CD，OB＝OD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； B、AB＝CD，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； C、∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO， 在△ABO和△CDO中， ， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故本选项符合题意； D、AB＝CD，BC∥AD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 2．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，根据平行四边形的判定定理逐个进行分析可以判断得解． 【解答】解：A、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； B、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； C、∵∠ACB＝∠DAC＝40°， ∴AD∥BC， ∵AB＝CD， ∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意； D、∠ACB＝∠CAD＝40°， ∴AD∥BC， ∵∠ABD＝∠BDC＝35°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； 故选：C． 3．已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，从下列四个条件中选择两个，则选项中的组合能使四边形ABCD是平行四边形的是（　　） ①AB＝CD；②AC＝2OC；③∠BAD＝∠BCD；④BO＝DO． A．①② B．②④ C．①③ D．①④ 【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可． 【解答】解：①②不能证明△AOB≌△COD，不能证明AB∥CD，故不能判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意； ②④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形，故B符合题意； ①③不能证明△ABD≌△CDB，进而得到AD＝CB，故不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意； ①④不能证明△AOB≌△COD，不能证明AB∥CD，故不能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意． 故选：B． 4．如图，AB＝CD，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（　　） A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD C．AB∥CD D．∠B＝∠1 【分析】直接利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或者两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可． 【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是平行四边形， 还需添加一个条件是：AC＝BD或AB∥CD． 故选C． 5．如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：由作图知，BC＝AD，CD＝AB， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故判定四边形ABCD为平行四边形的条件是两组对边分别相等， 故选：B． 6．如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E、F分别为AB、AC的中点），若EF＝35cm，则点B距离地面的高度为（　　） A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm 【分析】根据三角形中位线定理即可解决问题． 【解答】解：∵E、F分别为AB、AC的中点，EF＝35cm， ∴BC＝2EF＝70（cm）， ∴点B距离地面的高度为70cm． 故选：B． 7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长（　　） A． B．3 C．3 D． 【分析】取AB的中点F，连接NF、MF，根据直角三角形的性质得到∠CAB+∠CBA＝90°，根据三角形中位线定理分别求出MF、NF，以及∠MFN＝90°，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：取AB的中点F，连接NF、MF， △ABC中，∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AM＝MD，AF＝FB， ∴MF是△ABD的中位线， ∴MFBD＝3，MF∥BC， ∴∠AFM＝∠CBA， 同理，NFAE＝2，NF∥CC， ∴∠BFN＝∠CAB， ∴∠AFM+∠BFN＝∠CAB+∠CBA＝90°， ∴∠MFN＝90°， ∴MN， 故选：D． 8．现有一张平行四边形ABCD纸片，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M，N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【分析】根据作图以及平行四边形的性质与判定分别分析甲，乙证明ANCM是平行四边形即可． 【解答】解：乙：由作图可知，AM平分∠BAD，CN平分∠BCD， ∴∠BAM＝∠DAM，∠BCN＝∠DCN， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAM＝∠BMA，∠DNC＝∠BCN， ∴∠BAM＝∠BMA，∠DNC＝∠DCN， ∴AB＝BM，CD＝DN， ∴BM＝DN， ∴AN＝CM，AN∥CM， ∴四边形ANCM是平行四边形； 甲：由作图可知，BM＝BA，DN＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴BM＝DN， ∴CM＝AN，CM∥AN， ∴四边形ANCM是平行四边形； 故选：C． 9．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝135°，AB＝2，AD＝3，点H，G分别是CD，BC上的动点，连接AH，GH．E，F分别为AH，GH的中点，则EF的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 【分析】过点A作AN⊥BC于点N，证△ABN是等腰直角三角形，得BN＝AN，再由三角形中位线定理可得EFAG，当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点A作AN⊥BC于点N， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝135°， ∴AB∥BC， ∴∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣135°＝45°， ∵AN⊥BC， ∴∠BAN＝90°﹣∠B＝45°， ∴△ABN是等腰直角三角形， ∴BN＝ANAB2， ∵E、F分别为AH、GH的中点， ∴EF是△AGH的中位线， ∴EFAG， 当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值， ∴当点G与点N重合时，AG的最小值为， ∴EF的最小值为， 故选：C． 10．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．对于结论：①GF⊥BD；②∠DEH＝∠BFG；③四边形EGFH是平行四边形；④EGBD．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】证△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故②③正确，∠FGH不一定等于90°，故①不正确，EGBD不一定成立，故④不正确，即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD， ∴∠GBF＝∠HDE， 又E、F分别是AD、BC的中点， ∴， ∴BF＝DE， 在△GBF和△HDE中， ， ∴△GBF≌△HDE（SAS）， ∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，∠BFG＝∠DEH，故②正确 ∴∠FGH＝∠EHG， ∴GF∥EH， ∴四边形EGFH是平行四边形，故③正确 ∴EG＝FH， 而EGBD不一定成立，故④不正确． ∵∠FGH不一定等于90°， ∴GF⊥BD不正确，故①不正确， 故选：B． 11．四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，添加一个条件　AD＝BC或AB∥CD　，则使四边形ABCD成为平行四边形． 【分析】根据平行四边形的判定方法即可解决问题． 【解答】解：∵∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， ∴只要添加AD＝BC或AB∥CD，四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：AD＝BC或AB∥CD． 12．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，BC＝3cm，AB＝2cm．那么△ADE的周长为 　4　cm． 【分析】先由等腰三角形的性质得AD＝1cm，再证CE＝AE＝DE，然后由三角形中位线定理得DE＝AEcm，即可解决问题． 【解答】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵CD⊥AB于D， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴∠A＝∠B， ∴AC＝BC＝3cm， ∵CD⊥AB， ∴AD＝BDAB＝1cm，∠ADC＝90°， ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD，∠ADE＝∠B， ∴∠EDC＝∠ACD，∠A＝∠ADE， ∴DE＝CE，DE＝AE， ∴CE＝AE＝DE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AE＝DEBCcm， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝14（cm）， 故答案为：4． 13．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3）、B（﹣2，0）、C（0，﹣1），点D在坐标轴上，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为 　（0，4）　． 【分析】根据题意，点D在坐标轴上，则只能在y轴的正半轴上，根据平行四边形的性质即可求解． 【解答】解：依题意，点D在坐标轴上，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D在y轴的正半轴上， 设D（0，m）， ∴， 解得：m＝4， 故答案为：（0，4）． 14．如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝2，AB＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 　　． 【分析】根据三角形的中位线定理得出 ，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN，从而求得EF的最大值．连接DB，过点D作DH⊥AB 交AB于点H，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【解答】解：∵ED＝EM，MF＝FN，， ∴DN最大时，EF最大， ∴N与B重合时DN＝DB最大， 在Rt△ADH中， ∵∠A＝60°， ∴∠ADH＝30°， ∴，， ∴BH＝AB﹣AH＝3﹣1＝2， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，t＝　或2或4　． 【分析】设t秒后四边形ABQP是平行四边形，由题意得AP＝t cm，CQ＝2t cm，由AP＝BQ列方程求解即可；当四边形DCQP是平行四边形，由题意得AP＝t cm，CQ＝2t cm，由PD＝CQ或PD＝BQ列方程求解即可． 【解答】解：设t秒后四边形ABQP是平行四边形， 由题意得，AP＝t cm，CQ＝2t cm， 则BQ＝（10﹣2t）cm， ∵AD∥BC， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形， ∴t＝10﹣2t， 解得， 即秒时四边形ABQP是平行四边形； 当四边形DCQP是平行四边形， 则PD＝（6﹣t）cm， ∵AD∥BC， ∴当PD＝CQ时，四边形DCQP是平行四边形， ∴2t＝6﹣t， 解得t＝2， 当PD＝BQ时，10﹣2t＝6﹣t， 解得t＝4， ∴或2或4秒时，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形， 故答案为：或2或4． 16．数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的． 小澈同学先任意画出△ABC，再取边AC的中点O，连结BO并延长到点D，使OD＝OB，连结AD，CD（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证． 已知：如图，在四边形ABCD中，OD＝OB．OA＝ 　OC　． 求证：四边形ABCD是 　平行　四边形． （1）补全已知和求证（在方框中填空）． （2）小澈同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请用小澈的思路完成证明过程（注意：其他方法不得分）． 【分析】（1）根据题意补全已知和求证即可； （2）证明△ABO≌△CDO（SAS），得出AB＝CD，∠BAO＝∠DCO，则AB∥CD，再由平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】（1）解：已知：如图，在四边形ABCD中，OD＝OB，OA＝OC， 求证：四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：OC，平行． （2）证明：在△ABO与△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（SAS）， ∴AB＝CD，∠BAO＝∠DCO， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 17．如图，在▱ABCD中，连接对角线BD，点E和点F是直线BD上的两点且DE＝BF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，DE＝2，求△AEF的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠ABE＝∠CDF，由DE＝BF推导出BE＝DF，即可根据“SAS”证明△ABE≌△CDF，得AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，所以AE∥CF，即可证明四边形AECF是平行四边形； （2）由AB⊥BD，得∠ADB＝90°，而AB＝5，AD＝BC＝3，则BD4，因为DE＝BF＝2，所以EF＝DE+BD+BF＝8，则S△AEFEF•AD＝12． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点E和点F是直线BD上的两点且DE＝BF， ∴AB∥CD，AB＝CD，DE+BD＝BF+BD， ∴∠ABE＝∠CDF，BE＝DF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． （2）解：∵AB⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝5，AD＝BC＝3， ∴BD4， ∵DE＝BF＝2， ∴EF＝DE+BD+BF＝2+4+2＝8， ∴S△AEFEF•AD8×3＝12， ∴△AEF的面积为12． 18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止，点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t s． （1）用含t的代数式表示： AP＝　t　cm，DP＝　（12﹣t）　cm，BQ＝　（15﹣2t）　cm，CQ＝　2t　cm； （2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？ 【分析】（1）由题意得：AP＝t cm，CQ＝2t cm，则DP＝（12﹣t）（cm），BQ＝（15﹣2t）（cm）； （2）当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，即t＝15﹣2t，求出t的值即可． 【解答】解：（1）由题意得：AP＝t cm，CQ＝2t cm， 则DP＝（12﹣t）（cm），BQ＝（15﹣2t）（cm）， 故答案为：t，（12﹣t），（15﹣2t），2t； （2）∵AD∥BC， ∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形， 即t＝15﹣2t， 解得：t＝5， 即当t为5时，四边形APQB是平行四边形． 19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，F为线段BC上一点，E为线段BC延长线上一点，其中∠E＝∠DAF，∠ABF＝∠BAF． （1）小明在求证DE＝BF时，考虑先由平行线的性质与等量代换，得到∠AFB＝∠E，进而利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，得到四边形AFED是平行四边形，再结合“平行四边形的对边相等”和“等角对等边”，证得DE＝BF．请根据小明的证明思路补充以下证明过程． 证明：∵AD∥BC， ∴　∠DAF＝∠BFA　①． 又∠E＝∠DAF， ∴∠E＝∠BFA， ∴　DE∥AF　②， 又∵AD∥BC， ∴四边形AFED是平行四边形， ∴　DE＝AF　③． 又∵∠ABF＝∠BAF， ∴　AF＝BF　④． ∴DE＝BF． （2）连接BD，若∠DBC＝∠CDE，BE＝7，BD＝6，求BF的长． 【分析】（1）由AD∥BC，得∠DAF＝∠BFA，因为∠E＝∠DAF，所以∠E＝∠BFA，则DE∥AF，所以四边形AFED是平行四边形，则DE＝AF，由∠ABF＝∠BAF，得AF＝BF，即可证明DE＝BF，于是得到问题答案； （2）由∠BCD＝90°，∠DBC＝∠CDE，推导出∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝∠BDC+∠DBC＝90°，而BE＝7，BD＝6，所以DE，则BF． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠BFA， 又∵∠E＝∠DAF， ∴∠E＝∠BFA， ∴DE∥AF， 又∵AD∥BC， ∴四边形AFED是平行四边形， ∴DE＝AF， 又∵∠ABF＝∠BAF， ∴AF＝BF， ∴DE＝BF． 故答案为：∠DAF＝∠BFA，DE∥AF，DE＝AF，AF＝BF． （2）解：∵∠BCD＝90°，∠DBC＝∠CDE， ∴∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝∠BDC+∠DBC＝90°， ∵BE＝7，BD＝6， ∴DE， 由（1）得DE＝BF， ∴BF， ∴BF的长是． 20．【三角形中位线定理】已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系为 　，DE∥BC　； 【应用】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝4，EF＝1.5，∠AFE＝45°，则∠ADC的度数为 　135　度； 【拓展】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．求证：BD＝AC． 【分析】[三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论； [应用]连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝3，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可； [拓展]取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的性质定理可得MH∥AC且，NH∥BD且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【解答】解：[三角形中位线定理]，DE∥BC； 理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴，DE∥BC， 故答案为：，DE∥BC； [应用]如图所示，连接BD， ∵E、F分别是边AB、AD的中点， ∴BD＝2EF＝3，EF∥BD， ∴∠ADB＝∠AFE＝45°， ∵BC＝5，CD＝4， ∴BC2＝25，BD2+CD2＝25， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°， 故答案为：135； [拓展]证明：取DC的中点H，连接MH、NH． ∵M、H分别是AD、DC的中点， ∴MH是△ADC的中位线， ∴MH∥AC且， 同理可得NH∥BD且． ∵EF＝EG， ∴∠EFG＝∠EGF， ∵NH∥BD，MH∥AC， ∴∠EGF＝∠HNM，∠EFG＝∠HMN， ∴∠HMN＝∠HNM， ∴MH＝NH， ∴AC＝BD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平行四边形的判定 课程标准 学习目标 ①平行四边形的判定 ②三角形的中位线 1. 掌握平行四边形的判定方法并能够通过题目已知条件选择合适的判定方法判定平行四边形。 2. 掌握三角形的中位线性质与判定，能够熟练的对三角形的中位线进行判断与对性质的熟练应用。 知识点01 平行四边形的判定 1. 平行四边形的判定： 元素 判定方法与文字语言 数学语言 图形 边 一组对边 的四边形是平行四边形 ∵AB CD或AD BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别 的四边形是平行四边形 ∵AB CD，AD BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别 的四边形是平行四边形 ∵AB CD，AD BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角 的四边形是平行四边形 ∵∠ABC ∠ADC， ∠BAD ∠BCD ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线 的四边形是平行四边形 ∵OA OC，OB OD ∴四边形ABCD是平行四边形 【即学即练1】 1．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC 【即学即练2】 2．如图，在四边形ABCD中，若AB∥CD，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　 　，使四边形ABCD是平行四边形． 【即学即练3】 3．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝BF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【即学即练4】 4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，∠BAC＝∠DCA，求证：四边形ABCD是平行四边形． 知识点02 三角形的中位线 1. 三角形中位线的定义： 连接三角形任意两边的 得到的线段叫做三角形的中位线。 2. 三角形的中位线定理： 三角形的中位线 第三边，且等于第三边的 。 几何语言：∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC 【即学即练1】 5．如图，DE是△ABC的中位线，若BC＝10，则DE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 题型01 熟悉平行四边形的判定条件 【典例1】下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．对角线互相垂直 D．一组对边平行，一组对角相等 【变式1】具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（　　） A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点 【变式2】能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．AB＝AD，CB＝CD B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC 【变式3】下列条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，CB＝CD D．AB∥CD，AB＝CD 题型02 添加平行四边形的判定条件 【典例1】（多选）如图，在四边形ABCD中，若AB∥CD，添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　） A．AB＝CD B．AD＝BC C．∠ADB＝∠DBC D．∠A＝∠C 【变式1】在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝∠CDA，添加一个条件，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠C B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠ABD＝∠CDB 【变式2】在四边形ABCD中，AD＝BC，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥CD C．AD∥BC D．∠A+∠B＝180° 【变式3】如图，在四边形ABCD中，已知∠1＝∠2，添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD B．∠3＝∠4 C．AD＝BC D．∠1＝∠3 题型03 平行四边形的判定证明 【典例1】如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC，求证：四边形BCEF是平行四边形． 【变式1】如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形． 【变式2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE． （1）求证：OD＝OB． （2）求证：四边形ABCD是平行四边形．#ZZ01 【变式3】已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，DF∥BE． （1）求证：△AFD≌△CEB． （2）求证：四边形ABCD是平行四边形． 【变式4】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）求证：BC＝AF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 题型04 三角形的中位线的性质应用 【典例1】如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（　　） A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 【变式1】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE．若∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．25° 【变式2】如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°．则∠FEG的度数为（　　） A．18° B．23° C．31° D．33° 【变式3】如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（　　） A．3 B．4 C．2 D． 题型03 平行四边形的判定与性质综合 【典例1】如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长． 【变式1】如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形； （2）已知DM＝2，AN＝3，求AB的长． 【变式2】如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若M为EF的中点，OM＝2，∠OBC和∠OCB互余，求DG，BC的长度． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数． 1．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD＝BC，OB＝OD B．AB＝CD，AC＝BD C．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，BC∥AD 2．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 3．已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，从下列四个条件中选择两个，则选项中的组合能使四边形ABCD是平行四边形的是（　　） ①AB＝CD；②AC＝2OC；③∠BAD＝∠BCD；④BO＝DO． A．①② B．②④ C．①③ D．①④ 4．如图，AB＝CD，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（　　） A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD C．AB∥CD D．∠B＝∠1 5．如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 6．如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E、F分别为AB、AC的中点），若EF＝35cm，则点B距离地面的高度为（　　） A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm 7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长（　　） A． B．3 C．3 D． 8．现有一张平行四边形ABCD纸片，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M，N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 9．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝135°，AB＝2，AD＝3，点H，G分别是CD，BC上的动点，连接AH，GH．E，F分别为AH，GH的中点，则EF的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 10．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．对于结论：①GF⊥BD；②∠DEH＝∠BFG；③四边形EGFH是平行四边形；④EGBD．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，添加一个条件　 　，则使四边形ABCD成为平行四边形． 12．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，BC＝3cm，AB＝2cm．那么△ADE的周长为 　 　cm． 13．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3）、B（﹣2，0）、C（0，﹣1），点D在坐标轴上，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为 　 　． 14．如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝2，AB＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 　 ． 15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，t＝　 　． 16．数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的． 小澈同学先任意画出△ABC，再取边AC的中点O，连结BO并延长到点D，使OD＝OB，连结AD，CD（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证． 已知：如图，在四边形ABCD中，OD＝OB．OA＝ 　 　． 求证：四边形ABCD是 　 　四边形． （1）补全已知和求证（在方框中填空）． （2）小澈同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请用小澈的思路完成证明过程（注意：其他方法不得分）． 17．如图，在▱ABCD中，连接对角线BD，点E和点F是直线BD上的两点且DE＝BF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，DE＝2，求△AEF的面积． 18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止，点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t s． （1）用含t的代数式表示： AP＝　 cm，DP＝　 　cm，BQ＝　 　cm，CQ＝　 　cm； （2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？ 19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，F为线段BC上一点，E为线段BC延长线上一点，其中∠E＝∠DAF，∠ABF＝∠BAF． （1）小明在求证DE＝BF时，考虑先由平行线的性质与等量代换，得到∠AFB＝∠E，进而利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，得到四边形AFED是平行四边形，再结合“平行四边形的对边相等”和“等角对等边”，证得DE＝BF．请根据小明的证明思路补充以下证明过程． 证明：∵AD∥BC， ∴　 　①． 又∠E＝∠DAF， ∴∠E＝∠BFA， ∴　 　②， 又∵AD∥BC， ∴四边形AFED是平行四边形， ∴　 　③． 又∵∠ABF＝∠BAF， ∴　 　④． ∴DE＝BF． （2）连接BD，若∠DBC＝∠CDE，BE＝7，BD＝6，求BF的长． 20．【三角形中位线定理】已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系为 　 　； 【应用】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝4，EF＝1.5，∠AFE＝45°，则∠ADC的度数为 　 　度； 【拓展】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．求证：BD＝AC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$